Ecuación de la Catenaria

Este curso he de admitir que una de las mayores sorpresas que me he llevado en clase ha sido la ecuación de la curva Catenaria, que es la que describe la forma en la que una cuerda se dobla por acción de la gravedad, y en la cual se basan las formas de los puentes colgantes y algunos arcos de piedra.

Para entender completamente esta entrada será preciso saber la teoría de curvas recién publicada aquí y los conceptos elementales de tensión y peso de la mecánica de Newton.

Pues bien, a simple vista, por lo menos para mí, parece que la forma de estas cuerdas es la de una parábola, es decir, que seguiría una trayectoria de la forma:

  • y = a x^2 + b x + c.

, pero resulta que no es así.

Consideremos que la ecuación de nuestra curva “c” está parametrizada sobre su longitud de arco, es decir, sobre su parámetro natural “s”. Sabemos pues, por teoría de curvas, que:

  • v = c’ = (cx’, cy’) = (Cosσ, Senσ).

, para algún valor de “σ”, puesto que el módulo es unitario.

Ahora bien, la dirección de “v” debe de ser la misma que la de la tensión de la cuerda “T” en el punto, de modo que:

  • T = |T| v = T v.

Y sabemos que el peso de un tramo de cuerda de longitud “s” es:

  • P = (0, – m g) = (0, – g ∫λ ds).
  • P’ = (0, – λ g).

, donde “λ” representa la densidad lineal de masa. Asimismo, sabemos que la suma de fuerzas sobre todos los puntos de la catenaria tiene que ser 0 para que se quede estática. Considetemos un punto de la catenaria con tensión “T(s)” y otro próximo “T(s + Δs)“, el peso de la cuerda en este tramo será:

  • P = (0, – g λ Δs).

, y debe compensar la diferencia entre las tensiones, es decir:

  • T(s + Δs)T(s) = – P.

Si dividimos entre “Δs” y consideramos el limite en el que se aproxima a 0, obtenemos:

  • T’ = – P’.
  • T’ = (0, λ g).
  • T = ∫(0, λ g) ds = (T0, λ g s).
  • T = |T| = (T0^2 + λ^2 g^2 s^2)^(1/2).

Y como:

  • T = T v.

Obtenemos:

  • (T0, λ g s) = (T0^2 + λ^2 g^2 s^2)^(1/2) (Cosσ, Senσ).
  • T0 = (T0^2 + λ^2 g^2 s^2)^(1/2) Cosσ.
  • Cosσ = T0 / (λ g) / ((T0 / λ g)^2 + s^2)^(1/2).
  • λ g s = (T0^2 + λ^2 g^2 s^2)^(1/2) Senσ.
  • Senσ = s / ((T0 / λ g)^2 + s^2)^(1/2).

Consideramos:

  • T0 / λ g = α.

Y en resumen, tenemos:

  • cx’ = Cosσ = α / (α^2 + s^2)^(1/2).
  • cy’ = Senσ = s / (α^2 + s^2)^(1/2).

Si ahora queremos obtener la ecuación de la catenaria, ¡tan solo hay que integrar! La integral de la componente “cy” es directa, porque tenemos una potencial abajo multiplicada por su derivada:

  • cy = ∫s ds / (α^2 + s^2)^(1/2) = (α^2 + s^2)^(1/2) + y0.

La integral de “cx” es más complicada porque no tenemos arriba la derivada, y por lo tanto deja de ser una integral directa:

  • cx = ∫α ds / (α^2 + s^2)^(1/2) entre “0” y “s”.

Como tenemos la raíz de una suma dividiendo recurriremos a la trigonometría hiperbólica para librarnos de ello, de modo que aplicando:

  • (Coshσ)^2 = 1 + (Senhσ)^2.

, forzamos:

  • s = α Senhσ.
  • ds / dσ = α Coshσ.
  • ds = α Coshσ dσ.
  • σ = Arcosenh(s / α).

Haciendo las sustituciones en la integral, la parte de arriba y la parte de abajo se transforman como sigue:

  • α ds = α^2 Coshσ dσ.
  • (α^2 + s^2)^(1/2) = (α^2 + (a Senhσ)^2)^(1/2) = α (1 + (Senhσ))^2 = α Coshσ.

, por tanto:

  • α ds / (α^2 + s^2)^(1/2) = α^2 Coshσ dσ / α Coshσ = α dσ.

y la integral resulta:

  • cx = ∫α ds / (α^2 + s^2)^(1/2) entre “0” y “s” = ∫α dσ entre “0” y “Arcosenh(s / α)”.
  • cx = α Arcosenh(s / α) + x0.

Y en conclusión, la catenaria se describe como:

  • c = (α Arcosen(s / α) + x0, (α^2 + s^2)^(1/2) + y0).

De aquí todavía no podemos concluir que no sea una parábola, pues para ello debemos parametrizar la curva sobre la coordenada “cx”, haciendo un cambio de variable que obtenemos de su propia ecuación:

  • cx = α Arcosenh(s / α) + x0.
  • Arcosenh(s / α) = (cx – x0) / α.
  • s = α Senh((cx – x0) / α).

y lo aplicamos en la ecuación de “cy”:

  • cy = (α^2 + s^2)^(1/2) + y0.
  • cy = (α^2 + (α Senh((cx – x0) / α))^2)^(1/2) + y0.
  • cy = α Cosh((cx – x0) / α) + y0.

En conclusión, la ecuación plana de la catenaria es:

  • y = α Cosh((x – x0) / α) + y0.

Parece que definitivamente no tiene mucho sentido compararla con una parábola, pero no obstante vamos a demostrar que de veras existen analogías con una parábola de la forma:

  • y = a x^2 + b x + c.

Presupongo que es sabido que cada coeficiente de la parábola está asociado a una propiedad de la misma: “c” nos da la altura inicial de la misma, “b” indica si el vértice de la parábola ha sido desplazado o no, y “a” nos da una idea de la inclinación.

Análogamente, en la catenaria sabemos que cuando:

  • ((x – x0) / α) = 0.

el coseno hiperbólico vale 1, y por tanto, la altura será “α + y0″. Además, el valor de “x0″ desplaza el valor de “x” para el cual sucede esto.

Para que ambas curvas cumplan:

  • y'(0) = 0.
  • y(0) = 1.

exigiremos, entonces:

  • α = 1.
  • x0 = 0.
  • y0 = 0.
  • b = 0.
  • c = 1.

Quedándonos con la catenaria y la parábola del siguiente modo:

  • y = Cosh(x).
  • y = a x^2 + 1.

Si nuestra intuición no nos falla, debería existir un valor de “a” para el cual ambas curvas sean prácticamente iguales en una región más o menos próxima al vértice, es decir, la parte de la catenaria que apreciamos en una cuerda. Si encontramos este valor de “a”, ¡podremos concluir que la parábola es una excelente aproximación de la catenaria! y , por tanto, que no era tan malo pensar que era este tipo de curva a la que nos enfrentábamos.

Procedamos a calcular los 3 primeros términos de la serie de Taylor del coseno hiperbólico, recordando que la serie de Taylor en torno a un punto “c” de la función se define como la imagen del punto más la suma infinita de las derivadas i-ésimas, multiplicadas por la potencia i-ésima de la diferencia entre “x” y “c”, dividido todo ello entre el factorial de “i”:

  • f(x) = f(c) + ∑(f^i(c) (x – c)^i / i!).

Como vamos a hacer la serie de Taylor en el entorno del vértice, tomaremos un valor nulo de “c”, de modo que:

  • f(x) = f(0) + ∑(f^i(0) (x – 0)^i / i!).

Sustituyendo:

  • Cosh(x) = Cosh(0) + ∑(f^i(0) x^i / i!).

Y como solo queremos los 3 primeros términos, nos queda:

  • Cosh(x) ≈ Cosh(0) + Senh(0) x / 1 + Cosh(0) x^2 / 2.
  • Cosh(x) ≈ 1 + x^2 / 2.

De modo que ya tenemos “a”:

  • Cosh(x) ≈ 1 + x^2 / 2 = a x^2 + 1.
  • a = 1 / 2.

La parábola que mejor se aproxima al coseno hipérbolico es:

  • y = x^2 / 2 + 1.

Veamos ahora en qué momento la diferencia “h” entre ambas curvas es, por ejemplo, “1”, que ya empieza a ser un error importante, para ello, veremos los distintos valores de “h” según los valores de “x”:

  • h = Cosh(x) – x^2 / 2 – 1.
  • x = 0 → h = 0.
  • x = 0.1 → h = 0.0000042.
  • x = 0.2 → h = 0.000067.
  • x = 0.3 → h = 0.00034.
  • x = 0.4 → h = 0.0011.
  • x = 0.5 → h = 0.0026.
  • x = 0.6 → h = 0.0055.
  • x = 0.7 → h = 0.010.
  • x = 0.8 → h = 0.017.
  • x = 0.9 → h = 0.028.
  • x = 1.0 → h = 0.043.
  • x = 1.1 → h = 0.064.
  • x = 1.2 → h = 0.091.
  • x = 1.3 → h = 0.13.
  • x = 1.4 → h = 0.17.
  • x = 1.5 → h = 0.23.
  • x = 1.6 → h = 0.30.
  • x = 1.7 → h = 0.38.
  • x = 1.8 → h = 0.49.
  • x = 1.9 → h = 0.61.
  • x = 2.0 → h = 0.76.
  • x = 2.1 → h = 0.94.
  • x = 2.2 → h = 1.1.

La diferencia tarda bastante en tomar valores grandes (bastante para ser una aproximación cuadrada en serie de Taylor, entiéndase), por lo que, en conclusión, podemos sentirnos satisfechos.

En resumen, si alguna vez habéis discutido sobre si la curva que hacía la gravedad con las cuerdas era una parábola y después os han demostrado que no, sabed que con la precisión que tiene el ojo es una observación excelentemente buena.

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