Estudio General de las Cónicas y las Cuádricas.

En anteriores capítulos hemos tratado la geometría analítica en el plano y en el espacio, y consecuentemente las curvas cónicas y las cuádricas. Haremos ahora, pues, un análisis detallado de las mismas.

Análisis General de las Cónicas:

Hasta el momento habíamos considerado las tres cónicas fundamentales a partir de sus ecuaciones reducidas. Estas ecuaciones son de segundo grado en las coordenadas “x” e “y”. Si cambiamos el origen de corrdenadas o rotamos los ejes, las ecuaciones reducidas de las cónicas se transforman en ecuaciones de segundo grado. Consideremos la ecuación general:

  • a1 x^2 + a2 y^2 + 2 b x y + 2 c1 x + 2 c2 y + d = 0.

Esta ecuación se puede escribir de forma matricial como:

  • [x, y] [a1, b; b, a2] [x; y] 2 [c1, c2] [x; y] + d = 0.

, o bien:

  • Pt A P + 2 Bt P + c = 0.

, donde la “t” junto a una matriz indica traspuesta, es decir, las filas intercambiadas por las culumnas, y:

  • P = [x; y].
  • B = [c1; c2].
  • A = [a1, b; b, a2].

De una forma más compacta:

  • [1, x, y] [d, c1, c2; c1, a1, b; c2, b, a2] [1, x, y] = 0.
  • Qt M Q = 0.
  • Q = [1; x; y].

El lugar geométrico de los puntos (x, y) que verifican la ecuación anterior respecto a un sistema de coordenadas concreto se denomina cónica. En general, pediremos que:

  • [a1, b; b, a2] ≠ [0, 0; 0, 0].

, ya que en caso contrario tendríamos la ecuación de una línea recta en el plano. Adoptaremos la notación:

  • M = [d, c1, c2; c1, a1, b; c2, b, a2].
  • A = [a1, b; b, a2].

La matriz “A” es simétrica. A la matriz “M” se la denomina matriz de la cónica, mientras que a “A” la denominamos matriz de los términos cuadráticos.

Cónica Ordinaria y Cónica Degenerada:

Si una cónica cumple que:

  • detM ≠ 0.

, se la denomina cónica ordinaria, y será en general una elipse, una hipérbola o una parábola.

Si una cónica cumple que:

  • detM = 0.

, se la denomina cónica degeneradam y será la ecuación de un punto, un par de rectas, o tal vez no tendrá solución real.

Ecuación Reducida de las Cónicas:

Consideremos una cónica de ecuación:

  • a1 x^2 + a2 y^2 + 2 b x y + 2 c1 x + 2 c2 y + d = 0.

, o bien en forma matricial:

  • [1, x, y] [d, c1, c2; c1, a1, b; c2, b, a2] [1, x, y] = 0.

Sabemos, además, que siempre existe una rotación de ejes que diagonaliza la matriz de los términos cuadráticos:

  • A = [a1, b; b, a2].

Sea entonces ésta la transformación:

  • x’ = Cosσ x – Senσ y.
  • y’ = Senσx + Cosσ y.

En las nuevas coordenadas:

  • A’ = [λ1, 0; 0, λ2].

, y la ecuación de la cónica se escribe como:

  • λ1 (x’)^2 + λ2 (y’)^2 + 2 α x’ + 2 β y’ + γ = 0.

Consideremos los casos:

.- λ1, λ2 ≠ 0:

Podemos entonces trasladar el origen de coordenadas de modo que en unas nuevas coordenadas (x”, y”) la ecuación sea:

  • λ1 (x”)^2 + λ2(y”)^2 + k = 0.

Basta tomar:

  • x’ = x” – α / λ1.
  • y’ = y” – β / λ2.

, y sustituirlo en la ecuación general:

  • λ1 (x’)^2 + λ2 (y’)^2 + 2 α x’ + 2 β y’ + γ = 0.

, de donde:

  • λ1 (x”)^2 + λ2(y”)^2 + k = 0.

, con:

  • k = γ – α^2 / λ1 – β^2 / λ2.

En este nuevo sistema de ejes:

  • M” = [k, 0, 0; 0, λ1, 0; 0, 0, λ2].
  • A” = [λ1, 0; 0, λ2].

, por tanto:

  • detM” = ρ^3 detM.
  • detA” = ρ^2 detA.
  • λ1 = ρ λ1.
  • λ2 = ρ λ2.

De aquí obtenemos:

  • ρ = 1.

, y además:

  • k λ1 λ2 = detM.
  • λ1 λ2 = detA.
  • k = detM / detA.

Llegamos a la ecuación reducida:

  • λ1(x”)^2 + λ2 (y”)^2 + detM / detA = 0.

Los tipos de cónicas descritas por esta ecuación reducida son elipses e hipérbolas, y pares de rectas concurrentes:

Elipses:

  • λ1 > 0.
  • λ2 > 0.
  • detM / detA < 0.
  • λ1 < 0.
  • λ2 < 0.
  • detM / detA > 0.

Elipses Imaginarias:

  • λ1 > 0.
  • λ2 > 0.
  • detM / detA > 0.
  • λ1 < 0.
  • λ2 < 0.
  • detM / detA > 0.

Hipérbolas:

  • λ1 > 0.
  • λ2 < 0.
  • detM / detA ≠ 0.
  • λ1 < 0.
  • λ2 > 0.
  • detM / detA ≠ 0.

Pares de rectas:

  • λ1 λ2 < 0.
  • detM = 0.

Origen:

  • λ1 λ2 > 0.
  • detM = 0.

.-Alguno de los Autovalores de “A” es nulo.

Sin pérdida de generalidad, podemos considerar:

  • λ1 = 0.
  • λ2 ≠ 0.

Si consideremos la ecuación en el sistema en que “A” es diagonal tendremos:

  • λ2 (y’)^2 + 2 α x’ + 2 β y’ + γ = 0.

Hacemos el cambio:

  • y’ = y” – β / λ2.
  • x’ = x”.

Denotando:

  • k = γ – β^2 / λ2.

tenemos:

  • λ2 (y”)^2 + 2 α x” + k = 0.

Hagamos ahora el cambio:

  • y”’ = y”.
  • x”’ = x” + k / (2 α).
  • λ2 (y”’)^2 + 2 α (x”’ – k / (2 α)) + k = 0.
  • λ2 (y”’)^2 + 2 α x”’ = 0.
  • M”’ = [0, α, 0; α, 0, o; 0, 0, λ2].
  • A”’ = [0, 0; 0, λ2].
  • detM”’ = – α^2 λ2 = ρ^3 det M.
  • λ2 = ρ λ2.

Entonces tenemos de nuevo:

  • ρ = 1.

, y:

  • α^2 = – detM / λ2 > 0.

Por tanto la ecuación de la cónica será:

  • λ2 (y”’)^2 + 2 [- detM / λ2]^1/2 x”’ = 0.

En esta ecuación los dos signos de la raíz son posibles.

Parábolas:

  • detM ≠ 0.

Rectas:

  • detM = 0.

Estudio General de las Cuádricas:

Denominaremos cuádrica al lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas (x, y, z) satisfacen una ecuación del tipo:

  • a1 x^2 + a2 y^2 + a3 z^2 + 2 b1 yz + 2 b2 xz + 2 b3 xy + 2 c1 x + 2 c2 y + 2 c3 z + d = 0.

En forma matricial la escribimos como:

  • [1, x, y, z] [d, c1, c2, c3; c1, a1, b3, b2; c2, b3, a2, b1; c3, b2, b1, a3] [1; x; y; z] = 0.
  • Qt M Q = 0.

Denominamos matriz de la cuádrica y matriz de los términos cuadráticos, respectivamente, a:

  • M = [d, c1, c2, c3; c1, a1, b3, b2; c2, b3, a2, b1; c3, b2, b1, a3].
  • A = [a1, b3, b2; b3, a2, b1; b2, b1, a3].

También podemos escribir la cuádrica de la siguiente manera:

  • [x, y, z] A [x; y; z] + 2 [c1, c2, c3] [x; y; z] +d = 0.
  • Pt A P + 2 Ct + d = 0.

Si:

  • detM ≠ 0.

, tendremos una cuádrica ordinaria: un elipsoide, un hiperboloide o un paraboloide.

Si:

  • detM = 0.

, tendremos una cuádrica degenerada: un cono, un cilindro o un par de planos.

Ecuaciones Reducidas de las Cuádricas:

Consideremos un cierto sistema de ejes y sea la cuádrica con ecuación:

  • a1 x^2 + a2 y^2 + a3 z^2 + 2 b1 yz + 2 b2 xz + 2 b3 xy + 2 c1 x + 2 c2 y + 2 c3 z + d = 0.

Como “A” es una matriz simétrica diagonalizable, para una cierta transformación ortogonal cumplirá que:

  • A = [λ1, 0, 0; 0, λ2, 0; 0, 0, λ3].

En estas nuevas coordenadas, la cuádrica se escribe como:

  • λ1 (x’)^2 + λ2 (y’)^2 + λ3 (z’)^2 + 2 α x’ + 2 β y’ + 2 γ z’ + δ = 0.

.-Si ninguno de los autovalores es nulo:

Podemos hacer los cambios:

  • x’ = x” – α / λ1.
  • y’ = y” – β / λ2.
  • z’ = z” – γ / λ3.

Con lo cual obtenemos:

  • λ1 (x’)^2 + λ2 (y’)^2 + λ3 (z’)^2 + k = 0.
  • M” = [k, 0, 0, 0; 0, λ1, 0, 0; 0, 0, λ2, 0; 0, 0, λ3].
  • detM” = ρ^4 detM.
  • detA” = ρ^3 detA.
  • λ1 = ρ λ1.
  • λ2 = ρ λ2.
  • λ3 = ρ λ3.

Por lo tanto:

  • ρ = 1.

, y obtenemos:

  • k = detM / detA.

La ecuación reducida de la cuádrica es entonces:

  • λ1 (x’)^2 + λ2 (y’)^2 + λ3 (z’)^2 + detM / detA = 0.

Y ésta será en general un hiperboloide, un elipsoide o un cono.

.-Supongamos que un Autovalor es Nulo:

Podemos tomar sin pérdida de generalidad:

  • λ3 = 0.

Entonces la ecuación de la cuádrica es:

  • λ1 (x’)^2 + λ2 (y’)^2 + 2 α x’ + 2 β y’ + 2 γ z’ + δ = 0.

Haciendo los cambios:

  • x’ = x” – α / λ1.
  • y’ = y” – β / λ2.
  • z’ = z”.

, obtenemos:

  • λ1 (x”)^2 + λ2 (y”)^2 + 2 γ z” + k = 0.

Como para que sea una cuádrica:

  • detM ≠ 0.

, vemos que la matriz M” es:

  • [k, 0, 0, γ; 0, λ1, 0, 0; 0, 0, λ2, 0; γ, 0, 0, 0].

Tenemos:

  • detM” = – γ^2 λ1 λ2 ≠ 0.

, y consecuentemente:

  • γ ≠ 0.

, y podemos hacer el cambio:

  • z” = z”’ – k / (2 γ).

, con lo cual obtenemos la ecuación:

  • λ1 (x”’)^2 + λ2 (y”’)^2 + 2 γ z’ ” = 0.

Podemos obtener “γ” en función de “detM”, “λ1″ y “λ2″:

  • detM”’ = – ρ γ^2 λ1 λ2 = detM.
  • λ1 = ρ λ1.
  • λ2 = ρ λ2.

, por tanto:

  • ρ = 1.

y despejamos “γ”:

  • γ^2 = – detM / (λ1 λ2).
  • γ = [- detM / (λ1 λ2)]^1/2.

, con lo que la ecuación reducida se escribe como:

  • λ1 (x”’)^2 + λ2 (y”’)^2 + 2 [- detM / (λ1 λ2)]^1/2 z’ ” = 0.

, y es un paraboloide elíptico o hiperbólico.

About these ads
Comments
One Response to “Estudio General de las Cónicas y las Cuádricas.”
  1. Will Aguilera dice:

    Excelente trabajo. Te felicito!

Preguntas, correcciones y debate son bien recibidos.

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

Seguir

Recibe cada nueva publicación en tu buzón de correo electrónico.

Únete a otros 120 seguidores

%d personas les gusta esto: