Métodos Matemáticos II (6): Cambios de Base y Diagonalización de Matrices.

A partir de la teoría de aplicaciones lineales ya vista, es posible, siempre que la aplicación vaya de un espacio R^n a otro R^n, enfocar la aplicación como un cambio de base, es decir, si yo defino una base de vectores, por ejemplo en R^3:

• ¬v1 = (v1x, v1y, v1z).
• ¬v2 = (v2x, v2y, v2z).
• ¬v3 = (v3x, v3y, v3z).

en función de la base canónica de vectores:

• ¬i = (1, 0, o).
• ¬j = (0, 1, 0).
• ¬k = (0, 0, 1).

, estoy diciendo que:

• ¬v1 = v11 ¬i + v12 ¬j + v13 ¬k.
• ¬v2 = v21 ¬i + v22 ¬j + v23 ¬k.
• ¬v3 = v31 ¬i + v32 ¬j + v33 ¬k.

Pero no siempre tenemos que representar las coordenadas de nuestro vector en la base canónica, y si elegimos otra base cambiarán sustancialmente.

Consideremos los vectores {¬v1, ¬v2, ¬v3} respecto a su propia base. Obtendríamos:

• ¬v1 = (1, o, o).
• ¬v2 = (0, 1, 0).
• ¬v3 = (0, 0, 1).

Y la base canónica se expresaría de otro modo:

• ¬i = ξ11 ¬v1 + ξ12 ¬v2 + ξ13 ¬v3.
• ¬j = ξ21 ¬v1 + ξ22 ¬v2 +ξ23 ¬v3.
• ¬k = ξ31 ¬v1 + ξ32 ¬v2 + ξ33 ¬v3.

Los coeficientes “vij” y “ξij” definen un par de matrices inversas, “V” y “Ξ”, que representan, respectivamente, el cambio de la base {¬v1, ¬v2, ¬v3} a la base {¬i, ¬j, ¬k}, y viceversa.

Visto esto, una aplicación lineal poseerá una matriz asociada distinta según la base respecto a la cual se haga, y denominaremos Diagonalización de de la Matriz de una Aplicación Lineal al cambio de base que simplifica la transformación, de tal modo que la imagen de cualquier vector ¬v={vx, vy, vz}, sea simplemente f(¬v)={λ1 vx, λ2 vy, λ3 vz}. Es decir, la transformación depende solo de “n” coeficientes {λ1, λ2, λ3}, y no de “n^2″ como en el caso general. (Si ahora tenemos tres coeficientes es porque estamos viendo el caso particular de R^3 sin perdida de generalidad).

Denominaremos Autovector a cualquier vector perteneciente al espacio de partida que, tras tomar imagen en la aplicación lineal es linealmente dependiente consigo mismo, es decir, “¬v” es un autovector si:

• f(¬v) = λ ¬v.

, y por tanto todos los autovectores toman valores en sus propios subespacios. El coeficiente “λ” asociado al autovector se define como Autovalor de la aplicación lineal, y existirán tantos como autovectores linealmente independientes se puedan encontrar. Resulta obvio, entonces, que una aplicación lineal de un espacio de “n” dimensiones poseerá “n” autovalores como mucho.

Veamos ahora cómo calcular dichos autovalores. En R^3 supondremos una aplicación lineal tal que:

• ¬vx’ = a11 ¬vx + a12 ¬vy + a13 ¬vz.
• ¬vy’ = a21 ¬vx + a22 ¬vy + a23 ¬vz.
• ¬vz’ = a31 ¬vx + a32 ¬vy + a33 ¬vz.

Matricialmente:

• ¬v’ = M ¬v.

, donde “M” es la matriz de la aplicación lineal.

Si suponemos “¬v” un autovector, cumplirá:

• M ¬v = λ I ¬v,

, donde “I” es la matriz identidad, necesaria para la expresión.

Agrupando:

• (M – λ I) ¬v = ¬0.

Y esto es lo mismo que exigir que:

• |M – λ I| = ¬0.

Así pues, si queremos calcular los posibles valores de “λ”, no tenemos más que despejarlos de esta simple operación (pueden resultar complejos). Resuelto esto, se pueden despejar los autovectores del sistma para cada valor de “λ”.

Hechos los cálculos, siempre se cumple que nuestra nueva aplicación lineal, enfocada desde la base de los autovectores, tomará la forma:

• ¬vx’ = λ1 ¬vx.
• ¬vy’ = λ2 ¬vy.
• ¬vz’ = λ3 ¬vz.

, la cual simplifica bastante las cosas.

Métodos Matemáticos II (5): Espacios Vectoriales: Dependencia Lineal, Subespacios, Bases, Aplicaciones Lineales, Núcleo.

Resumiremos brevemente en esta entrada algunas propiedades importantes de los espacios euclidianos de “n” dimensiones, definidos a través del conjunto de vectores “¬vi = {vi1, vi2, …, vin}” que los componen.

Dependencia Lineal:

Hablamos de dependencia lineal entre dos o más vectores cuando uno de ellos se puede construir combinando los demás.

Sean, por ejemplo, los vectores “¬v” y “¬w”, si se cumple:

• ¬v = α ¬w.

, siendo “λ” un número real, decimos que “v” es linealmente dependiente de “w”.

Análogamente, si poseemos tres vectores “¬u”, “¬v”, “¬w”,  siendo “v” y “w” linealmente independientes, y se verifica:

• ¬u = α ¬v + β ¬w.

, “¬u” es linealmente dependiente de “¬v” y “¬w”.

Por las propiedades de esta denominada dependencia lineal, el modo de calcular los valores “α” y “β” es por medio de las componentes de los vecores:

• u1 = α v1 + β w1.
• u2 = α v2 + β w2.
• …
• un = α vn + β wn.

Dado que tenemos 2 incógnitas y “n” ecuaciones, si el sistema es incompatible “u” no es linealmente dependiente de “¬v” y “¬w”, si es compatible siempre será determinado y podremos calcular los coeficientes deseados.

El método del cálculo es análogo para trabajar con cualquier número de vectores.

Demostraremos ahora que, en un espacio de “n” dimensiones, el número máximo de vectores linealmente independientes entre ellos es también “n”. Para ello supondremos que no, y que es posible que dados “n + 1″ vectores, es posible que cada uno de ellos sea linealmente independiente de los anteriores. Si representamos las ecuaciones correspondientes, igualando cada componente del vector estudiado a una combinación de los otros a través de los coeficientes que, en caso de que fuesen linealmente dependientes, existitían.En este caso tendríamos un sistema de “n” incógnitas y de “n” ecuaciones incompatible, tal y como hemos visto antes. Sin embargo, las leyes fundamentales del álgebra nos dicen que a no ser que dos de las ecuaciones sean linealmente dependientes, es imposible que el sistema sea incompatible, y como hemos puesto de condición que nuestros vectores fuesen linealmente independientes llegamos a una contradicción. El vector “n + 1″ tiene que ser, a la fuerza, dependiente de los anteriores.

Subespacios:

Conocido el concepto de dependencia lineal, podemos comenzar a valorar sus consecuencias geométricas.

Dado un espacio de dimensión “n”, siempre existirán, como mucho, combinaciones de hasta “n” vectores linealmente independientes, y todos los demás podrán ser expresados como una combinación lineal de los mismos.

Si consideramos el espacio R^1, es decir, la recta, el único vector independiente existente nos indica la dirección de la misma, y podemos generar todo el espacio (la recta), como combinación lineal del mismo.

Si consideramos el espacio R^2, el plano, y sobre él definimos un vector (v1, v2), que al ser libre deberemos ubicar sobre el origen, combinanciones lineales del mismo definirán la recta sobre el plano que pasa por el origen con la dirección del vector. Dicha recta, compuesta por los vectores linealmente dependientes al mismo, es un subespacio de R^2 de dimensión “1″. Si definimos otro vector linealmente independiente con el primero, cualquier punto de R^2 se podrá construir como combinación lineal de los anteriores.

Si ampliamos a R^3, con un vector podremos definir un subespacio de dimensión “1″, que será una vez más una recta que cruce el origen de coordenadas.  Añadiendo un vector más linealmente independiente con el primero, definiremos otro subespacio de dimensión “2″, que será un plano que cruce el origen. Finalmente, al obtener tres vectores linealmente independientes podremos generar todo el espacio.

En resumen, un subespacio de dimensión “n” es el lugar geométrico de los vectores linealmente dependientes a “n” vectores libres y linealmente independientes entre ellos. Por medio de esta propia definición, un subespacio nunca puede tener una dimensión mayor que el espacio en el que está contenido, pero si igual.

Bases:

Dado un espacio de dimensión “n”, decimos que nos encontramos ante una base del mismo si poseemos un conjunto de vectores que lo genera de modo unívoco, es decir, que cualquier vector de nuestro espacio está asociado a ellos a través de unos coeficientes determinados, y que a través de estos coeficientes se puede también saber de qué vector se está hablando.

Para que un conjunto de vectores sea base, tienen que cumplir, por tanto, dos normas evidentes:

• Ser el mínimo número de vectores que genere el espacio, es decir, que no se pueda prescindir de ninguno de ellos.
• Ser el máximo número de vectores linealmente independientes posible.

Es trivial, de hecho, demostrar que los enunciados anteriores son equivalentes a través de la relación de dependencia lineal.

Si nuestra base de vectores es ortogonal, es decir, todos ellos son perpendiculares (o sus productos escalares nulos), nos encontramos ante una Base Ortogonal.

Aplicaciones Lineales:

Si definimos una función que a cada vector “¬v” le da un nuevo valor “f(¬v)”, y ésta es expresable a través de un sistema lineal de ecuaciones, hablamos de una aplicación lineal, y cumple las siguientes propiedades:

• f(α ¬v) = α f(¬v).
• f(¬v + ¬w) = f(¬v) + f(¬w).

, de donde, consecuentemente:

• f(α ¬v + β ¬w) = α f(¬v) + β f(¬w).

Consecuencia directa de ello es que un vector “¬u” perteneciente al subespacio generado por “¬v” y “¬w”, cumplirá que “f(¬u)” seguirá perteneciendo al subespacio generado por “f(¬u)” y “f(¬w)”.

Dichas aplicaciones pueden realizarse dentro del propio espacio o no, es decir, si el vector “¬v” pertenece a R^n, y “f(¬v)” pertenece a “R^m”, no tiene por qué cumplirse:

• n = m.

Casos particulares de aplicaciones lineales donde:

• n = m.

para los vectores “¬v = {vx, vy}” y “¬w = {wx, wy, wz}”, son:

• vx’ = a11 vx + a12 vy.
• vy’ = a21 vx + a22 vy.

• wx’ = a11 wx + a12 wy + a13 wz.
• wy’ = a21 wx + a22 wy + a23 wz.
• wz’ = a31 wx + a32 wy + a33 wz.

, donde los términos “aij” definen las matrices asociadas a las aplicaciones lineales correspondientes y que, una vez más, gracias a wordpress.com no puedo representar.

Casos particulares de aplicaciones lineales donde:

• n ≠ m.

, son:

• vx’ = a11 vx + a12 vy + a13 vz.
• vy’ = a21 vx + a22 vy + a23 vz.

• wx’ = a11 wx + a12 wy.
• wy’ = a21 wx + a22 wy.
• wz’ = a31 wx + a32 wy.

Y algunos casos aleatorios son:

• vx’ = vx.
• vy’ = 0.

• wx’ = a11 vx + a12 vy.
• wy’ = a21 vx + a23 vz.
• wz’ = a32 vy + a33 vz.

Núcleo:

Dada una aplicación lineal “f(¬v)”, llamamos núcleo de la aplicación al conjunto de vectores que, al “pasar” por ella, toman, componente a componente el valor 0.

Por ejemplo, dada la aplicación anterior:

• wx’ = a11 wx + a12 wy + a13 wz.
• wy’ = a21 wx + a22 wy + a23 wz.
• wz’ = a31 wx + a32 wy + a33 wz.

El núcleo de la misma son los vectores {wx, wy, wz} que cumplen:

• 0 = a11 wx + a12 wy + a13 wz.
• 0 = a21 wx + a22 wy + a23 wz.
• 0 = a31 wx + a32 wy + a33 wz.

Si el sistema de ecuaciones es incompatible, la aplicación no tiene núcleo, lo cual es imposible, pues el vector “¬0″ siempre va a si mismo, aunque cambie la dimensión del espacio. Si el sistema es compatible y determinado tan solo el vector “¬0″ pertenece al núcleo. En conclusión, la mayoría de las veces surgirán sistemas compatibles indeterminados, con hasta “n – 1″ ecuaciones indeterminadas resultantes. Si “m” es el número de ecuaciones que nos resultan, “n – m” nos da la dimensión del subespacio que va a dar al núcleo de la aplicación.

Métodos Matemáticos II (4): cosillas sobre aplicaciones.

Sean “x” e “y” dos conjuntos, una aplicación f: x → y es un criterio mediante el cual todo elemento x ς X tiene asociado un elemento en Y que denotamos por f (x), y la llamamos la imagen de “x” por la aplicación de “f”. “X” se dice conjunto de partida de la aplicación. “Y” se dice clase o conjunto de llegada.

Si “f” es una aplicación: f (x) = y ς Y // existe x ς X // f (x) = y.

Una aplicación f: x → y se dice sobreyectiva o exhaustiva si la imagen estodo el conjunto de llegada.

Una aplicación es inyectiva si f (x) ≠ f (y) para x ς X e y ς Y.

Si se cumplen las dos condiciones anteriores hablaremos de una aplicación unívoca.

Métodos Matemáticos II (3): Propiedades de los conjuntos.

“¡Lo que no puede ser es que haya licenciados en física que tengan que llamar a un electricista para poder arreglar el sistema eléctrico de su casa!”

La “paridad” dentro del conjunto de los números enteros es la facultad de sus elementos de ser o no ser pares.

Propiedad reflexiva: Para todo x ς X se verifica que x ≈ x.

Propiedad simétrica: Dados “x” e “y” ς X, si x ≈ y, entonces y ≈ x.

Propiedad transitiva: Dados “x”, “y” e “z” ς X, si x ≈ y e y ≈ z, entonces x ≈ z.

“≈” es una relación de equivalencia en X.

Sea x ς X: [x] = clase de equivalencia del elemento “x” = (u ς X // u ≈ x) ς X.

Verificar que los siguientes enunciados son equivalentes: 1. x ≠ y, 2. [x] ≠ [y], 3. [x] ∩ [y] = 0.

Partimos de la primera: x no está relacionado con y.

Por la definición de equivalencia de “x”: [x] = (u ς X // u ≈ x) ς X. Todo elemento de la equivalencia de “x” tiene que estar relacionado con “x”. Dado que “y” no está relacionado con “x”, sus equivalencias tampoco. Por la propiedad simétrica, se obtiene lo mismo para las equivalencias de “y” respecto de “x”.

Por último, [x] ∩ [y] es el conjunto de números equivalentes a la vez a “x” y a “y”, que como no tienen relación de equivalencia alguna, no tienen ningún elemento en común. Por lo que el conjunto [x] ∩ [y] es nulo.

Métodos Matemáticos II (2): unión e intersección.

Un conjunto es una agrupación de elementos. Un subconjunto es una parte de un conjunto más grande tal que está contenido íntegramente en él: Y ς X.

Así pues, el subconjunto complementario de Y será aquel que posea todos los valores de X que no posee Y: Z = X – Y = x ς X // x noς Y, y se verifica que: X =  Y ó (X – Y).

Dos conjuntos son iguales cuando se cumple que: X ς Y, y que Y ς X.

La intersección entre dos subconjuntos: Y ∩ Z : x ς X // x ς Y y además x ς Z.

Se cumple que: (Y ∩ Z) ς (Y ó Z), y que Y ∩ (X – Y) = 0.

Y ∩ Z es el mayor subconjunto de X contenido a la vez  en Y y en Z, e (Y ó Z) es el menor subconjunto de X conteniendo a la vez a Y y a Z.

Métodos Matemáticos II (1): Conjuntos matemáticos.

Respecto a esta clase no voy a poner los tipos de números que hay, de los que ya hemos hablado, ni tampoco de la demostración de que la raíz de 2 es un número irracional.

Presentación de las asignaturas de esta evaluación: Fundamentos de Computadores, Métodos Matemáticos I e II, y Física General.

Hola desués de tantos días.

Como habréis podido imaginar he estado algo liadillo empezando las clases (aunque aún no he dado nada) y no he podido actualizar esto.

Lo primero que tengo que decir es que a partir de ahora en la parte de abajo de la página, dentro de las etiquetas, abriré un nuevo grupo que se llamará “asignaturas”, y ahi ya haré una nueva división.

Y ya empiezo con las primeras imresiones:

Fundamentos de Computadores:

Según le entendí, estudiaremos lenguaje computacional, secuencias y cosas de esas, y al final daremos algo de maquinas virtuales. Asimismo, haremos 15 horas de prácticas (no sé de qué, pero las haremos). Y poco más puedo decir, porque básicamente fue lo que nos contó.

Métodos Matemáticos II:

“Tened claro que no vas a llegar a ser grandes científicos ni nada de eso. Para llegar a tanto hay que chupar muchos culos”: ésta fue una de las lindezas que soltó nuestro profesor en la presentación, entre otras, “Todo esto es una mafia”, “El grado no va a serviros para nada, y el postgrado menos”, o ”vosotros venis aquí con dos problemas: el primero que n sabéis nada porque vustros profesores de bachillerato han sido unos incompetentes; y el segundo que no tenéis disciplina”.

Así se presentó, por lo que veo que las clases de álgebra prometen…

Física General:

Como persona no dijo mucho de si este profe (en sentido literal), pero, eso si, ya tenemos todo el programa perfectamente descrito. Este año estudiaremos espacios vectoriales, campos, cinemática, dinámica, fluidos, referenciales, termodinámica, electromagnetismo, algo de física nuclear y relatividad especial.

Métodos Matemáticos I:

“Si conseguís aprobar esta asignatura os podéis dar por satisfechos”, dicho por alumnos de cursos más avanzados.

“Sufriréis en Métodos I”, dicho por la decana.

“Vais a suspender muchos”, dicho por la profe.

Las perspectivas, como se puede ver, son favorables con esta asignatura, enfocada hacia el estudio de los conjuntos de números, las sucesiones y los cálculos diferencial e integral. No sé si debería tenerle miedo. Ya se verá.

Y hasta ahora eso es todo.