Fundamentos de Computadores (6): Expresiones de conmutación y formas canónicas de las mismas.

Una expresión de conmutación de “n” variables es una expresión algebraica en la que aparecen elementos y operaciones del álgebra de conmutación. Ejemplo: ƒ(a, b, c) = oa + a ob + b c. Os recuerdo que “o” delante de un elemento indica que es su complementario, por falta de otros recursos para escribirlo aquí.

Aplicando el Álgebra de Boole, algunas expresiones de conmutación son equivalentes: a b + oa = oa + b. Una forma de igualar dos funciones es por aplicación de teoremas, como en este nuevo ejemplo: a b + a ob + a c =a (b + ob) + a c = a 1 + a c = a (1 + c) = a.

Formas canónicas de las expresiones de conmutación:

• Literal: variable con o sin complementación.
• Término producto: literal o producto de literales.
• Término suma, como a + ob + c.
• Suma de productos: suma de términos producto.
• Producto de sumas: producto de términos suma.
• Minterm de “n” variables: término producto de “n” literales, donde cada variable aparece una y solo una vez. “n” variables → 2^n minterms.
• Maxterm de “n” variables: término suma de “n” literales, “.

Suma de minterms canónica o 1ª Forma Canónica:

Suma de minterms en la que no hay ningún minterm repetido.

Producto de maxterms canónico o 2ªForma Canónica:

Producto de maxterms en el que no hay ningún elemento repetido.

Dar la 1ª Forma Canónica de ƒ(a, b, c) = a + ob + c.

a b c + a b oc + a ob c + a ob oc + oa ob c + oa ob oc + oa b c + oa ob c

Fundamentos de Computadores (5): Principio de la Dualidad de la Conmutación.

En un álgebra de computación, se cumple que para todas las igualdades, si se cambian ceros por unos, y “+” por “X”, son ciertas. Veamos algunos ejemplos:

• Conmutativa: a + b = b + a →ab = ba
• Elemento neutro: a + 0 = a → 1 a = a
• Distributiva: a + bc = (a + b) (a + c) → a (b + c) = ab + ac
• Complemento: a + oa = 1 → a oa = 0. “oa” es el opuesto de “a”.
• Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c → a (b c) = (a b) c
  
• Idempotencia: a + a = a → a a = a
• Absorción del neutro: a – 1 = 1 → a 0 = 0
• Involución: ooa = a
• Absorción: a + ab = a → a (a + b) = a
• Leyes de Morgan: o(a + b) = oa + ob →o(a b) = oa ob
  

Física General (4): Teoría de Campos: campos escalares, campos vectoriales, gradiente, circulación, flujo, divergencia y rotacional.

En física, al tratar de describir la interacción entre partículas o cuerpos materiales, se puede hacer de dos modos:

• Mediante el concepto de acción a distancia utilizado desde la época de Newton. Este concepto implica, como su nombre indica, la interacción de una partícula sobre otra sin intervención directa del medio en el que se encuentran.
• Mediante la perturbación de las propiedades del mediodonde se encuentren las partículas. En esta descripción se supone que una de las partículas produce la perturbación que se traduce en una acción sobre las demás, a las que podemos llamar “testigos” y que se encuentran en la región perturbada. Este concepto fue introducido por Faraday, que no llegó a formalizarlo matemáticamente.

Estas dos descripciones alternativas son indistinguibles en situaciones estáticas. En situaciones dinámicas resulta ventajoso y más cómodo, tanto desde el punto de vista físico como matemático, la descripción mediante la introducción del concepto de campo para caracterizar la perturbación de las propiedades del medio. Conviene resaltar que la acción a distencia o directa presenta ventajas en situaciones estáticas (cargas eléctricas o masas gravitatorias en reposo), pero tiene grandes desventajas cuando se trata de cargas o masas en movimiento rápido.

Campo:

Si se asigna a cada punto del espacio el valor de una función unívoca de punto, se dice que este espacio, como base o soporte de dicha magnitud, es un campo.

Si la magnitud es escalar hablamos de un campo escalar.

Si la magnitud es vectorial hablamos de un campo vectorial.

En general tanto los campos escalares como los vectoriales son funciñon del punto y del tiempo. Cuando los cambios no dependen del tiempo se dice que son estáticos o estacionarios.

Los campos escalares se visualizan mediante las superficies de nivel o isoescalares, que son el lugar geométrico de los puntos del espacio para los cuales la función escalar toma el mismo valor, por ejemplo:

• T (x, y, z) = cte.

Cuando estas superficies se cortan por un plano se convierten en las llamadas curvas de nivel o isoescalares, que según  la magnitud física que representan reciben un nombre particular: las isotermas se definen por:

• T (x, y) = cte.

las isóbaras se definen por:

• P (x, y) = cte…

Los campos vectoriales representan magnitudes de carácter vectorial:

• A (x, y, z, t).

Entre éstos cabe citar el campo de velocidades en un fluido:

• v (x, y , z, t).

, el campo eléctrico, el gravitatorio, el magnético… De manera análoga a los campos escalares, se dice que un campo vectorial es estacionario cuando la magnitud característica del mismo no es función del tiempo, como por ejemplo el gravitatorio:

• g (x, y, z).

, el electrostático:

• E (x, y, z)…

Entre los campos vectoriales son especialmente importantes los campos de fuerzas. Se dice que en una cierta región del espacio hay un campo de fuerzas cuando en todo punto de la misma hay una fuerza que toma un valor diferente para cada punto y en cada instante de tiempo. A partir de ahora nos referiremos a los campos estáticos de fuerzas.

Para poner de manifiesto la fuerza hay que colocar en el punto correspondiente un agente sensible (“testigo”) de naturaleza adecuada a la fuerza. Es decir, si las fuerzas son de naturaleza eléctrica el agente será una carga en reposo o el movimiento, si son gravitatorias el agente será una partícula con cierta masa… Por lo tanto, en general:

• F (x, y, z, K).

, donde mediante “K” queremos indicar que el valor de la fuerza depende no solo del punto del espacio considerado, sino también del del valor del “testigo” utilizado para detectarla.

Como hemos indicado, los campos de fuerzas dependen del agente sensible. Para salvar esta dificultad se suele definir un campo de fuerzas por unidad de agente sensible que se denomina intensidad del campo de fuerzas:

• I (x, y, z) = F (x, y, z, K) / K.

Para los campos gravitatorios,

• g = F / m.

, y para el electrostático:

• E = F / q.

Podemos preguntarnos por qué dentro de todas las formas posibles para visualizar el comportamiento de campos se ha elegido la más abstracta: los campos son simplemente funciones matemáticas de la posición y dle tiempo. De esta forma se puede dar una imagen del campo asociando vectores a muchos puntos del espacio, de forma que cada uno de ellos indique la intensidad, dirección y sentido de ese punto.

Se puede visualizar también el comportamiento de los campos trazando unas líneas que en todo punto sean tangentes al vector campo definido en el mismo. Estas líneas de campo indican el sentido de éste, mediante flechas colocadas en ellas. Al hacer esto se pierde información acerca del módulo de los vectores, pero se puede tener una idea de la magnitud del campo dibujando las líneas más separadas en las regiones en las que es más débil, y más juntas en las más intensas.

Una forma más general y estricta para caracterizar a un campo vectorial:

• A (x, y, z, t).

es a través de su divergencia y rotacional en todos los puntos del espacio donde se encuentra definido, y su comportamiento en los límites. Esta caracterización constituye la llamada formulación diferencial de las ecuaciones del campo. La divergencia y el rotacional son dos operaciones diferenciales, cuya expresión veremos más adelante.

Otra forma alternativa de caracterizar un campo, que se deduce de la anterior, es conociendo el flujo de “A” a lo largo de su superficie y la circulación de “A” a lo largo de líneas pequeñas, situadas tanto unas como las otras alrededor de cada punto del campo. Esta caracterización constituye la llamada formulación integral de las ecuaciones de campo.

Esta caracterización de los campos vectoriales mediante su flujo y circulación es más general que la indicada anteriormente cuando caracterizábamos un campo de fuerzas mediante el vector intensidad de campo. Aquéllas definiciones operacionales solo se pueden establecer para los campos citados (gravitatorio y electrostático). En caso de un campo magnético, no se puede dar una definición de la forma de la ecuación de intensidad, y por ello es más general y correcto definir al vector característico de un campo mediante su circulación y su flujo.

Gradiente de un escalar:

En la teoría de campos, resulta de gran utilidad introducir una operación matemática que indica cómo varía de unos puntos a otros la magnitud escalar característica del campo. Pensemos por ejemplo en la temperatura, la presión, la densidad, el potencial… Esta variación debe estar definida mediante un vector, puesto que en general no será la misma en todas las direcciones del espacio. Este vector recibe el nombre de grandiente del escalar en cuestión. Su módulo indica el valor de la variación del escalar en la dirección en la que dicha variación es más rápida. Su dirección es perpendicular a la superficie equiescalar que pasa por el punto donde está definido. Su sentido es el de los valores crecientes del escalar.

Vamos a justificar las afirmaciones anteriores para el caso concreto de las coordenadas cartesianas. Sea un campo escalar genérico:

• Φ (x, y, z).

que es una función continua de las coordenadas, derivable, cuyo valor está perfectamente determinado en cada punto “P” del espacio. Deseamos conocer cómo varía esta función en un desplazamiento “dr” del punto. Si llamamos “r” al vector de posición del punto “P”, al considerar otro punto “Q” tan próximo a “P” como queramos, de coordenadas:

• (x + dx, y + dy, z + dz).

, la función:

• Φ (x, y, z)

experimentará una variación al pasar de “P” a “Q” dada por:

• dΦ = Φ(x + dx, y + dy, z + dz) – Φ (x, y, z).

, que se puede escribir en función de las derivadas parciales:

• dΦ = ((dΦ / dx)i + (dΦ / dy)j + (dΦ / dz)k) dr.

Si llamamos “r0″ al vector unitario en la dirección “dr”, tenemos:

• dΦ / dr = ((dΦ / dx)i + (dΦ / dy)j + (dΦ / dz)k) dr0.

Siendo el primer miembro la derivada direccional de Φ según la dirección dada por “dr”, nos da la variación del escalar por unidad de longitud.

Llamaremos entonces gradiente de la función escalar Φ al vector:

• ¬gradΦ = (dΦ / dx)i + (dΦ / dy)j + (dΦ / dz)k.

, o sea que:

• dΦ / dr = ¬gradΦ ¬r0.

, esto es, la derivada direccional es la proyección del vector gradiente en dicha dirección.

• dΦ / dr = |¬gradΦ| |¬r0| Cos(gradΦ, r0).

, la derivada direccional va tomando distintos valores según el valor del coseno y será máxima cuando valga “1″, donde el gradiente es paralelo a “¬r0″. Si vamos de una superficie de nivel “Φ1″ a otra “Φ2″, la variación de la función escalar es máxima cuando varía según la normal. El módulo del gradiente coincide con la derivada direccional máxima.

Tomemos ahora dos puntos pertenecientes a la misma superficie de nivel e infinitamente próximos. Sea “d¬l” el vector según esa dirección, que será tangente a esa superficie. La variación de Φ al pasar de “P1″ a “P2″ evidentemente será nula, ya que el gradiente y “d¬l” son perpendiculares.

El gradiente es una función vectorial puntual deducida de una función escalar puntual, y se representa por:

• ¬gradΦ = ¬Å Φ.

El símbolo ¬Å se conoce con el nombre de operador nabla, que fue introducido por Hamilton y definido como:

• ¬Å = d / dx + d / dy + d / dz.

En realidad el operador nabla se representa por el signo de la imagen adjunta, que es un triángulo volteado. Lo que pasa es que no dispongo de ese icono para escribir en WordPress, al igual que tampoco puedo introducir matrices.

Circulación de un campo vectorial:

Sea una región del espacio donde existe definido un campo de vectores “¬A”; tomemos un curva cualquiera “MN”. Por definición, se llama circulación “C” del vector “¬A”, a lo largo de la curva “MN”, a la integral curvilínea:

• C = ∫(¬A) d¬l desde “M” hasta “N”.

Consideremos el caso particular en que el vector “¬A” sea el gradiente de una magnitud escalar U (,x, y, z), es decir:

• ¬A = ¬gradU = ¬Å U (Insisto en que este no es el verdadero símbolo de nabla).

, resulta entonces:

• C = ∫¬gradU d¬l desde “M” hasta “N” = ∫dU desde “M” hasta “N” = UN – UM.

Introduzcamos ahora una función escalar V (x, y, z) tal que:

• V (x, y, z) = – U (x, y, z).

, se tiene entonces:

• C = VM – VN.

, y si la curva es cerrada, sucede que:

• C = 0.

, ya que el punto inicial sobre la curva coincide con el final. La función “V” recibe el nombre de potencial del campo de vectores y al campo de vectores que se obtiene a través del gradiente del potencial cambiado de signo, se dice que deriva de un potencial. De todo esto podemos concluir que:

• Es campo es igual al gradiente del potencial cambiado de signo.
• La circulación a lo alrgo de una curva es independiente del camino seguido y sólo depende de los extremos de dicho camino.
• La circulación a lo largo de una línea cerrada es nula.

La ecuación:

• V (x, y, z) = cte.

representa una superficie llamada equipotencial porque en todos los puntos el potencial tiene el mismo valor. Se deduce inmediatamente para las superficies equipotenciales que el campo obtenido a través de su gradiente es normal a ellas. Así, supongamos que nos desplazamos sobre una de dichas superficies en una dirección “d¬l”:

• dU = ¬gradU d¬l = -dV = 0.

, dado que “gradU” y “dl” son prependiculares.

En cuanto a la dirección del campo “¬A”, hagamos la siguiente consideración: sabemos que el sentido del gradiente es el de potencial creciente, y como:

• ¬A = – ¬gradV.

, el campo “¬A¬” tendrá sentido contrario, es decir, el campo estará dirigido hacia potenciales decrecientes.

Flujo de un campo vectorial:

Toda superficie se puede representar en el espacio como un vector cuyo módulo es igual al área, la dirección es perpendicular a la misma, y el sentido a favor de la regla del tornillo, tal y como se halla predefinido.

Consideremos un punto “P” situado en una superficie donde exista un campo de vectores “¬Ai”. Por definición, llamamos flujo elemental del campo a través de la superficie a la expresión:

• dφ = ¬A d¬S, o φ = ∫¬A d¬S = ∫|¬A| |¬dS| Cosσ.

Cuantitativamente, “φ” representa el número de líneas de campo que atraviesa dicha superficie. Si Cosσ = 0, “¬A” y “d¬S” son paralelos.

Si la superficie es cerrada y calculamos el flujo a través de ella:

• φ = ∫¬A d¬S en “S”.

, y este flujo podrá ser positivo, negativo o nulo. Si el flujo es nulo, el número de líneas de campo qeu entran es igual al número de líneas que salen.

Divergencia:

La divergencia de un vector es el límite de su integral de superficie por unidad de volumen, a medida que el volumen encerrado por la superficie tiende a “0″:

• ¬div¬A = ∫¬A d¬S cerrada / dV.

, donde “dV” es un volumen infinitesimal limitado por una superficie infinitesimal.

• dφ / dV = ¬A d¬S / dV → ¬A d¬S = ¬div¬A dV.

, y finalmente:

• ∫¬A d¬S cerrada = ∫¬div¬A dV del volumen.

Ésta última ecuación de conoce como Teorema de Gauss o de la divergencia.

• ¬div¬A = ¬Å ¬A.

, donde “¬Å” volvería a representar erróneamente a nabla.

Si al calcular la divergencia en un punto, ésta resulta ser positiva, ese punto se considera manantial, y si resulta negativa, ese punto es un sumidero, y si resultase neutra en todos los puntos del campo, el campo se dice que es solenoidal.

Si:

• ¬div¬A = 0.

, entonces:

• ∫¬A d¬S cerrada = 0.

, cualquiera que sea la forma y tamaño de esta.

Si:

• ∫¬A d¬S cerrada = 0.

, entonces:

• ¬div¬A = 0.

Puede suceder que la divergencia sea nula en unos puntos y en otros no. En este caso el flujo total puede resultar distinto de “0″.

Si consideramos “Vi” al conjunto de volúmenes cuya divergencia es no nula, se cumple que:

• φtotal = ∑ (∫¬div¬A d¬S de los “Vi”) desde “i = 1″ hasta “n” = ∑(∫¬A d¬S de las “¬Si”) desde “i = 1″ hasta “n” = ∑(φi) desde “i = 1″ hasta “n”.

El flujo total a través de “¬S” resulta ser la suma de los flujos a través de todas las superficies “¬Si”, y ello ocurre con completa independencia de la forma y tamaño de la superficie “¬S”, siempre y cuando conserve en su interior las mismas regiones no solenoidales.

El flujo de la superficie cerrada no depende de la forma y tamaño de la superficie, depende únicamente de las regiones no solenoidales del interior “Vi”.

Dado que las líneas vectoriales han de surgir o terminar en las citadas regiones solenoidales, es posible introducir la imagen física de que el campo vectorial ha sido debido a una alteración de las propiedades de homogeneidad del espacio, por el hecho de haberse situado en dichas regiones no solenoidales , rellenándolas totalmente de un agente denominado magnitud activa o creadora del campo, cuyo valor en cada una de las regiones coincide con su correspondiente flujo total. Así, se mide la magnitud activa existente en una región no solenoidal por la relación:

• Mtotal = φ total.

, donde “M” representa la magnitud activa.

Dentro de cada “Vi” puede haber una distribución uniforme o no con la magnitud activa, y definimos densidad volúmica de magnitud activa por la expresión:

• ρ = dM / dV.

, de donde:

• M = ∫ρ dV = ∫¬div¬A dV.

, de donde se obtiene la ecuación de continuidad:

• ¬div¬A = ρ = dM / dV.

Si suponemos que el campo “¬A” deriva de una función potencial a través del gradiente:

• ¬A = – ¬grad¬V.

, y obtenemos la ecuación de Poisson:

• ρ = - ¬div ¬gradV = – ¬Å^2 V.

La integración de esta última función potencial “V” del campo vectorial “¬A” si es conocida la distribución ρ.

En las regiones solenoidales de “¬A”, donde “ρ = 0″, la ecuación:

• - ¬Å^2 V = ρ.

se reduce a la ecuación de Laplace:

• - ¬Å^2 V = 0.

En esta ocasiones se dice que el potencial es armónico.

Rotacional de un campo vectorial:

Consideremos una región del espacio en la que está definido un campo de vectores, y supongamos dentro de esa región una superficie “¬S” delimitada por una línea cerrada. Dividamos “¬S” en pequeñas superficies parciales tan pequeñas como queramos, y la circulación “C” a lo largo de la línea contorno será igual a la suma de las circulaciones interiores a lo largo de los contornos de las superficies “¬Si”:

• C = ∑(¬Ci) desde “i = 1″ hasta “n”.

Disminuyendo el tamaño de las “¬Si”, llegará un momento en que tengamos tan solo un punto. Por definicón, la componente del rotacional “¬A” (¬rotA) en la dirección del vector unitario “¬n” normal a la superficie es el límite de la integral de línea por unidad de área a medida que la unidad de área tiende a “0″:

• ¬rotA ¬n = ∫¬A d¬l cerrada / d¬S = dC / d¬S = ¬A d¬r / d¬S.

, de donde:

• ¬rotA d¬S ¬n = ¬A d¬l.

, originando el Teorema de Stokes:

• ∫¬rotA d¬S cerrada = ∫¬A d¬r lineal.

El flujo del rotacional a través de una superficie es igual a la circulación de “¬A” sobre la línea de contorno que delimita dicha superficie:

• ¬rotA = ¬Å Λ ¬A.

Si el rotacional de “¬A” es “¬0″ en todos los puntos del espacio, el campo se dice irrotacional.

Campo conservativo:

Si deriva de un potencial a través de su gradiente, teniendo en cuenta que el rotacional del gradiente es nulo:

• ¬rotA = 0.

Antimateria junto al Principio de Incertidumbre según la Teoría de los Multiversos.

En la última entrada expliqué que aplicando la Superposición de Historias aparecía una ingenua (ni yo, que soy el que ha pensado en esto, lo apoyo del todo) posibilidad de que la dualidad onda-corpúsculo se desvaneciese, en la que las ondas no serían más que la consecuencia de una misma región del espacio afectada por varias dimensiones concurrentes .

Asimismo, comenté que en el viaje hacia el pasado de la antimateria era preciso que ésta se propagase tal y como imaginamos las ondas hacia el pasado si queríamos seguir luchando contra la Incertidumbre. El por qué dije esto será el tema de hoy.

Según sabemos, el choque entre una partícula y su antipartícula genera una explosión en la que ambas son desintegradas. Si dicha antiparícula se propagase hacia el pasado esta afirmación carecería de sentido físico, ya que lo normal es ver cómo ambas van hacia el futuro y colapsan en el espacio-tiempo.

Sin embargo, si asumimos que las antipartículas se propagan muy pegadas hacia el pasado en parejas, cuando se topasen con un electrón tan solo una de ellas desaparecería, mientras que su compañera seguiría viajando en busca de una nueva pareja. Esta partícula superviviente sería la que los observadores considerarían que viaja hacia el futuro, porque a efectos prácticos viene siendo lo mismo ver algo yendo hacia el pasado que hacia el futuro. Es decir, nosotros podríamos ver ahora un positrón que va hacia el pasado, y al avanzar en el tiempo, lo seguiríamos viendo, pero él ya habría pasado por allí antes, y en realidad veríamos al positrón que le sigue a través del tiempo con un “dt” (infinitésima de tiempo).

A medida que esta antípartícula viajase hacia atrás en el tiempo, se iría encontrando cosigo misma procediendo de otras dimensiones según la Teoría de los Muliversos. Si a medida que nuestra dimensión avanza en el tiempo se fragmenta en infinitas dimensiones, ir en contra se su movimiento supone reagrupar todas esas dimensioes en una sola. En resumen, si avanzamos hacia el pasado nos encontraremos con todo lo que consiga llegar hasta él desde los diferentes futuros. E, insisto, esto supondría un reencuentro de la antimateria que proceda de cada uno de ellos.

A nivel cuántico esto otorgaría lógica a la Incertidumbre Antimaterial: la nube de antipartículas sería la superposición de todas las que se van juntando en su peculiar viaje al pasado. Sin embargo, en caso de que la congregación de estas partíulas no sea muy grande, un observador podría llevarse la sorpresa de que al avanzar en el tiempo la inmensa cantidad de ellas desaparecerían por no proceder del mismo futuro.

Esa, para mi gusto, es una buena explicación de por qué después de los grandes experimentos, sobre todo en Súperaceleradores como el LHC, pierden instantáneamente de vista la antmateria: recordemos que de hecho hay un detector en este acelerador llamado LHCb cuya misión es localizar a dónde se va la antimateria. Si lo que acabo de decir resultase cierto, sería imposible que esa máquina siguiese a la antimateria hasta las otras dimensiones futuras. Así que, si cuando empiecen a dar uso a este detector, no encuentran lo que buscan, tal vez me convenza más esta teoría.

Finalmente, retomando el tema de las colisiones, no tengo muy claro cómo se podría explicar coherentemente que siempre se vea la antipartícula que sale ilesa, pero en raras ocasiones el par original que viene del futuro.

Teoría de los Multiversos o de la Superposición de Historias (versionada por mi).

Hace ya mucho tiempo escribí una entrada llamada “Mundo Maravilloso” en la que asenté las bases de la teoría de la que voy a hablar hoy, que es la que personalmente más me apasiona y me permite dar explicaciones sin base matemática a fenómenos muy interesantes.

Para simplificar un poco, asumiré que los que leáis esto conoceréis la relatividad tanto especial como general, los diagramas de Feynman, el experimento Einstein-Podolsky-Rosen, la doble rendija de Young, la teoría cuántica de campos, las especulaciones sobre la antimateria, y algo sobre la teoría de la evolución Big Bang – Big Crunch.

Supongo que el modo correcto de empezar con todo esto es explicar por qué el Universo debería ser eterno, infinito e inmutable.

El primer punto es en cierto modo muy antrópico. A mi, como supongo que al resto de las personas, me es muy difícil imaginar la ausencia de tiempo, y por esta egocentricidad doy por hecho que el tiempo es algo que tiene que estar ahí siempre, a no ser que nunca hubiese nada, o mejor dicho, que podamos hablar de existencia implica que tenga que existir un tiempo que la rija eternamente, y que además debe ser independiente de las otras tres dimensiones (anchura, profundidad y altura): del mismo modo que estamos acostumbrados a imaginarnos distintas regiones espaciales en el mismo tiempo deberíamos ser capaces de poder imaginar distintos tiempos sin que se altere el espacio. Sin embargo, aquí llegamos (o todo apunta a ello) a una incompatibilidad: el cambio de regiones espaciales en el mismo tiempo asumimos que no altera al mismo, y sin embargo el cambio de tiempo en el mismo espacio produce notorias alteraciones en él. ¿Dónde está el error? Pues evidentemente en asumir que el cambio de regiones espaciales no altera también el tiempo.

Según vimos en la Teoría Especial de la Relatividad los cuerpos sometidos a una mayor velocidad, derivada de una aceleración, y ésta a su vez derivada de un notorio sumatorio de fuerzas, poseían la característica de avanzar más lentamente en el tiempo que los cuerpos que los rodeaban, la de comprimir sus dimensiones, y la de aumentar su masa. Es decir, el tiempo y la masa están mucho más dilatados (tienen más valor) en situaciones de descompensación de fuerzas exageradas: en un planeta con respecto al espacio, en un acelerador de partículas con respecto a la superficie normal de La Tierra, en microfísica o mecánica cuántica con respecto a mecánica clásica, etc.

Estas dilataciones, que la experiencia me muestra que se malinterpretan, son como un cambio de moneda. Me explico. Tú puedes vivir en España con el euro y sabes que te va a suponer tantos chicles, tantas barras de pan y tanto lo que quieras, y sin embargo te puedes mudar a otro país de la Unión Europea donde las cosas estén más caras. En esa situación tu mismo euro vale mucho menos, pero sin embargo sigue siendo un euro: el cambio de contexto o referenciales cambia las propiedades de las cosas. Pues con los segundos y los gramos pasa lo mismo en la Relatividad Especial, para el que los lleva de un contexto a otro siguen siendo los mismos, pero sin embargo no se adaptan a su nuevo entorno. En nuestro habitual sistema de referencia un segundo equivale a ver girar a La Tierra 0,004166666 grados. Sin embargo, para un electrón moviéndose a 0,86 veces la velocidad de la luz supone 0,009333333 grados (el doble). La moneda (en este caso el segundo) que empleamos en los dos ejemplos es el mismo, pero si pretendemos valorar uno en función del otro llegamos a la conlusión de que vale más el del electrón porque se ha dilatado. Como el segundo del electrón vale el doble que el del observador humano, evejecerá la mitad de rápido.

Ahora bien, si aplicamos esto desde los orígenes del Universo, las zonas del mismo que hayan sido menos perturbadas por la curvatura material de la Relatividad General habrán avanzado más en su tiempo que aquéllas mayormente perturbadas por sistemas de fuerzas. Es decir, el Universo tiene zonas más jóvenes y zonas más viejas de un modo que podríamos considerar instantáneo. Si ahora mismo paralizásemos el tiempo y nos desplazásemos a una región vacía del espacio (despreciando la materia oscura y el supuesto bosón de Higgs) en cierto modo viajaríamos hacia el futuro, mientras que en un sistema excesivamente alterado como un agujero negro viajaríamos al pasado. Conseguimos así un universo perfectamente correlacionado en el espacio-tiempo, como vaticinó Einstein: las cambios en el espacio suponen un viaje en el tiempo, y los cambios en el tiempo suponen, a su vez, un viaje en el espacio infinitamente recíproco.

Si consiguiésemos llegar a una zona idónea que hubiese sido perturbada excesivamente (lo suficiente como para no viajar en el tiempo), nuestro viaje en el tiempo se aproximaría al infinito y no tendría límite, es decir, siempre podríamos viajar más al pasado.

En lo referente al infinito, normalmente siempre queda la duda de cómo puede algo curvo y limitado ser infinito, a lo que yo siempre doy la misma respuesta: los números del uno en adelante son infinitos, y el conjunto de todos los números es infinito también, pero sin embargo uno es más grande que el otro. Podríamos afirmar que en el primer caso el infinito está limitado, y eso es exactamente lo que pasa con el Universo. (La explicación de por qué sabemos que es curvo ya la expliqué en el capítulo “Relaividad General“). En realidad, si aplicamos la Relatividad Especial y la General juntas, yo me imagino el “límite del Universo” como esa zona a la que constantemente se expande a grandes velocidades superiores a la de la luz, pero a la que si intentas llegar te transporta al pasado, llevándote de nuevo hacia el “centro del Universo” por la consecuente contracción. (Si yendo hacia el futuro el Universo se expande, yendo hacia el pasado se contrae).

La inmutabilidad es el apartado más complejo, y el que lleva la parte más fuerte de imaginación (¡como si las anteriores no!).

Ha llegado la hora de recordar a nuestro querido fotón de la doble rendija de Young, a nuestros queridos electrones del experimento Einstein-Podolsky-Rosen, y a la ya mencionada en su momento frase de Richard Feynman: “un positrón es como un electrón viajando al pasado”, o más generalizado: “una antipartícula es como su correspondiente partícula viajando al pasado”, e incluso más: “un anti-yo sería yo mismo viajando al pasado”.

La evidencia de los viajes al pasado en todo lo mencionado a mi me hace imposible negar esta atractiva idea. Analicemos por separado los dos primeros casos: en la doble rendija de Young el fotón sabía previamente a ser lanzado si el recinto en el que iba a penetrar estaba cerrado o tenía ranuras; y en el experimento Einstein-Podolsky-Rosen un electrón sabía instantáneamente, sin tiempo de transmisión, lo que le sucedía a su par separado por una distancia mayor que la que podría recorrer la luz en el tiempo de reacción. Las conclusiones son claras: en ambos casos las partículas saben lo que va a a suceder antes de que suceda y se preparan para ello. Conocen su futuro.

La teoría cuántica básica implica que esas partículas no es que sepan lo que les va a sueder, sino que conocen constantemente todo el medio que les rodea y actúan en función a este. Como dije en su momento, la conclusión fue que todo estaba correlacionado. El Universo se conoce a sí mismo perfectamente en todo tiempo y lugar, y eso le permite a las partes de sí mismo desarrollarsede modo organizado.

Sin embargo, esta simple interpretación resultaría un poco indefensa ante la Relatividad. Es decir, puede ser que una partícula conozca en todo instante la posición del resto de las partículas del espacio, pero si cada región del espacio tiene su propia unidad de tiempo, ¿acaso esa partícula no conoce cada región del espacio en tiempos muy diferentes e instantáneamente?, o mejor dicho, ¿no implica la Relatividad que conoce a la vez el futuro, el presente y el pasado?

Según el principio antrópico, dada la complejidad necesaria para que se de la vida en el mundo, desde siempre tuvo que ser muy improbable nuestra existencia, y sin embargo estamos aquí. La primera conclusión lógica de eso es que el Universo tiene varios ciclos en los que podemos aparecer o no, esto es, la probabilidad de que en un Universo se de la vida es limitada, y para poder hablar de probabilidades es necesario que el experimento se realice varias veces.

Si la probabilidad de que haya vida es del 100/n %, encontraríamos vida en 1 de cada “n” universos. Si usamos la teoría del Big Bang-Big Crunch, esto implica que el Universo debió de expandirse y contraerse más o menos “n” veces hasta nuestra generación. Esto es algo con lo que la mayoría de la gente podría estar de acuerdo.

La Teoría de Multiversos de la que hablaremos aquí es la síntesis de toda esta complejidad estadística, y es capaz de concluir que el Universo es inmutable.

La más reciente interpretación del Principio de Incertidumbre de Werner Heisenberg explica que la falta de difinición en la posición de las partículas subatómicas no solo se debe a la función de onda, sino que también interviene en ella la Superposición de Historias. Las partículas, en su trayectoria, puden moverse de muy diversas formas, y sería ilógico suponer que algo les hiciese moverse en un sentido concreto porque si, de modo que lo que hacen es propagarse en todas direcciones, y lo hacen a través de diferentes dimensiones. Cuando un observador pretende observar, por ejemplo, a un electrón, lo que en realidad ve es una nube de superposicionamiento de el mismo electrón ubicado en diferentes espacio-tiempos diminutos, y por ahora dejemos esto aparcado.

Partiendo de este apoyo científico, a mi nada me impide, en principio, suponer que con nuestro macro-Universo pasa lo mismo. Supongamos que nuestra generación universal (he decidido llamarla así) se originó a partir del último Big Bang, y se propagó de todos los modos posibles a través de múltiples espacio-tiempos (tan múltiples que serían infinitos en realidad). Cada una de esas dimensiones, a su vez, se fragmentaría en otra infinidad de ellas, según las posibles variaciones a lo largo del espacio-tiempo. De ahí en adelante todo sería posible, y siempre habria infinitas dimensiones con algo en común, pero también infinitas diferentes. De lo que podemos estar seguros es de que todas ellas terminarían del mismo modo: comprimidas dentro de un súper agujero negro.

Según me dio a entender Stephen Hawking en su “Historia del Tiempo”, todas las distintas dimensiones de nuestro Universo podrían acabar de dos modos: o en la singularidad del agujero negro mencionado, o en la propia autocolapsación del Universo para dar lugar a un nuevo Big Bang. Pues bien, desde mi punto de vista ambas situaciones son lo mismo. Si el Universo comenzase a colapsarse, fenómeno conocido como el Big Crunch, cada vez en más regiones la densidad sería suficiente para originar un agujero negro, y al seguirse comprimiendo el Universo éstos se irían juntando entre si, hasta el punto de que toda la masa-energía, y con ella el espacio-tiempo, se reducirían a un solo punto de densidad infinita. Mi pregunta es: ¿qué diferencia hay entre un súper agujero negro de estas características y el Big Bang? ¿Por qué no suponer que toda esa materia concentrada volvería a explotar como lo hizo anteriormente? ¿Por qué suponer diferentes el colapso del Universo y el agujero negro si van a dar a la misma situación?

Volviendo a la Teoría de los Muliversos, cada una de estas dimensiones, según su evolución, podría comprimirse antes o después, y de hecho infinitas lo habrán hecho, infinitas lo hacen, e infinitas lo harán, pero el caso es que todas ellas convergerán en la singularidad del punto de densidad máxima. Cada vez que una de ellas llegue a dicho estado la historia volverá a repetirse exactamente igual que antes: todo volverá a explotar y las dimensiones volverían a propagarse con las mismas infinitas variables antes vistas. Estos dos distintos Big Bang serían exactamente iguales e indistinguibles. ¿A qué nos lleva esto? A que el Universo se repite constantemente, pero no periódicamente, sino instantáneamente: todo tiene lugar a la vez en el espacio-tiempo en distintas dimensiones.

Por poner un ejemplo, si suponemos una de las dimesiones que, naciendo con la nuestra, se colapsaron en un diferencial de tiempo, de ella surgiría un nuevo Big Bang que llevaría un retraso de “dt” con el nuestro, y la dimensión correspondiente a la nuestra nos seguiría con un retraso “dt”. Gracias a eso es prosible la propagación al pasado: siempre encontraremos alguna dimensión Universal reproduciéndolo.

Moraleja: todo se repite en el infinito una infinidad de veces, y las cosas nunca han pasado o van a pasar: pasan. Nosotros no somos más que seres limitados a ver un cierto intervalo de cosas que pasan en un orden mínimamente lógico. El Universo, en su totalidad dimensional espacio-temporal es inmutable.

Ahora que ya tenemos sentadas las bases de esta teoría, procederé a repasar algunas de sus propiedades más evidentes (las primeras ya las comenté en su momento): la primera es que dentro de cada generación universal (el conjunto de dimensiones que parten de un Big Bang común) no hay ni un solo par de dimensiones iguales por definición; estas dimensiones se multiplican siempre hacia el futuro, y como consecuencia varias dimensiones no pueden tener un pasado común anterior a una singularidad espacio-temporal; una generación universal no concluye hasta que todas y cada una de sus dimensiones llega a la singularidad; para nosotros tan solo es posible apreciar todas esas dimensiones si las observamos en un microespacio inferior a la constante cuántica; no obstante, nunca seríamos capaces de ver todas las dimensiones superpuestas en esa región del espacio-tiempo si su pasado común es mínimamente lejano.

Teniendo en cuenta esto, yo debería ser capaz incluso de cargarme la propiedad onda-partícula de la materia, si supongo que la nube electrónica está compuesta cuanto a cuanto de todos los electrones apreciados por el microscopio. El Principio de Incertidumbre no sería una propiedad del Universo para protegerse de la observación, sino la constante duda de saber qué electrón de todos los que vemos es exactamente el que se corresponde con nuestra dimensión. ¿Recordáis la evolución de la frase que iba definiendo la evolución de la cuántica? Primero era “la probabilidad de que este electrón esté aquí es del 99%”, luego era “el 99% del electrón está aquí, y el resto exparcido por el Universo con su función de onda”, y ahora, con los Multiversos, sería “aquí se encuentran el 99% de los electrones de pasado común a corto plazo que nos resultan observables”.

Pero claro, el hecho de que solo podamos o “creamos” que podemos observar las otras dimensiones a nivel cuántico no implica que no debamos fantasear con la parte de las otras dimensiones que no vemos. ¿A quién no le atrae pensar que en infinitas dimensiones se está dedicando a trabajar en la NASA, mientras en otras tantas todavía acaba de nacer, y así con casi todo lo que uno quiera imaginar?

Aquí es donde entran mis queridas limitaciones evolutivas en la infinita propagación de las dimensiones. Y si, esta parte creo que ya es enteramente mía. Las limitaciones, tal y como su propio nombre indica, presuponen que la evolución de las dimensiones abarca todas las posibilidades “posibles”. Es decir, pudiera ser (de hecho es y no es a la vez) que en venideros instantes yo siguiese aquí escribiendo, o que se me fuese la luz, o que me pusiese enfermo y lo dejase, pero sería impensable que me diera por coger y tirarme por la ventana.

Para entenderlo mejor entraremos en el tema de la cuántica cerebral. Tal y como yo lo veo, las partículas que forman las neuronas, a lo largo de su trayectoria como partículas, definen unas ciertas propiedades que engendran la personalidad, y una vez que esa personalidad queda establecida, se anulan posibles evoluciones: si las patículas se acostumbran a engendrar una personalidad tranquila y centrada, la probabilidad de que esa mente se pervierta sería tan pequeña que tal vez sería necesario más tiempo que una vida para que se pudiese dar. Conclusión: alargar la vida puede tener sus consecuencias.

Después de todo lo que llevo contado, tal vez sigáis pensado que os estoy hablando de algo tan abstracto como improbable, pero deberíais saber que esto tiene aplicación científica hoy en día. La computación cuántica, de la que tal vez hayáis oído hablar o incluso conozcáis, permite hacer al ordenador complejos cálculos matemáticos utilizando no solo sus propios electrones, sino también los de las dimensiones que comparte a nivel cuántico. Lo que una dimensión hace, una superposición de dimensiones lo hace mucho mejor. Mi duda es, ¿qué pasaría si desde esas otras dimensiones a otro científico le diera por usar la nuestra al mismo tiempo? ¿Se nos colgaría el sistema de computación cuántica?

Es importante que haya contado ahora esto, porque en lo que queda de entrada estoy solo frente al competitivo mundo de la ciencia, es decir, de aquí en adelante todo es desarrollo puramente personal. ¿Y qué es lo que diferencia mi versión de los Multiversos de la que podríamos considerar estándar? Pues el uso de la hace un rato mencionada frase de Richard Feynman.

El hecho de que la antimateria se propague hacia el pasado mientras que la materia lo hace hacia el futuro podría ser un importante punto de apoyo para contestar a algunas dudas, entre ellas la de por qué hay más materia que antimateria en nuestra dimensión.

¿Qué conocemos de la antimateria? Pues en mi opinión lo suficiente como para dar pié a esta teoría. Lo primero y más importante que se encuentra en desvantaja, y lo segundo que al encontrarse con la materia a la que imita ambas se desintegran (¡fundamental!).

Comencemos a suponer, pues, que la materia viaja en el espacio-tiempo del modo inverso al nuestro. La Teoría de los Multiversos daría un giro de 360º, pero en esencia sería igual. En la singularidad espacio-temporal creo que no es arriesgado vaticinar que habría tanta materia como antimateria, solo que la segunda se propagaría hacia el pasado de esa singularidad, o lo que es lo mismo, en la dimensión que al colapsarse dio lugar a esa singularidad. La antimateria, en otras palabras, partiría del Big Crunch.

La primera diferencia contundente es que, al propagarse siempre hacia el pasado, tan solo se propagaría en una dirección dimensional espacio-temporal, y según lo que acabo de decir antes debería poderse escapar del Principio de Incertidumbre, por lo que, si quiero seguir haciéndole frente, es necesario suponer que las antipartículas se propagan como una onda por el vacío hacia el pasado y acabando con el Universo. Cada vez que una de ellas choca con su partícula original, ambas se desintegran y ninguna puede seguirse desplazando, de modo que para que tanto la materia como la antimateria conserven su identidad es necesario que no se encuentren como pares. Consecuencia lógica: cuanto más avanzan las antipartículas hacia el pasado menos de ellas quedan, o bien cuanto más avanzan las partículas hacia el futuro, menos de ellas quedan. Encontramos así dos momentos clave donde la cantidad de ambas queda compensada: la singularidad espacio-temporal y el punto de inflexión en el que la expansión da lugar a la contracción, que viene siendo la vida media (si considerásemos el tiempo absoluto) de una dimensión que se va propagando. Nosotros, como vivimos en la expansión, vemos más materia que antimateria.

Hablemos ahora de inteligencia cuántica. Si un fotón conoce su futuro, e insistimos en que algo se lo tiene que haber comunicado, ¿por qué no suponer que la antimateria que viene del futuro aporta información a la materia con la que se encuentra (si no se desintegran)? Si un fotón, o electrón, o lo que sea, puede conocer algo tan complejo como su futuro, y todos ellos forman nuestro cerebro, ¿por qué nosotros no íbamos a ser capaces? Si, estoy relacionando las “premoniciones” o “visiones en sueños del futuro” como una interacción con la antimateria que se estaciona en nuestro cerebro. Además, como ya dije en la otra ocasión, también opino que el simple hecho de imaginar podría suponer enviar a nuestras partículas cerebrales a observar dimensiones relativamente cercanas en el espacio-tiempo (teoría sin desarrollar).

Por último, si combinamos todo lo visto, imaginad lo que pasaría si alguna persona lograse vivir en el Big Crunch o proceso de contracción universal. Sería un tanto curioso: ¡al haber mucha más antimateria que materia ser vidente estaría a la orden del día! Claro que tal vez así verías incluso tu propia muerte…

Y eso es todo lo que quería comentar en esta entrada. Próximamente tal vez retome este tema.

Gracias a los que hayáis tenido el detalle de leéroslo todo.

Y a los demás también.

Métodos Matemáticos I (5): Números Complejos: Ecuación de Euler, Forma Exponencial Compleja, Raíces, Logaritmos, Senos/Cosenos Hiperbólicos y Teorema Fundamental del álgebra.

Los números complejos se caracterizan por tener una parte real “a” y otra imaginaria “b”. La parte imaginaria indica el número de veces que aparece el número imaginaio “i”. i = [-1]^½.

El conjunto de los números complejos s denomina “C”.

“C” cumple los axiomas de cuerpo.

En “C” no se cumple la relación de orden definida para los números reales.

Dado un número complejo z / z = a + b i → el número complejo conjugado de “z” es:

• z’ = a – b i

, y se cumple que:

• (z1 + z2)’ = z1′ + z2′
• que (z1 z2)’ = z1′z2′
• z z’ = a^2 + b^2; z + z’ = 2 a
• z – z’ = 2 b i2 = – 2 b.

Módulo o valor absoluto de un número compejo:

|z| = [a2 + b2]^½.

Propiedades del valor absoluto del módulo de un número complejo:

• si z ≠ 0 → |z| > 0.
• |z| = 0 → z = 0.
• |z1 + z2| =|z1| + |z2|.
• |z1 – z2| = |z2 – z1|.
• |z1 z2| = |z1| |z2|.
• |z1 : z2| = |z1| : |z2|.
• z z’ = |z|2.

Podemos representar números complejos en una gráfica si ubicamos la parte rela en el eje “x” y la parte imaginaria en el eje “y”: obteniéndose varias relaciones elementales:

• TgΦ = b / a; SenΦ = b : |z|.
• CosΦ = a : |z|.

La ecuación de Euler, además, implica que:

• e^iΦ = CosΦ + i SenΦ.

Esta ecuación es muy especial para los matemáticos más emotivos, ya que para un ángulo de π radianes implica que:

• e^iπ = Cosπ + i Senπ = -1 + 0.

, y en resumen:

• e^iπ + 1 = 0.

Esta ecuación es considerada una de las más bellas de la matemática, ya que implica a los dos números más basicos, que son el 1 y el 0, a los tres números especiales “π”, “e” e “i”, una operación tan elemental como es la suma y la igualdad.

Visto esto, un número complejo se puede expresar de varias formas:

• (a, b) = a + b i =  |z| (CosΦ + i SenΦ) = |z| e^iΦ.

El argumento de un número complejo es el valor de su ángulo Φ.

Forma exponencial compleja:

• e^z = e^a e^bi = e^a (Cosb + i Senb)

Potencias n-ésimas: Sea z ς C / z ς Z+ → Z^n = (r^iΦ)^n = r^n e^2nΦ.

Raíces n-ésimas: Si z ς C / z ≠ 0 / n ς Z+ → esxisten números u ς C / u ≠ u’, llamados z0, z1, z2, z3…, denomndados raíces de “z”, que verifican que (zk)^n = Z, siendo “k” = N.

• zk = [z]1/n = e^i arg(zk) = [|z|]1/n.

• Arg(zk) = (arg(z) + 2 π k) / n.

Logaritmos complejos:

Existen otros números complejos wi ς C !! e^w = z // logaritmo principal de z = wp = Ln|z| + i argp(z).

Seno y Coseno hiperbólicos:

• Senh(z) = (i e^-y – i e^y) / -2.

• Cosh(z) = (e^-y + e^y) / 2.

Teorema Fundamental del Álgebra:

Un polinomio de grado “n” con coeficientes reales tendrá “n” raíces que pueden ser reales y/o complejas, y las complejas aparecen siempre como pares conjugados. Todo polinomio tiene solución.

Fundamentos de Computadores (4): Funciones de Conmutación y el Álgebra de Boole.

Las funciones de conmutación describen cada una de las salidas de un sistema digital para todas las posibles combinaciones de entradas.

Para “n” variables hay 2^n posibles combinaciones de entradas en código binario.

La función o-constante es la que siempre vale 0.

La función identidad devuelve a cada digito su valor.

La función complmento da a cada dígito su valor opuesto.

La función 1-constante es la que siempre vale 1.

La función 0-exclusiva, NOR, o EXOR es la que vale 0 solo cuando todos los digitos de la combinación son iguales.

La función OR vale siempre 1 a no ser que todos los digitos valgan 0.

Funciones incompletamente especificadas.

Ciertas combinaciones de entradas se deconsidera que tienen valores indiferentes. Por ejemplo, una tabla en función de los valores de un dado en 3 bits no necesitará valores concretos para 0 y 7 porque son combinaciones que noo se van a dar.

Propiedades del Álgebra de Boole.

Un Álgebra de Boole afecta a un conjunto con dos operaciones internas binarias (+, *) que verifican los siguientes postulados:

• Dichas operaciones son internas.
• Son conmutativas.
• Poseen elementos neutros.
• Son distributivas una respecto la otra.
• Cada elemento tiene su opuesto.
• Al menos tiene que haber dos elementos distintos.

Acerca de este blog…

Hola y perdón por los días sin actualizar, pero he estado falto de tiempo, internet y semejantes.

Con esta entrada pretendo resumir cómo tengo pensado seguir con este blog, ya que actualizar a diario me resulta complicado.

Así pues, de ahora en adelante habrán algunos cambios:

• Fundamentos de computación tendrá actualizaciones semidiarias.
• Métodos Matemáticos II tendrá actualizaciones por cada hoja de apuntes que rellene (suelo tener que apuntar poco en clase).
• Métodos Matemáticos I tendrá actualizaciones por cada cambio de temática.
• Física General, que está siendo la más completa, tendrá actualizaciones esporádicas entre tema y tema, porque avanzamos a muchas páginas por día y no tendría tiempo de subir todo. El tema 2, que trataba los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas no lo publicaré aquí porque wordpress no me permite escribir matrices.

Atentamente, Adrián.

La correcta y dictatorial clasificación de las carreras según su motivación intelectual.

Este blog lo comencé con una entrada titulada “¿Qué es la física y quién es el físico?“, en la que, entre otras cosas, hablé de la importancia que tiene que cada persona sea capaz de organizar su propia estructura del Universo, por muy falsa que fuese, siempre y cando le sirviese a ella para entencer los fenómenos que estuviese acostumbrada a observar.

Al fin y al cabo, quiero creer que a lo que toda persona aspira es a conocer el mundo, si bien es algo que se tiende a dejar de lado a medida que pasa el tiempo por cosas menos trascendentales pero sin embargo útiles para las relacones humanas: lenguas, sociologías, económicas, hostelería…

Cuanto más se preocupa uno de esas artificialidades (no existirían si no existiese el hombre) menos reflexiona sobre lo verdaderamente fundamental, o dicho de otro modo, hay una fuerte tendencia a no curiosear. Hay gente, esto no es la primera vez que lo digo, que vive “tranquila” sin saber por qué el cielo es azul.

Y renunciar a aprender estas cosas, desde mi punto de vista, es matar de aburrimiento al cerebro. Es como anularle la mejor capacidad que tiene con respecto al resto de los animales. Es exterminar la filosofía natural.

Como dije en aquélla ocasión, tan solo la gente que sigue adelante con la ambición de aprender (Si, si. Podríamos llamarlo ambición porque en verdad cuando aprendes ciertas cosas te sientes en un nivel por encima de la gente que no las sabe. No en el sentido de ser superior ni mucho menos, sino en el sentido de ver las cosas con una perspectiva mucho más pura y depurada) merece la calificación de científica. Hoy reflexionaré sobre estas cosas de nuevo, ganándome la reprobación de colectivos (en realidad espero que no).

Y la ciencia, a su vez, fue la primera creación de la filosofía: el reflexionar sobre nuestro mundo: ¿cómo puede hacer que esta roca corte más? ¿qué pasa si planto esto aquí?, etc.

Todo eso es física, y los físicos son los que la hacen avanzar, si bien por escisiones: la biología dejó de lado las preguntas fundamentales para examinar la vida, surgiendo después la medicina; los químicos son físicos especializados en las reacciones donde los átomos son más o menos indivisibles; los farmacéuticos son una mezcla de biólogos y químicos; los ópticos son otra especialización; e incluso, como explicaré próximamente, los psicólogos lo tendrían todo perdido a la hora de buscar trabajo si ciertas teorías físicas resultasen ciertas.

Por último, lo más puro del raciocinio humano sería la filosofía en si, si bien últimamente se centra demasiado en las “artificialidades” antes mencionadas, y, más prácticamente, la física (de hecho me gustaría que en la carrera se estudiasen las dos).

A partir de los descubrimientos de todos los anteriores surgen especialistas que les dan uso sin entenderlos del todo: fontanería, informática, electricidad…

Y tan solo me quedaría nombrar a la única profesión herramienta: el matemático. Los matemáticos son gente a la que le gusta hacer el trabajo sucio de la ciencia pr hobby. Son gente a la que legusta calcular por calcular, y este afán de calcular sin sentido hace que exista un interés por contratarlos para ahorrarse hacer ellos las cuentas. Personalmente opino que es una carrera bonita, aunque al no tener una motivación concreta me interesa un poco menos.

Así pues, resumiendo tendríamos:

1. La filosofía y la física, que serían las máximas expresiones del raciocinio.
2. Las especializaciones de éstas: química, medicina, biología, óptica, aeronáutica…
3. La herramienta de todas ellas: las matemáticas.
4. Todas las carreras de letras o aquéllas de chaparse algo durante dos días y aplicarlo el resto de tu vida: filología, historia, geografía, derecho, sociología, económicas…

Sería interesante que se abriese un debate a partir de esta entrada.

Hasta otra.

Métodos Matemáticos I (4): Propiedades del Supremo, aproximaciones decimales finitas, valor absoluto, desigualdad de Cauchy-Scharaz y numerabilidad.

Propiedades del supremo:

Sea S ς R no vacío acotado superiormente y sea b ς R // b = sup S → si a ς R // a < b, existe x ς S // ac < x ≤ b.

Sean “A” y “B” dos subconjuntos no vacíos de números reales que están acotados superiormente. Sea “C” el conjunto definido como C = (x + y) // x ς A y x ς B. Este conjunto está acotado superiorente y además el supremo de C será el supremo de A más el supremo de B.

Sean “S” y “T” dos subconjuntos no vacíos de números reales // todo s ς S y toso t ς T // s ≤ T. Si “T” está acotado superiormente, entonces: “S” está acotado superiormente y el superior de “S” es menor que el superior de “T”.

Z+ (los números naturales) no están acotados superiormente.

Todo x ς R → existe un n ς Z+ // n > x.

Sean x e y ς R, si x > 0 → existe un n ς Z+ // y < n x.

Aproximaciones decimales finitas:

Un número r = a0 + a1 / 10 + a2 / 100 + (…), onde a0 ≥ 0  y a0 ς Z+, y ai = 0, 1, 2 (…) → este número se escribe a0 a1 a2 (…) y tiene una rpresentación decimal finita.

Sea x ς R // x > 0, para todo n ς Z+ existe una aproximación decimal finita “rn” // rn ≤ x < rn + 1 / 10^n.

Valor absorluto:

Sea x  R, se define valor absoluto de x (/x/) como: /x/ = x si x ≥ 0, o como -x si x < 0.

Sean a y x ς R, si  /X/ = a ↔ -a ≤ x ≤ a.

Desigualdad triangular: todo x e y ς R → /x + y/ ≤ /x/ + /y/.

Desigualdad de Cauchy-Scharaz:

Sean a1, (…) an, b1, (…), bn ς R → (∑ (ai bi) desde “i = 1″ hasta “n”)2 ≤ (∑ (a2i) desde “i = 1″ hasta “n”) (∑ (b2i) desde “i = 1″ hasta “n”). La igualdad se produce solo para: a k x + b k = 0 para todo valor de “k”.

Sea “S” un conjunto no vacío, se dice que “S” es numerable si es finito y si, siendo infinito, podemos establecer una correspondencia 1 a 1 entre los Z+ y los del conjunto.

Propiedad arquimediana: para todo a y b ς R // a > 0 existe n ς Z+ // n a > b.