Astronomía (5): Estrellas, Enanas Blancas, Pulsares, Agujeros Negros, Supernovas, Luminosidad, Diagramas HR, Cúmulos.

Las estrellas son grandes acumulaciones de gas sometido a fuertes reacciones nucleares. Entre sus propiedades se encuentra la de emitir radiación en forma de luz y calor, así como generar potentes campos gravitatorios capaces de poner a orbitar planetas a su alrededor.

El índice de luminosidad de una estrella se mide a través de la ecuación:

• L = 4 π σ r^2 T^4.

, donde “L” representa la luminosidad, “σ” una constante universal asociada a la luminosidad del Sol, “r” el radio de la estrella, y “T” la temperatura de la misma. Despejando, podemos calcular el radio:

• r = [L / (4 π σ T^4)]^1/2.

A la hora de analizar estrellas es interesante tratar con los Diagramas HR, que representan las tres variables anteriores, clasificando las estrellas según las mismas.

Para entenderlos un poco mejor, tal vez será necesario recordar brevemente la ecuación de Planck y el espectro luminoso.

La velocidad de la luz, “c”, era igual a 300000 km/s en el vacío, y la velocidad del haz de luz se define como:

• c = λ ν.

, donde “λ” es la longitud de onda y “ν” es la frecuencia, cuyo producto debe ser constante, por lo que son inversamente proporcionales. Asimismo, la ecuación de Planck nos decía que la energía de la onda era proporcional a la frecuencia a través de la constante “h”:

• E = h ν.

Además, el color con el que apreciamos el haz lumínico depende de su energía, siendo, en orden ascendente de energía: negros, infrarrojos, rojos, anaranjados, amarillos, verdes, azules, añiles, violeta, ultravioleta… De todo esto concluimos que las estrellas a mayor temperatura son más propensas al color violeta, apróximándose más al tono rojizo cuanta menor sea su energía. Además, no debemos olvidar que por causa del Efecto Doppler, todas las estrellas tienden al color rojo en su apariencia, pues al alejarse disminuyen la frecuencia de onda aparente.

En el diagrama HR adjunto, la temperatura está representada de mayor a menor en el eje horizontal (grados Kelvin), mientras que la luminosidad está representada en el eje vertical de menor a mayor (Unidades Solares). El radio de las estrellas está representado en las líneas trasversales que cruzan el diagrama, medido tomando el Radio Solar como unidad.

La esperanza de vida de una estrella, también anotada en algunos tramos, es una estimación en base a las características físicas de la misma.  Cuanta más masa tiene una estrella, mayor es su velocidad de combustión, y menor será su esperanza de vida, pues no le llevará mucho, relativamente, consumirse. Si tomamos la masa solar:

• S = 2 x 10^30 kg.

, como sistema de referencia, obtenemos las siguiente tabla:

• 1 S = 7000000000 años.
• 3 S = 200000000 años.
• 7 S = 65000000 años.
• 15 S = 10000000 años.

El Sol, que evidentemente está incluido en la primera categoría, aún está en la primera etapa de su vida, pues todavía está ganando temperatura y luminosidad. Una Vez alcance su temperatura máxima, su radio disminuirá, y con él su luminosidad, perdiendo posteriormente temperatura para acabar volviéndose una Enana Blanca.

¿Pero cómo saber en qué se convertirá cada estrella al extinguirse? Pues esto depende fundamentalmente de su radio y su masa.

Si la estrella es muy pequeña y tiene muy poca masa se convertirá en una Enana Blanca, de luminosidad, temperatura e interacción gravitatoria medias. Para llegar a esta fase la anterior estrella se desprende de su corteza.

Si tiene algo más de masa se convertirá en un Pulsar a través del mismo poceso. Los pulsares tienen la peculiaridad de estar compuestos de partículas quasi-elementales, por lo que se las conoce como estrellas de neutrones. El nombre de pulsar deriva de la señal o pulso que emiten sobre los detectores cada vez que uno de sus haces lumínicos incide directamente sobre nosotros.

Si la densidad de una estrella es lo suficientemente grande, ésta se convertira en un Agujero Negro, siempre que se cumpla la condición:

• c ≥ [2 G M / r]^1/2.

, es decir, que la raíz cuadrada del cociente “2 G M / r” sea igual o mayor que la velocidad de la luz, siendo “G” la constante de gravitación universal, “M” la masa de la estrella, y “r” el radio de la estrella.

Si la estrella es lo suficientemente grande, se convertirá en una Supernova y desprenderá grandes cantidades de energía.

Las estrellas acostumbran a encontrarse formando grupos más o menos grandes en los que todas ellas interaccionan gravitatoriamente con una gran dependencia, por lo que no se puede estudiar su movimiento por separado.

De entre todas las estrellas que observamos, el 80% de ellas son estrellas dobles, es decir, un sistema de al menos dos astros. Asimismo, el 24% son ternas de estrellas, y el 7,2% son cuaternas.

Con respecto a las agrupaciones de grandes cantidades de estrellas en el cielo, encontramos cúmulos abiertos si están más o menos dispersas, y cúmulos globulares si todas ellas se acumulan en torno a un punto, que será el centro de masas del sistema.

Las galaxias, por su parte, las clasificamos según otro criterio más adaptado. Serán elípticas si su forma se asemeja a la de una elipse, como las órbitas planetarias, y espirales si las estrellas forman curvas que convergen en círculo al núcleo galáctico.

Código en Lenguaje de Programación C de un Programa que calcule tu Edad en Otros Planetas con las Ecuaciones.

Dados los diferentes periodos de rotación y traslación de los distintos planetas la duración de los años y los días en cada uno de ellos son dispares. Calcula con este programa compilable con programas como “Dev c++” tu edad en cada uno de ellos. Las ecuaciones van incluidas en el código, siendo “a” los años de vida, y siendo “b” los días.

int main(int argc, char *argv[]){
int opcion;
float a,b;
do{
printf(“\n1.Calcular tu edad en los otros planetas\n2.Salir\n”);
scanf(“%d”,&opcion);
if(opcion==1){
printf(“\nIntroduce tus dias terrestres de vida\n”);
scanf(“%f”,&b);
a=b/365.75;
printf(“\nEn Mercurio tienes %f años”,4.16*a);
printf(“\nEn Mercurio tienes %f dias”,0.017*b);
printf(“\nEn Venus tienes %f años”,1.62*a);
printf(“\nEn Venus tienes %f dias”,0.0041*b);
printf(“\nEn Marte tienes %f años”,0.53*a);
printf(“\nEn Marte tienes %f dias”,0.97*b);
printf(“\nEn Jupiter tienes %f años”,0.084*a);
printf(“\nEn Jupiter tienes %f dias”,2.44*b);
printf(“\nEn Saturno tienes %f años”,0.034*a);
printf(“\nEn Saturno tienes %f dias”,2.22*b);
printf(“\nEn Urano tienes %f años”,0.012*a);
printf(“\nEn Urano tienes %f dias”,1.39*b);
printf(“\nEn Neptuno tienes %f años”,0.0059*a);
printf(“\nEn Neptuno tienes %f dias”,1.49*b);
}
}
while(opcion!=2);
system(“PAUSE”);
return 0;
}

Astronomía (3): Historia de la Mecánica Celeste y Relojes Solares.

Dado que de la mayoría de los temas que me han presentado hoy ya han aparecido por este blog, voy a pasar de los repetidos y centrarme en las cosas nuevas de la conferencia de astronomía de hoy.

Tras una presentación sobre la historia de la mecánica celeste, de la cual ya hablé en el enlace de arriba, los datos nuevos e interesantes que tengo que añadir son el modelo cosmológico de Tycho Brahe y las elementos keplerianos para determinar la órbita seguida por un astro, que son perfectamente calculables a partir tan solo de tres observaciones del mismo (aplicando después las leyes de geometría elemental, Kepler y Newton).

El modelo de Brahe, que debemos ubicar entre el de Copérnico y el de Kepler (fue tutor del segundo) tenía la pecualiaridad de seguir siendo Geocéntrico, pese a las anteriores aportaciones de Copérnico. Según Brahe, La Tierra era el centro del Universo, y en torno a ella giraban la Luna y el Sol, girando todos los demás planetas en torno al Sol, con órbitas lo suficientemente grandes o pequeñas como para no chocar nunca con La Tierra. Este modelo, pese a lo rebuscado que pueda parecer, tenía bastante lógica, pues respetaba el Geocéntrico y además concordaba con las observaciones del movimiento de los otros planetas en el firmamento. Sin embargo, tal vez hubiese sido demasiado evidente que si La Tierra también es un planeta debería de girar también en torno al Sol.

Una vez estuvo instaurado el modelo Heliocéntrico y las mencionadas leyes de Kepler y Newton, llegaron los elementos keplerianos de las órbitas, llamados asi en honor a Kepler.

Para comprenderlos mejor, primero asegurémonos de que sabemos bien lo que es una elipse tanto teórica como matemáticamente, y para ello partiremos del círculo.

El círculo tiene infinitos ejes de simetría, como todos sabemos, y es por eso que siempre podremos escoger dos de estos ejes que sean perpendiculares para considerarlos nuestros ejes de coordenadas en 2D. Respecto a estos ejes aparecen cuatro fragmentos de círculo que tendrán la misma forma, y por tanto la misma superficie. Dado que si tomamos dos ejes y analizamos el fragmento del eje “x>0″ y del “eje y>0″ observaremos que la longitud de ambos semiejes es el radio del círculo, y que a medida que avanzamos en uno decrecemos la componente en el otro. Es decir, tienen una relación inversa, que se expresa mediante la siguiente suma:

• x^2 + y^2 = r^2.

El cuadrado del radio del círculo será siempre igual a la suma de los cuadrados de las componentes del punto referentes a nuestro sistema. Así pues, si avanzamos “r” en el eje “x”, observamos que “y” tiene que valer “0″, como efectivamente hace.

Ahora bien, en la elipse ambos ejes se pueden prolongar, y no necesariamesme en la misma proporción, lo que acaba con la simetría infinita y nuestros ejes serán ya los únicos ejes de simetría. Al más grande lo denominamos eje mayor, y al más pequeño lo denominamos eje menor. Si “a” y “b” son los incrementos observados en dichos ejes, la nueva ecuación será:

• a x^2 + b y^2 = r^2.

, donde “r” pasa a ser una simple constante, pues al no ser circular ya no podemos hablar de radio. El punto donde se cortan los dos ejes sigue siendo el centro de la elipse, y si analizamos los ejes desde el obtenemos dos semiejes mayores y dos semiejes menores tras dividir los grandes a la mitad en este punto. Si desde cada uno de los extremos del eje menor tomamos la distancia de uno de los semiejes mayores y la llevamos sobre ambos formando un triángulo, obtenemos dos puntos sobre el eje mayor llamados focos, que por construcción cumplen la propiedad de que si a cualquier punto en la elipse se le calculan las distancias a ambos los focos y se suman, el resultado es la longitud del eje mayor.

En conclusión, podemos construir cualquier elipse conociendo al menos dos de los elementos anteriores, pues solo hemos necesitado dos datos (los ejes) para construirla entera. Sabiendo estos detalles, ya podemos comprender mejor los elementos keplerianos.

Supongamos que nosotros, desde La Tierra, queremos calcular la elipse de traslación de otro astro en el cielo, conociendo la posición del astro en torno al cual gira. Para mayor comodidad supondremos que estamos calculando la elipse de Marte en torno al Sol.

El primer dato necesario será la Longitud del Nodo Ascendente. Imaginemonos La Tierra rotando en torno al Sol sobre una elipse contenida en un plano (como siempre), donde el Sol es uno de los focos. Al estar el Sol en un foco, asumimos que si trazamos una paralela al eje menor sobre él cortaremos a la elipse en dos secciones, siendo una mucho mayor que la otra. En lo referente a los puntos de corte, uno será el que lleve a La Tierra a la parte grande de la elipse, y el otro el que la lleve a la parte pequeña (teniendo en cuenta su sentido de traslación). El punto que la lleva a la parte grande podemos definirlo como el Nodo Ascendente o Punto de Aries, y al otro el Nodo Desdendente o Punto de Libra. Recordemos el símbolo “γ” como el Punto de Aries de de La Tierra. Consideremos ahora el plano de traslación de Marte “p1″, dentro del cual también podremos calcular el Punto de Aries marciano, al que denominaremos “Ω”. Si ahora consideramos los puntos del Sol, “γ”, “Ω”, sabiendo que son tres determinan un plano, al que llamaremos plano “p2″. Dentro de este plano, si desde el Sol trazamos dos vectores, uno que lo una con “γ”, y otro que lo una con “Ω”, el menor ángulo que formen los vectores será conocido como el ángulo “Ω” también, y será nuestro medio de trasladar cuentas desde “γ” en nuestra órbita hasta “Ψ” en la órbita de Marte, medida en radianes. La Longitud del Nodo Ascendente será la distancia del Sol al punto “Ω”.

El segundo elemento, la Inclinación, no es más que el menor de los ángulos de intersección del plano “p1″ de Marte con el plano “p2″ antes mencionado.

Si consideramos el vector que une el Sol con el Perihelio de Marte (punto más próximo al Sol en órbita) y trazamos su ángulo desde el vector que unía al Sol con el Punto de Aries “Ω”, siguiendo el sentido de la ruta del planeta, obtenemos el ángulo “ω”, que será nuestro tercer elemento, el Argumento del Perihelio.

Dado que la órbita marciana, como todas, será una elipse, otro elemento será evidentemente el Semieje Mayor, aunque el eje mayor entero, por motivos más que evidentes, también valdrá.

El quinto elemento, la Excentricidad, mide el grado de desnivel entre los ejes de la elipse. Si retomamos la ecuación de la elipse mencionada anteriormente:

• a x^2 + b y^2 = r^2.

, el Excentricidad mediría la relación entre los coeficientes “a” y “b”.

Por último, la Anomalía Media de la Época es la que hace referencia a la dinámica del planeta: grados recorridos en torno al Sol, arco desplazado…

En lo referente a los relojes solares se ha tratado la problemática de que según la región en la que se vaya a usar su orientación y sus elementos deben adaptarse a la incidendia de la radiación lumínica, ya que si usamos el mismo reloj solar en el ecuador o en el polo obtendremos resultados dispares.

Así pues, podemos sacar algunos datos a tener siempre en cuenta a la hora de hacer un reloj solar, que son la latitud del punto donde se va a implantar, esto es, su grado de inclinación con respecto al ecuador, y la estación del año, pues el mismo reloj dilataría las horas en verano y las comprimiría en invierno, según el tiempo de Sol diario.

Orientarse con sombras era un buen método de cronometrar en la antigüedad, pero hoy en día los relojes solares ya no son realmente útiles a no ser que alguien esté perdido, puesto que tienen el gran problema de que no aportan información alguna por la noche.

Astronomía (2): Planetas y Eclipses.

A día de hoy los planetas de nuestro Sistema Solar son ocho, y como ya deberíamos saber todos ellos giran en torno al Sol siguiendo órbitas elípticas, tal como propone la 1ª Ley de Kepler. Haremos pues en esta entrada un estudio más o menos detallado de los mismos, si bien no trataremos nada revelador.

El más próximo al Sol es Mercurio, y es uno de los denominados planetas rocosos, ya que al estar más próximo al Sol se encuentra a más altas temperaturas y sus materiales tienden a encontrarse en estado sólido. Ésto dificulta la existencia de una atmósfera que, pese a todo ello, existe, si bien con elementos dispares a los de la atmósfera terrestre.  Además, en el momento de su recorrido en que la velocidad de traslación supera a la de rotación se aprecia desde su superficie un retroceso del Sol en el cielo.

Venus, el segundo planeta del Sistema Solar, pese a estar más lejos del Sol que Mercurio, posee una mayor temperatura atmosférica (por encima de los 400ºC), y que su atmósfera tiene altos contenidos de C O2 (dióxido de carbono), que es el principal responsable del efecto invernadero en el planeta. Cuando la radiación solar penetra la atmósfera venusiana, el C O2 absorbe el calor y no lo deja escapar, apareciendo así las mencionadas temperaturas y presiones de hasta 90 Pa. Las altas temperaturas son, además, buenas reflexoras de radiación lumínica, y es por eso que Venus es, junto a la Luna y el Sol, el tercer cuerpo celeste que se puede ver de día, generalmente al amanecer o al ocaso, siendo conocido como el Lucero del Alba. Como curiosidad fisica podemos destacar que su periodo de rotación es mayor que su periodo de traslación, lo que tiene como consecuencia que sus “días” duran más que sus “años”.

Llegamos ahora a La Tierra, que tiene la peculiaridad de ser aparentemente el único planeta que posee vida, gracias a su atmósfera de propiedades tales como una composición justa en C O2 que mantiene la temperatura sin elevarla demasiado, la conocida capa de O3 (ozono) que filtra la mayoría de raciaciones ultravioleta, protegiéndo a las células y al propio ADN de mutaciones cancerígenas extrañas. Asimismo, también favorecen la existencia de vida el radio medio de distancia al Sol en la orbita y el valor de la interacción gravitatoria, que es el justo para que no salgamos volando de la superficie ni tampoco nos quedemos pegados a ella (lo cual tendría repercusiones en nuestra estructura ósea). La existencia de La Tierra como tal, además ha planteado una repercusión filosófica, pues es tan poco probable que se de una situación para que aparezca la vida que algunas teorías como el Principio Antrópico aseguran que el azar tuvo que jugar intencionadamente a nuestro favor.

Marte, el Planeta Rojo, es el cuarto, y si bien a nivel material tiene menos propiedades en común con La Tierra que Venus, es el segundo planeta en el que la vida parece ser más factible, sobre todo por lo relacionado con la temperatura. Sin embargo, dada su tendencia a recibir impactos meteóricos una vida allí podría ser algo arriesgada. En lo referente a la historia de la física, Marte ha sido un importante elemento, pues gracias a él y a las extrañas trayectorias que seguía observado desde La Tierra el Modelo Geocéntrico fue desprestigiado con más éxito para dar paso al Modelo Heliocéntrico que tenemos hoy en día, además de servir para verificar la 1ª Ley de Kepler antes mencionada, entre otras.

Júpiter, por su parte, es el más grande de los planetas del Sistema Solar, y se puede describir como una gran acumulación de H2 (hidrógeno) y He (helio), en estado gaseoso los dos. Así pues, siendo un poco brutos, podemos decir que es como una estrella que no tiene fuerza para producir reacciones nucleares en su interior y se conforma con la categoría de planeta, pues al no producir energía, ni produce luz ni un campo gravitatorio considerable. Recordemos que la energía produce un campo gravitatotio al igual que la masa, pues ambas están relacionadas a través de la ecuación de Einstein E = m c^2. La observación de la corteza de Júpiter ha permitido observar un gran anticiclón en su corteza conocido como La Gran Mancha Roja, que no pasa desapercibida en ninguna toma del planeta. En lo referente a los satélites sabemos que Galileo le atribuyó cuatro, que podemos considerar los más importantes: Ío, Europa, Ganímedes y Calisto.

Saturno es el único planeta cuyo anillo de micropartículas orbitanto a su alrededor es visible por un telescopio. Es el segundo planeta más grande del Sistema Solar y, al igual que Júpiter, se estructura como una gran acumulacion de gas.

Urano, de composición física semejante a los dos anteriores, es uno de los planetas de los que menos sabemos, y del cual cabe destacar la peculiaridad de su aro azul. Es el tercer planeta más grande.

Neptuno, el último de los ocho planetas, es el único cuya existencia ha sido predicha matemáticamente antes de su observación. Al igual que Júpiter, posee una mancha, conocida como La Gran Mancha Negra, también debida a un anticiclón, pues los vientos en este planeta superan los 600 km/h.

En resumen podemos encontrar algunas generalidades en torno a las características de los planetas que giran en torno a una estrella, tales como que en general sus temperaturas disminuyen con la distancia a ésta, que los más próximos son rocosos, mientras que el resto son gaseosos, y que los gaseosos tienden a ser bastante más grandes, dada la naturaleza de los fluidos.

Hablemos ahora de los eclipses solares, que todos sabemos que se producen cuando la Luna se interpone entre La Tierra y el Sol en línea recta. Sin embargo, las características de estos tres astros hacen que a través de esta definición se den eclipses de varios tipos, y que además sean perdibidos de distintos modos en cada parte de La Tierra. Lo que a continuación sigue igual excede en contenidos matemático-geométricos a lo que se pudiese esperar de esta entrada. Si es así lo siento.

Reflexionemos en las condiciones que se tienen que dar para que un observador en el ecuador de La Tierra vea un eclipse total de Sol. En primer lugar tenemos que considerar el plano de traslación de La Tierra en torno al Sol, en el cual sabemos que se va a encontrar siempre. Además, tenemos que tener en cuenta que nuestro planeta tiene una inclinación de “α” grados con respecto a este plano, por lo que el Sol no lo veremos justo encima desde el ecuador, sino con una inclinación respecto a la vertical de “α” grados. Asimismo, la Luna también posee su propio plano de traslación respecto a La Tierra, que no es paralelo al de La Tierra con respecto al Sol, es decir, los planos de La Tierra y la Luna son secantes, y tienen un ángulo de corte de “β” grados. Dada la complejidad de los movimientos de rototraslación de ambos astros, podemos asumir que el valor “β” varía con el tiempo, y que además la recta de corte entre ambos planos gira constantemente.

Ya solo con estos datos, tenemos que asumir que para que nuestro observador aprecie un eclipse solar, debemos trazar una recta desde sus ojos hasta el Sol. Dicha recta tiene que ser cortada por el plano de traslación de la Luna entre el observador y el Sol, no en otra zona. Si ya la probabilidad de que se de esto es pequeña, hay que reducir sus posibilidades al tener en cuenta que la Luna tiene que estar en el tramo de su plano que corte a la recta mencionada, y que además dicha recta no puede atravesar a La Tierra entre el observador y el Sol, pues entonces para el observador sería de noche y seguro no apreciaría el eclipse (si la recta que une nuestros ojos con el Sol atraviesa La Tierra, el Sol nos queda al otro lado de esta y no lo vemos).

Dadas todas las conciciones mencionadas podemos asegurar que el observador en cuestión verá un eclipse solar. Podemos asegurar también que mientras nuestro observador está ante un eclipse, otro obervador para el cual sea de noche no lo verá de ningún modo. Pero la problemática no acaba aquí.

Sabiendo del pequeño volumen de la Luna en comparación con el del Sol, es poco pobable que lo oculte totalmente, y aquí es donde entran las perspectivas cónicas. Sabemos que, como observadores, cuanto más lejano se nos antoja un objeto, más pequeño lo vemos, y debido a esto, por ejemplo, vemos tan pequeñas las estrellas. Así pues, para que se de un eclipse total con respecto a un observador la Luna tiene que estar lo suficientemente cercana a éste como para poder ocultar al Sol (cuanto más lejos está más pequeña se ve y más difícil es que lo oculte). Podemos despreciar la variación de la perspectiva cónica en lo que al Sol se refiere, pues está tan lejos que más o menos se ve igual de grande desde el perihelio terrestre (punto de traslación en que la distancia al Sol es mínima, en Verano) y el afelio terrestre (punto de traslación en que la distancia al Sol es máxima, en Invierno).

En función de la proximidad de la Luna, mayor o menor será, pues, la superficie de la corteza terrestre donde se apreciará el eclipse, y esto supone, principalmente, que un eclipse solar afecta solo a una región de La Tierra, y no a todas en las que sea de día. Pero dado el movimiento de traslación de la Luna en torno a La Tierra y la propia rotación de la misma, podemos asegurar que la superficie eclipsada se desplaza, de modo que mientras dure el eclipse, no todas las zonas lo apreciarán al mismo tiempo.

Según la posición del observador diurno del eclipse, podemos hablar de un eclipse nulo si en su área no llega a ser visible, un eclipse total si está en el centro de la zona eclipsaa, y de un eclipse parcial en mayor o menor medida según la proximidad al centro de la zona eclipsada.

Con tantas cosas a tener en cuenta, resulta algo más evidente que no haya eclipses cada tan poco tiempo como podría parecer, y su aparición puede resultar un tanto aleatoria si no se estudia continuamente los movimientos de los tres astros que entran en juego.

¿Tierra Hueca? ¡Venga ya!

Esta entrada con un título tan peculiar se debe a que curioseando vídeos en youtube recientemente me he encontrado con algo parecido a una secta que asegura que La Tierra está hueca en su interior, donde se haya un Sol interno flotando en el vacío.

Las bases de esta teoría son básicamente las de toda religión: que nosotros, la gente de a pie, no podemos demostrar experimentalmente lo contrario.

Antes de desmentir casi por completo lo que aquí se dice os haré una pequeña introducción al asunto, si bien podéis documentaros mejor viendo cualquiera de los vídeos mencionados.

Básicamente, esta gente cuenta que a mediados del siglo XX el jefe de una expedición de los Estados Unidos en el Polo Norte se perdió y, en su travesía, llegó a un oasis caluroso, donde conoció a humanoides más evolucionados que nosotros. Dicho expedicionista había descendido en el polo por un gran cráter que llevaba al centro de La Tierra, ni más ni menos. Bueno, relativamente, porque parece ser que estos humanoides le explicaron que si seguía descendiendollegaría a un agujero que atravesaría nuestro planeta por su eje de rotación, en el centro del cual se hayaba un Sol interno (hablemos de estrella interna para ser mínimamente tecnicos). Cuando este expedicionista volvió a los Estados Unidos, de nuevo según esta secta, el gobierno le silenció, aunque a alguien se lo debió de contar. Podemos hablar de este personaje como el precursor de esta “religión”, tal y como Jesús promovió el cristianismo y Mahoma la religión musulmana.

Vamos ahora con la explicación técnica de esta teoría, que es donde más se nota que quienes la promueven no aprendieron nada sobre lógica en su vida.

En primer lugar, aseguran que La Tierra está hueca y que hay agujeros en los polos que van a dar a este inmenso vacío. Si no los hemos visto hasta ahora, se supone, es porque los gobiernos modifican las imágenes de satélite (claro, también es mentira que Neil Amstrong llegó a la Luna). Y, por si no lo sabéis, no se hacen líneas aéreas sobre esa zona para que nadie vea el agujero. Estad seguros de que si nadie vuela por allí no se debe ni a las bajas temperaturas ni a los fuertes campos electromagnéticos que guían a las brújulas. En fin…

La primera consecuencia lógica de esta afirmación es que todo el aire del planeta, al tener una vía libre de acceso a su interior, sería atraído gravitatoriamente hacia el mismo y, además, sería poco probable que pudiese escapar del interior del planeta para permitirnos respirar. Al fin y al cabo, el espacio lo comprimiría más hacia el núcleo, aumentando su presión a grandes valores en los que por varias reacciones nucleares estaría compuesto básicamente de hidrógeno y helio, y pasaría a formar parte de la estrella interior mencionada. El campo gravitatorio se dilataría y el cataclismo sería bastante probable.

En segundo lugar, aseguran que la corteza terrestre tiene una profundidad de 800 millas (1287,475 m) en toda la superficie, reduciendose ésta de un modo lineal en los polos. Ésto deja un espacio vacio interior de nada menos que 1082040576000 km^3 repleto de aire concentrado. Todo este aire ejerciendo presión sobre la corteza terrestre la fragmentaría en muy poco tiempo.

En tercer lugar, y éste es el fallo más grande, dicen que ya que la corteza tiene 800 millas de profundidad, su centro de gravedad está a 400 millas. La aberración ya no es solo física, sino matemática. Es cierto que en una varilla de 800 millas de longitud y densidad constante el centro de gravedad de encuentra en la mitad, a 400 millas de los extremos, pero en este caso estamos hablando de una esfera, y a parte, el centro de gravedad es un punto, como su propio nombre indica, y en la imagen se puede apreciar que lo tratan como una superficie. Al ser un punto, no puedes decir que está a tantas millas de profundidad, además tendrías que especificar escarbando por dónde. Independientemente de esto, el dentro de gravedad de cualquier figura tridimensional con tres o más ejes de simetría se encuentra en el punto de corte de todos ellos, siendo en este caso el propio centro de La Tierra como siempre, independientemente de que haya una estrella interna o no, pues el centro de gravedad de un sistema de partículas no tiene que estar ubicado sobre una de ellas.

Queriendo ser generoso con la teoría, podría suponer que lo que quisieron decir es que, suponiendo una semirecta desde el centro de la tierra a la superficie, despreciando la estrella interna que ellos mismos han metido ahí y el gas antes mencionado, en la parte de la semirecta que pasa por la corteza el valor medio de la gravedad estaría en el centro de la misma. Si aplicamos ésto a las infinitas semirectas que parten del núcleo, obtenemos una superficie equiescalar uniendo los puntos de gravedad media de las mismas, que sería como una esfera encerrada dentro de la corteza, hueca también en los polos.

Pero aún así, suponiendo que se querían referir a eso, llegamos a un error de cálculo, pues en una esfera hueca maciza la masa no aumenta en la corteza proporcionalmente al radio, sino con el cubo de este, por lo que dicha superficie equiescalar media estaría más próxima a la superficie que a 400 millas.

En resumen, espero que esto sirva de algo si me lee alguien que se haya creido todo eso. Esto no es ciencia. Mucho cuidado con las burradas que se ven en internet.

Astronomía (1): Venus, la Luna y la Nebulosa de Orion.

Hoy hemos tenido la primera sesión de observatorio del curso y, aunque doy por hecho que nada de lo que voy a decir aquí va a ser revelador para nadie, supongo que servirá para recordar o tener presentes cosas que ya sabemos.

En primer lugar hoy hemos visto a Venus y a sus conocidos ciclos semejantes a los de la Luna. Venus, como todos los astros capaces de reflejar la luz y lo suficientemente cercanos a nuestro planeta, se aprecia de forma diferente según el momento en el que se le mire, pudiendo vérsele desde completamente iluminado hasta ausente de luz, todo según su posición relativa a nosotros, tanto en su periodo de traslación alrededor del Sol (unos 114 días) como en su propio movimiento de rotación.

Como curiosidad, si alguno tenéis interés en saber cómo localizar a Venus en el cielo sabed que se encuentra en las zonas bajas al anochecer por el oeste, siendo el punto más brillante de nuestro cielo cuando se deja ver (incluso más que Júpiter).

De la Luna hemos tratado un poco la historia de las muy distintas teorías que pretenden explicar su aparición: una escisión de La Tierra debida a un exceso de fuerza centrífuga en su rotación (más acelerada de lo habitual en sus orígenes); que se originó junto a nuestro planeta desde el principio;  que era un astro perdido por el espacio al cual La Tierra consiguió frenar y poner a orbitar a su alrededor; y que es el resultado del impacto de un asteroide con el planeta. A continuación una explicación más detallada:

• En caso de que la fuerza centrífuga (m v^2 / r) de La Tierra hubiese sido tan fuerte que ni su propia atracción gravitatoria hubiese podido mantener pegada a su corteza, en primer lugar es poco probable que se hubiese llegado a frenar hasta la velocidad actual (el espacio ofrece poco rozamiento).
• En caso de que se hubiese originado junto a nuestro planeta lo más lógico sería que se hubiesen formado juntos como un único astro, ya que dos cúmulos materiales tomando forma tan próximamente se tendrían que haber fusionado a la fuerza.
• En caso de que fuese un astro que, perdido por el espacio, decidiese acabar orbitando junto a La Tierra implica, a través de cálculos matemáticos, que debió de haberse topado antes con otros planetas de nuestro sistema, ya que la masa de La Tierra sería incapaz de frenarla por completo.
• La teoría del asteroide es algo más convincente, puesto que necesita condiciones menos exquisitas. Nuestro planeta pudo haberse formado en cualquier otra órbita donde era prácticamente una masa dedicada a la autocombustión. Tras el impacto con un asteroide pudo haberse desplazado hasta la órbita actual, en la que se desarrolló la vida, y además en este proceso los fragmentos de nuestro planeta que salieron despedidos al espacio pudieron dar lugar a la Luna.

Tratamos también la controversia sobre si realmente Neil Armstrong había pisado la Luna o no, en la que como argumento no científico se dijo que si hubiese la más mínima posibilidad de que fuese una farsa los rusos habrían sido los primeros en desmentirlo.

En lo referente a física lunar, es digno de mención que, como astro, posee el mismo periodo de rotación que de traslación, lo que provoca que tan solo podamos ver una cara de la misma desde aquí. La cara oculta de la Luna no pudo ser observada hasta que se envió el primer satelite a orbitar a su alrededor.

Asimismo, al carecer de atmósfera es muy vulnerable a sufrir impactos de residuos espaciales y por eso está rellena de cráteres, que poseen nombres de importantes cientificos tales como Johanes Kepler o Galileo Galilei. Sus mares de lava poseen nombres de emociones como esperanza o tristeza, y las cordilleras poseen los mismos nombres que las terrestres.

Si consideramos el plano que contiene a la órbita de la Luna alrededor de La Tierra y al plano que contiene a la órbita de La Tierra alrededor del Sol, el ángulo que forman estos dos es de 5º en todo momento, aunque la orientación relativa entre ambos varía, dando lugar a eclipses cuando la intersección de la órbita lunar con el plano de la órbita terrestre está alineada con La Tierra y el Sol.

Por último observamos la constelación de Orion (el cinturón de Orion), dentro de la cual se puede observar con el telescopio que una de las aparentes estrellas secundarias de la región es en realidad una nebulosa donde están naciendo nuevas estrellas, de las cuales vimos cuatro denominadas “el trapecio”, si bien se sabe que hay once. La razón por la que podemos ver el interior de esta nebulosa es, evidentemente, que posee iluminación desde el interior y que el gas que la envuelve (hidrógeno)  está a alta temperatura.

¿Cómo vivir más tiempo que el resto de la gente según la Relatividad Especial?

Creo poder asegurar que cualquier persona, desde el primer momento en que da credibilidad a la Relatividad Especial, y consecuentemente a la dilatación del tiempo, mientras tarda en aceptar que nunca llegará a hacérsele notorio, empieza a reflexionar sobre cómo hacer para dilatar su propio tiempo para vivir más que el resto de las personas.

Asimismo, esa idea lleva intrínseco el hecho de que nunca, en ningún caso, se puede alargar el tiempo biológico (de un modo no genético). Lo que es posible es conseguir que el tiempo de los demás se te pase más rápido, sin que te des cuenta. Sin embargo, al no notar que se te ha pasado, en realidad no es vivir más, sino con una unidad de tiempo dilatada.

Si hacemos un análisis de la dilatación del tiempo, podemos estudiar que la dilatación tiene lugar en las zonas sometidas a mayor velocidad que las de su entorno, y dado que todo en el universo se mueve, es improbable encontrar dos áreas pegadas con la misma unidad temporal. Asimismo, a nivel subatómico, es mucho menos probable que todas las micropartículas compaginen sus velocidades.

Visto esto, tal vez sería posible modelar el universo como un campo escalar de tiempos, con sus gradientes variales en función del espacio-tiempo, dichos gradientes, que son la parte interesante, estarían dirigidos hacia las zonas donde el tiempo está más dilatado.

Estas zonas, según la propia fórmula de la dilatación, serían aquéllas cuya velocidad inercial fuese muy superior, por ejemplo en la frontera de nuestro Universo curvo.

Asimismo, si considerásemos como sistema de referencia fijo en el espacio, todas las zonas espacio-temporales próximas entre si estarían equilibradas en cuanto al escalar tiempo.

Sin embargo, cuando el sistema de referencia es un observador en la superficie terrestre a nivel del mar, la cosa cambia. Desde su punto de vista, alguien que viva más lejos del núcleo (a más altura) tendrá el tiempo más dilatado, porque su velocidad de rotación será superior al aumentar el radio de giro:

• v = ω r.

No obstante, según “La Historia del Tiempo” de Stephen Hawking, alguien que viviese en la montaña envejeceria mas rapido que alguien que viviese en la ciudad, tal vez debido a que la vida en la ciudad es más ajetreada.

Pero aún cabe otra explicación (no sé si es la que tenía en mente o no), que es la que se produce a nivel cuántico.

Dado que nosotros estamos formados por partículas, y ellas son las que rigen nuestra vida, sus velocidades serán las que más nos influencien. Y las partículas, por lógica y definición, están más “excitadas” en zonas de mayor actividad de fuerzas.

Así pues, las regiones espacio-temporales sometidas a fuerzas de gran magnitud “envejecerán” antes, haya vida en ellas o no. Este enfoque corrobora, por ejemplo, que las partículas que orbitan en el interior de un agujero negro puedan alcanzar velocidades iguales o incluso superiores a la de la luz.

Entonces, en resumen, obtenemos que se envejece menos en zonas afectadas por fuerzas de gran intensidad y en las que se desplazan rototraslatoriamente a grandes velocidades, siendo el mejor ejemplo de estas características una singularidad espacio-temporal como un aguejro negro.

Asimismo, hay otro tipo de fuerzas, como son las explosivas interiores a un sistema de partículas, que tal vez serían incluso más eficaces que las anteriores.

Ejemplos de estas fuerzas son la detonación de una granada o el retroceso de una pistola. Cuando se dan, son tan fuertes que las demás carecen de importancia. Es decir, si constantemente te estuvieses detonando tus partículas no se preocuparían mucho de avanzar en el tiempo, y disparando constantemente con un bazooka tu tiempo de vida también se ampliaría considerablemente.

Quizá el ejemplo más “visible” de esto es el del huevo en la sartén, del libro “Breviario del Señor Topkins”, de George Gamow. Este experimento consiste en tener una sartén con aceite, echar un huevo a freír, y agitarlo constantemente cambiándole la velocidad y la dirección. Se pude apreciar que está tan “concentrado” en encontrar un movimiento estable que sus partículas se despreocuban de las demás fuerzas que actúan sobre ellas y el huevo tarda más en freirse. (Si a cada instante se le hiciese variar su movimiento nunca se freiría).

Por último en esta entrada, he puesto aquí una tabla con las distintas velocidades que serían necesarias para multiplciar nuestro tiempo.

Conferencia de Gerardus ‘t Hooft en Santiago de Compostela. 16 de Diciembre de 2008.

Hoy he asistido de nuevo a una conferencia sobre divulgación científica. En esta ocasión de Gerardus ‘t Hooft, galardonado con el Premio Nobel en 1999 por proponer una estructura detallada de cómo se comportan los bosones de la interacción electronuclear débil.

No obstante, la charla ha sido de divulgación científica sobre el futuro de la ciencia.

En primer lugar, como no podía ser de otra forma, trató el tema del CERN y el LHC, centrándose en “La Unificación”. Según nos mostró en la más o menos conocida tabla energética de la física, para poder estudiar el mundo en dimensiones más pequeñas hacen falta mayores cantidades de energía.

Hasta ahora, la energía que alcanzábamos nos ha permitido descubrir un montón de partículas interesantes: el fotón (γ), el protón (p+), el electrón (e¯), el neutrino (ν), el positrón (e+), el muón (μ‾), el taón (τ‾), el pión (π), el kaón (k), las partículas W de la interacción débil…

En teoría, las nuevas energías que se obtengan en el LHC deberían permitir avanzar en este estudio y dar lugar a nuevos descubrimientos tales como el bosón de Higgs, también conocido como la partícula divina.

Sin embargo, no pretenden conformarse con eso. Dado que en LHC se encuentran con el inconveniente de tener que apañar algunos tramos para que las partículas colisionen en línea recta (es curvo), las perspectivas de futuro en la aceleración de partículas están en diseñar nuevos aceleradores de tramos completamente rectos. Solo así, aparentemente, se puede avanzar en niveles energéticos.

¿Y para qué avanzar en niveles energéticos? Pues bien, según la teoría de La Unificación en un momento inicial, justo en el instante en que tras una compresión espacial toda la materia queda concentrada en la singularidad de un punto, las distintas magnitudes, así como las fuerzas, se reducen a una única cosa, que al disiparse en la expansión se descompone en lo que conocemos hoy en día.

La importancia de esto radica en que si se consiguiese la suficiente energía como para engendrar una pequeña singularidad se podría apreciar el Universo de un modo extremadamente detallado. Es estando en ese estado o en uno muy próximo a él cuando los físicos teóricos suponen que deberían encontrar los primeros indicios de la existencia del gravitón.

Un buen ejemplo típico de esta teoría es que el agua, según la observas, es un elemento puro, pero si la enfrías y separas sus componentes te encuentras con dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno. Lo mismo pasaría con la singularidad espacio-temporal: al estar expandida se divide en cuatro fuerzas fundamentales y en un montón de materia.

Hablando ya de cosmología, se quiso meter también en el tema de los agujeros negros y la controversia con la radiación de materia de los mismos propuesta por Stephen Hawking, a la que tachó de imposible y de novela de ciencia ficción.

Sin embargo, tuvo el detalle de mostrarnos una representacion digital del estudio del movimiento de las estrellas próximas al núcleo de nuestra galaxia y la evidencia de que allí habitaba un agujero negro por la curvatura que sufría la trayectoria de los astros que pasaban junto a él: curvaban más su trayectoria y se movían más rápido (2ª Ley de Kepler).

No obstante, hay que tener en cuenta que la ley de Kepler pronto deberá ser sustituida, porque se han encontrado trayectorias esféricas en torno a agujeros negros, que evidentemente no conservan el momento angular.

Habló de la nanotecnología, que parece ser que dentro de poco aspira a fabricar nanotubos atómicos donde se cogerían duras redes iónicas y se enroscarían para formar complejas estructuras. Estas estructuras, según nos mostró en sus imágenes, serían semejantes a las que tenemos en nuestro mundo macroscópico (cuerdas enredadas, nudos…).

En lo referente a la robótica y a la mecánica fantaseó con la posibilidad de enviar robots a explorar el espacio, e incluso con la inteligencia suficiente como para aprender a llevar y plantar vida a los otros planetas, si bien nosotros nunca deberíamos ser capaces de ir más allá de Marte.

Asimismo, comentó los avances en inteligencia robótica y la posibilidad futura de trasladar inteligencia directamente de un cerebro a un robot, hasta hacerlo incluso más inteligente que una persona, pero siendo siempre perfectamente controlable.

En cuanto a la genética, según juzgo un asistente, fue tal vez demasiado optimista en cuanto a nuestras posibilidades, ya que hablaba de diseñar qué tipo de seres necesitaríamos (máquinas que fabricasen huevos o carne de vaca sin tener que matar una) como si crearlos fuese la acción mas trivial del mundo.

Es por eso que reflexionó sobre las cuestiones éticas que conllevaba jugar a ser divinidades fabricando especies nuevas íntegramente artificiales, dado que podríamos cargarnos la línea evolutiva de la naturaleza.

En resumen, ha sido una conferencia muy interesante y multitemática, en la que Hooft destacó algo importante que la gente tiene muy mal entendido: “La ciencia no cambia con el tiempo. Se perfecciona”, o dicho en otras palabras, estamos hartos de la gente que mete la Relatividad o la Teoría Cuántica en todas partes sin venir a cuento, e insinuando que desmontan todo lo anterior.

¿Tiene la materia un spin predeterminado o dependiente del entorno?: Rototraslaciones Cuánticas y Cosmológicas.

Como ya se ha hablado varias veces en este blog, la materia, por el simple hecho de existir, lleva asociado un movimiento de giro o spin, gracias al cual, según la Teoría General de la Relatividad y la Teoría de Cuerdas, aparecen las distintas fuerzas tales como la gravitatoria.

Además, en una entrada expliqué que gracias a eso sería posible plantear una fusión de las unidades en un espacio vacío si conociésemos el denominado cuanto de masa (o la cantidad de masa más pequeña).

Sin embargo, hay unos cuantos problemas (no sé si solucionados o no) que me hacen replantearme este tema.

Tal y como hizo Hawking para estructurar su modelo escalar del universo, supongamos éste como un modelo cuántico de grandes dimensiones, donde los astros y demás formaciones se comportarían como micropartículas.

La Tierra, por el simple hecho de existir, llevaría asociado un giro que conocemos como movimiento de rotación. Sin embargo, tenemos la certeza de que este movimiento se debe a la interacción gravitatoria con el Sol.

Aplicando Relatividad General, La Tierra tomaría una trayectoria elíptica alrededor del Sol adaptándose a la distorsión espacio-temporal que éste genera, creyendo ésta que se mueve en línea recta. Así pues, podríamos describir su movimiento de traslación como todos los demás: cada punto de La Tierra lleva asociado un vector de velocidad tangente a la elipse de igual móculo que todos los demás puntos de la misma.

Sin embargo, a este movimiento también hay que añadirle la aceleración centrípeta hacia el Sol, que en los puntos más acercados y más alejados al mismo no producirá movimiento por ser perpendicular a la trayectoria.

De este modo, todo el resto de puntos de La Tierra tendrían un giro determinado por:

• ∑M0 = I α.

, siendo “∑M0″ elmódulo del  sumatorio de momentos de fuerzas respecto al centro del planeta, “I” el momento de inercia, y “α” el módulo de la aceleración angular de la misma. Asimismo, los momentos de las fuerzas estarán más potenciados en el sentido del movimiento, por lo que la aceleración centrípeta hacia el Sol será más determinante al frente de la marcha que por detrás, y será por esa parte por la que La Tierra gire hacia el Sol. Sin embargo, aún hace falta saber si es la traslación la que favorece el giro en ese sentido o si es el giro en ese sentido lo que engendró la traslación.

Independientemente de eso, el caso es que sin no hubiese Sol ni nada más atrayendo a La Tierra, tal vez ésta no rotaría, al no verse afectada por momentos de fuerzas. Consecuentemente, al no girar, no generaría gravedad, y obtendríamos una estructura caótica del universo que no se sostendría. Solo la gravedad genera gravedad, por tanto tiene que existir siempre.

Si llevamos esto a nivel cuántico, podríamos suponer que un electrón tal vez no giraría con ningún spin si no hubiese ninguna partícula interaccionando con él de alguno de los cuatro modos conocidos.

La conclusión es evidente, una sola patícula no podría existir nunca, porque necesita de las demás para desarrollarse como tal. Por traslación, para que una partícula gire necesita de otra que le induzca a ello, y, finalmente, la materia no lleva un spin asociado por el simple hecho de existir: éste depende del entorno.

Si esto se cumple, la fusión de las unidades dejaría de tener sentido (no obstante publicaré una entrada con la estructuración matemática de la misma).

Próximamente trataré el problema que supone la carencia de “personalidad propia” de las partículas a la hora de trabajar con la cinemática rototraslatoria relativista de la partícula aislada.

Física General (8): Dinámica de la partícula: Leyes de Newton, Sistemas de Referencia No Inerciales, Fuerzas de Inercia y de Rozamiento, Momentos Lineal y Angular (Teoremas e Impulso), Trabajo, Energía Potencial y Potencial, Energía Mecánica.

Hasta ahora, en esta asignatura, hemos hablado de los movimientos de puntos materiales sin tener en cuenta las causas de éstos. En este tema comenzaremos a tratarlos desde el punto de vista de la Mecánica Clásica, que se encarga del estudio del movimiento de cuerpos de longitud entre 10^-10 m (átomos) y 10^20 m (galaxias), siempre y cuando éstos no se muevan a velocidades superiores a la décima parte de la de la luz, en cuyo caso ya hablaríamos de Mecánica Clásica Relativista, según el siguiente esquema.

Las Leyes de Newton (1642-1727):

• Si el sumatorio de fuerzas sobre una partícula es nulo (∑¬Fi = ¬0), podemos asegurar que existen unos sistemas de referencia inerciales respecto de los cuales existe una partícula que o bien no se mueve o lo hace con velocidad uniforme.
• Si el sumatorio de fuerzas sobre una partícula no es nulo (∑¬Fi ≠ 0), éste adquiere una aceleración con dirección y sentido coincidentes con ∑¬Fi, que se define por: ¬a = ∑¬Fi / m, siendo “m” la masa de la partícula.
• Cuando dos partículas interaccionan entre si, según el siguiente esquema, la fuerza que ejerce la partícula A sobre la partícula B son iguales en módulo y dirección, pero opuestas en sentido (¬F1 = – ¬F2), siendo una de ellas de acción y la otra de reacción.

Sistemas de referencia no inerciales y fuerzas de inercia:

Un sistema de referencia no inercial es el que tiene aceleración respecto de un sistema de referencia inercial, es decir, los ejes de este sistema tienen un movimiento no uniforme o de rotación respecto al otro. Se cumple que:

• La fuerza que actúa sobre la partícula observada procede de tener en cuenta la aceleración del sistema de referencia no inercial (¬as) y la aceleración relativa de la partícula desde dicho sistema (¬a’).
  ¬F = m (¬as +¬a’).
• La Fuerza Inercial o de Arrastre (¬Fa) es opuesta a la aceleración relativa: ¬Fa = – m ¬a’.
• Aplicando las dos ecuaciones anteriores, se obtiene que: ¬F + ¬Fa = m ¬as.

Las fuerzas en la Naturaleza:

Las fuerzas de la Naturaleza pueden explicarse a nivel microscópico como cuatro interacciones fundamentales: gravitatoria, electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil, aunque solo se estudian en Dinámica Clásica las interacciones macroscópicas de las dos primeras.

Fuerzas de Rozamiento:

Es un concepto estadístico que macroscópicamente se caracteriza mediante una fuerza “¬Fr” producida por las interacciones electromagnéticas entre las partículas subatómicas. Las características generales son:

• Aparecen siempre que exista un deslizamiento relativo entre dos cuerpos en contacto.
• Son paralelas a la superficie de contacto entre ambos cuerpos.
• Tienen sentido contrario a la velocidad relativa de un cuerpo respecto al otro.
• Se trata de fuerzas que siempre se oponen al movimiento.
• Su valor es independiente de dicha velocidad relativa.
• Son independientes del área de contacto entre los cuerpos.
• Aunque no haya deslizamiento relativo, puede haber fuerzas de rozamiento entre ellos.
• Son proporcionales a la Normal (fuerza de reacción al peso). ¬Frmax = μs N, donde “¬Frmax” es la fuerza de rozamiento máxima alcanzable, “μs” el coeficiente de rozamiento estático, cuando los cuerpos están quietos, y “N” la Normal.
• El coeficiente de rozamiento estático es mayor que el dinámico (cuando una partícula se mueve respecto a la otra. μs > μd.

Momento Lineal:

Se define el momento lineal o cantidad de movimiento de una partícula como el producto de la masa de la misma por su velocidad:¬p = m ¬v, por lo que, al depender de la velocidad, varía según el sistema de referencia empleado.

Si lo derivamos respecto al tiempo:

• d¬p / dt = dm ¬v / dt = m d¬v / dt = m ¬a = ¬F.

, de donde sale el Teorema del Momento Lineal:

• d¬p / dt = ¬F.

, y a su vez el Impulso Lineal:

• Il = ∫(¬F dt) desde “t0″ hasta “t” = ∫(d¬p) desde “¬p0″ hasta “¬p” = Δ¬p.

Momento Angular:

Se define como momento angular de una partícula como el producto vectorial del vector posición y el momento lineal:

• ¬L0 = ¬r Λ ¬p = ¬r Λ m ¬v.

, y de nuevo, al depender de la velocidad, varía con el sistema de referencia.

Si el punto de referencia “0″ está en movimiento:

• ¬L0 = ¬L0′ + ¬00′ Λ m ¬v.

, siendo “¬L0′” el momento angular respecto la nueva posición y “00′” el vector que una la posición inicial con la nueva.

Si lo derivamos respecto al tiempo:

• d¬L0 / dt = d¬r / dt Λ m ¬v + ¬r Λ m d¬v / dt = ¬v Λ m ¬v + ¬r Λ ¬a.

, y como el producto vecrorial de “¬v” consigo mismo es nulo (son paralelos):

• d¬L0 / dt = ¬r Λ m ¬a = ¬r Λ ¬F.

, de donde sale el Teorema del Momento Angular:

• d¬L0 / dt = ¬M0.

, y a su vez, de nuevo, el Impulso Angular:

• Ia = ∫(¬M0 dt) desde “¬M00″ hasta “¬M0″ = ∫(d¬L0) desde “¬L00″ hasta “L0″ = Δ¬L0.

Trabajo realizado por una fuerza:

El incremento de trabajo “W” sobre un cuerpo que se desplaza desde un punto A hasta un punto B es igual al producto de la fuerza que actúa sobre un cuerpo y su desplazamiento:

• dW = ¬F d¬r.

, también expresable como:

• ∫(dW) desde A hasta B = ∫(¬F d¬r) desde A hasta B.

Podemos comprobar, además, que el incremento del trabajo es igual al incremento de Energía Cinética:

• dW = ¬F d¬r = m (¬dv / dt) (¬v dt).

, simplificando por el incremento de tiempo:

• dW = m ¬v d¬v.

, que por cálculo diferencial es igual a:

• dW = m d(¬v ¬v) / 2 = d(m ¬v^2 / 2).

Este último término, como se puede apreciar, es el incremento de energía cinética.

• ΔW = ΔEc.

, siendo “Ec” la energía cinética.

Energía Potencial:

Aplicando Teoría de Campos, sabemos que toda partícula que derive de un sistema vectorial de fuerzas posee una cierta energía potencial, si dicho campo era conservativo o, dicho de otro modo, poseía un rotacional nulo, y que siempre se cumplía que el sistema de vectores era igual al vector opuesto al gradiente del campo potencial:

• ¬F = – ¬gradE.

• Campo Gravitatorio: La Fuerza Gravitatoria se define por: ¬Fg = – (G M m / r^2) ¬r0, donde “G” es la Constante de Gravitación Universal, “M” es la masa que atrae, “m” es la masa atraida, “r” es el módulo del vector posición de la masa atraída respecto a la atrayente, y “¬r0″ el vector unitario del anterior. Como su rotacional es nulo (¬rot ¬Fg = 0), se cumple que: Fg = – ¬gradEpg, siendo “Epg” la Energía Potencial Gravitatoria. Si despejamos esta ecuación: Epg = – G M m / r.
• Campo Electrostático: La Fuerza Electrostática se define por: ¬Fe = (k Q q / r^2) ¬r0, donde “k” procede de la Constante Dieléctrica del medio, “Q” es la carga atrayente y “q” la carga atraída. Como ¬rot ¬Fe = 0, se cumple que: ¬Fe = – ¬gradEpe, donde “Epe” es la Energía Potencial Electrostática, que despejada se define como: Epe = k Q q / r.
• Campo Elástico: La Fuerza Elática se define por: ¬Fel = – k ¬l, siendo “k” la Constante Elática del material, y “¬l” el vector de la deformación producida por una fuerza. Como ¬ror ¬Fel = 0, se cumple también que: ¬Fel = – ¬gradEpel, donde “Epel” es la Energía Potencial Elástica, que se puede expresar como: Epel = k l^2 / 2.

Potencial:

En el caso del Campo Gravitatorio y el Electrostático, en el medio que los rodea aparece un campo escalar denominado Potencial, que se calcula dividiendo la Energía Potencial entre la magnitud activa de la supuesta partícula afectada,  independientemente de que haya alguna partícula siendo afectada por él o no. Así, cualquier punto del espacio (vacío o no) se verá afectado por este potencial y por el vector a partir de su gradiente.

• Campo Gravitatorio: El Potencial Gravitatorio se define como: Vg = Epg / m = – G M / r, y a través del gradiente obtenemos la aceleración gravitatoria: ¬g = – ¬gradVg = – (G M / r^2) ¬r0.
• Campo Electrostático: El Potencial Electrostático se define como: Ve = Epe / q = k Q / r, y a través del gradiente obtenemos ¬E = – ¬gradVe = (k Q / r^2) ¬r0.

Energía Mecánica:

Si consideramos un campo vectorial conservativo, y una partícula que se mueve a través de él, siempre se cumple que:

• ΔW = – ΔEp.

, si combinamos esto con el hecho ya demostrado de que:

• ΔW = ΔEc siempre.

, obtenemos que:

• ΔEc = – ΔEp.

, por lo que:

• ΔEc + ΔEp = constante = Em.

, donde “Em” es la Energía Mecánica, y la anterior fórmula, por tanto, el Teorema de Conservación de la Energía Mecánica.