Métodos Matemáticos III (4): Estudio General de las Cónicas y las Cuádricas.

En anteriores capítulos hemos tratado la geometría analítica en el plano y en el espacio, y consecuentemente las curvas cónicas y las cuádricas. Haremos ahora, pues, un análisis detallado de las mismas.

Análisis General de las Cónicas:

Hasta el momento habíamos considerado las tres cónicas fundamentales a partir de sus ecuaciones reducidas. Estas ecuaciones son de segundo grado en las coordenadas “x” e “y”. Si cambiamos el origen de corrdenadas o rotamos los ejes, las ecuaciones reducidas de las cónicas se transforman en ecuaciones de segundo grado. Consideremos la ecuación general:

• a1 x^2 + a2 y^2 + 2 b x y + 2 c1 x + 2 c2 y + d = 0.

Esta ecuación se puede escribir de forma matricial como:

• [x, y] [a1, b; b, a2] [x; y] 2 [c1, c2] [x; y] + d = 0.

, o bien:

• Pt A P + 2 Bt P + c = 0.

, donde la “t” junto a una matriz indica traspuesta, es decir, las filas intercambiadas por las culumnas, y:

• P = [x; y].
• B = [c1; c2].
• A = [a1, b; b, a2].

De una forma más compacta:

• [1, x, y] [d, c1, c2; c1, a1, b; c2, b, a2] [1, x, y] = 0.

• Qt M Q = 0.

• Q = [1; x; y].

El lugar geométrico de los puntos (x, y) que verifican la ecuación anterior respecto a un sistema de coordenadas concreto se denomina cónica. En general, pediremos que:

• [a1, b; b, a2] ≠ [0, 0; 0, 0].

, ya que en caso contrario tendríamos la ecuación de una línea recta en el plano. Adoptaremos la notación:

• M = [d, c1, c2; c1, a1, b; c2, b, a2].
• A = [a1, b; b, a2].

La matriz “A” es simétrica. A la matriz “M” se la denomina matriz de la cónica, mientras que a “A” la denominamos matriz de los términos cuadráticos.

Cónica Ordinaria y Cónica Degenerada:

Si una cónica cumple que:

• detM ≠ 0.

, se la denomina cónica ordinaria, y será en general una elipse, una hipérbola o una parábola.

Si una cónica cumple que:

• detM = 0.

, se la denomina cónica degeneradam y será la ecuación de un punto, un par de rectas, o tal vez no tendrá solución real.

Ecuación Reducida de las Cónicas:

Consideremos una cónica de ecuación:

• a1 x^2 + a2 y^2 + 2 b x y + 2 c1 x + 2 c2 y + d = 0.

, o bien en forma matricial:

• [1, x, y] [d, c1, c2; c1, a1, b; c2, b, a2] [1, x, y] = 0.

Sabemos, además, que siempre existe una rotación de ejes que diagonaliza la matriz de los términos cuadráticos:

• A = [a1, b; b, a2].

Sea entonces ésta la transformación:

• x’ = Cosσ x – Senσ y.
• y’ = Senσx + Cosσ y.

En las nuevas coordenadas:

• A’ = [λ1, 0; 0, λ2].

, y la ecuación de la cónica se escribe como:

• λ1 (x’)^2 + λ2 (y’)^2 + 2 α x’ + 2 β y’ + γ = 0.

Consideremos los casos:

.- λ1, λ2 ≠ 0:

Podemos entonces trasladar el origen de coordenadas de modo que en unas nuevas coordenadas (x”, y”) la ecuación sea:

• λ1 (x”)^2 + λ2(y”)^2 + k = 0.

Basta tomar:

• x’ = x” – α / λ1.
• y’ = y” – β / λ2.

, y sustituirlo en la ecuación general:

• λ1 (x’)^2 + λ2 (y’)^2 + 2 α x’ + 2 β y’ + γ = 0.

, de donde:

• λ1 (x”)^2 + λ2(y”)^2 + k = 0.

, con:

• k = γ – α^2 / λ1 – β^2 / λ2.

En este nuevo sistema de ejes:

• M” = [k, 0, 0; 0, λ1, 0; 0, 0, λ2].
• A” = [λ1, 0; 0, λ2].

, por tanto:

• detM” = ρ^3 detM.
• detA” = ρ^2 detA.
• λ1 = ρ λ1.
• λ2 = ρ λ2.

De aquí obtenemos:

• ρ = 1.

, y además:

• k λ1 λ2 = detM.
• λ1 λ2 = detA.
• k = detM / detA.

Llegamos a la ecuación reducida:

• λ1(x”)^2 + λ2 (y”)^2 + detM / detA = 0.

Los tipos de cónicas descritas por esta ecuación reducida son elipses e hipérbolas, y pares de rectas concurrentes:

Elipses:

• λ1 > 0.
• λ2 > 0.
• detM / detA < 0.

• λ1 < 0.
• λ2 < 0.
• detM / detA > 0.

Elipses Imaginarias:

• λ1 > 0.
• λ2 > 0.
• detM / detA > 0.

• λ1 < 0.
• λ2 < 0.
• detM / detA > 0.

Hipérbolas:

• λ1 > 0.
• λ2 < 0.
• detM / detA ≠ 0.

• λ1 < 0.
• λ2 > 0.
• detM / detA ≠ 0.

Pares de rectas:

• λ1 λ2 < 0.
• detM = 0.

Origen:

• λ1 λ2 > 0.
• detM = 0.

.-Alguno de los Autovalores de “A” es nulo.

Sin pérdida de generalidad, podemos considerar:

• λ1 = 0.
• λ2 ≠ 0.

Si consideremos la ecuación en el sistema en que “A” es diagonal tendremos:

• λ2 (y’)^2 + 2 α x’ + 2 β y’ + γ = 0.

Hacemos el cambio:

• y’ = y” – β / λ2.
• x’ = x”.

Denotando:

• k = γ – β^2 / λ2.

tenemos:

• λ2 (y”)^2 + 2 α x” + k = 0.

Hagamos ahora el cambio:

• y”’ = y”.
• x”’ = x” + k / (2 α).

• λ2 (y”’)^2 + 2 α (x”’ – k / (2 α)) + k = 0.
• λ2 (y”’)^2 + 2 α x”’ = 0.

• M”’ = [0, α, 0; α, 0, o; 0, 0, λ2].
• A”’ = [0, 0; 0, λ2].

• detM”’ = – α^2 λ2 = ρ^3 det M.
  
• λ2 = ρ λ2.

Entonces tenemos de nuevo:

• ρ = 1.

, y:

• α^2 = – detM / λ2 > 0.

Por tanto la ecuación de la cónica será:

• λ2 (y”’)^2 + 2 [- detM / λ2]^1/2 x”’ = 0.

En esta ecuación los dos signos de la raíz son posibles.

Parábolas:

• detM ≠ 0.

Rectas:

• detM = 0.

Estudio General de las Cuádricas:

Denominaremos cuádrica al lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas (x, y, z) satisfacen una ecuación del tipo:

• a1 x^2 + a2 y^2 + a3 z^2 + 2 b1 yz + 2 b2 xz + 2 b3 xy + 2 c1 x + 2 c2 y + 2 c3 z + d = 0.

En forma matricial la escribimos como:

• [1, x, y, z] [d, c1, c2, c3; c1, a1, b3, b2; c2, b3, a2, b1; c3, b2, b1, a3] [1; x; y; z] = 0.
• Qt M Q = 0.

Denominamos matriz de la cuádrica y matriz de los términos cuadráticos, respectivamente, a:

• M = [d, c1, c2, c3; c1, a1, b3, b2; c2, b3, a2, b1; c3, b2, b1, a3].
• A = [a1, b3, b2; b3, a2, b1; b2, b1, a3].

También podemos escribir la cuádrica de la siguiente manera:

• [x, y, z] A [x; y; z] + 2 [c1, c2, c3] [x; y; z] +d = 0.
• Pt A P + 2 Ct + d = 0.

Si:

• detM ≠ 0.

, tendremos una cuádrica ordinaria: un elipsoide, un hiperboloide o un paraboloide.

Si:

• detM = 0.

, tendremos una cuádrica degenerada: un cono, un cilindro o un par de planos.

Ecuaciones Reducidas de las Cuádricas:

Consideremos un cierto sistema de ejes y sea la cuádrica con ecuación:

• a1 x^2 + a2 y^2 + a3 z^2 + 2 b1 yz + 2 b2 xz + 2 b3 xy + 2 c1 x + 2 c2 y + 2 c3 z + d = 0.

Como “A” es una matriz simétrica diagonalizable, para una cierta transformación ortogonal cumplirá que:

• A = [λ1, 0, 0; 0, λ2, 0; 0, 0, λ3].

En estas nuevas coordenadas, la cuádrica se escribe como:

• λ1 (x’)^2 + λ2 (y’)^2 + λ3 (z’)^2 + 2 α x’ + 2 β y’ + 2 γ z’ + δ = 0.

.-Si ninguno de los autovalores es nulo:

Podemos hacer los cambios:

• x’ = x” – α / λ1.
• y’ = y” – β / λ2.
• z’ = z” – γ / λ3.

Con lo cual obtenemos:

• λ1 (x’)^2 + λ2 (y’)^2 + λ3 (z’)^2 + k = 0.

• M” = [k, 0, 0, 0; 0, λ1, 0, 0; 0, 0, λ2, 0; 0, 0, λ3].

• detM” = ρ^4 detM.
• detA” = ρ^3 detA.
• λ1 = ρ λ1.
• λ2 = ρ λ2.
• λ3 = ρ λ3.

Por lo tanto:

• ρ = 1.

, y obtenemos:

• k = detM / detA.

La ecuación reducida de la cuádrica es entonces:

• λ1 (x’)^2 + λ2 (y’)^2 + λ3 (z’)^2 + detM / detA = 0.

Y ésta será en general un hiperboloide, un elipsoide o un cono.

.-Supongamos que un Autovalor es Nulo:

Podemos tomar sin pérdida de generalidad:

• λ3 = 0.

Entonces la ecuación de la cuádrica es:

• λ1 (x’)^2 + λ2 (y’)^2 + 2 α x’ + 2 β y’ + 2 γ z’ + δ = 0.

Haciendo los cambios:

• x’ = x” – α / λ1.
• y’ = y” – β / λ2.
• z’ = z”.

, obtenemos:

• λ1 (x”)^2 + λ2 (y”)^2 + 2 γ z” + k = 0.

Como para que sea una cuádrica:

• detM ≠ 0.

, vemos que la matriz M” es:

• [k, 0, 0, γ; 0, λ1, 0, 0; 0, 0, λ2, 0; γ, 0, 0, 0].

Tenemos:

• detM” = – γ^2 λ1 λ2 ≠ 0.

, y consecuentemente:

• γ ≠ 0.

, y podemos hacer el cambio:

• z” = z”’ – k / (2 γ).

, con lo cual obtenemos la ecuación:

• λ1 (x”’)^2 + λ2 (y”’)^2 + 2 γ z’ ” = 0.

Podemos obtener “γ” en función de “detM”, “λ1″ y “λ2″:

• detM”’ = – ρ γ^2 λ1 λ2 = detM.
• λ1 = ρ λ1.
• λ2 = ρ λ2.

, por tanto:

• ρ = 1.

y despejamos “γ”:

• γ^2 = – detM / (λ1 λ2).
• γ = [- detM / (λ1 λ2)]^1/2.

, con lo que la ecuación reducida se escribe como:

• λ1 (x”’)^2 + λ2 (y”’)^2 + 2 [- detM / (λ1 λ2)]^1/2 z’ ” = 0.

, y es un paraboloide elíptico o hiperbólico.

Métodos Matemáticos III (3): Series de Fourier: Coeficientes, Convergencia, Fenómeno de Gibbs, Funciones Pares e Impares, Derivación e Integración de Fourier, Convergencia en Media, Notación Compleja.

ATENCIÓN:

Por economía, en esta entrada supondremos que, si no se especifica lo contrario, todas las integrales “∫” se definen en el intervalo del que se haya hablado donde aparezcan y los sumatorios “∑” entre “n=1″ e “∞”.

Coeficientes de Fourier:

En muchos problemas de física las ecuaciones que los describen admiten soluciones elementales en forma de senos y cosenos (vibraciones mecánicas, respuesta de un circuito eléctrico, difracción de la luz…), de manera que si somos capaces de representar una función arbitraria como una suma de funciones trigonométricas resulta fácil expresar la solución de estos problemas frente a una “excitación” arbitraria.

Consideremos una cierta función real de variable real, “f(x)”, definida en el intervalo [-π, π]. Supongamos que esta función se puede expandir como una suma de funciones trigonométricas:

• f(x) = a0 / 2 + a1 Cosx + b1 Senx + a2 Cos(2 x) + b2 Sen(2 x) + …

Se nos plantea el problema de encontrar los coeficientes “an” y “bn” que hacen que se cumpla la igualdad anterior en el intervalo [-π, π]. Más adelante estudiaremos en detalle qué condiciones ha de cumplir “f(x)” para que este desarrollo sea correcto.

Supondremos que esta serie es uniformemente convergente para poder integrar término a término:

• ∫(f(x) dx) = (a0 / 2) ∫(dx) + ∑[an ∫(Cos(n x) dx) + bn ∫(Sen(n x) dx]).

Observemos que, con nuestros criterios:

• ∫(dx) = 2 π.
• ∫(Cos(n x) dx) = 0.
• ∫(Sen(n x) dx) = 0.

De modo que obtenemos:

• a0 π = ∫(f(x) dx).
• a0 = ∫(f(x) dx) / π.

Es decir, “a0″ es el valor medio de la función “f(x)” en el intervalo [-π, π].

Para calcular “an” multiplicaremos nuestra serie por “Cos(m x)”, de modo que:

• f(x) Cos(m x) = a0 Cos(m x) / 2 + ∑[an Cos(n x) Cos(m x) + bn Sen(n x) Cos(m x)].

Ya hemos visto que:

• ∫(Cos(n x) dx) = 0.

, por otra parte tenemos que:

• Cos(n x) Cos(m x) = (Cos((n + m) x) + Cos((n – m) x)) / 2.
• Sen(n x) Cos(m x) = (Sen((n + m) x) + Sen((n – m) x)) / 2.
• Sen(n x) Sen(m x) = (Cos((n – m) x) – Cos((n + m) x)) / 2.

Por lo tanto:

• ∫(Cos(n x) Cos(m x) dx) = [∫(Cos((n + m) x) dx) + ∫(Cos((n - m) x) dx)] / 2.

, donde “n” y “m” son números naturales. Pero:

• ∫(Cos((n + m) x) dx) = 0.
• ∫(Cos((m – n) x) dx) = 0, si “m ≠ n”.
• ∫(Cos((n – m) x) dx) = 2 π, si “m = n”.

Resumiendo:

• ∫(Cos(n x) Cos(m x) dx) = 0, si “m ≠ n”, e = π, si “m = n”.

Para la otra integral tenemos:

• ∫(Sen(n x) Cos(m x) dx) = [∫(Sen((n + m) x) dx) + ∫(Sen((n - m) x) dx)] / 2.
• ∫(Sen((n + m) x) dx) = 0.
• ∫(Sen((n – m) x) dx) = 0, si “m ≠ n”.

Cuando “m = n” tenemos directamente:

• Sen((n – m) x) = 0.

Resumiendo entonces:

• ∫(Sen(n x) Cos(m x) dx) = 0.

, con “n” y “m” números naturales.

• ∫(f(x) Cos(m x) dx) = π an.
• an = ∫(f(x) Cos(m x) dx) / π.
• n ≥ 0.

Para calcular “bn” multiplicamos la serie por “Sen(m x)” y procedemos de manera análoga:

• ∫(f(x) Sen(m x) dx) = a0 ∫(Sen(m x) dx) / 2 + ∑[an ∫(Cos(n x) Sen(m x) dx) + bn ∫(Sen(n x) Sen(m x) dx)].

Recordemos que:

• ∫(Sen(n x) dx) = 0.
• n ≥ 0.
• ∫(Sen(n x) Cos(m x) dx) = 0.

, con “n” y “m” números naturales.

Finalmente:

• ∫(Sen(n x) Sen(m x) dx) = [∫(Cos((n - m) x) dx) - ∫(Cos((n + m) x) dx)] / 2.

• ∫(Cos((n + m) x) dx) = 0.

• ∫(Cos((m – n) x) dx) = 0, si “m ≠ n”.

• ∫(Cos((n – m) x) dx) = 2 π, si “m = n”.

• ∫(Sen(n x) Sen(m x) dx) = 0, si “m ≠ n”, e = π, si “m = n”.

Por lo tanto obtenemos:

• ∫(f(x) Sen(m x) dx) = π bn.

• bn = ∫(f(x) Sen(m x) dx) / π.

• n ≥ 1.

Por lo tanto, si la serie de Fourier que hemos descrito al principio  es uniformemente convergente, entonces los coeficientes “an” y “bn” se obtienen mediante las fórmulas obtenidas.

En muchos casos, no obstante, no sabemos si una función dad admite un desarrollo medianteuna serie trigonométrica uniformemente convergente. De todos modos, resulta útil tomar la perspectiva de definir ciertos números “an” y “bn”, que usaremos para construir la serie trigonométrica. A éstos números los llamamos coeficientes de Fourier, y la serie, serie de Fourier.

De acuerdo con esto, una serie de Fourier es un tipo especial de serie trigonométrica cuyos coeficientes se calculan con las anteriores ecuaciones a cierta función “f(x)”. Para ello solo es necesario que tales integrales existan.

Obviamente, lo que uno desea es que la serie de Fourier sea convergente y tenga como suma la propia “f(x)”, pero no siempre ocurre así: existen funciones integrables en el intervalo [- π, π] que no son la suma de ninguna serie de Fourier. Y a la inversa, existen series trigonométricas convergentes que no son ninguna serie de Fourier. Por ejemplo, la serie:

• ∑(Sen(n x) / log(1 + n)).

converge para todo valor de “x”, pero no es una serie de Fourier, lo cual significa que los coeficientes de esta serie no se pueden obtener aplicando las fórmulas anteriores a ninguna función integrable.

Convergencia de una Serie Funcional:

Sea “fn”, con “n” natural, un conjunto de funciones reales con el mismo dominio “S” sobre la recta real.

Se dice que la sucesion “fn” converge puntualmente a “f” en el dominio “S” si cumple que:

• f(x) = lim(n→∞) fn(x).

, para cualquier “x” perteneciente a “S”.

Se dice que la sucesión “fn” converge uniformemente a “f” en el dominio “S” si cumple que: para todo:

• ε > 0.

existe un número natural “N” tal que todo:

• n > N.

se cumple que:

• |fn(x) – f(x)| < ε.

, siendo “x” perteneciente a “S”.

Consideremos una serie funcional a partir de una sucesión de funciones “fn”. La sucesión de sumas parciales “Sn” viene dada por:

• Sn(x) = ∑(fk(x)) desde “k = 1″ hasta “n”.

, para todo “x” perteneciente a “S”.

Si la sucesión “Sn” converge a “f” en “x” diremos que la serie de funciones es convergente y:

• ∑(fk(x)) = f(x).

Si en particular la sucesión “Sn” converge uniformemente a la función “f” en el conjunto “S”, diremos que la serie converge uniformemente en “S”. La condición de convergencia uniforme es suficientemente fuerte para garantizar que se puede integrar término a término la serie.

El Problema de la Convergencia:

Se plantea la cuestión de cándo la serie de Fourier converge a la función de partida. Consideremos la serie de Fourier dada por:

• f(x) = a0 / 2 + ∑[an Cos(n x) + bn Sen(n x)].

Cada término de esta serie es una función periódica de periodo “2 π”, ya que:

• Cos(n x) = Cos(n x + 2 π).
• Sen(n x) = Sen(n x + 2 π).

Por lo tanto, cuando esta serie es convergente, la función a la que converge debe verificar:

• f(x + 2 π) = f(x).

En particular, se cumple además que:

• f(π) = f(- π).

Obviamente, esta condición no se cumple para cualquier función arbitraria en el intervalo [- π, π]. Dada cualquier función definida únicamente en el intervalo [- π, π], podemos extenderla periódicamentea toda la recta real mediante la condición:

• f(x + 2 π) = f(x).

Por otra parte, consideremos los siguientes límites laterales de la función:

• f(x+) = lim(ε→0) f(x + ε).
• f(x-) = lim(ε→0) f(x – ε).
• ε > 0.

Una función que presente una discontinuidad de salto en un cierto punto tiene límites laterales distintos en ese punto.

Teorema de Dirichlet:

Sea “f(x)” una función acotada y definida en el intervalo [- π, π] con un número finito de discontinuidades y un número finito de máximos y mínimos. Para otros valores de “x” fuera del intervalo [- π, π] extendemos la definición de “f(x)” por medio de la condición de periodicidad:

• f(x + 2 π) = f(x).

Entonces la serie de Fourier converge a: “[f(x‾) + f(x+)] / 2″.

en todo punto “x”, y por lo tanto converge a “f(x)” en todo punto de continuidad de la función. En los puntos de discontinuidad podemos redefinir la función como el promedio de sus límites laterales:

• f*(x) = [f(x-) + f(x+)] / 2.

Entonces la serie de Fourier representa la función f*(x) en todo punto “x” perteneciente a la recta real.

Las condiciones de validez de este teorema se denominan condiciones de Dirichlet. En general, la continuidad de una funicón no es suficiente, ni tampoco necesaria, para garantizar la convergencia de su serie de Fourier.

El Fenómeno de Gibbs:

Aunque el teorema de Dirichlet nos garantiza que en una discontinuidad de una función “f(x)” la serie de Fourier converge a:

• f*(x) = [f(x-) + f(x+)] / 2.
  

La serie presentará un pico próximo a la discontinuidad. Este pico se acercará más a la discontinuidad al sumar más términos de la serie, pero su amplitud “δ” no disminuye cuando el número de términos sumados tiende a infinito. El valor de “δ” es proporcional a la magnitud de discontinuidad en “x0″.

Series de Fourier de Funciones Pares e Impares:

Se dice que una función real de variable real es par si:

• f(x) = f(- x).
  

Se dice que una función real de variable real es impar si:

• f(x) = – f(- x).
  

Una función par presenta simetría respecto al eje “y”, mientras que una función impar presenta simetría respecto al origen de coordenadas. Obsérvese que toda función impar debe pasar por el origen de coordenadas, ya que debe cumplir:

• f(0) = – f(0).

, y el único número real que verifica esto es el 0.

Ejemplos de funciones pares:

• f(x) = Cos(n x).
• f(x) = x^2.

Ejemplos de funciones impares:

• f(x) = Sen(n x).
• f(x) = x^3.

Si una función es par verifica lo siguiente:

• ∫(f(x) dx) desde “- a” hasta “a” = 2 ∫(f(x) dx) desde “0″ hasta “a.

Si una función es impar se cumple:

• ∫(f(x) dx) desde “- a” hasta “a” = 0.

Además, bajo el producto las funciones pares e impares se comportan de la siguiente manera:

• par x par = par.
• par x impar = impar.
• impar x impar = par.

Toda función real de variable real puede descomponerse en una función par y otra función impar:

• f+(x) = (f(x) + f(- x)) / 2.
• f-(x) = (f(x) – f(- x)) / 2.

Esta claro que con esta definición tenemos:

• f(x) = f+(x) + f-(x).
  

Podemos entonces escribir:

• ∫(f(x) dx) = ∫(f+(x) dx) = 2 ∫(f+(x) dx) desde “0″ hasta “π”.

Las reglas de paridad nos pertmiten establecer la cancelación de algunas integrales si tener que calcularlas explícitamente. Por ejemplo:

• ∫(x Sen(n x) dx) = 2 ∫(x Sen(x) dx) desde “0″ hasta “π”.

Puesto que se trata de una función par (impar x impar). Teniendo todo esto en cuenta, es evidente por ejemplo que:

• ∫(Sen(n x) dx) = 0.
• ∫(x^2 Sen(n x) dx) = 0.
• ∫(x Cos(x) dx) = 0.

Propiedad:

Sea “f(x)” una función integrable definida en el intervalo [- π, π]. Se verifica que:

.-Si “f(x)” es par:

Su serie de Fourier sólo contiene términos de tipo Coseno:

• f(x) ≈ a0 / 2 + ∑(an Cos(n x)).

La función “f(x) Sen(n x)” es impar y:

• bn = (∫(f(x) Sen(n x) dx)) / π = 0.
• an = (∫(f(x) Cos(n x) dx)) / π = 2 (∫(f(x) Cos(n x) dx) desde “0″ hasta “π”) / π.

.-Si “f(x)” es impar:

Su serie de Fourier solo contiene términos tipo Seno:

• f(x) ≈ ∑(bn Sen(n x)).

La función “f(x) Cos(n x)” es impar y:

• an = (∫(f(x) Cos(n x) dx)) / π = 0.
• bn = (∫(f(x) Sen(n x) dx)) / π = 2 (∫(f(x) Sen(n x) dx) desde “0″ hasta “π”) / π.

Extensión Par e Impar:

Dada una función “f(x)” definida en el intervalo [0, π], podemos extenderla al intervalo [- π, 0] de modo que sea par o impar a voluntad:

• f(x) =  f(- x).
• f(x) = – f(- x).

Siendo la primera una extensión par y la segunda una impar. Sus funciones serán tipo Coseno y tipo Seno, respectivamente.

Derivación e Integración de las Series de Fourier:

Consideremos las siguientes series de Fourier en el intervalo [- π, π]:

• x^1 → 2 ∑((- 1)^(n+1) Sen(n x) / n).
• x^2 → π^2 / 3 + 4 ∑((- 1)^n Cos(n x) / n^2).
• x^3 → ∑((12 / n^3 – 2 π^2 / n) (- 1)^n Sen(n x)).
• x^4 → π^4 / 5 + ∑((8 π^2 / n^2 – 48 / n^4) (- 1)^n Cos(n x)).

Obsérvese que la serie de Fourier de “x” se puede obtener derivando término a término la de “x^2″, pero esto no es un resultado general, es decir, la convergencia de una serie de Fourier no garantiza que la derivada término a término de la serie converja a la derivada de la función de partida. La propia serie de Fourier de “x” no puede ser derivada término a término para obtener la constante unidad. Pueden darse ciertascondiciones que deben satisfacer las funciones para que sus series de Fourier se puedan derivar e integrar término a término.

Teorema:

Sea una función “f(x)” periódica y continua a trozos, entonces su serie de Fourier, aunque no sea convergente, puede integrarse término a término y la serie resultante converge a la integral de la función “f(x)”.

Teorema:

Sea una función “f(x)” periódica, continua en todo “x” y tal que “f’” satisfaga las conciones de Dirichlet, entonces la serie de Fourier de “f’” coincide con las derivada de la serie de Fourier de “f(t)”.

Si derivamos la serie de Fourier de:

• f(x) = x^3 / 3.

no obtenemos la serie de Fourier de “x^2″. No se cumplen las condiciones del teorema previo, pues la función:

• f(x) = x^3 / 3.

extendida periódicamente a toda la recta real no es continua. Por otro lado, la función:

• f(x) = x^2.

extendida de forma periódica sí que es continua, por lo tanto el teorema anterior garantiza que podemos derivar término a término su serie de Fourier para obtener la serie de Fourier de la función “2 x”.

Extensión a Intervalos Arbitrarios:

La forma canónica de la serie de Fourier que hemos manejado hasta ahora estaba definida en el intervalo:

• - π ≤ x < π.

, pero es sencillo extender el estudio a intervalos del tipo:

• - L ≤ x < L.
• L>0.

arbitrario. Basta hacer un cambio de escala en el eje “x” de modo que transformamos el intervalo [- π, π] en el intervalo [- L, L]: Si hacemos:

• x = L t / π.

, entonces, si “t” pertenece al intervalo [- π, π], “x” pertenece a [- L, L].

Vemos por lo tanto que, dada una función “f(x)” definida sobre el intervalo [- L, L], el sencillo cambio de variable anteriornos lleva a otra función, “g(t)”, definida en el intervalo [- π, π].

• f(x) = f(L t / π) = g(t).

, con “t” perteneciente a [- π, π].

Si “f(x)” satisface las condiciones de Dirichlet, es obvio que “g(t)” también lo hace. La serie de Fourier de “g(t)” será:

• g(t) = a0 / 2 + ∑(an Cos(n t) + bn Sen(n t)).
• an = (∫(g(t) Cos(n t) dt) / π.
• bn = (∫(g(t) Sen(n t) dt)) / π.

Podemos retornar a la variable original “x” teniendo en cuenta que:

• t = π x / L.

En consecuencia, la serie de Fourier de cualquier función “f(x)” definida en un intervalo simétrico en torno al “0″, [- L, L], será:

• f(x) = a0 / 2 + ∑(an Cos(n π x / L) + bn Sen(n π x / L)).
• an = (∫(f(x) Cos(n π x / L) dx) / π.
• bn = (∫(f(x) Sen(n π x / L) dx)) / π.

Funciones Ortogonales. Series de Fourier Generalizadas:

Dadas las funciones “f1(x)” y “f2(x)”. definidas en un cierto intervalo de la recta real [a, b], diremos que son funciones ortogonales si verifican:

• ∫(f1(x) f2(x) dx) = 0.

Esta propiedad se puede extender a un cierto conjunto numerable de funciones sobre un intervalo, de modo que se trate de una colección de funciones mutuamente ortogonales.

Sea pues un conjunto {Φn(x)} de funciones reales definidas sobre el intervalo [a, b]. Si se verifica que:

• ∫(Φm(x) Φn(x) dx) = 0.
• m ≠ n.

se dice que es un conjunto de funciones ortogonales en el intervalo [a, b].

Definiremos como norma cuadrática de una función en el intervalo [a, b] a la integral:

• 0 ≤ ||Φn(x||^2 = ∫(Φn(x)^2 dx).

Obsérvese que siempre podemos convertir un conjunto ortogonal de funciones {Φn(x)} en un conjunto ortonormal dividiendo por la norma de cada una de ellas:

• θn(x) = Φn(x) / ||Φn(x)||.

De este modo tenemos asegurado que:

• ||θn(x)|| = 1.

, y {θn(x)} es entonces un conjunto ortonormal.

Sea ahora {θn(x)} una sucesión ortonormal de funciones en el intervalo [a,b]. Dada una función “f(x)” cualquiera, podemos intentar expresarla mediante el siguiente desarrollo en el intervalo [a, b]:

• f(x) = ∑(ak θk(x)).

Para determinar los coeficientes “an”  multiplicamos ambos lados de la ecuación anterior por “θk(x)”:

• f(x) θn(x) = ∑(ak θk(x) θn(x)).

Vamos a suponer que podemos realizar la integración en el intervalo [a, b]. Entonces tenemos:

• ∫(f(x) θn(x) dx) = ∑[ak ∫(ak θk(x) dx)] = ∑(ak δkn) = an.

Estos números se denominan coeficientes de Fourier de “f(x)” respecto a la sucesión ortonormal {θn(x)}, y la serie asociada siguiente es la serie de Fourier de “f(x)” respecto a {θn(x)}.

• ∑(ak θk(x)).

A este tipo de serie se le denomina serie de Fourier generalizada.

La descomposición de una función “f(x)” en términos de funciones {θn(x)} es análoga a la descomposición de un vector en componentes referidas a una cierta base, por ello se puede definir de modo análogo un producto escalar o interior de funciones:

• (f, g) = ∫(f(x) g(x) dx).

que verifica las propiedades usuales de linealidad y simetría:

• (f1 + f2, g) = (f1, g) + (f2, g).
• (c f, g) = c (f, g).
• (f, g) = (g, f).

Con esta notación, dos funciones se dicen ortonormales si su producto escalar es cero:

• (f, g) = 0.

Y además su norma al cuadrado es:

• ||f||^2 = (f, f).

Los coeficientes de Fourier vendrían dados entonces por el siguiente producto escalar:

• an = (f, θn).

Comparemos esto con la expansión de un vector de R^3 en términos de una base ortonormal {¬e1, ¬e2, ¬e3}. Tendríamos:

• ¬v = a1 ¬e1 + a2 ¬e2 + a3 ¬e3.
• an = (¬v, ¬en) = (¬en, ¬v) = ¬v ¬en.

A pesar de esta comparación, hemos de tener en cuenta que en el caso de series de Fourier trabajamos con espacios lineales de funciones definidas en un cierto intervalo [a, b], y no con un espacio lineal vectorial ordinario. Estos espacios lineales de funciones tienen dimensión infinita, en el sentido de que es necesaria una sucesión ortonormal infinita para poder representar una función arbitraria “f(x)” definida en [a, b].

En realidad, no todas las funciones admiten un desarrollo en serie de Fourier, como ya sabemos. Denotaremos por “R” el espacio de todas las funciones “f(x)” definidas en [a, b] que admiten un desarrollo en serie de Fourier. Este espacio está constituído por todas las funciones integrables Riemann sobre dicho intervalo. Además, no todas las sucesiones ortonormales de funciones son adecuadas para representar una función arbitraria de “R”. Para ello necesitamos que el conjunto {θn} sea maximal, esto es, que pueda reproducir de modo exhaustivas todas las funciones de “R”. Se dice que una sucesión ortonormal {θn(x)} es completa o maximal respecto al intervalo [a, b] si la única función ortogonal a todas las funciones “θn(x)” es la función cero o nula. Una función “f” es nula si cumple:

• ||f^2|| = (f, f) = 0.

O lo que es equivalente:

• ∫(|f(x)|^2 dx) = 0.

Con la definición de producto dado para nuestro espacio de funciones “R”, tenemos también una definición de distancia entre funciones:

• d(f, g) = ||f – g|| = [∫((f(x) - g(x))^2 dx)]^1/2.

Un espacio lineal en el que hemos definido una distancia que satisface las propiedades usuales, se llama espacio métrico. Dos funciones de “R” se consideran iguales si difieren en una función nula.

Convergencia en Media de las Series de Fourier:

Sea “f(x)” una función definida sobre un intervalo [a, b] y sea {pn(x)} una sucesión de funciones en este intervalo, todas ellas integrables en [a, b]. Queremos estudiar la convergencia de la sucesión {pn(x)} a “f(x)”. Si aproximamos “f(x)” por “pn(x)”, las expresiones:

• |f(x) – pn(x)|.
• |f(x) – pn(x)|^2.

proporcionan una medida del error cometido en la aproximación. Cuando la sucesión de funciones {pn(x)} converge a la función “f(x)” en todo punto “x” del intervalo [a, b], entonces la expresión “(f(x) – pn(x))^2″ tiende a cero y hablamos de convergencia puntual o convergencia punto a punto. Por otra parte, si queremos dar una medida global del error que cometemos al aproximar la función “f(x)” por “pn(x)”, es más adecuado utilizar la segunda expresión para definir el error cuadrático medio a lo largo del intervalo [a, b] como:

• En = ∫((f(x) – pn(x))^2 dx).

Se dice que la sucesión {pn} converge en media a la función “f(x)” cuando se verifica:

• lim(n→∞) En = 0.
  

A veces esto se denota también como:

• l.i.m(n→∞) pn(x) = f(x).

, donde “l.i.m” significa convergencia en media. Fijémonos que una función que cumple las condiciones de Dirichlet verificará que su serie de Fourier converge en media a “f(x)”. Por otra parte, tal y como hemos definido el valor de “En”, se cumple que:

• En = ||f – pn||^2.

Por lo tanto la convergencia media significa:

• lim(n→∞) ||f – pn|| = lim(n→∞) d(f, pn) = 0.

Consideremos {θn(x)} una ortonormal de funciones en [a, b]:

• (θn,θm) = ∫(θn(x) θm(x) dx) = δnm

Vamos a aproximar una función integrable dada, “f”, mediante una combinación lineal de “n” funciones del conjunto {θn(x)}. Para ello escribimos “pn” como como una combinación lineal de “n” de estas funciones:

• pn(x) = ∑(bk θk(x)).

Podremos entonces calcular “En” del modo siguiente:

• En = ∫((f – pn)^2 dx).
• En = ∫((f – ∑(bk θk))^2 dx).
• En = ∫((f^2 + (∑(bk θk))^2 – 2 f ∑(bk θk)) dx).
• En = ∫(f^2 dx) desde “a” hasta “b” + ∫((∑(bk θk))^2 dx) – 2 ∑(bk ∫(f θk dx)).
• En = ∫(f^2 dx) + ∑(bk^2) – 2 ∑(ak bk).
• En = ∫(f^2 dx) + ∑(bk^2 – 2 ak bk).

Ahora bien:

• bk^2 – 2 ak bk = bk^2 – 2 ak bk + ak^2 – ak^2 = (bk – ak)^2 – ak^2.

Por lo tanto:

• En = ∫(f^2 dx) + ∑(ak – bk)^2 – ∑(ak)^2.

Como todos los términos de la suma aparecen elevados al cuadrado, el error “En” cuadrático medio mínimo corresponde a elegir:

• ak = bk.

, y en consecuencia:

• En = ∫(f^2 dx) - ∑(ak)^2.

Como:

• En ≥ 0.

por construcción se cumple que:

• ∫(f^2 dx) ≥ ∑(ak)^2.

Como esta expresión es válida para todo “n” por grande que sea, podemos denominar a esta expresión como la Desigualdad de Bessel.

Puesto que la serie “∑(ak)^2″ es monótona creciente y acotada superiormente, se deduce que es una serie convergente. Una condición necesaria para que la serie sea convergente es que su término general tenga un límite nulo cuando “n→∞”. Por lo tanto deducimos que:

• lin(n→∞) an = 0.

Si la serie de Fourier converge en media a la función “f(x)” tenemos:

• lin(n→∞) En = 0.

Pero como:

• En = ∫(f^2 dx) – ∑(ak)^2.

se verificará la siguiente igualdad cyando la serie converge en media:

• ∫(f^2 dx) = ∑(ak)^2.

, la denominada Identidad de Parseval.

Usando la definición de norma de una función podemos escribir la identidad de Parseval de una manera que nos recuerda el cuadrado de la norma de un vector en un espacio lineal. Comparémosla con la expresión de la norma de un vector en R^3:

• f(x) = ∑(ak θk(x)).
• ¬v = a1 ¬e1 + a2 ¬e2 + a3 ¬e3.
• ||f||^2 = ∑(ak)^2.
• ||¬v||^2 = ∑(ak)^2 desde “k = 1″ hasta “3″.

La serie de Fourier de una función “f” en un intervalo [a, b] converge en media a la función si y solo si se cumple la igualdad anterior. Por otra parte, cuando consideramos una sucesión ortonormal {θn} en el intervalo [a, b], si se cumple que toda función “f” de “R” converge en media a su serie de Fourier respecto a la sucesión {θn}, se dice que {θn(x)} es una sucesión ortonormal completa.

La Serie de Fourier en Forma Compleja:

Vamos a escribir la serie de Fourier de un modo más compacto mediante su extensión al plano complejo. Consideremos una serie de Fourier de una función “f(x)” definida sobre un intervalo simétrico [- L, L]:

• f(x) = a0 / 2 + ∑[an Cos(n π x / L) + bn Sen(n π x / L)].

Siendo:

• an = ∫(f(x) Cos(n π x / L) dx) / L.
• bn = ∫(f(x) Sen(n π x / L) dx) / L.

Si hacemos la extensión al campo complejo:

• e^(i n π x / L) = Cos(n π x / L) + i Sen(n π x / L).

o bien:

• Cos(n π x / L) = [e^(i n π x / L) + e^(- i n π x / L)] / 2.
• Sen(n π x / L) = [e^(i n π x / L) - e^(- i n π x / L)] / 2 i.

Sustituyendo en la serie de Fourier original:

• f(x) = a0 / 2 + ∑[an [e^(i n π x / L) + e^(- i n π x / L)] / 2 + bn [e^(i n π x / L) - e^(- i n π x / L)] / 2 i].
• f(x) = a0 / 2 + ∑[(an / 2 + bn / (2 i)) e^(i n π x / L) + (an / 2 - bn / (2 i)) e^(- i n π x / L)].
• f(x) = a0 / 2 + ∑[(an - i bn) e^(i n π x / L) / 2] + ∑[(an + i bn) e^(- i n π x / L) / 2].

Podemos escribir la serie con un único sumatorio extendido a índices positivos y negativos introduciendo la siguiente notación:

• ck = “(an – i bn) / 2″ y “k = n” si “k > 0″.
• ck = “a0 / 2″  si “k = 0″.
• ck = “(an + i bn) / 2″ y “k = – n” si “k < 0″.

• f(x) = ∑(ck e^(i n π x / L)) desde “-∞” hasta “∞”.

Veamos ahora cómo se calculan los coeficientes “ck” de la serie de Fourier compleja. Los “an” y “bn” vienen dados por:

• an = ∫(f(x) Cos(n π x / L) dx) / L.
• an = ∫(f(x) [e^(i n π x / L) + e^(- i n π x / L)] / 2 dx) / L.
• bn = ∫(f(x) Sen(n π x / L) dx) / L.
• bn = ∫(f(x) [e^(i n π x / L) - e^(- i n π x / L)] / 2 i dx) / L.

Con lo cual los “ck” serán, para:

• k > 0.
• k = n.

• ck = (an – i bn) / 2.
• ck = ∫(f(x) [e^(i n π x / L) + e^(- i n π x / L)] / 2 dx) / (2 L) – ∫(f(x) [e^(i n π x / L) - e^(- i n π x / L)] / 2 dx) / (2 L).
• ck = ∫(f(x) e^(- i n π x / L) dx) / (2L).

Para :

• k < 0.
• k = – n.

• ck = (an + i bn) / 2.
• ck = ∫(f(x) [e^(i n π x / L) + e^(- i n π x / L)] / 2 dx) / (2 L) + ∫(f(x) [e^(i n π x / L) - e^(- i n π x / L)] / 2 dx) / (2 L).
• ck = ∫(f(x) e^(i n π x / L) dx) / (2L).

Para:

• k = 0.

• c0 = ∫(f(x) dx) / (2 L) = a0 / 2.

Métodos Matemáticos III (2): Geometría Analítica en el Espacio: Representación de Puntos, Distancia entre Puntos, Transformación de Coordenadas, Coordenadas Cilíndricas, Coordenadas Esféricas, Ecuación de una Recta, Posición Relativa de Dos Rectas, Ecuación de un Plano, Posición Relativa de Rectas y Planos, Distancia de un Punto a un Plano, Superficies y Curvas, Superficies de Revolución, Cilíndricas, Cónicas, Elipsoide, Hiperboloide de Una y Dos Hojas, Parabolóide Elíptico e Hiperbólico.

Representacion de Puntos en el Espacio:

Consideremos tres rectas “x”, “y”, “z”, que son mutuamente perpendiculares y se intersecan en un mismo punto “O”. Éste punto se denominará origen de coordenadas y divide a cada eje en dos semiejes (positivo y negativo). Para cada punto “M” del espacio podemos encontrar las correspondientes coordenadas “P”, “Q”, “R”, de la siguiente forma.

El punto “P” es la intersección del eje “OX” con un eje paralelo al plano “yz” que pasa por “M”. De modo análogo se obtienen los puntos “Q” y “R” como resultado de la proyección del punto “M” en sus respectivos ejes coordenados.

La longitud de los segmentos es:

• OP = x.
• OQ = y.
• OR = z.

, de modo que a cada punto del espacio le asignaremos la terna ordenada de números (x, y, z).

Denotaremos por “¬i”, “¬j”, “¬k”, a los vectores unitarios coordenados cuya dirección y sentido es el positivo de estos ejes. Dado un punto arbitrario “M”, se cumple que su vector de posición satisface

• ¬OM = ¬OP + ¬OQ + ¬OR.

En términos de los vectores unitarios:

• ¬OM = x ¬i + y ¬j + z ¬k.

Siendo siempre:

• x = ¬OM ¬i.
• y = ¬OM ¬j.
• z = ¬OM ¬k.

La base (¬i, ¬j, ¬k) del espacio tridimensional es una base ortonormal, ya que todos sus vectores son unitarios y ortogonales dos a dos. Existe correspondencia biunívoca (única) entre cada punto “M” del espacio y el conjunto de las coordenadas cartesianas rectangulares (x, y, z).

Distancia entre Dos Puntos:

Sean los puntos “M1″ y “M2″, y sean sus coordenadas respectivas (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2). Denominaremos distancia entre los puntos “M1″ y “M2″ a la longitud del segmento que los une:

• d(M1, M2) = [(x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 + (z1 - z2)^2]^1/2.

Este resultado se obtiene aplicando reiteradamente el Teorema de Pitágoras. A esta distancia se le denomina distancia mínima euclídea entre los puntos “M1″ y “M2″.

Transformación de Coordenadas:

Consideremos dos sistemas de ejes de coordenadas cartesianos (x, y, z) y (x’, y’, z’), con sus respectivos orígenes “O” y “O’”. Dado un punto “A” del espacio tridimensional, podremos expresar sus coordenadas en ambos sistemas:

• ¬OA = x ¬ex + y ¬ey + z ¬ez.
• ¬O’A = x’ ¬ex’ + y’ ¬ey’+ z’ ¬ez’.

Las coordenadas del origen “O” expresadas en sistema (x’, y’, z’) son:

• ¬O’O = x0′ ¬ex’ + y0′ ¬ey’+ z0′ ¬ez’.

A partir de las definiciones se cumple:

• ¬O’A = ¬O’O + ¬OA = (x0′ ¬ex’ + y0′ ¬ey’+ z0′ ¬ez’) + (x ¬ex + y ¬ey + z ¬ez).

Expresemos ahora los vectores unitarios “¬ex”, “¬ey”, “¬ez”, en el sistema de vectores “¬ex’”, “ey’”, “ez’”:

• ¬ex = a11 ¬e’x + a12 ¬ey’ + a13 ¬ez’.
• ¬ey = a21 ¬e’x + a22 ¬ey’ + a23 ¬ez’.
• ¬ez = a31 ¬e’x + a32 ¬ey’ + a33 ¬ez’.

Sustituyendo:

• ¬O’A = (x0′ ¬ex’ + y0′ ¬ey’+ z0′ ¬ez’) + (x a11 + y a21 + z a31) ¬ex’ + (x a12 + y a22 + z a32) ¬ey’ + (x a13 + y a23 + z a33) ¬ez’, de donde: ¬O’A = (x0′ + x a11 + y a21 + z a31) ¬ex’ + (y0′ + x a12 + y a22 + z a32) ¬ey’ + (z0′ + x a13 + y a23 + z a33) ¬ez’.

De donde:

• x’ = x0′ + x a11 + y a21 + z a31.
• y’ = y0′ + x a12 + y a22 + z a32.
• z’ = z0′ + x a13 + y a23 + z a33.

En estas ecuaciones aparecen en los dos miembros coordenadas referidas al sistema nuevo. Esto permite una escritura más compacta, pero si queremos poner en cada miembro de las expresiones coordenadas referidas a un único sistema de referencia hemos de modificar:

• ¬O’A = – ¬OO’ + ¬OA.

Siempre se cumple que:

• ¬ex ¬ex’ = a11.
• ¬ey ¬ex’ = a21.
• ¬ez ¬ex’ = a31.
• ¬ex ¬ey’ = a12.
• ¬ey ¬ey’ = a22.
• ¬ez ¬ey’ = a32.
• ¬ex ¬ez’ = a13.
• ¬ey ¬ez’ = a23.
• ¬ez ¬ez’ = a33.

Por lo tanto, si hacemos la descomposición inversa de los vectores:

• ¬ex’ = a11 ¬ex + a21 ¬ey + a31 ¬ez.
• ¬ey’ = a12 ¬ex + a22 ¬ey + a32 ez.
• ¬ez’ = a13 ¬ex + a23 ¬ey + a33 ez.

Para que la transformación lleve de un sistema de ejes ortogonales a otro ha de cumplirse:

• |¬ex|^2 = |¬ey|^2 = |¬ez|^2 = |¬ex’|^2 = |¬ey’|^2 = |¬ez’|^2 = 1.
• ¬ex ¬ey = ¬ex ¬ez = ¬ey ¬ez = ¬ex’ ¬ey’ = ¬ex’ ¬ez’ = ¬ey’ ¬ez’ = 0.

Todas estas ecuaciones conducen a:

• a11^2 + a12^2 + a13^2 = 1.
• a21^2 + a22^2 + a23^2 = 1.
• a31^2 + a32^2 + a33^2 = 1.
• a11 a21 + a12 a22 + a13 a23 = 0.
• a21 a31 + a22 a32 + a23 a33 = 0.
• a31 a11 + a32 a12 + a33 a13 = 0.

Es decir, la suma de los cuadrados de los elementos con alguna componente similar es “1″, y la suma de los productos dos a dos de las componentes de los vectores de la segunda base es “0″. A este tipo de transformaciones se les denomina ortogonales.

Un modo de obtener una transformación ortogonal usando parámetros con un claro significado geométrico es mediante los Ángulos de Euler. Sean dos sistemas coordenados (x, y, z) y (x’, y’, z’) que comparten el origen de coordenadas. Para determinar la posición de los ejes del sistema (x’, y’, z’) respecto a los ejes del sistema (x, y, z) basta con conocer los siguientes tres ángulos:

• El ángulo “σ” que forman los ejes zz’.
• El ángulo “Ψ” desde el eje “x’” a la recta “OH” de intersección del plano “xy” con el plano “x’y'”.
• El ángulo “φ” que forma la recta “OH” con el eje “x”.

Al conjunto (φ, σ, Ψ) se le conoce como ángulos de Euler, y determinan completamente la posición de (x’, y’, z’) respecto a los ejes del sistema (x, y, z). El movimiento que lleva del triedro (x, y, z) al (x’, y’, z’) se puede descomponer en tres pasos:

.-Una rotación de un ángulo “φ” alrededor del eje “z”:

• x1 = x Cosφ + y Senφ.
• y1 = – x Senφ + y Cosφ.
• z1 = z.

.-Una rotación de un ángulo “σ” alrededor del eje “x” resultante (eje “OH”, que llamaremos eje “x2″):

• x2 = x1.
• y2 = y1 Cosσ + z1 Senσ.
• z2 = – y1 Senσ + z1 Cosσ.

.-Una rotación de un ángulo “ψ” alrededor del eje “z” resultante, que llamaremos eje “z3″:

• x’ = x2 CosΨ + y2 SenΨ.
• y’ = – x2 SenΨ + y2 CosΨ.
• z’ =  z2.

En resumen:

• x’ = (Cosφ SenΨ – Senφ SenΨ Cosσ) x + (Senφ CosΨ + Cosφ SenΨ Cosσ) y + (SenΨ Senσ) z.
• y’ = – (Cosφ SenΨ – Senφ CosΨ Cosσ) x + (- Senφ SenΨ + Cosφ CosΨ Cosσ) y + (CosΨ Senσ) z.
• z’ = (Senφ Senσ) x – (Cosφ Senσ) y + (Cosσ) z.

Sistemas de Coordenadas Cilíndricas:

Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas con ejes “x”, “y”, “z”. Las coordenadas cilíndricas de un punto serán denotadas por el radio “ρ”, la altura “z”, y el ángulo “Φ”; (ρ, Φ, z), y cumplen:

• x = ρ CosΦ.
• y = ρ SenΦ.
• z = z.
• ρ ≥ 0.
• 0 ≤ Φ ≤ 2 π.
• ¬r = ρ CosΦ ¬i + ρ SenΦ ¬j + z ¬k.

Las superficies de coordenadas constantes son:

• “ρ = cte” genera un cilindro de eje “z”.
• “Φ = cte” genera un plano que contiene al eje “z” y forma un ángulo “Φ” con el plano “xz”, siendo secante al plano “xy”.
• “z = cte” genera un plano horizontal de altura “z”.

Las transformaciones inversas son:

• ρ = [x^2 + y^2]^1/2.
• Φ = Arcotg(y / x).
• z = z.

Los vectores unitarios coordenados serán:

• ¬ex = (d¬r / dx) / |d¬r / dx|, siendo “x” la coordenada curvilínea correspondiente.

A veces se definen los Coeficientes de Escala asociados a las coordenadas curvilíneas mediante hx = |d¬r / dx|. En nuestro caso:

• d¬r / dΦ = - ρ SenΦ ¬i + ρ CosΦ ¬j.
• d¬r / dρ = CosΦ ¬i + SenΦ ¬j.
• d¬r / dz = ¬k.
• hΦ = ρ.
• hρ = 1.
• hz = 1.

Por lo tanto:

• ¬eρ = CosΦ ¬i + SenΦ ¬j.
• ¬eΦ = - SenΦ ¬i + CosΦ ¬j.
• ¬ez = ¬k.

Coordenadas Esféricas:

Denotaremos las coordenadas esféricas de un punto en el espacio por el radio “ρ”, el ángulo “σ” de latitud, y el ángulo “Φ” de corte con el plano ecuador, (ρ, σ, Φ), y verifican:

• x = ρ Senσ CosΦ.
• y = ρ Senσ SenΦ.
• z = ρ Cosσ.
• ρ ≥ 0.
• 0 ≤ Φ ≤ 2 π.
• 0 ≤ σ ≤ π.
• ¬r = ρ Senσ CosΦ ¬i + ρ Senσ SenΦ ¬j + ρ Cosσ ¬k.

Las relaciones recíprocas son:

• ρ = [x^2 + y^2 + z^2]^1/2.
• Φ = Arcotg(y / x).
• σ = Arcotg([x^2 + y^2]^1/2 / z).

Las superficies coordenadas  correspondientes son:

• “ρ = cte” genera una esfera de centro “O”.
• “Φ = cte” genera un semiplano que contiene al eje “z” y forma un ángulo “Φ” con el eje “x”.
• “σ = cte” es un cono de semianchura “σ” y que posee al eje “z” como eje de simetría.

Además:

• d¬r / dρ = Senσ CosΦ ¬i + Senσ SenΦ ¬j + Cosσ ¬k.
• d¬r / dσ = ρ Cosσ CosΦ ¬i + ρ Cosσ SenΦ ¬j – ρ Senσ ¬k.
• d¬r / dΦ = – ρ Senσ SenΦ ¬i + ρ Senσ CosΦ ¬j.
• hρ = 1.
• hσ = ρ.
• hΦ = ρ Senσ.

Los vectores unitarios coordenados son entonces:

• ¬er = Senσ CosΦ ¬i + Senσ SenΦ ¬j + Cosσ ¬k.
• ¬eσ = Cosσ CosΦ ¬i + Cosσ SenΦ ¬j – Senσ ¬k.
• ¬eΦ = – SenΦ ¬i + CosΦ ¬j.

El sistema de coordenadas esférico tiene sobre todo interés en la descripción de problemas con simetría esférica.

Ecuación de una Recta en el Espacio:

Dado un punto “P” de “R^3″ y un vector no nulo “¬u”, se llama recta que pasa por “P” y tiene por dirección “¬u” al conjunto de puntos que cumplen:

• ¬Pi = ¬P + λ ¬u (ecuación vectorial).

En componentes obtenemos las ecuaciones paramétricas:

• pxi = px + λ ¬ux.
• pyi = py + λ ¬uy.
• pzi = pz + λ ¬uz.

Dados dos puntos “¬P” y “¬Q” distintos, por ellos pasa una sola recta, cuyas ecuaciones paramétricas son:

• x = px + λ (¬qx – px).
• y = py + λ (¬qy – py).
• z = pz + λ (¬qz – pz).

Una recta que pase por un punto “¬P” con una dirección “¬u” coincide con otra que pase por “¬Q” con dirección “¬v” si los vectores “¬u”, “¬v”, “¬Q – ¬P” son proporcionales. Si despejamos “λ” de las ecuaciones paramétricas obtendremos:

• λ = (x – px) / ux.
• λ = (y – py) / uy.
• λ = (z – pz) / uz.

, con lo que la recta queda también determinada por la llamada ecuación continua:

• (x – px) / ux = (y – py) / uy = (z – pz) / uz.

La recta que pasa por los puntos “¬P” y “¬Q” se puede escribir como:

• (x – px) / (qx – px) = (y – py) / (qy – py)= (z – pz) / (qz – pz).

Posición Relativa de Dos Rectas:

En el espacio dos rectas pueden ser paralelas, cortarse o cruzarse, de modo que la situación es algo más complicada que en el plano. Sean dos rectas que pasan por “¬P” y “¬Q” y tienen direcciones “¬u” y “¬v”, respectivamente. Sea “M” la matriz de coeficientes de determinante ecuación:

• |M| = (uy vz – vy uz) (qx – px) + (vx uz – ux vz) (qy – py) + (ux vy – vx uy) (qz – pz).
  

.- Si “¬u ≠ λ ¬v”:

• Si “|M| ≠ 0″ las rectas de cruzan.
• Si “|M| = 0″ las rectas se cortan en un punto.

.- Si “¬u = λ ¬u”:

• Si “¬Q – ¬P ≠ λ ¬u” las rectas son paralelas.
• Si “¬Q – ¬P = λ ¬u” las rectas son coincidentes.

Ecuación de un Plano:

En el espacio tridimensional un plano quedará determinado especificando un punto “P” por el que pase y la dirección dada por dos vectores “¬u” y “¬v” linealmente independientes. Un conjunto “¬X” pertenecerá al plano si existen dos coeficientes “λ”, “μ” tales que:

• ¬Qi – ¬Q = λ ¬u + μ ¬v.

A ésta se le denomina ecuación vectorial del plano. Las ecuaciones paramétricas son:

• x = px + λ ux + μ vx.
• y = py + λ uy + μ vy.
• z = pz + λ uz + μ vz.

El plano que pasa por tres puntos no alineados P(px, py, pz), Q(qx, qy, qz), R(rx, ry, rz), lo podemos construir de la siguiente forma:

• x = px + λ (qx – px) + μ (rx – px).
• y = py + λ (qy – py) + μ (ry – py).
• z = pz + λ (qz – pz) + μ (rz – pz).

Ecuación Euclídea de un Plano:

Un plano del espacio “R^3″ queda determinado si se conoce uno de sus puntos “P” y un vector no nulo “¬n” ortogonal al plano. Un punto “Q” pertenecerá al plano si: (¬Q – ¬P) ¬n = 0, pues si este producto escalar es nulo serán perpendiculares. Ésta se conoce como la ecuación euclídea del plano.

La ecuación general de un plano en el espacio será:

• a x + b y + c z + d = 0.

, donde el vector ¬n(a, b, c) es perpendicular al plano.

Rectas como Intersecciones de Planos:

Toda recta en el espacio tridimensional se puede expresar como intersección de dos planos cuyos vectores normales no son proporcionales. Así pues, podemos definir la recta “r” como:

• a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0.
• a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0.

, donde el vector normal al primer plano es ¬m(a1, b1, c1) y el vector normal al segundo plano es ¬n(a2, b2, c2).

Posicion Relativa de Rectas y Planos:

Sea un plano “π” de ecuación “a x + by + c z + d = 0″, y consideremos una recta “r” cuyo vector director es ¬u(ux, uy, uz), y pasa por P(x0, y0, z0). Entonces la ecuación de la recta será: “(x – x0) / ux = (y – y0) / uy = (z – z0) / uz.”

El ángulo entre la recta y el plano “Φ” es el ángulo que forma el vector “¬u” con su proyección ortogonal sobre el plano “π”:

• Φ = Arcosen(|¬u ¬n| / ||¬u|| ||¬a||).

Tenemos las siguientes posibilidades para la posición relativa de la recta y el plano:

• La recta y el plano se cortan en un punto si los vectores “¬u” y “¬n” no son perpendiculares.
• La recta y el plano son paralelos si los vectores “¬u” y “¬n” son perpendiculares y el sistema de ecuaciones es incompatible.
• La recta está contenida en el plano si los vectores “¬u” y “¬n” son perpendiculares y el sistema de ecuaciones es compatible.

Distancia de un Punto a un Plano:

Consideremos un punto “P” y un plano “π” tales que “P” no pertenezca a “π”. Entonces existe un punto “P0″ en “π” tal que el vector “¬P – ¬P0″ es perpendicular a “π”. La distancia de “P” a “π” es la menor de las distancias de “P” a los puntos del plano “π”, y coincide con la longitud del segment0 PP0, que es la proyección del vector (¬Q – ¬P) sobre la normal al plano, “¬n”, siendo “¬Q” un punto del plano:

• d(P,π) = |(¬Q – ¬P) ¬n| / ||¬n||.

Superficies y Curvas en el Espacio Tridimensional:

La ecuación de una superficie en el espacio tridimensional puede escribirse como f(x, y, z) = 0, y se denomina ecuación implícita de la superficie. Los puntos cuyas coordenadas (x, y, z) satisfacen dicha ecuación forman parte de la superficie. Un ejemplo es la esfera de radio “R” con centro en (x0, y0, z0):

• (x – x0)^2 + (y – y0)^2 + (z – zo)^2 = R^2.

Otra forma de escribir la ecuación de una superficie es mediante el uso de parámetros. En general, si “u”, “v” pertenecen a “R”, una superficie podrá escribirse como:

• x = f1(u, v).
• y = f2(u, v).
• z = f3(u, v).

Éstas se conocen como las componentes paramétricas de la superficie. Veamos por ejemplo las de la esfera (coordenadas esféricas):

• x = R Senσ CosΦ.
• y = R Senσ SenΦ.
• z = R Cosσ.

Otro ejemplo. Consideremos el cilindro de radio “R” y que tiene como eje el eje “z”. Los puntos que se encuentran sobre el cilindro verifican que su distancia al eje debe ser “R”, de modo que tenemos la ecuación:

• x^2 + y^2 = R^2, para cualquier valor de “z”.

Sus ecuaciones paramétricas podrían ser (coordenadas cilíndricas):

• x = R CosΦ.
• y = R SenΦ.
• z = z.

Si intersecamos dos superficies tendremos en general una curva, de modo que al conjunto de de ecuaciones:

• f1(x, y, z) = 0.
• f2(x, y, z) = 0.

se les denomina a veces ecuación de una curva en forma implícita.

Consideremos las ecuaciones:

• x^2 + y^2 = R^2.
• x = h.

Se trata de un cilindro de radio “R” y un plano paralelo al plano “xy” que pasa por “x = h”. Tomadas en conjunto, esas dos ecuaciones describen una circunferencia de radio “R” centrada en (0, 0, h).

Otra forma de escribir la ecuación de una curva en 3 dimensiones es mediante un cierto parámetro, con lo cual tenemos las ecuaciones paramétricas de la curva:

• x = g1(t).
• y = g2(t).
• z = g3(t).

En el caso de la circunferencia anterior tendríamos:

• x = R Cost.
• y = R Sent.
• z = h.

Finalmente, una curva y una superficie intersecan normalmente en uno o varios puntos.

Superficies de Revolución:

Supongamos una curva en el plano “xz” dada mediante la ecuación z = f(x). Si giramos esta curva alrededor del eje “z”, cada punto de la curva describirá una circunferencia con centro en el punto (0, 0, z0), y radio “x0″. Los puntos de esta circunferencia verifican entonces:

• x^2 + y^2 = x0^2.
• z = z0.

Tenemos entonces “z0 = f([x^2 + y^2]^1/2). La ecuación de la superficie de revolución generada podemos escribirla como:

• z = f([x^2 + y^2]^1/2) = f(r).

Superficies Cilíndricas:

Sea “γ” cierta curva en el espacio y sea “¬u” una dirección. Denominaremos superficie cilíndrica  de curva directriz “γ” y de generatriz “¬u” a la superficie contruida haciendo pasar por cada punto de “γ” una recta paralela a “¬u”.

Consideremos por ejemplo la siguiente elipse en el plano “xy”:

• x0^2 / a^2 + y0^2 / b^2 = 1.

Si tomamos la generatriz paralela al eje “z” (ux = uy = 0, uz = 1), tendremos la ecuación de un cilindro elínptico de generatriz “z”:

• x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1.

Si tomamos, sin embargo, la recta “x = z, y = 0″ por generatriz, obtendremos un cilindro elíptico de generatriz “x = z, y = 0″ (ux = uy = 0, uz = 1):

• (x – z)^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1.

Superficies Cónicas:

Sea “γ” una curva arbitraria y “O” un punto fuera de ella. Tracemos una recta por cada punto de “γ” que pasa por “O”. El conjunto de puntos situados en estas rectas se denomina superficie cónica. “γ” es la directriz, “O” es el vértice, y cada recta “l” que pase por “γ” y “O” se denomina generatriz.

Supongamos que el vértice está situado en el origen de coordenadas, y tomemos como generatriz una recta que pase por “O” y por un punto (x0, y0, z0) de la curva “γ”. Las ecuaciones paramétricas de esta generatriz serán:

• x = t x0.
• y = t y0.
• z = t z0.

Y su ecuación implícita es:

• f1(x0, y0, z0) = 0.
• f2(x0, y0, z0) = 0.

Como (x0, y0, z0) pertenece a la curva, y por lo tanto definible en general por medio a dunas ecuaciones paramétricas, ha de verificarse que:

• x0 = g1(u).
• y0 = g2(u).
• z0 = g3(u).

de donde:

• x = t g1(u).
• y = t g2(u).
• z = t g3(u).

Éstas serían las ecuaciones paramétricas de una seuperficie cónica con el vértice en el origen de coordenadas. Su ecuación implícita vendría dada por:

• F(x, y, z) =0.

, por lo tanto podemos escribir:

• F(x, y, z) = F(t x0, t y0, t z0) = F(x0, y0, z0) = 0.

Una propiedad interesante que se deriva de esto es que cualquier función homogénea de grado “q”:

• F(t x, t y, t z) = t^q F(x, y, z).

puede representar una superficie cónica con vértice en el origen si la escribimos como:

• F(x, y, z) = 0.

En efecto, si el punto (x0, y0, z0) está en la superficie tenemos:

• F(x0, y0, z0) = F(t x0, t y0, t z0) = t^q F(x0, y0, z0).

Por lo tanto los puntos de las rectas que pasan por el origen está en la superficie.

El Elipsoide:

Consideremos en el espacio euclídeo un sistema de ejes rectangulares “xyz”, y sean los números reales:

• a > 0.
• b > 0.
• c > 0.

Definimos los puntos:

• A = (a, 0, 0).
• A’ = (- a, 0, 0).
• B = (0, b, 0).
• B’ = (0, – b, 0).
• C = (0, 0, c).
• C’ = (0, 0, – c).

Sean las elipses siguientes:

• “Ex” con ejes “BB’”, “CC’”.
• “Ey” con ejes “AA’”, “CC’”.
• “Ez” con ejes “AA’”, “BB’”.

Cuyas ecuaciones son:

.-Ex:

• y^2 / b^2 + z^2 / c^2 = 1.
• x = 0.

.-Ey:

• x^2 / a^2 + z^2 / c^2 = 1.
• y = 0.

.-Ez:

• x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1.
• z = 0.

Se llama elipsoide de vértices “A”, “A’”, “B”, “B’”, “C”, “C’”, al lugar geométrico que describe una elipse situada en un plano perpendicular al eje “z”, y que tiene sus vértices en las elipses “Ex”, “Ey”. La ecuación reducida del elipsoide es:

• x^2 / a^2 + y^2 / b^2 + z^2 / c^2 = 1.
  

Un plano perpendicular al eje “z”, tal como el:

• z = h.

, corta a la elipse “Ex” en los puntos:

• y^2 / b^2 + h^2 / c^2 = 1.
• x = 0.

, y a la elipse “Ey” en los puntos:

• x^2 / a^2 + h^2 / c^2 = 1.
• y = 0.

Es decir, por un lado a los puntos:

• y = +- b [1 - h^2 / c^2]^1/2.
• x = 0.
• z = h.
  

, y por el otro a los puntos:

• x = +- a [1 - h^2 / c^2]^1/2.
• y = 0.
• z = h.

De aquí deducimos que uno de los semiejes de la elipse variable por longitud “a [1 - h^2 / c^2]^1/2″ (el correspondiente al eje “x”), y el otro tiene por longitud “b [1 - h^2 / c^2]^1/2″ (el correspondiente al eje “y”). La ecuación de la elipse resultado de la intersección del elipsoide con un plano:

• z = h.

es, por lo tanto:

• z = h.
• x^2 / (a^2 (1 – h^2 / c^2)) + y^2 / (b^2 (1 – h^2 / c^2)) = 1.
• - c ≤ h ≤ c.

El lugar geométrico que barre esta elipse variando “h” desde “- c” hasta “c” es la superficie del elipsoide.

Propiedades del Elipsoide:

El elipsoide:

• x^2 / a^2 + y^2 / B`2 + z^2 / c^2 = 1.

es simétrico respecto al origen de coordenadas. También es simétrico respecto a los ejes “x”, “y”, “z”, y respecto a los planos coordenados:

• x = 0.
• y = 0.
• z = 0.

El elipsoide está situado entre dos esferas cuyos radios son:

• r = mínimo de (a, b, c).
• R = máximo de (a, b, c).

Si:

• a = b.

, entonces el elipsoide es de revolución alrededor del eje “z”. Si además:

• a = b = c.

, se trata de una esfera de radio “a”. Si:

• a = c.

, tenemos una elipsoide de revolución alrededor del eje “y”.

Hiperboloide de una hoja:

Consideremos un sistema de ejes rectangulares “xyz”, y sean los números reales:

• a > 0.
• b > 0.
• c > 0.

Definimos los puntos:

• A = (a, 0, 0).
• A’ = (- a, 0, 0).
• B = (0, b, 0).
• B’ = (0, – b, 0).
• C = (0, 0, c).
• C’ = (0, 0, – c).
• Sea “E” la elipse de simejes “AA’” y “BB’”.
• Sea “Hx” la hipérbola con el eje real “BB’” e imaginario “CC’”.
• Sea “Hy” la hipérbola con eje real “AA’” e imaginario “CC’”.

El hiperboloide de una hoja con ejes reales “AA’”, “BB’”, y cuyo eje imaginario es “CC’”, es el lugar geométrico de los puntos que pertenecen a una elipse situada en un plano perpendicular a “z” y con vértices en las hipérbolas “Hx” y “Hy”. Su ecuación reducida es:

• x^2 / a^2 + y^2 / b^2 – z^2 / c^2 = 1.

Las ecuaciones de la elipse “E” son:

• x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1.
• z = 0.

Las de la hipérbola “Hx”:

• y^2 / b^2 – z^2 / c^2 = 1.
• x = 0.

Y las de la hipérbola “Hy”:

• x^2 / a^2 – z^2 / c^2 = 1.
• y = 0.

Si cortamos estas hipérbolas “Hx” y “Hy” con el plano horizontal:

• z = h.

obtendremos los siguientes puntos de corte: por parte de “Hx:”

• y = +- b [1 + h^2 / c^2]^1/2.
• x = 0.
• z = h.

y por parte de “Hy”:

• x = +- a [1 + h^2 / c^2]^1/2.
• y = 0.
• z = h.

Por lo tanto la elipseresultado de la intersección del hiperboloide con el plano:

• z = h.

será:

• z = h.
• x^2 / (a^2 (1 + h^2 / c^2)) + y^2 / (b^2 (1 + h^2 / c^2)) = 1.
• - ∞ ≤ h ≤ ∞.

Al hacer variar esta elipse en el eje “z” obtenemos la superficie del hiperboloide de una hoja. Si eliminamos “h” de las dos ecuaciones anteriores obtendremos la ecuación reducida.

Propiedades del Hiperboloide de Una Hoja:

El hiperboloide:

• x^2 / a^2 + y^2 / b^2 – z^2 / c^2 = 1.

es simétrico respecto al origen “O”, a los ejes “x”, “y” y “z”, y también respecto a los planos coordenados.

El hiperboloide está situado fuera del cono:

• x^2 / a^2 + y^2 / b^2 – z^2 / c^2 = 0.

Este cono es asintótico al hiperboloide, y es el cono que generan las asíntotas que resultan de cortar al hiperboloide con planos que contienen al eje “z”.

Sabemos que la intersección del hiperboloide con el plano:

• z = h.

es:

• x^2 / (a^2 (1 + h^2 / c^2)) + y^2 / (b^2 (1 + h^2 / c^2)) = 1.

, mientras que la intersección del cono con ese mismo plano es:

• x0^2 / (a^2 h^2 / c^2) + y0^2 / (b^2 h^2 / c^2) = 1.
  

Si un punto (x0, y0) cumple la anterior ecuación, entonces el punto:

• x = [1 + h^2 / c^2]^1/2 x0 / (h / c).
• y = [1 + h^2 / c^2]^1/2 y0 / (h / c).

cumple pertenecer a la intersección con el hiperboloide. Los puntos (x, y) y (x0, y0) están en un plano perpendicular al eje “z”, y sus distancias a este eje verifican:

• d = [x^2 + y^2]^1/2 = [c^2 / h^2 + 1]^1/2 [x0^2 + y0^2]^1/2.
• d ≥ d0 = [x0^2 + y0^2]^1/2.

La ecuación del hiperboloide en coordenadas cilíndricas es:

• ρ^2 (CosΦ^2 / a^2 + SenΦ^2 / b^2) – z^2 / c^2 = 1.

La intersección de este hiperboloide con un plano:

• Φ = cte.

es una hipérbola. Las asíntotas de esta hipérbola son las rectas que admiten por ecuación conjunta a:

• ρ^2 (CosΦ^2 / a^2 + SenΦ^2 / b^2) = z^2 / c^2.

El lugar geométrico que engendran estas rectas es el cono antes descrito.

Si:

• a = b.

, entonces el hiperboloide de revolución gira en torno al eje “z”.

Hiperboloide de dos hojas:

Consideremos un sistema de ejes rectangulares “xyz”, y sean los números reales:

• a > 0.
• b > 0.
• c > 0.

Definimos los puntos:

• A = (a, 0, 0).
• A’ = (- a, 0, 0).
• B = (b, 0, 0).
• B’ = (- b, 0, 0).
• C = (c, 0, 0).
• C’ = (- c, 0, 0).
• Sea “Hx” la hipérbola con eje real “CC’” e imaginario “BB’”.
• Sea “Hy” la hiperbola con eje real “CC’” e imaginario “AA’”.

Se llama hiperboloide de dos hojas, que tiene como eje real “CC’” y como ejes imaginarios “AA’” y “BB’”, al lugar geométrico que describe una elipse variable situada en un plano perpendicular al eje “z” y cuyos vértices están en las hipérbolas “Hx” y “Hy”. Su ecuación reducida es:

• x^2 / a^2 + y^2 / b^2 – z^2 / c^2 = – 1.

La hipérbola “Hx” es:

• y^2 / b^2 – z^2 / c^2 = 1.
• x = 0.

Y la hipérbola “Hy” es:

• x^2 / a^2 – z^2 / c^2 = 1.
• y = 0.

Si cortamos al hiperboloide con un plano:

• z = h.

obtenemos dos elipses con vértices en los puntos:

• y^2 / b^2 – z^2 / c^2 = 1.
• x = 0.
• z = h.

y:

• x^2 / a^2 – z^2 / c^2 = 1.
• y = 0.
• z = h.

La ecuación de la elipse será:

• x^2 / (a^2 (h^2 / c^2 – 1)) + y^2 / (b^2 (h^2 / c^2 – 1)) = 1.
• |h| ≥ c.

Propiedades del Hiperboloides de Dos Hojas:

El hiperboloide de dos hojas es simétrico respecto al origen “O”, respecto a los ejes “x”, “y”, “z”, y también respecto a los planos coordenados.

El hiperboloide se halla situado fuera de la región:

• |z| < c.

, ya que:

• z^2 / c^2 = 1 + x^2 / a^2 + y^2 / b^2 ≥ 1.

Si:

• a = b.

, entonces el hiperboloide es de revolucion:

• (x^2 + y^2) / a^2 – z^2 / c^2 = 1.

, resultado de hacer girar alrededor del eje “z” una hipérbola conjugada al caso del hiperboloide de una hoja.

Paraboloide Elíptico:

Consideremos en un sistema de semiejes rectangulares las siguientes parábolas: “Py”:

• x^2 = 2 p z.
• y = 0.

“Px”:

• y^2 = 2 q z.
• x = 0.

• p > 0.
• q > 0.

Tienen el vértice en el origen, la concavidad en el mismo sentido, y están situadas en planos perpendiculares.

El paraboloide elíptico es el lugar geométrico que describe una elipse variable con vértices en “Px” y “Py”. Su ecuación reducida es:

• x^2 / p + y^2 / q = 2 z.

Si cortamos este paraboloide con un plano:

• z = h.

obtenemos los siguientes puntos de corte por parte de “Px”:

• x = +- [2 p h]^1/2.
• y = 0.
• z = h.

, y por parte de “Py”:

• y = +- [2 q h]^1/2.
• x = 0.
• z = h.

La elipse resultado de la intersección será:

• x^2 / 2 p h + y^2 / 2 q h = 1.

Propiedades del Paraboloide Elíptico:

El punto “O” se llama vértice deñ paraboloide elíptico, pero no es un centro de simetría. El paraboloide es simétrico respecto al eje “z” y los planos:

• x = 0.
• y = 0.

Si cortamos el paraboloide con los planos:

• x = cte.

ó:

• y = cte.

, obtenemos las parábolas:

• x = c.
• c^2 / 2 p + y^2 / 2 q = z.
• y^2 = 2 q z – q c^2 / p.
  

, y:

• y = c.
• x^2 / 2 p + c^2 / 2 q = z.
• x^2 = 2 p z – p c^2 / q.

Si:

• p = q.

, entonces el paraboloide es de revolución, resultado de girar una parábola con el centro en el origen alrededor del eje “z”:

• x^2 + y^2 = 2 p z.

Paraboloide Hiperbólico:

Consideremos un sistema de ejes coordenados rectangulares y a las siguientes parábolas: Px:

• y^2 = – 2 q z.
• x = o.

Py:

• x^2 = 2 p z.
• y = 0.
• p > 0.
• q > 0.

Tienen el mismo vértice, la concavidad en distinto sentido, y están situadas en planos perpendiculares. Se llama paraboloide hiperbólico al lugar geométrico que describe una parábola variable paralela a “Px” que se desplaza de manera que su vértice recorre “Py”. Su ecuación reducida es:

• x^2 / p – y^2 / q = 2 z.

Si intersecamos el paraboloide con:

• y = h.

obtenemos:

• x^2 / p = 2 z + h^2 / q.
• x^2 = 2 p (z + h^2 / 2 q).

, que es una parábola en el plano:

• y = h.

, con vértice (0, h, – h^2 / 2 q). Análogamente, si intersecamos el paraboloide con el plano:

• x = h.

, obtenemos:

• - x^2 / p = 2 z – h^2 / q.
• x^2 = – 2 p (z – h^2 / 2 q).

, que es una parábola en el plano:

• x = h.

con vértice (h, 0, h^2 / 2 q).

Si intersecamos al paraboloide hiperbólico con planos:

• z = h.

obtenemos hipérbolas conjugadas:

• x^2 / p – y^2 / q = 2 h.
• x^2 / 2 h p – y^2 / 2 h q = 1, si h > 0.
• x^2 / |2 h p| – y^2 / |2 h q| = 1, si h < 0.

Al paraboloide hiperbólico se le llama a veces “superficie en silla de montar”, por su analogía con ella.

Propiedades del Paraboloide Hiperbólico:

Se denomina vértice del paraboloide hiperbólico al punto “O”. Es simétrico respecto a “z” y a los planos:

• x = 0.
• y = 0.

Esta superficie no es en ningún caso una superficie de revolución.

Métodos Matemáticos III (1): Geometría Analítica en el Plano: Representación de Puntos, Distancia, Coordenadas Polares, Transformación de Coordenadas, Ecuaciones Paramétricas, Posición Relativa, Ángulos, Curvas Cónicas, Foco, Directriz, Excentricidad.

Representación de Puntos en el Plano:

Consideremos un plano donde dibujamos dos líneas perpendiculares que denominamos “OX” y “OY”. Estas líneas se intersecan en un punto “O” que llamaremos el origen de coordenadas. El origen divide a los ejes en dos partes denominadas semiejes (semieje positivo y negativo). Cualquier punto del plano vendrá especificado por un par de números reales que denominaremos coordenadas del punto P = (px, py). Para obtener estas coordenadas trazamos una línea paralela al eje “Y” que pasa por “P”: el punto de corte de esta línea con el eje “X” se encuantra a una distancia “px” del origen. Análogamente, si trazamos una línea que pasa por “P” paralela al eje “X”, la distancia del punto de corte con el eje “Y” al origen “O” es “py”. A estas coordenadas se las denomina coordenadas cartesianas rectangulares.

A su vez, después de establecer los ejes coordenados podemos decir que el plano 2D está dividido en cuatro cuadrantes. En sentido contrario al avance de las agujas del reloj: I, II, III, IV. Los puntos que se encuentran en el eje “X” o eje de abscisas tienen coordenada “y = 0″. Los puntos que se encuentran en el eje “Y” o de ordenadas tienen coordenada “x = 0″. El origen de coordenadas será obviamente (0, 0).

En general denotaremos un punto en el plano mediante el par ordenado constituido por sus coordenadas (x, y). Abusando un poco del lenguaje podemos decir que que el plano donde se han introducido introducido las coordenadas cartesianas”x” e “y” es el plano “xy”. Se cumple que dado un par arbitrario de números reales “x” e “y” existe siempre un punto “P” en el plano “xy” cuya abscisa es igual a “x” y cuya ordenada es igual a “y”, que denotaremos por (x, y). Esta correspondencia es biunívoca. Definimos como los vectores unitarios coordenados ¬i y ¬j a aquéllos de longitud unidad orientados según los ejes coordenados.

• ¬i = (1, 0).
• ¬j = (0, 1).

Así pues:

• x = ¬OP ¬i.
• y = ¬OP ¬j.

escalarmente, y por último:

• ¬OP = x ¬i + y ¬j.

Distancia entre dos puntos:

Sean dos puntos “P1″ y “P2″ en el plano “xy” de coordenadas (x1, y1) y (x2, y2), respectivamente. La distancia entre “P1″ y “P2″ en función de sus coordenadas es:

• d^2 = (x1 – x2)^2 + (y1 – y2)^2.

, de donde se despeja fácilmente que:

• d = [(x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2]^1/2 = d(P1, P2).

A esta distancia se le denomina también distancia euclídea en el plano, y cumple las siguientes propiedades:

• d(P1, P2) ≥ 0.
• Si d(P1, P2) = o, entonces P1 = P2.
• d(P1, P2) = d(P2, P1).

Consideremos el lugar geométrico de los puntos “M” que distan una distancia “r” de un punto “P” de coordenadas (a, b). Tenemos:

• d(M, P) = [(x - a)^2 + (y - b)^2]^1/2 = r.

, que se escribe como:

• (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2.

Esta es la ecuación canónica de una circunferencia de radio “r”.

Veamos cómo dividir un segmento de acuerdo con una razón dada. Consideremos dos puntos M1(x1, y1) y M2(x2, y2), y el segmento que va de uno a otro. Trataremos de encontrar un punto intermedio “M” tal que para dos números reales cualesquiera “λ1″ y “λ2″ > 0 se cumpla que d(M1, M) / d(M2, M) = λ1 / λ2. Suponiendo que el segmento no es paralelo al eje “X”, por semejanza de triángulos tendremos:

• d(M1, M) / d(M2, M) = |x1 – x| / |x2 – x| = λ1 / λ2.
• d(M1, M) / d(M2, M) = |y1 – y| / |y2 – y| = λ1 / λ2.

De la primera ecuación tenemos:

• x = (x1 λ2 + x2 λ1) / ( λ1 + λ2).

Análogamente, de la segunda:

• y = (y1 λ2 + y2 λ1) / ( λ1 + λ2).

Coordenadas polares:

Supongamos que tenemos definido en el plano l origen de coordenadas “O”, la unidad de escala de longitud y un eje ¬L que pasa por el punto “O”. Sea “M” un punto arbitrario del plano que no coincide con “O”. Determinaremos su posición en el plano unívocamente mediante dos números:

• La distancia entre “M” y “O”, que denotaremos por “r”.
• El ángulo “φ”, medido en el sentido contrario al avance de las agujas del reloj, entre el semieje positivo ¬L y la dirección ¬OM.

Al par ordenado de valores (r, φ) se le denomina coordenadas polares del punto “M”. “r” es el radio polar y “φ” es el ángulo polar. Es habitual llamar a “O” el polo y a “¬L” el eje polar. Con la definición anterior, para todo punto “M” del plano, excepto el punto “O”, tenemos “r > 0″ y “0 ≤ φ ≤ 2 π”. Al polo “O” se le asigna “r = 0″, mientras que el ángulo “φ” está indeterminado. Al sistema de coordenadas que acabamos de construir en el plano se le denomina sistema de coordenadas polares. Podemos relacionar el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares con el de coordenadas polares:

• El polo “O” es el origen de coordenadas (0, 0).
• El eje orientado “X” es el eje polar. El eje “Y” forma un ángulo de “π / 2″ respecto al eje “X”. De este modo tenemos ¬L = ¬i.

Se llaman líneas coordenadas a aquéllas definidasmediante las condiciones:

• r = cte.
• φ = cte”.

En coordenadas polares, estas líneas corresponden a circunferencias centradas en el origen y a semirrectas que pasan por el origen, respectivamente. Los vectores unitarios coordenados son vectores unitarios perpendiculares a las líneas coordenadas de cada punto, y con el mismo sentido del crecimiento de dicha coordenada. Con esta definición, los vectores “¬er” y “¬eφ” son ortonormales y su dirección depende del punto del espacio que consideremos:

• ¬er = Cosφ ¬i + Senφ ¬j.
• ¬eφ = – Senφ ¬i + Cosφ ¬j.

La elección de un adecuado sistema de vectores unitarios tiene especial importancia en la expresión de los campos vecoriales. Interesa que las coordenadas curvilíneas elegidas se adecúen a la simetría que presente el campo. Consideremos por ejemplo una carga eléctrica “q” en el origen de coordenadas. El campo eléctrico generado tiene dirección radial y su módulo es:

• |¬Eq| = (K q / r^2) ¬er.

, mientras que en coordenadas cartesianas (en 2D) tendríamos:

• ¬Eq = (K q / (x^2 + y^2) ) ((x / [x^2 + y^2]^1/2) ¬i + (y / [x^2 + y^2]^1/2) ¬j) = (K q / [x^2 + y^2]^3/2) (x ¬i + y ¬j).

La relación entre coordenadas polares y cartesianas es:

• r = [x^2 + y^2]^1/2.
• Cosφ = x / [x^2 + y^2]^1/2.
• Senφ = y / [x^2 + y^2]^1/2.

A su vez, podemos escribir:

• x = r Cosφ.
• y = r Senφ.

Ya vimos que la ecuación de la circunferencia de radio “r” centrada en el origen en coordenadas cartesianas es:

• x^2 + y^2 = r^2.

, mientras que en coordenadas polares es simplemente:

• r = cte.

La ecuación, en coordenadas cartesianas, de una circunferencia centrada en un punto (a, b) arbitrario y radio “R” es:

• (x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2.

Su expresion en coordenadas polares, siendo:

• a = r0 Cosφ.
• b = r0 Senφ.

, se expresa del siguiente modo:

• 2 r r0 Cos(φ – φ0) = r^2 + r0^2 – R^2.

, y en caso de que la circunferencia pase por el eje de coordenadas (r0 = R), queda aún más simplificada:

• r = 2 R Cos(φ – φ0).

Transformación de Coordenadas:

En algunos casos puede resultar útil referir las coordenadas a sistemas de ejes a los originalmente planteados. Consideremos las siguientes transformaciones:

• Traslaciones: tomamos un nuevo sistema de ejes coordenados cartesianos O’ X’ Y’ donde el origen de coordenadas O’ tiene coordenadas (x0, y0) referidas a los ejes coordenados O X Y. Obviamente se cumple que x’ = x – x0, y’ = y – y0. A esta transformación se la denomina traslación.
• Rotaciones: tomamos un nuevo sistema de ejes cartesianos O’ X’ Y’ en el que los ejes X’ e Y’ se giran solidariamente un cierto ángulo “α” en sentido antihorario.

Veamos cuál es la relación entre las coordenadas X Y referidas al sistema inicial y las coordenadas X’ Y’ referidas al sistema girado. Obsérvese que la componente “x” del vextor unitario “¬i” viene dada por el producto escalar:

• ¬i’ ¬i = Cosα.

, mientras que la componente “y” del vector viene dada por:

• ¬i’ ¬j = Senα.

Tenemos entonces:

• ¬i’ = Cosα ¬i + Senα ¬j.
• ¬j’ = – Senα ¬i + Cosα ¬j.

Dado un punto “P” en el plano de coordenadas (x, y), escribimos:

• ¬OP = x ¬i + y ¬j.

en el sistema de coordenadas sin transformar, mientras que en el transformado tenemos:

• ¬OP = x’ ¬i’ + y’ ¬j’.

Sustituyendo con las anteriores igualdades:

• ¬OP = (x’ Cosα – y’ Senα) ¬i + (x’ Senα + y’ Cosα) ¬j.

Pesto que éstas son las componentes respecto a la base de vectores coordenados “¬i” y “¬j” deducimos:

• x = x’ Cosα – y’ Senα.
• y = x’ Senα + y’ Cosα.

Con 0 ≤ α ≤ 2 π. Por otro lado, los vectores coordenados ¬i y ¬j en términos de los ¬i’ y ¬j’ vienen dados por:

• ¬i = Cosα ¬i’ – Senα ¬j’.
• ¬j = Senα ¬i’ + Senα ¬j’.

Como:

• ¬OP = x ¬i + y ¬j = (x Cosα + y Senα) ¬i + (- x Senα + y Cosα) ¬j.

, deducimos que:

• x’ = x Cosα – y Senα.
• y’ = – x Senα + y Cosα.

Si realizamos una transformación de coordenadas donde se produce una traslación junto con una rotación de los ejes, obtenemos una forma general de las transformaciones de coordenadas en el plano. Para ver cuál es la relación entre las coordenadas referidas al sistema O’ X’ Y’ y las relaciones al sistema O X Y resulta útil construir un sistema auxiliar O’ X” Y” que tiene el mismo origen que el sistema O’ X’ Y’, pero con los ejes paralelos a los del sistema O X Y. Podemos entonces escribir:

• x” = x’ Cosα – y’ Senα.
• y” = x’ Senα + y’ Cosα.

y además:

• x = x” + x0.
• y = y” + y0.

siendo (x0, y0) las coordenadas de O’ en el sistema de referencia O X Y. De lo cual, en resumen, se deduce que:

• x = x’ Cosα – y’ Senα + x0.
• y = x’ Senα + y’ Cosα + y0.

Por otra parte, la relación entre las coordenadas referidas al sistema O’ X” Y” y las referidas al sistema O’ X’ Y’ es:

• x’ = x” Cosα + y” Senα.
• y’ = – x” Senα + y” Cosα.

también expresable como:

• x’ = (x – x0) Cosα + (y – y0) Senα.
• y’ = – (x – xo) Senα + (y – y0) Cosα.

Es posible demostrar que cualquier transformación de coordenadas X Y a X’ Y’ que deje invariante la distancia entre dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), es decir: (x1 – x2)^2 + (y1 – y2)^2 = (x’1 – x’2)^2 + (y’1 – y’2)^2, descrita por las fórmulas de transformación anteriores salvo tal vez un signo:

• x’ = (x – x0) Cosα + (y – y0) Senα.
• y’ = +-[- (x - xo) Senα + (y - y0) Cosα].

El signo menos que aparece en la última fórmula se debe a una reflexión a lo largo de una línea que pasa por el origen de coordenadas.

Reflexión Especular:

Consideremos un sistema de coordenadas O X’ Y’ en el que se cumple que los ejes de abscisas coinciden (O X = O X’) y que el eje de coordenas transformado O Y’ tiene orientación opuesta al O Y. Para un punto “M” arbitrario la relación entre las coordenadas nuevas y las viejas será entonces:

• x = x’.
• y = – y’.

Esto es una reflexión especular respecto al eje O X.

De modo análogo podemos hacer una reflexión especular respecto al eje O Y. Se puede demostrar que cualquier transformación de las coordenadas cartesianas rectangulares que conserve la distancia se puede descomponer en una traslación, giro y reflexión especular.

Curvas en el Plano:

Consideremos una curva en el plano X Y tal como indica la figura. La ecuación dada por:

• f(x, y) = 0.

se llama ecuación implícita de la curva. Los puntos del plano cuyas coordenadas (x, y) cumplen:

• f(x, y) = 0.

se dice que son puntos de la curva. En esencia, la geometría analítica aborda el problema de las curvas en el plano desde las dos perspectivas:

• Encontrar la ecuación de una curva dadas sis propiedades geométricas.
• Encontrar las propiedades geométricas de una curva dada su ecuación.

Ecuaciones Paramétricas de una Curva:

Supongamos un punto “P” sobre una cierta curva y que para cada valor del parámetro “t” las coordenadas del punto son:

• x = f(t).
• y = g(t).

Estas son las llamadas ecuaciones paramétricas de la curva en función del parámetro “t”. En el caso de una partícula que se mueva por el espacio físico que se mueva por el espacio describiendo la curva, este parámetro podría ser por ejemplo el tiempo.

Supongamos un círculo con centro en el origen y radio “R”. Podemos escribir:

• x = R Cosα.
• y = R Senα.

, con 0 ≤ α ≤ 2 π. En este caso el parámetro de la curva es el ángulo “α”. A partir de las ecuaciones paramétricas podemos obtener la ecuación en forma implícita despejando el parámetro:

• x^2 + y^2 = R^2 Cosα^2 + R^2 Senα^2 = R^2.

Consideremos las ecuaciones paramétricas siguientes:

• x = a Cost.
• y = b Sent.
• 0 ≤ t ≤ 2 π.

Para eliminar el parámetro “t” dividimos “x” por “a” e “y” por “b”, de modo que:

• x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1.

Tenemos así la forma implícita de la ecuación de la curva, en este caso una elipse.

Conviene señalar que, en general, el conjunto de puntos que satisfacen las ecuaciones paramétricas no coincide con el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación de la curva en su forma implícita. Consideremos el siguiente ejemplo:

• x = a Cosht.
• y = b Senht.
• Cosht = (e^x + e^-x) / 2.
• Senht = (e^x – e^-x) / 2.

Se cumple que:

• Cosht^2 – Senht^2 = 1.

, y por tanto la ecuación implícita de la curva es:

• x^2 / a^2 – y^2 / b^2 = 1.

Se trata de una hipérbola. En esta ecuación el punto (-a, 0) es solución, pero no satisface las ecuaciones paramétricas originales.

Rectas en el Plano:

Sea ¬P un punto del plano R^2 y ¬u un vector no nulo de R^2 (vector director). Se llama recta que pasa por ¬P y tiene la dirección ¬u al conjunto formado por los puntos ¬r de R^2 tales que:

• ¬r = ¬P + λ ¬u.

, para cualquier valor de “λ”.

Esta se denomina ecuación vectorial de la recta. Dos rectas definidas por:

• ¬r = ¬P + λ ¬u.
• ¬s = ¬Q + λ ¬v.

serán la misma si y solo si los vectores “¬P – ¬Q”, “¬u” y “¬v” son vectores proporcionales.

Se llama segmento que tiene por origen y extremo los puntos “¬P” y “¬Q” al conjunto de puntos de valores “¬xi” tales que:

• ¬xi = ¬P + λ (¬Q – ¬P).

, siempre que 0 ≤ λ ≤ 1.

Si escribimos la ecuación vectorial usando coordenadas o componentes tendremos:

• x = px + λ ux, y = py + λ uy.

Éstas últimas se conocen como ecuaciones paramétricas de la recta en R^2.

Si despejamos “λ” obtendremos:

• (x – px) / ux = (y – py) / uy.

A ésta se la denomina ecuación continua o canónica de la recta.

Obtengamos ahora la ecuación de la recta que pasa por los puntos ¬P(px, py) y Q(qx, qy). Las paramétricas:

• x = λ (qx – px) + px.
• y = λ (qy – py) + py.

La continua:

• (x – px) / (qx – px) = (y – py) / (qy – py).

Consideremos una línea recta que pasa por el punto A0(x0, y0), y sea ¬n = (a, b) un vector normal a la recta. Cualquier otro punto “P” que pertenece a la recta cumple que el vector “¬P – ¬A0″ es perpendicular a “¬n”, y por lo tanto el producto escalar de ambos vectores debe ser nulo, surgiendo así la ecuación euclídea:

• ¬n (¬P – ¬A0) = 0.

Sustituyendo llegamos inmediatamente a la ecuación normal:

• a x + b y + (- a x0 – b y0) = 0.

Los coeficientes que acompañan a “x” e “y” tienen la interpretación de ser los coeficientes de un vector normal a la recta.

En muchos casos es común usar como vector normal a la recta un vector unitario. Supongamos que la normal a la recta forma un ángulo “α” con el eje “X”, entonces:

• ¬n = (Cosα, Senα).

Por otra parte observemos que si ¬n es unitario, entonces:

• a x0 + b y0 = p.

es la proyección del vector de posición (x0, y0) en la dirección normal a la recta. Esta proyección es constante para todos los puntos de la recta, según se manifiesta en la ecuación. Esa ecuación la podemos escribir ahora como:

• Cosα x + Senα y = p.

, y además |p| representa la distancia al origen.

Ya hemos demostrado que dada una recta, y mediante su normal, podemos siempre escribir una ecuación de la forma:

• a x + b y + c = 0.

Veamos el recíproco, es decir, cualquier ecuación de esta forma es la ecuación de una recta en el plano. Supongamos que (x0, y0) es una solución para la ecuación anterior (un punto de la recta), entonces:

• a x0 + b y0 + c = 0.

, y por tanto:

• c = – a x0 – b y0.

Por ello podemos escribir:

• ax + b y – a x0 – b y0 = 0.

, de donde:

• (x – x0) / b = (y – y0) /- a.

, que es la ecuación de una recta que pasa por el punto (x0, y0) y con normal (a, b). Por lo tanto, la ecuación general de una recta en el plano es:

• a x + b y + c = 0.

Siendo el vector (a, b) perpendicular a dicha recta.

Posición Relativa a los Ejes Coordenados:

Supongamos una recta en el plano R^2 dada por la ecuación:

• a x + b y + c = 0.

Tenemos:

• Si a = 0, entonces y = – c / b. Es una línea horizontal paralela al eje “X”.
• Si b = 0, entonces x = – c / a. Es una línea vertical paralela al eje “Y”.
• Si c = 0 entonces ax + by = 0. Es una línea que pasa por el origen de coordenadas.

Si en la ecuación general b ≠ 0, entonces se puede escribir:

• y = – a x / b – c / b.

, o bien:

• y = k x + q con k = – a / b, q = – c / b.

Considerando dos puntos de la recta (x1, x2), (x2, y2):

• y1 = k x1  + q.
• y2 = k x2 + q.

podremos despejar “k” como:

• k = (y2 – y1) / (x2 – x1).

, y:

• k = Tgα.

, salvo tal vez un signo de reflexión especular.

Posición Relativa entre Dos Rectas:

Consideremos dos rectas en el plano dadas las ecuaciones:

• a1 x + b1 y + c1 = 0.
• a2 x + b2 y + c2 = 0.

Veamos si las rectas son paralelas o se cortan. Como ya sabemos, los coeficientes de “x” e “y” son los componentes de un vector perpendicular a la recta.

Por tanto el paralelismo entre dos rectas significa que los vectores (a1, b1) y (a2, b2) tienen la misma dirección, lo cual a su vez implica que los vectores (a1, b1) y (b2, – a2) son perpendiculares, con lo cual, por un producto escalar:

• a1 b2 – b1 a2 = 0.

, de donde:

• a1 / a2 = b1 / b2.

, y pendientes iguales implican paralelismo. La condición de paralelismo significa que no hay solución común a ambas ecuaciones.Si ademas obtenemos que:

• a1 / a2 = b1 / b2 = c1 / c2.

, entonces las dos rectas son la misma, y aparecen infinitas soluciones.

Si por el contrario tenemos:

• a1 / a2 ≠ b1 / b2.

, entonces el sistema de ecuaciones tiene solución única y las rectas son secantes. Para que dos rectas sean perpendiculares sus vectores han de ser perpendiculares:

• a1 a2 + b1 b2 = 0.

, o bien:

• a1 / b1 = – b2 / a2.

Ángulo entre Dos Rectas:

Consideremos dos rectas “r” y “s” del plano euclídeo dadas por las ecuaciones:

• r→a1 x + b1 y + c1 = 0.
• s→a2 x + b2 y + c2 = 0.

Los vectores normales a esas rectas son:

• ¬n1(a1, b1).
• ¬n2(a2, b2).

, respectivamente. El coseno del ángulo entre las dos rectas viene dado por:

• Cosφ = |Cos(¬n1, ¬n2)| = (|¬n1 ¬n2|) / (||¬n1|| ||¬n2||).

, para 0 ≤ φ ≤ 2 π.

Consideremos, por ejemplo, dos rectas escritas en la forma:

• y = m x + h.
• y = m’ x + h’.

Sus vectores normales son ¬n1(m, -1) y ¬n2(m’, -1). Por prodcto escalar:

• Cosφ = |(m m’ + 1) / ([1 + m^2]^1/2 [1 + m'^2]^1/2)|.

, y por comodidad:

• Tgφ = [1 - Cosφ^2] / Cosφ = |m m’| / |1 + m m’|.

Distancia de un Punto a una Recta:

Sea un punto P(xp, yp) del plano y una recta “r” dada por la acuación normal:

• a1 x + b1 y + c1 = 0.

La distancia del punto “P” a la recta es la menor de las distancias de “P” a cualquiera de los puntos de la recta. Sea “¬r” el vector de posición de cualquier punto de la recta y “¬p” el vector de posición del punto (px, py), entonces la distancia “d” que buscamos es la proyección del vector “¬r – ¬p” sobre la dirección perpendicular a la recta:

• d = |(¬r – ¬p) ¬n| / ||¬n||.

Calculando:

• (¬r – ¬p) ¬n = x a1 + y b1 – a1 xp – b1 yp.

Como el punto (x, y) pertenece a la recta se cumplirá que:

• x a1 + y b1 = – c1.

, y por lo tanto:

• |(¬r – ¬p) ¬n| = |a1 xp + b1 yp + c1|.

, y la distancia del punto a la recta vendrá dada por:

• d(P, r) = |a1 xp + b1 yp + c1| / [a1^2 + b1^2]^1/2.

Haces de rectas:

Consideremos dos líneas rectas “r” y “s” distintas dadas por las ecuaciones:

• a1 x + b1 y + c1 = 0.
• a2 x + b2 y + c2 = 0.

Definimos haz de rectas determinado por “r” y “s” como el conjunto de puntos de R^2 que satisfacen la composición lineal de las ecuaciones de las rectas:

• α (a1 x + b1 y + c1) + β (a2 x + b2 y + c2) = 0.

, siendo “α” y “β” no nulos. El haz de rectas que determina “r” y “s” es un conjunto de rectas parametrizadas por los números reales “α” y “β”. Si “r” y “s” se cortan en un punto el haz lo forman todas las rectas que pasan por ese punto, mientras que si “r” y “s” son paralelas el haz lo forman todas las rectas paralelas a “r” y “s”.

.-Consideremos que las rectas “r” y “s” se cortan en un punto P(x0, y0), entonces se cumple que:

• a1 x0 + b1 y0 + c1 = 0.
• a2 x0 + b2 y0 + c2 = 0.
  

Y todas las rectas del haz pasan por (x0, y0) porque verifican la ecuación:

• α (a1 x0 + b1 y0 + c1) + β (a2 x0 + b2 y0 + c2) = 0.

Por otro lado, cualquier recta que pase por el punto (x0, y0) pertenece también al haz. En efecto, dado cualquier punto del plano (x, y) distinto de (x0, y0), podemos hacer que satisfaga la ecuación sin más que tomar los siguientes “α” y “β”:

• α = a2 x + b2 y + c2.
• β = – (a1 x + b1 y + c1).

Tenemos entonces que cualquier punto del plano perteneciente al haz de rectas y que todas las rectas del haz pasan por el punto (x0, y0). Como por dos puntos del plano solo pasa una recta, concluimos que toda recta que pase por (x0, y0) pertenece al haz.

.-Si las rectas “r” y “s” son paralelas pero no coincidentes se verifica el siguiente sistema:

• a1 / a2 = b1 / b2 = 1 /γ.

, y se cumplirá entonces que el haz será:

• (α + β γ) a1 x + (α + β γ) b1 y + α c1 + β c2 = 0.

, que es una recta paralela a “r” y a “s”. Como vimos antes, por todo punto del plano pasa una recta del haz, por tanto el haz está formado en este caso por todas las rectas paralelas a “r” y a “s”.

Curvas de segundo orden en el plano. Cónicas:

Comenzaremos con una introducción particular a cada una de las tres cónicas. Posteriormente daremos una definición general de las cónicas y demostraremos sus propiedades. Luego expresaremos sus ecuaciones en coordenadas polares y, para terminar, haremos un estudio general de las curvas de segundo orden en el plano.

Consideremos un punto “P” en el espacio tridimensional R^3, situado en la perpendicular al centro de una circunferencia en un plano “σ”. Tracemos todas las rectas que pasan por “P” y algún punto de la circunferencia, así obtenemos un cono con vértice “P” y semiángulo “α”.

.-Si intersecamos al cono con un plano perpendicular a su eje de simetría obtendremos una circunferencia.

.-Si intersecamos al cono con un plano inclinado que forma un ángulo mayor que “α” con su eje de simetría obtendremos una elipse.

.-Si lo intersecamos con un plano paralelo a una de sus generatrices obtendremos una parábola.

.-Si lo intersecamos con un plano que forma un ángulo menor que “α” con su eje de simetría obtendremos una hipérbola con dos ramas.

Hay muchos fenómenos naturales que conducen a secciones cónicas. La trayectoria de cuerpos en campos gravitatorios es un ejemplo. La trayectoria del extremo de una sombra de un palo sobre una superficie plana a lo largo de un día es también una sección cónica. Demostraremos  más adelante un teorema sobre las secciones cónicas y sus propiedades. Por ahora estudiaremos la elipse, la hipérbola y la parábola por separado.

La Elipse:

Se llama elipse, que tiene por focos los puntos “F” y “F’” situados a distancia “2 c”, y cuya constante es “2 a”, siendo “a > c > 0, al lugar geométrico de los puntos “Pi” pertenecientes a R^2 tales que la suma de las distancias de “P” a los focos es la constante “2 a”:

• d(F, P) + d(P, F’) = 2 a.

Se llaman ejes de la elipse (por sus ejes de simetría) a la recta F F’ (eje focal o mayor) y a su mediatriz (eje secundario o menor). La intersección de los dos ejes de la elipse es el punto “O”, centro de simetría. Los puntos de la elipse que se encuentran en sus ejes se llaman vértices (A y A’ en el eje mayor y B y B’ en el eje menor). Se verifica que:

• d(O, A) = d(O, A’) = a.
• d(F, B) = d(F, B’) = d(F’, B) = d(F’, B’) = a.
• d(O, B) = d(O, B’) = b, siendo “b” tal que a^2 = b^2 + c^2.

Veamos ahora cuál es la ecuación de la elipse en coordenadas rectangulares suponiendo que su centro coincide con el origen de coordenadas y que sus ejes de simetria coinciden con los ejes de coordenadas. Tenemos:

• F = (c, 0).
• F’ = (-c, 0).
• d(P, F) = [(x - c)^2 + y^2]^1/2.
• d(P, F’) = [(x + c)^2 + y^2]^1/2.

La condición de la elipse será que la suma de las distancias de “P” a cada uno de los focos sean igual a “2 a”:

• [(x - c)^2 + y^2]^1/2 + [(x + c)^2 + y^2]^1/2 = 2 a.

, que simplificado queda:

• x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1.

, que es la ecuación canónica o reducida de la elipse.

La elipse puede considerarse como una generalización de la circunferencia, pues si “a” = “b” la elipse se convierte en una circunferencia de radio “a”.

Propiedades de la Elipse:

• La elipse de semiejes “a” y “b” está contenida en el rectángulo |x| < a, |y| < b. Es fácil demostrarlo ya que como x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1, se tienen que cumplir: “x^2 / a^2 < 1″, y “y^2 / b^2 < 1″.
• Los puntos (+- a, 0) y (0, +- b) son los vértices de la elipse.
• Los ejes “OX” y “Y” son ejes de simetría de la elipse. Si (x0, y0) es un punto de la elipse, entonces (- x0, y0), (x0, – y0) y (- x0, – y0) son también puntos de la elipse.
• Los puntos (c, 0) y (- c , 0) son los focos de la elipse, y “2 c” es la distancia focal. El parámetro “e = c / a” se denomina excentricidad de la elipse, y verifica 0 < e < 1 (porque a^2 = b^2 + c^2 → a > c). Para una circunferencia tenemos “a = b” y “e = c = 0″.

Rectas Directrices y Redefinición de la Elipse:

Las rectas dadas por:

• δ1: x + a / e = 0.
• δ2: x – a / e = 0.

se conocen como rectas directrices de la elipse (izquierda y derecha, respectivamente). Con su ayuda podemos definir la elipse como el lugar geométrico de los puntos del plano que verifican que la razón de la distancia a un foco y a la recta directriz correspondiente es igual a la excentricidad de la elipse:

• d(P, F) / d(P, δ) = e.

La recta directriz derecha es:

• δ2: e x – a = 0.

La distancia de un punto “P” de la elipse a esta recta es:

• d(P, δ) = (a – e x) / e.

, cumpliéndose “a > e x”. La distancia de un punto de la elipse al foco derecho es:

• d(P, F) = [(x - c)^2 + y^2]^1/2.

Como (x, y) está en la elipse siempre que:

• x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1.

, se cumple:

• y = b^2 (1 – x^2 / a^2).

Sustituyendo:

• d(P, F) = a – e x.

Vemos entonces que se obtiene:

• d(P, F) / d(P, δ) = e.

Ecuaciones Paramétricas:

• x = a Cosσ.
• y = b Senσ.
• 0 ≤ σ ≤ 2 π.

En la elipse se puede inscribir una circunferencia con centro (0, 0) y radio “r = b”. A su vez, la elipse está inscrita en una circunferencia con centro en (0, 0) y radio “r = a”.

La Hipérbola:

Llamaremos hipérbola, que tiene por focos los puntos “F” y “F’” situados a una distancia “2 c”, y cuya constante es “2 a”, siendo 0 < a < c, al lugar geométrico de los puntos de R^2 tales que la diferencia de sus distancias a los focos es “2 a”.

Se llama eje focal o real a la recta “F F’”, y eje secundario o imaginario a su mediatriz. Su punto de intersección, O = (0, 0), es el centro de simetría.

El eje “F F’” corta a la hipérbola en dos puntos “A” y “A’”, que se llaman vértices, de modo que:

• OA = OA’ = a.

El eje imaginario no corta a la hipérbola, que tiene dos ramas, una a cada lado de este eje. A los puntos B(0, b) y B’(0, – b), con el parámetro “b” verificando la relación:

• a^2 + b^2 = c^2.

, se les conoce como extremos del eje imaginario.

Si se cumple que “a = b”, entonces la hipérbola se dice equilátera.

Veamos ahora la ecuación de la hipérbola a partir de la relación dada. Sus focos son F(c, 0) y F’(- c, 0), por lo tanto tenemos, restando las distancias:

• |[(x - c)^2 + y^2]^1/2 – [(x+c)^2 + y^2]^1/2| = 2 a.

Elevando al cuadrado y operando obtenemos:

• x^2 / a^2 – y^2 / b^2 = 1.

Propiedades:

• La hipérbola se haya fuera de la franja |x| < a. En efecto, basta ver que x^2 / a^2 = 1 + y^2 / b^2 ≥ 1, por lo tanto |x| ≥ a. Los puntos (+- a, 0) son los vértices de la hipérbola.
• Está contenida en la región comprendida entre las rectas y = +- b x / a, que contiene el eje “OX”. Para comprobarlo basta con tomar la desigualdad x^2 / a^2 > y^2 / b^2, con lo cual |x| / a > |y| / b. Entonces |y| < b |x| / a. La hipérbola se halla contenida por tanto en dos regiones, una contiene la rama derecha y la otra a la izquierda.
• Se cumple que cuando hacemos tender x^2 + y^2 → ∞, la distancia entre los puntos de la hipérbola a una de las rectas +- b x / a tiende a “0″. Estas rectas se denominan asíntotas de la hipérbola. Para verlo, tomemos, por ejemplo, la asíntota y = b x / a. Un punto de la hipérbola tendrá coordenadas P(x, (b / a) [x^2 - a^2]^1/2. La ecuación de la recta se podrá escribir como b x – a y = 0, y la distancia del punto “P” a la recta es: d(P, r) = b |x – [x^2 - a^2]^1/2| / [a^2 + b^2]^1/2. Queremos estudiar el comportamiento de esta expresión cuando x → ∞. Multiplicando numerador y denominador por “x + [x^2 - a^2]^1/2 tenemos: d(P, r) = a^2 b / ([a^2 + b^2]^1/2 (x + [x^2 - a^2]^1/2)). Vemos que d(P, r) → 0.

Otra Definición de la Hipérbola:

Denominamos excentricidad de la hipérbola al parámetro:

• e = c / a.

Se cumple que e > 1. Las rectas:

• x = – a / e.
• x = a / e.

se denominan rectas directrices de la hipérbola. Podemos definir entonces la hipérbola como el conjunto de puntos del plano para los que la razón entre la distancia al foco y a la recta directriz correspondiente es igual a la excentricidad. Igual que con la elipse:

• d(P, F) / d(P, δ) = e.

Tomemos la recta:

• e x – a = 0.

Entonces:

• d(P, δ) = (e x – a) / e.

, y por otra parte:

• d(P, F) = e x – a.

Por lo tanto vemos que se cumple la definición.

Ecuaciones Paramétricas:

Las ecuaciones paramétricas de una hipérbola de semiejes “a” y “b” son:

• +- x = a Cosht.
• y = a Senht.
• - ∞ < t < ∞.

El doble signo da lugar a las dos ramas de la hipérbola.

Hipérbola Conjugada:

Dada la hipérbola de ecuación:

• x^2 / a^2 – y^2 / b^2 = 1.

, se denomina hipérbola conjugada a aquella que tiene como ecuación:

• x^2 / a^2 – y^2 / b^2 = – 1.

Comparte las mismas asíntotas que la hipérbola original.

La Parábola:

Llamamos parábola en el plano euclídeo, que tiene por foco el punto “F” y por directriz la recta “δ” situada a una distancia “p > 0″ del foco “F”, al lugar geométrico de los puntos que equidistan de “F” y “δ”.

Llamamos eje de simetría de la parábola al eje perpendicular a la recta “δ” que pasa por el foco “F”. El eje corta a la parábola en un punto “O”, que se llama vértice. La parábola no tiene centro, y es una curva no acotada que carece de asíntotas.

Un punto pertenecerá a la parábola si verifica que:

• [(x - p / 2)^2 + y^2]^1/2 = |x + p / 2|.

Con lo cual:

• y^2 = 2 p x.

La Parábola como Límite de la Elipse:

Consideremos la siguiente elipse:

• x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1.

Hacemos el cambio de coordenadas:

• x’ = x + a.
• y’ = y.

, es decir:

• x = x’ – a.
• y = y’.

La ecuación de la elipse en las nuevas coordenadas es:

• y’^2 = 2 b^2 x’ / a – b^2 x’^2 / a^2.

Hagamos ahora tender a → ∞ manteniendo el foco “F” en su posición fija. Las coordenadas del foco son F(s, 0), con:

• s = cte.
• s = a – c.

, de donde:

• c = a – s.

Teniendo en cuenta la relación entre los parámetros “a”, “b” y “c” de la elipse:

• b^2 / a^2 = 2 s / a – s^2 / a^2.

Vemos que siempre que a → ∞ se cumple:

• b^2 / a → 2 s

y que:

• b^2 / a^2 → 0.

Por lo tanto la ecuación de la elipse se convierte en:

• y’^2 = 4 s x’.

, que es la ecuación de una parábola con parámetro:

• p = 2 s.

Análogamente se puede demostrar que si en una hipérbola mantenemos un foco fijo y hacemos tender a → ∞ obtenemos una parábola.

La definición de la parábola por medio de su directriz es:

• d(P, F) / d(P, δ) = e.

La parábola es una cónica con excentricidad:

• e= 1.

Tangente a las Cónicas:

Consideremos una cruva expresada mediante la ecuación:

• y = f(x).

Sea A(x0, y0) un punto fijo de la curva y consideremos B(x1, y1) otro punto cualquiera de la curva. La ecuación secante estará expresada mediante:

• y – y0 = (Δy / Δx) (x – x0).
• Δy = y1 – y0.
• Δx = x1 – x0.

Cuando hacemos tender B → A, la recta secante tiende a ser la recta tangente a la curva en el punto “A”, y además: Δy / Δx = f’(x0). Por lo tanto la ecuación de la recta tangente a la curva se puede escribir simplemente como:

• y – y0 = f’(x0) (x – x0).

A veces la curva tiene una expresión analítica más sencilla cuando expresamos:

• x = g(y).

En este caso podemos escribir la ecuación de la recta tangente como:

• x – x0 = g’(y0) (y – y0).

Consideremos ahora una elipse, una hipérbola y una parábola, cuyas ecuaciones reducidas son:

• x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1.
• x^2 / a^2 – y^2 / b^2 = 1.
• y^2 = 2 p x.

Se puede demostrar que en cualquiera de sus puntos (x0, y0) cada una de estas cónicas tiene como tangente la recta dada por las ecuaciones siguientes, respectivamente:

• x x0 / a^2 + y y0 / b^2 = 1.
• x x0 / a^2 – y y0 / b^2 = 1.
• y y0 = p (x0 + x).

Propiedad Óptica de la Parábola:

Una de las propiedades ópticas más conocidas de la parábola es que si ésta actúa como una superficie reflectante cualquier rayo de luz que incida sobre ella según una dirección paralela a su eje se refleja pasando por su foco. En efecto, acabamos de ver que la recta tangente que pasa por (x0, y0) es:

• p x – y0 y + p x0 = 0.

Sea “β” el ángulo que la normal a esta recta forma con la dirección horizontal, y sea “α” el ángulo que forma con el vector que une (x0, y0) y el foco “F”. Matemáticamente se calcula por trigonometría que:

• α = β.

Foco, Directriz y Excentricidad:

Dados en el plano un foco “F”, una recta directriz “δ” que no pasa por “F”, y un número no negativo “e” llamado excentricidad, se verifica que el lugar geométrico de los puntos “P” tales que sus distancias a “F” y a “δ” se mantienen en relación constante e igual a “e” forman una cónica. Concretamente:

• Si e < 1 obtenemos una elipse.
• Si e = 1 obtenemos una parábola.
• Si e > 1 obtenemos una hipérbola.

Cónicas Equivalentes:

Hasta el momento hemos estudiado las tres cónicas fundamentales a partir de sus ecuaciones reducidas. Estas ecuaciones son de segundo grado en coordenadas “x” e “y”. Si cambiamos el origen de coordenadas o rotamos los ejes, las ecuaciones reducidas de las cónicas se transforman en general en ecuaciones de segundo grado, por lo que se les suelen expresar de un modo general como:

• a11 x^2 + a12 x y + a22 y^2 + 2 b1 x + 2 b2 y + c = 0.

Obviamente, si multiplicamos esta ecuación por una constante “ρ”, la nueva ecuación: ρ(a11 x^2 + a12 x y + a22 y^2 + 2 b1 x + 2 b2 y + c) = 0 representa la misma cónica que la anterior, ya que ambas ecuaciones tienen el mismo conjunto de soluciones.

Presentación de las asignaturas de esta evaluación: Métodos Matemáticos III, Tratamiento de Datos Físicos y Técnicas Experimentales.

Métodos Matemáticos III:

Esta asignatura está enfocada a la geometría algebraica de curvas, a las series de Fourier y a las ecuaciones diferenciales ordinarias, de modo que la podremos enfocar como un repaso de Métodos Matemáticos II, de la que procuraré empezar a subir todo lo pendiente pronto.

Tratamiento de Datos Físicos:

Aquí veremos estadística pura, enfocada a un correcto trato de las mediciones en futuros experimentos. Además veremos algo de informática enfocada al asunto.

Técnicas Experimentales:

Tendrán que ver con la Electrónica y la Física en general, no se mucho más.