Estática de Fluidos: Presión y sus unidades, Ecuación Fundamental, Manómetro, Principio de Arquímedes y Peso Aparente.

Los fluidos se caracterizan porque carecen de elasticidad: no tienen forma propia sino que se adaptan al recipiente.

fluidoDentro del concepto de fluidos hemos de distinguir entre gases y líquidos: los gases carecen de volumen propio dado que son muy compresibles, entendiendo por compresividad la propiedad por la que un fluido sometido a una presión varía su volumen.

La diferencia fundamental entre un sólido rígido y un fluido estriba en que la moléculas de un fluido no están rigidamente unidas como en el caso de los sólidos, sino que pueden deslizarse unas respecto a otras sin más que vencer una pequeña fuerza de rozamiento entre capas adyacentes que llamamos viscosidad, y que es nula para los líquidos perfectos.

Los líquidos perfectos son aquéllos en los que las acciones tangenciales de rozamiento son nulas, de modo que para deformar un líquido perfecto el trabajo desarrollado es nulo.

Ésto equivale a decir que las acciones de contacto entre dos porciones A y B de una masa líquida , supuesta perfecta, deben ser normales a la superficie de separación.

Presión:

Cuando un cuerpo se sumerge en un líquido experimenta por parte de éste un bombardeo molécular que tiene lugar en todas direcciones. Este bombardeo es causa de la fuerza normal a la superficie del cuerpo y de módulo independiente de la orientación de dicha superficie en el seno del fluido, observándose además que aumenta de valor a medida que crece la profundidad a la que se encuentra sumergido.

  • P = F / S.

, la presión es igual a al módulo de la fuerza que actúa (generalmente el peso) dividido entre el módulo de la superficie afectada. Diferencialmente:

  • P = dF /dS.

, y vectorialmente:

  • d¬F = P d¬S.

isobarasLa presión se puede medir en varias unidades diferentes. Por ejemplo, en sistema cegesimal (gramo centímetro segundo), obtenemos que la presión se mide en dinas divididas entre centímetros cuadrados, lo que corresponde a una baria:

  • baria = dina /cm^2.

Un millón de barias hacen un bar:

  • bar = 10^6 baria.

, y una milésima parte de éste se corresponde con un milibar:

  • milibar = 10^-3 bar.

En el sistema internacional, la presión se mide en newtons partidos por metros cuadrados, lo que es igual a un pascal:

  • Pa = N / m^2.

Un pascal se corresponde con 10 barias.

Otra unidad es la atmósfera, que se corresponde con la presión ejercida por una columna de mercurio de 76 cm de altura y 1 cm2 de sección a 0º centígrados y a nivel del mar sobre otro cm2 de superficie.

  • 1 atm = 1,1013 x 10^6 barias = 1,013 x 10^5 Pa.

Ecuación Fundamental de la Estática de Fluidos:

Antes de empezar con este apartado, habrá que tener en cuenta que “¬f” será igual a la fuerza por unidad de masa del campo donde esté el elemento en cuestión, o sea, que “¬f” será una aceleración, a diferencia de “¬F”, que sigue siendo una fuerza.

Si “P” es la presión debida al resto del fluido en el punto diferencial de masa “M”, y si llamamos “dP” a la diferencia de presión entre los laterales “M1″ y “M2″ del mismo, se cumple que la presión parcial sobre “M1″ será igual a la total menos la semipresión diferencial:

  • PM1 = P – dP / 2.

, y algo similar obtendremos para “M2″.

La fuerza debida a la presión en la cara 1 será:

  • f1 m = P dS = (P – dP dy / 2 dy) dx dz.

, mientras que en la cara 2 será:

  • f2 m = (P + dP dy / 2 dy) dx dz.

La fuerza en la diercción del propio eje “y” será:

  • f  m = (f2 – f1) m

, que operando:

  • f m= 2 (dP dy dx dz / 2 dy) = dP dV / dy.

presionAsí pues, para cada eje “x”:

  • fx m = dP dV / dV.

, y la fuerza total sobre el cuerpo se expresa vectorialmente como:

  • ¬F = ∫((¬fx + ¬fy + ¬fz) dm) desde “m = 0″ hasta “m” = ∫((¬fx + ¬fy + ¬fz) ρ dV) desde “V= 0″ hasta “V”.

, siendo “ρ” la densidad volúmica.

Para que el elemento de fluido esté en equilibrio el sumatorio de fuerzas que actuén sobre él debe ser nulo:

  • ∑(¬fi) desde “i = 0″ hasta “n” = 0.

, por lo que las fuerzas parciales tienen que ser nulas. Para resolverlo, podemos simplificarlas:

  • Fx = fx dm = fx ρ dV = dP dV / dx.

, de donde:

  • ρ fx = dP / dx.

En resumen, obtenemos la Ecuación Elemental de la Estática de Fluidos:

  • ρ ¬f = ¬fx + ¬fy + ¬fz = dP (¬i / dx + ¬j / dy + ¬k / dz) = ¬gradP = ¬Å P.

, siendo “Å” una adaptación del operador nabla a wordpress.com.

Si el fluido se encuentra en un campo gravitatorio: ¬f = – ¬gradEp, y como simplificamos:

  • Ep = m g h.

, se cumple que:

  • ¬F = – mg ¬gradh.

, que si cambiamos por la fuerza por unidad de masa se reduce a:

  • ¬f = – g ¬gradh.

, y al variar “h” únicamente con el eje “OZ”:

  • ¬f = – g dh ¬k / dz.

Si ahora volvemos a la Ecuación Elemental:

  • ρ ¬F = ¬gradP.

, de donde:

  • ρ ¬f = ¬gradP.

, y sustituyendo:

  • - g dh ¬k / dz = dP ¬k / dz.

Por cálculo integral:

  • ∫(dP) = – g ρ ∫(dh).

, de donde:

  • P2 – P1 = g ρ (h1 – h2).

, o dicho de otro modo,

  • P2 = P1  + ρ g h.

, siendo “h” la profundidad aumentada. La diferencia de presión entre dos puntos de un fluido en equilibrio en el campo gravitatorio es igual, cualitativamente, al peso de una columna del mismo de sección 1 y altura igual a la distancia vertical que separa dichos puntos (m = ρ V, y V = base x altura, siendo la base 1 y la altura h, por lo que, cuantitativamente: V = h, y m = ρ V. Finalmente, el peso P = m g = ρ g h).

manometro1El Manómetro:

Supuesto el manómetro de la imagen adjunta, donde “P” es una presión absoluta del sistema y “Patm” es la presión atmosférica procedente del exterior, se cumple que la presión en ambos extremos del líquido será idéntica, por lo que, aplicando la ecuación antes vista:

  • P + ρ g  h1 = Patm + ρ g  h2.

, de donde:

  • P – Patm = ρ g d.

, siendo “d” la diferencia “h2 – h1″, denominada Presión Manométrica.

Principio de Arquímedes:

Si suponemos sumergido en un fluido un prisma ortogonal de dimensiones “a”, “b” y “c”, siendo “c” la altura del mismo, se cumple que la presión en su cara inferior será:

  • Pi = Patm + ρ g h.

, siendo “h” la profundidad de la altura, y en la cara superior:

  • Ps = Patm + ρ g (h – c).

Si multiplicamos la presión por la superficie de cada una de las caras, obtenemos una fuerza de dirección hacia arriba según las componentes de los vectores superficie “¬Si” y “¬Ss”.

  • Fi = (Patm + ρ g h) a b.

, y:

  • Fs = (Patm + ρ g (h – c)) a b.

Asimismo, la fuerza total de es:

  • F = Fi – Fs = ρ g a b c = ρ V g = E.

, siendo “E” la conocida Fuerza de Empuje.

empujeAsimismo, si multiplicamos el volumen desplazado de líquido por su densidad obtenemos su masa:

  • m = ρ V.

, y su peso será:

  • P = m g.

, por lo que:

  • E = Pfluido.

Todo cuerpo sumergido en el agua subre una fuerza ascensional igual al peso del volumen desplazado de fluido.

Peso Aparente:

Dada la igualdad:

  • E = Pfluido-desplazado.

, el peso aparente “Papa” de un cuerpo sumergido será igual al real menos el empuje:

  • Papa = P – E.

, siendo “P” el peso del cuerpo sumergido.

  • Papa = ρcuerpo V g – ρfluido V cuerpo = (ρcuerpo – ρfluido) V g.

Dada esta ecuación, el signo del peso aparente depende de las densidades de los dos cuerpos en interacción, pudiendo darse tres casos:

  • ρcuerpo > ρfluido, en cuyo caso el cuerpo se hundirá.
  • ρcuerpo < ρfluido, en cuyo caso el cuerpo flotará, y se cumplirá que: Pcuerpo = E, siendo el empuje en este caso: ρfluido Vsumergido g, y el volumen sumergido, despejando: Vsumergido = ρcuerpo Vcuerpo / ρfluido = mcuerpo / ρfluido.
  • ρcuerpo = ρfluido, en cuyo caso el cuerpo quedará en equilibrio.
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