Producto Mixto de tres vectores, Doble Producto Vectorial, Momento de un Vector Deslizante respecto a un punto.

Producto mixto de tres vectores:

  • A (B Λ C) = C (A Λ B) = B (C Λ A).

La interpretación geométrica de este producto es el volumen (V) del paralepípedo que forman los tres vectores, siendo B y C los vectores base y “n” el vector unitario de la altura:

  • V = S h = (B Λ C) |A| n = A (B Λ C).

, donde:

  • S = B Λ C y A n = |A| Cosσ.

, siendo σ el ángulo que forma A con la vertical. Así pues, es condición necesaria y suficiente para que tres vectores sean coplanarios que su producto mixto sea nulo (no tenga volumen).

Doble Producto vectorial:

  • A Λ (B Λ C) = B (C Λ A) – C (A Λ B)

Momento de un vector deslizante respecto a un punto:

Dado un vector deslizante “A” y un punto “O“, llamamos momento de ese vector respecto al punto “O” a un vector definido como:

  • M0 = r Λ A.

, siendo “r” el vector que une el punto O con el origen del vector deslizante.

  • ¬M0 = |¬r| |¬A| Senσ = ¬d Λ ¬A

, siendo “d” la distancia perpendicular entre el punto “O” y la recta deslizante del vector. Dada esta relación, el origen del vector que se tome será independiente del resultado.

A cada punto del espacio le corresponde un momento distinto, formándose lo que se llama un campo de momentos respecto al vector “A“.

El momento del vector “A” respecto al origen de coordenadas se llama momento principal.

Si tenemos un conjunto de vectores “Ai” aplicados sobre el mismo punto “P“, el momento de vectores respecto al punto “O” vendrá dado por:

  • M0 = [∑ (r Λ Ai)] desde “i = 1″ hasta “n” = r Λ [∑ Ai] desde “i = 1″ hasta “n”  = r Λ R, siendo “R” la resultante de los vectores.

Esto se conoce como Teorema de Varignon: El momento de la suma de varios vectores concurrentes es igual a la suma de los momentos componentes.

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