Gases Ideales: Energía Interna del Gas Ideal, Ley de Joule, Ley de Mayer, Transformaciones Adiabáticas de un Gas Ideal.

Tal y como vimos en el tema anterior, en el caso de los gases existe una relación entre la presión “p”, el volumen “V”, la temperatura “T” y la masa “m” o cantidad de moles. Recordemos que el número de moles “n” se obtiene de la expresión:

  • n = m / Mmol.

, siendo “Mmol” la masa molar de las moléculas del compuesto en cuestión. Partiendo de esto, podemos hacer una relación entre el volumen extensivo “V” y el intensivo “v” a través del número de moles:

  • v = V / n.

rSi trazamos para el mismo gas la función “p v / T” frente a “p” para distintos valores de “T”, observamos que cuando la presión tiende a 0:

  • p v / T = R.

, siendo “R” una constante independiente de la temperatura. Despejando:

  • p v = R T.

, y sustituyendo el volumen intensivo:

  • p V = n R T.

, que sería la ecuación del gas ideal, donde:

  • R = 8,31 J / mol K.

isotermasSi ahora trazamos la gráfica de “p” frente a “v” para distintas temperaturas, las hipérbolas obtenidas serán denominadas isotermas, y tenderán a infinito mientras descienda la presión, disminuyendo hacia 0 cuando esta aumenta, ya que “p” y “v” son inversamente proporcionales:

  • p = R T / v.

Si obtenemos una mezcla de “N” gases ideales inertes de composiciones distintas “ni”, la ecuación se cumple para todos ellos en conjunto, pues obtenemos que:

  • p V = (∑(ni) desde “i=1″ hasta “N”) R T.

La presión parcial de cada uno de ellos será:

  • pi = ni R T / V.

, mientras que:

  • p = ∑(pi) desde “i=1″ hasta “N”.

Además:

  • pi / p = ni / n = xi.

, siendo “xi” un coeficiente particular para cada gas en la mezcla.

Energía Interna de un Gas Ideal. Ley de Joule:

Supongamos un sitema adiabático (que no intercambie calor con el exterior), dividido en dos recintos: uno vacío y el otro ocupado por un gas. Si dejamos al gas ocupar todo el recinto, al no haber intercambio de energía con ningún sistema no vacío, el trabajo y el calor son nulos, por lo que la energía inerna no aumenta, según el Primer Principio de la Termodinámica:

  • ΔU = Q + W = 0 + 0 = 0.

Así pues, la energía interna solo es función de la temperatura, porque la presión y el volumen no la alteran.

Intentemos en la gráfica adjunta calcular la variación de la energía entre el punto “i” y el punto “f”.

energia-internaComo la energía del gas es una función de estado, será independiente del proceso seguido, y podremos calcular su aumento parcialmente yendo primero del punto “i” al punto “a” por una isoterma, que por la Ley de Joule no variará su energía, y después avanzar desde “a” hasta “f” por una isocora:

  • ΔU = (Q)v + (W)v = (Q)v + 0 = n Cv ΔT.

Es decir, el aumento de energía en un proceso isocorico depende del calor y el trabajo a volumen constante, siendo el segundo nulo según vimos en el tema antrerior, y el primero igual al calor específico, que depende del aumento de temperatura.

Un caso similar obtenemos si queremos calcular la entalpía, que desde “i” hasta “b” se define como:

  • ΔH = Ub + pb Vb – Ui – pi Vi.

Como en una isoterma la energía interna y el producto “p v” son constantes, todos los términos se anulan mutuamente, y ésta toma el valor del calor específico a  presión constante entre “a” y “f”:

  • ΔH = n Cp ΔT.

Ley de Mayer:

  • dH = dU + dp dV = dU + n R dT.

Si sustituimos en ambos miembros, obtenemos:

  • n Cp dT = n Cv dT + n R dT.

, de donde se simplifica:

  • Cp – Cv = R.

“Cp > Cv” siempre se cumple, y su diferencia es “R”.

Para gases monoatómicos (helio, neón…):

  • Cp = 5 R / 2 y Cv = 3 R / 2.

Para gases diatómicos (oxígeno, nitrógeno…):

  • Cp = 7 R / 2 y Cv = 5 R / 2.

Transformaciones Adiabáticas de un Gas Ideal. Fórmula de Reech:

Dado que en un proceso adiabático:

  • d‾Q = 0.

, se cumple siempre que:

  • dU = d‾Q + d‾W = d‾W.

, y como para un gas ideal:

  • dU = n Cv dT.

, se obtiene la igualdad:

  • n Cv dT = d‾W = – p dV.

, de donde:

  • dT / T = – R dV / Cv V.

Si consideramos el coeficiente adiabático:

  • γ = Cp / Cv.

, que vale 5 / 3 para los gases monoatómicos y 7 / 5 para los gases diatómicos. Como:

  • Cp – Cv = R.

, si simplificamos por “Cv”:

  • Cp / Cv – 1 = R / Cv.

De aquí, si sustituimos e integramos en la ecuación anterior:

  • ∫(dT / T) desde “Ti” hasta “Tf” = – (γ – 1) ∫(dV / V) desde “Vi” hasta “Vf”.

, de donde:

  • Ln (Tf / Ti) = - (γ – 1) Ln (Vi / Vf).

, y de donde:

  • T2 / T1 = (V1 / V2)^ (γ – 1).

, o lo que es lo mismo:

  • T2 V2^(γ – 1) = T1 V1^(γ – 1) = cte.

, y dado que:

  • T = p V / n R = p cte.

, se deduce que:

  • p V^γ = cte.

Pendiente de la Isoterma y de la Adiabática:

pendienteSi representamos ambas curvas en la misma gráfica, y analizamos sus ecuaciones: isoterma:

  • p V = cte.

; adiabática:

  • p V^γ = cte.

, y posteriormente las derivamos, obtenemos sus pendientes.

En la isoterma:

  • dp / dV + p dV / dV = 0.

, lo que implica que:

  • dp / dV = – p / V.

En la adiabática:

  • dp V^γ / dV + p dV^γ / dV = dp V^γ / dV + p γ = 0.

, lo que implica que:

  • dp / dV = – p γ / V.

La pendiente de la adiabática es “γ” veces más inclinada.

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Comments
2 Responses to “Gases Ideales: Energía Interna del Gas Ideal, Ley de Joule, Ley de Mayer, Transformaciones Adiabáticas de un Gas Ideal.”
  1. bobii* dice:

    necesito mas informacion concreta porfavor..!! algo como ..menos complicado..pero completo..y bien definido

  2. Edher dice:

    hola como están, bueno tendré una exposición acerca de procesos reversibles, vaporización reversible de un liquido, expansión isotérmica reversible de gases ideales y energía interna del gas ideal. lo que busco es que necesito información de como hacer captar a mis compañeros esos temas, con ejemplos y unos conceptos claros y bien comprensivos, quisiera que me apoyen con la información necesaria, se los agradecería mucho.

    Atte: Edher tueros yace

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