Métodos Matemáticos I (6): Topología Euclidiana o de los espacios multidimensionales de Euclides, análisis topológico.

Sea n ς N, a un punto ordenado de “n” números reales se le llama  punto n-dimensional vector de “n” componentes, y aquí los denotaremos por “¬”: ¬x, ¬ y, ¬z. Así pues, ¬x se definiría como: x1, x2, x3,…,xn, y a xk se le denominaría k-ésima componente de ¬x. Al conjunto de todos los puntos n-dimensionales de le llama R^n o Espacio Euclídeo n-dimensional.

Como recordaréis, en este blog he recurrido al Espacio Euclídeo para tratar la Relatividad y la Teoría de Cuerdas. Si este espacio posee una dimensión decimos que es una recta, si posee dos será un plano, si posee tres será el espacio que se suele tratar en geometría tridimensional, si posee cuatro será el espacio-tiempo (más o menos), si posee cinco podría ser una generación universal, etc (ver “Teoría de los Multiversos”).

Los vectores n-dimensionales de un Espacio Euclídeo cumplen las siguientes propiedades:

• Igualdad: si ¬x = ¬y → x1 = y1; x2 = y2…
• Suma:  ¬x + ¬y = (x1 + y1, x2 + y2, …)
• Multiplicación por escalares: a ¬x = (ax1, ax2, …)
• Diferencia: ¬x – ¬y = ¬x + (-1) ¬y.
• Vector nulo u origen: ¬0 = 0, 0, …
• Producto interior o producto escalar: ¬x ¬y = x1 y1 + x2 y2 + …
• Norma o Longitud Euclídea del vector: |¬x| = [¬x ¬x]^½ = [∑(¬x ¬x) desde "i = 1" hasta "n"]^½
• La distancia entre ¬x e ¬y se define como: |¬x – ¬y|.

El vector coordenado unitario uk ς R^n es el vector cuya componente k-ésima vale 1 y el resto vale 0, y se cumple que:

• ui uj = 0 si i ≠ j.

, pero:

• ui uj = 1 si i = j.

Sean “x” e “y” ς R^n, y sea a ς R:

• |a ¬x| = |a| |¬x|
• |¬x – ¬y| = |¬y – ¬x|
• |¬x ¬y| = |¬x| |¬y|
• |¬x + ¬y| ≤ |¬x| + |¬y|. Ésta última es la Desigualdad de Minkowski.

Espacio de Banach:

Es un espacio vectorial “M” sobre un cuerpo “K” que está dotado de una función de “M” en “K”, y que satisface las siguientes propiedades, siendo “x” e “y” ς M:

• |¬x| > 0 y |¬x| = 0 ↔¬x = ¬0.
• |a ¬x| = |a| |¬x|, si a ς K.
• |¬x + ¬y| ≤ |¬x| + |¬y|.

Espacio Métrico:

Un conjunto M ≠ 0 de objetos dotado de una función d (M, M), denominada métrica del espacio, que satisface:

• Si x ≠ y →, ó d(x, y) > 0, ó d(x, y) = 0.
• d(x, y) = d(y, x).
• d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z).

Sea ¬a ς R y sea r ς R // r > 0, se define Bola Abierta de centro ¬a y radio “r” al conjunto de puntos // d(r, a) < r: B (¬a, r). En una dimensión:

• B (¬a, r) = (a – r, a + r) = x ς R // a – r < x < a + r.

, y en dos dimensiones:

• B (¬a, r) = x1, x2 ς R // (x1 – a1)^2 + (x2 – a2)^2 < r.

Sea S ς R^n y sea ¬a ς S → ¬a se denomina Punto Interior de “S” si existe una Bola Abierta centrada en ¬a y contenida en “S”.

Sea S ς R^n, el Interior de “S” es el conjunto de todos los Puntos Interiores:

• Sº = S.

Sea S ς R^n, “S” es un Conjunto Abierto si:

• S = Sº.

Un espacio topológico “X” es un conjunto de objetos junto con una colección de subconjuntos de “X” que vamos a denotar por “Y” = Xα, satisfaciones que:

• El vacío pertenece a Y
• X ς Y
• La unión de una subcolección arbitraria de “Y” pertenece a “Y”.
• La intersección de una colección infinita de elementos de “Y” pertenece a “Y”.
• A los elementos de “Y” se les llama Conjuntos Abiertos.

R^n es un Espacio Topológico → La unión de una colección arbitraria de Abiertos de R^n es un Abierto, y la intersección de los mismos es finita.

Un conjunto S ς R es Cerrado si su complementario es Abierto.

La unión de una colección finita de conjuntos cerrados es cerrada, al igual que la intersección de una colección arbitraria de conjuntos cerrados.

Sea S ς R^n y sea ¬x ς R^n, se dice que ¬x es Adherente a “S” si toda Bola Cerrada en ¬x contiene al menos un punto de “S”.

• AdhS = S¯.

Al conjunto de todos los puntos Adherentes se le llama Adherencia.

Sea S ς R^n sea ¬x ς R^n, se dice que ¬x es un Punto de Acumulación de “S” si cada Bola B(x) contiene por lo menos un punto de “S” distinto de ¬x.

Al conjunto de todos los Puntos de Acumulación se le llama Conjunto Derivado.

Sea ¬x un conjunto de acumulación de S ς R^n → cada Bola B (x) tiene infinitos puntos de “S”.

Si un conjunto tiene un Punto de Acumulación, es conjunto es infinito.

Sea “S” un conjunto de R^n → “S” es cerrado si S¯ ς S.

Teorema de Encaje de Cantor:

Sean Q1, Q2… una colección de R^n numerable de conjuntos no vacíos tales que Qk+1 ς Qk, y que cada uno de los Qk es cerrado y Q1 acotado → Una colección “F” de conjuntos se denomina Recubrimiento de un  conjunto S ς R^n si S ς unión de los conjuntos.

Teorema del Recubrimiento de Linde Löf:

Sea S ς R^n y “F” un Recubrimiento Abierto de “S” →Existe una subcolección numerable que también recubre a “S”.

Teorema de Heine-Borel:

Sea S ς R^n cerrado y acotado, y sea “F” un Recubrimiento Abierto de “S” → Existe una subcolección numerable que también recubre a “S”.

Sea S ς R^n, se dice que “S” es conjunto si todo Recubrimiento Abierto de “S” contine un Recubrimiento finito.

Sea S ς R^n, “S” es Compacto → “S” es Cerrado y acotado.

Sea S ς R^n, y ¬x ς R^n →¬x es un Punto frontera de “S” si cada Bola centrada en el punto ¬x contiene al menos un punto de “S” y un punto de R^n – S:

• FronS = S¯ – Sº.
  

Métodos Matemáticos I (5): Números Complejos: Ecuación de Euler, Forma Exponencial Compleja, Raíces, Logaritmos, Senos/Cosenos Hiperbólicos y Teorema Fundamental del álgebra.

Los números complejos se caracterizan por tener una parte real “a” y otra imaginaria “b”. La parte imaginaria indica el número de veces que aparece el número imaginaio “i”. i = [-1]^½.

El conjunto de los números complejos s denomina “C”.

“C” cumple los axiomas de cuerpo.

En “C” no se cumple la relación de orden definida para los números reales.

Dado un número complejo z / z = a + b i → el número complejo conjugado de “z” es:

• z’ = a – b i

, y se cumple que:

• (z1 + z2)’ = z1′ + z2′
• que (z1 z2)’ = z1′z2′
• z z’ = a^2 + b^2; z + z’ = 2 a
• z – z’ = 2 b i2 = – 2 b.

Módulo o valor absoluto de un número compejo:

|z| = [a2 + b2]^½.

Propiedades del valor absoluto del módulo de un número complejo:

• si z ≠ 0 → |z| > 0.
• |z| = 0 → z = 0.
• |z1 + z2| =|z1| + |z2|.
• |z1 – z2| = |z2 – z1|.
• |z1 z2| = |z1| |z2|.
• |z1 : z2| = |z1| : |z2|.
• z z’ = |z|2.

Podemos representar números complejos en una gráfica si ubicamos la parte rela en el eje “x” y la parte imaginaria en el eje “y”: obteniéndose varias relaciones elementales:

• TgΦ = b / a; SenΦ = b : |z|.
• CosΦ = a : |z|.

La ecuación de Euler, además, implica que:

• e^iΦ = CosΦ + i SenΦ.

Esta ecuación es muy especial para los matemáticos más emotivos, ya que para un ángulo de π radianes implica que:

• e^iπ = Cosπ + i Senπ = -1 + 0.

, y en resumen:

• e^iπ + 1 = 0.

Esta ecuación es considerada una de las más bellas de la matemática, ya que implica a los dos números más basicos, que son el 1 y el 0, a los tres números especiales “π”, “e” e “i”, una operación tan elemental como es la suma y la igualdad.

Visto esto, un número complejo se puede expresar de varias formas:

• (a, b) = a + b i =  |z| (CosΦ + i SenΦ) = |z| e^iΦ.

El argumento de un número complejo es el valor de su ángulo Φ.

Forma exponencial compleja:

• e^z = e^a e^bi = e^a (Cosb + i Senb)

Potencias n-ésimas: Sea z ς C / z ς Z+ → Z^n = (r^iΦ)^n = r^n e^2nΦ.

Raíces n-ésimas: Si z ς C / z ≠ 0 / n ς Z+ → esxisten números u ς C / u ≠ u’, llamados z0, z1, z2, z3…, denomndados raíces de “z”, que verifican que (zk)^n = Z, siendo “k” = N.

• zk = [z]1/n = e^i arg(zk) = [|z|]1/n.

• Arg(zk) = (arg(z) + 2 π k) / n.

Logaritmos complejos:

Existen otros números complejos wi ς C !! e^w = z // logaritmo principal de z = wp = Ln|z| + i argp(z).

Seno y Coseno hiperbólicos:

• Senh(z) = (i e^-y – i e^y) / -2.

• Cosh(z) = (e^-y + e^y) / 2.

Teorema Fundamental del Álgebra:

Un polinomio de grado “n” con coeficientes reales tendrá “n” raíces que pueden ser reales y/o complejas, y las complejas aparecen siempre como pares conjugados. Todo polinomio tiene solución.

Métodos Matemáticos I (4): Propiedades del Supremo, aproximaciones decimales finitas, valor absoluto, desigualdad de Cauchy-Scharaz y numerabilidad.

Propiedades del supremo:

Sea S ς R no vacío acotado superiormente y sea b ς R // b = sup S → si a ς R // a < b, existe x ς S // ac < x ≤ b.

Sean “A” y “B” dos subconjuntos no vacíos de números reales que están acotados superiormente. Sea “C” el conjunto definido como C = (x + y) // x ς A y x ς B. Este conjunto está acotado superiorente y además el supremo de C será el supremo de A más el supremo de B.

Sean “S” y “T” dos subconjuntos no vacíos de números reales // todo s ς S y toso t ς T // s ≤ T. Si “T” está acotado superiormente, entonces: “S” está acotado superiormente y el superior de “S” es menor que el superior de “T”.

Z+ (los números naturales) no están acotados superiormente.

Todo x ς R → existe un n ς Z+ // n > x.

Sean x e y ς R, si x > 0 → existe un n ς Z+ // y < n x.

Aproximaciones decimales finitas:

Un número r = a0 + a1 / 10 + a2 / 100 + (…), onde a0 ≥ 0  y a0 ς Z+, y ai = 0, 1, 2 (…) → este número se escribe a0 a1 a2 (…) y tiene una rpresentación decimal finita.

Sea x ς R // x > 0, para todo n ς Z+ existe una aproximación decimal finita “rn” // rn ≤ x < rn + 1 / 10^n.

Valor absorluto:

Sea x  R, se define valor absoluto de x (/x/) como: /x/ = x si x ≥ 0, o como -x si x < 0.

Sean a y x ς R, si  /X/ = a ↔ -a ≤ x ≤ a.

Desigualdad triangular: todo x e y ς R → /x + y/ ≤ /x/ + /y/.

Desigualdad de Cauchy-Scharaz:

Sean a1, (…) an, b1, (…), bn ς R → (∑ (ai bi) desde “i = 1″ hasta “n”)2 ≤ (∑ (a2i) desde “i = 1″ hasta “n”) (∑ (b2i) desde “i = 1″ hasta “n”). La igualdad se produce solo para: a k x + b k = 0 para todo valor de “k”.

Sea “S” un conjunto no vacío, se dice que “S” es numerable si es finito y si, siendo infinito, podemos establecer una correspondencia 1 a 1 entre los Z+ y los del conjunto.

Propiedad arquimediana: para todo a y b ς R // a > 0 existe n ς Z+ // n a > b.

Métodos Matemáticos I (3): Conjuntos acotados y Axioma 10 o del Supremo de los números reales.

Conjuntos acotados:

Sea S ς R y no vacío, existe un número b ς R // todo x ς S sea x ≤ b, se dice que “b” es una cota superior de “S”. Se dice también que “S” está acotado superiormente. A la menor de las cotas superiores se la va a llamar supremo del conjunto, y si pretenece a “S” se le denomina elemento máximo. A la meor de las cotas inferiores se la denomina ínfimo de “S”, y si pertenece a “S” se le denomina también elemento mínmo.

Axioma del Supremo:

Todo conjunto “S” no vacío de números reales que esté acotado superiormente admite supremo en R.

Métodos Matemáticos I (2): Axiomas del Cuerpo de los Números Reales y Recta Real.

Los números reales (R) se definen por varios axiomas, clasificados entre cuerpo y orden:

Axiomas de cuerpo:

Asumimos la existencia de dos operaciones internas denominadas suma (+) y producto. Ser operación interna implica que si “x” e “y” ς R, entonces (x + y) ς R, y (x y) ς R también. Se verifica que:

• Existe conmutatividad en la suma y en el producto: x + y = y + x; x y = y x.
• Existe asociatividad en la suma y la multiplicación: (x + y) + z = x + (y + z); (x y) z = x (y z).
• Existe distributividad del producto respecto a la suma: x (y + z) = x y + x z.
• Dos números reales x e y poseen un número z ς R // y = z + x. A “z” se le designa por “y – x”. El número real x – x = 0 se puede demostrar que es independiente de “x”, y al número real 0 – x = – x se le denomina opuesto de “x”.
• Existe un número real distinto de 0. Dados “x” e “y” ς R, siendo x ≠ 0, existe un único z ς R // y = z x. A “z” se le designa como “y / x”. El número real x / x = 1 se puede demostrar que es independiente de “x” si x ≠ 0. El númeo 1 / x se designa por “x^-1″, y se denomina inverso o recíproco de “x”. Si “x” ≠ 0: x x^-1 = 1.

Axiomas de orden:

Admitimos la existencia de una relación “<” entre ls números reales, que establece un ordenamiento de los mismos. Se verifica:

• Dados dos números reales “x” e “y” se cumple una y solo una de las siguientes relaciones: x < y, x > y ó x = y.
• Sean “x” e “y” dos números reales // x < y, se deduce que: para todo z ς R: x + z < y + z.
• Considerados dos números reales tales x” e “y” // x > 0 e y > 0, entonces x y > 0.
• Considerados tres números reales “x”, “y” y “z” // x < y ∩ y < z, se cumple que: x < z. Propiedad transitiva de los números reales.

Teorema: Sean “a”  y “b” ς R, si Ε > 0 y si a + E ≤ b, entonces “a ≤ b”.

Recta real y concepto de intervalo:

Los números reales son a menudo representados geométricamente como puntos de una recta denominada recta real. Se elige un punto a la izquierda y otro a la derecha para que represente el 1. A cada punto de la recta real le corresponde un único número real, por lo que es habitual referirse al punto “x” como el número real “x”.La relación < admite una interpretación geométrica simple: si x < y, entonces “x” estará a la izquierda de “y”. Así, los números positivos están a la derecha del 0 y los negativos a la izquierda. El conjunto de todos los puntos comprendidos entre “a” y “b” se denomina intervalo. Es impotante distinguir los intervalos que incluyen a los extremos de los que no.

Métodos Matemáticos I (1): repasando.

Pues eso, que estamos haciendo ejercicios de repaso. Así que hasta que empecemos con el temario de verdad no pondré nada de esta asignatura.

Presentación de las asignaturas de esta evaluación: Fundamentos de Computadores, Métodos Matemáticos I e II, y Física General.

Hola desués de tantos días.

Como habréis podido imaginar he estado algo liadillo empezando las clases (aunque aún no he dado nada) y no he podido actualizar esto.

Lo primero que tengo que decir es que a partir de ahora en la parte de abajo de la página, dentro de las etiquetas, abriré un nuevo grupo que se llamará “asignaturas”, y ahi ya haré una nueva división.

Y ya empiezo con las primeras imresiones:

Fundamentos de Computadores:

Según le entendí, estudiaremos lenguaje computacional, secuencias y cosas de esas, y al final daremos algo de maquinas virtuales. Asimismo, haremos 15 horas de prácticas (no sé de qué, pero las haremos). Y poco más puedo decir, porque básicamente fue lo que nos contó.

Métodos Matemáticos II:

“Tened claro que no vas a llegar a ser grandes científicos ni nada de eso. Para llegar a tanto hay que chupar muchos culos”: ésta fue una de las lindezas que soltó nuestro profesor en la presentación, entre otras, “Todo esto es una mafia”, “El grado no va a serviros para nada, y el postgrado menos”, o ”vosotros venis aquí con dos problemas: el primero que n sabéis nada porque vustros profesores de bachillerato han sido unos incompetentes; y el segundo que no tenéis disciplina”.

Así se presentó, por lo que veo que las clases de álgebra prometen…

Física General:

Como persona no dijo mucho de si este profe (en sentido literal), pero, eso si, ya tenemos todo el programa perfectamente descrito. Este año estudiaremos espacios vectoriales, campos, cinemática, dinámica, fluidos, referenciales, termodinámica, electromagnetismo, algo de física nuclear y relatividad especial.

Métodos Matemáticos I:

“Si conseguís aprobar esta asignatura os podéis dar por satisfechos”, dicho por alumnos de cursos más avanzados.

“Sufriréis en Métodos I”, dicho por la decana.

“Vais a suspender muchos”, dicho por la profe.

Las perspectivas, como se puede ver, son favorables con esta asignatura, enfocada hacia el estudio de los conjuntos de números, las sucesiones y los cálculos diferencial e integral. No sé si debería tenerle miedo. Ya se verá.

Y hasta ahora eso es todo.