Astronomía (5): Estrellas, Enanas Blancas, Pulsares, Agujeros Negros, Supernovas, Luminosidad, Diagramas HR, Cúmulos.

Las estrellas son grandes acumulaciones de gas sometido a fuertes reacciones nucleares. Entre sus propiedades se encuentra la de emitir radiación en forma de luz y calor, así como generar potentes campos gravitatorios capaces de poner a orbitar planetas a su alrededor.

El índice de luminosidad de una estrella se mide a través de la ecuación:

• L = 4 π σ r^2 T^4.

, donde “L” representa la luminosidad, “σ” una constante universal asociada a la luminosidad del Sol, “r” el radio de la estrella, y “T” la temperatura de la misma. Despejando, podemos calcular el radio:

• r = [L / (4 π σ T^4)]^1/2.

A la hora de analizar estrellas es interesante tratar con los Diagramas HR, que representan las tres variables anteriores, clasificando las estrellas según las mismas.

Para entenderlos un poco mejor, tal vez será necesario recordar brevemente la ecuación de Planck y el espectro luminoso.

La velocidad de la luz, “c”, era igual a 300000 km/s en el vacío, y la velocidad del haz de luz se define como:

• c = λ ν.

, donde “λ” es la longitud de onda y “ν” es la frecuencia, cuyo producto debe ser constante, por lo que son inversamente proporcionales. Asimismo, la ecuación de Planck nos decía que la energía de la onda era proporcional a la frecuencia a través de la constante “h”:

• E = h ν.

Además, el color con el que apreciamos el haz lumínico depende de su energía, siendo, en orden ascendente de energía: negros, infrarrojos, rojos, anaranjados, amarillos, verdes, azules, añiles, violeta, ultravioleta… De todo esto concluimos que las estrellas a mayor temperatura son más propensas al color violeta, apróximándose más al tono rojizo cuanta menor sea su energía. Además, no debemos olvidar que por causa del Efecto Doppler, todas las estrellas tienden al color rojo en su apariencia, pues al alejarse disminuyen la frecuencia de onda aparente.

En el diagrama HR adjunto, la temperatura está representada de mayor a menor en el eje horizontal (grados Kelvin), mientras que la luminosidad está representada en el eje vertical de menor a mayor (Unidades Solares). El radio de las estrellas está representado en las líneas trasversales que cruzan el diagrama, medido tomando el Radio Solar como unidad.

La esperanza de vida de una estrella, también anotada en algunos tramos, es una estimación en base a las características físicas de la misma.  Cuanta más masa tiene una estrella, mayor es su velocidad de combustión, y menor será su esperanza de vida, pues no le llevará mucho, relativamente, consumirse. Si tomamos la masa solar:

• S = 2 x 10^30 kg.

, como sistema de referencia, obtenemos las siguiente tabla:

• 1 S = 7000000000 años.
• 3 S = 200000000 años.
• 7 S = 65000000 años.
• 15 S = 10000000 años.

El Sol, que evidentemente está incluido en la primera categoría, aún está en la primera etapa de su vida, pues todavía está ganando temperatura y luminosidad. Una Vez alcance su temperatura máxima, su radio disminuirá, y con él su luminosidad, perdiendo posteriormente temperatura para acabar volviéndose una Enana Blanca.

¿Pero cómo saber en qué se convertirá cada estrella al extinguirse? Pues esto depende fundamentalmente de su radio y su masa.

Si la estrella es muy pequeña y tiene muy poca masa se convertirá en una Enana Blanca, de luminosidad, temperatura e interacción gravitatoria medias. Para llegar a esta fase la anterior estrella se desprende de su corteza.

Si tiene algo más de masa se convertirá en un Pulsar a través del mismo poceso. Los pulsares tienen la peculiaridad de estar compuestos de partículas quasi-elementales, por lo que se las conoce como estrellas de neutrones. El nombre de pulsar deriva de la señal o pulso que emiten sobre los detectores cada vez que uno de sus haces lumínicos incide directamente sobre nosotros.

Si la densidad de una estrella es lo suficientemente grande, ésta se convertira en un Agujero Negro, siempre que se cumpla la condición:

• c ≥ [2 G M / r]^1/2.

, es decir, que la raíz cuadrada del cociente “2 G M / r” sea igual o mayor que la velocidad de la luz, siendo “G” la constante de gravitación universal, “M” la masa de la estrella, y “r” el radio de la estrella.

Si la estrella es lo suficientemente grande, se convertirá en una Supernova y desprenderá grandes cantidades de energía.

Las estrellas acostumbran a encontrarse formando grupos más o menos grandes en los que todas ellas interaccionan gravitatoriamente con una gran dependencia, por lo que no se puede estudiar su movimiento por separado.

De entre todas las estrellas que observamos, el 80% de ellas son estrellas dobles, es decir, un sistema de al menos dos astros. Asimismo, el 24% son ternas de estrellas, y el 7,2% son cuaternas.

Con respecto a las agrupaciones de grandes cantidades de estrellas en el cielo, encontramos cúmulos abiertos si están más o menos dispersas, y cúmulos globulares si todas ellas se acumulan en torno a un punto, que será el centro de masas del sistema.

Las galaxias, por su parte, las clasificamos según otro criterio más adaptado. Serán elípticas si su forma se asemeja a la de una elipse, como las órbitas planetarias, y espirales si las estrellas forman curvas que convergen en círculo al núcleo galáctico.

Astronomía (3): Historia de la Mecánica Celeste y Relojes Solares.

Dado que de la mayoría de los temas que me han presentado hoy ya han aparecido por este blog, voy a pasar de los repetidos y centrarme en las cosas nuevas de la conferencia de astronomía de hoy.

Tras una presentación sobre la historia de la mecánica celeste, de la cual ya hablé en el enlace de arriba, los datos nuevos e interesantes que tengo que añadir son el modelo cosmológico de Tycho Brahe y las elementos keplerianos para determinar la órbita seguida por un astro, que son perfectamente calculables a partir tan solo de tres observaciones del mismo (aplicando después las leyes de geometría elemental, Kepler y Newton).

El modelo de Brahe, que debemos ubicar entre el de Copérnico y el de Kepler (fue tutor del segundo) tenía la pecualiaridad de seguir siendo Geocéntrico, pese a las anteriores aportaciones de Copérnico. Según Brahe, La Tierra era el centro del Universo, y en torno a ella giraban la Luna y el Sol, girando todos los demás planetas en torno al Sol, con órbitas lo suficientemente grandes o pequeñas como para no chocar nunca con La Tierra. Este modelo, pese a lo rebuscado que pueda parecer, tenía bastante lógica, pues respetaba el Geocéntrico y además concordaba con las observaciones del movimiento de los otros planetas en el firmamento. Sin embargo, tal vez hubiese sido demasiado evidente que si La Tierra también es un planeta debería de girar también en torno al Sol.

Una vez estuvo instaurado el modelo Heliocéntrico y las mencionadas leyes de Kepler y Newton, llegaron los elementos keplerianos de las órbitas, llamados asi en honor a Kepler.

Para comprenderlos mejor, primero asegurémonos de que sabemos bien lo que es una elipse tanto teórica como matemáticamente, y para ello partiremos del círculo.

El círculo tiene infinitos ejes de simetría, como todos sabemos, y es por eso que siempre podremos escoger dos de estos ejes que sean perpendiculares para considerarlos nuestros ejes de coordenadas en 2D. Respecto a estos ejes aparecen cuatro fragmentos de círculo que tendrán la misma forma, y por tanto la misma superficie. Dado que si tomamos dos ejes y analizamos el fragmento del eje “x>0″ y del “eje y>0″ observaremos que la longitud de ambos semiejes es el radio del círculo, y que a medida que avanzamos en uno decrecemos la componente en el otro. Es decir, tienen una relación inversa, que se expresa mediante la siguiente suma:

• x^2 + y^2 = r^2.

El cuadrado del radio del círculo será siempre igual a la suma de los cuadrados de las componentes del punto referentes a nuestro sistema. Así pues, si avanzamos “r” en el eje “x”, observamos que “y” tiene que valer “0″, como efectivamente hace.

Ahora bien, en la elipse ambos ejes se pueden prolongar, y no necesariamesme en la misma proporción, lo que acaba con la simetría infinita y nuestros ejes serán ya los únicos ejes de simetría. Al más grande lo denominamos eje mayor, y al más pequeño lo denominamos eje menor. Si “a” y “b” son los incrementos observados en dichos ejes, la nueva ecuación será:

• a x^2 + b y^2 = r^2.

, donde “r” pasa a ser una simple constante, pues al no ser circular ya no podemos hablar de radio. El punto donde se cortan los dos ejes sigue siendo el centro de la elipse, y si analizamos los ejes desde el obtenemos dos semiejes mayores y dos semiejes menores tras dividir los grandes a la mitad en este punto. Si desde cada uno de los extremos del eje menor tomamos la distancia de uno de los semiejes mayores y la llevamos sobre ambos formando un triángulo, obtenemos dos puntos sobre el eje mayor llamados focos, que por construcción cumplen la propiedad de que si a cualquier punto en la elipse se le calculan las distancias a ambos los focos y se suman, el resultado es la longitud del eje mayor.

En conclusión, podemos construir cualquier elipse conociendo al menos dos de los elementos anteriores, pues solo hemos necesitado dos datos (los ejes) para construirla entera. Sabiendo estos detalles, ya podemos comprender mejor los elementos keplerianos.

Supongamos que nosotros, desde La Tierra, queremos calcular la elipse de traslación de otro astro en el cielo, conociendo la posición del astro en torno al cual gira. Para mayor comodidad supondremos que estamos calculando la elipse de Marte en torno al Sol.

El primer dato necesario será la Longitud del Nodo Ascendente. Imaginemonos La Tierra rotando en torno al Sol sobre una elipse contenida en un plano (como siempre), donde el Sol es uno de los focos. Al estar el Sol en un foco, asumimos que si trazamos una paralela al eje menor sobre él cortaremos a la elipse en dos secciones, siendo una mucho mayor que la otra. En lo referente a los puntos de corte, uno será el que lleve a La Tierra a la parte grande de la elipse, y el otro el que la lleve a la parte pequeña (teniendo en cuenta su sentido de traslación). El punto que la lleva a la parte grande podemos definirlo como el Nodo Ascendente o Punto de Aries, y al otro el Nodo Desdendente o Punto de Libra. Recordemos el símbolo “γ” como el Punto de Aries de de La Tierra. Consideremos ahora el plano de traslación de Marte “p1″, dentro del cual también podremos calcular el Punto de Aries marciano, al que denominaremos “Ω”. Si ahora consideramos los puntos del Sol, “γ”, “Ω”, sabiendo que son tres determinan un plano, al que llamaremos plano “p2″. Dentro de este plano, si desde el Sol trazamos dos vectores, uno que lo una con “γ”, y otro que lo una con “Ω”, el menor ángulo que formen los vectores será conocido como el ángulo “Ω” también, y será nuestro medio de trasladar cuentas desde “γ” en nuestra órbita hasta “Ψ” en la órbita de Marte, medida en radianes. La Longitud del Nodo Ascendente será la distancia del Sol al punto “Ω”.

El segundo elemento, la Inclinación, no es más que el menor de los ángulos de intersección del plano “p1″ de Marte con el plano “p2″ antes mencionado.

Si consideramos el vector que une el Sol con el Perihelio de Marte (punto más próximo al Sol en órbita) y trazamos su ángulo desde el vector que unía al Sol con el Punto de Aries “Ω”, siguiendo el sentido de la ruta del planeta, obtenemos el ángulo “ω”, que será nuestro tercer elemento, el Argumento del Perihelio.

Dado que la órbita marciana, como todas, será una elipse, otro elemento será evidentemente el Semieje Mayor, aunque el eje mayor entero, por motivos más que evidentes, también valdrá.

El quinto elemento, la Excentricidad, mide el grado de desnivel entre los ejes de la elipse. Si retomamos la ecuación de la elipse mencionada anteriormente:

• a x^2 + b y^2 = r^2.

, el Excentricidad mediría la relación entre los coeficientes “a” y “b”.

Por último, la Anomalía Media de la Época es la que hace referencia a la dinámica del planeta: grados recorridos en torno al Sol, arco desplazado…

En lo referente a los relojes solares se ha tratado la problemática de que según la región en la que se vaya a usar su orientación y sus elementos deben adaptarse a la incidendia de la radiación lumínica, ya que si usamos el mismo reloj solar en el ecuador o en el polo obtendremos resultados dispares.

Así pues, podemos sacar algunos datos a tener siempre en cuenta a la hora de hacer un reloj solar, que son la latitud del punto donde se va a implantar, esto es, su grado de inclinación con respecto al ecuador, y la estación del año, pues el mismo reloj dilataría las horas en verano y las comprimiría en invierno, según el tiempo de Sol diario.

Orientarse con sombras era un buen método de cronometrar en la antigüedad, pero hoy en día los relojes solares ya no son realmente útiles a no ser que alguien esté perdido, puesto que tienen el gran problema de que no aportan información alguna por la noche.

Astronomía (2): Planetas y Eclipses.

A día de hoy los planetas de nuestro Sistema Solar son ocho, y como ya deberíamos saber todos ellos giran en torno al Sol siguiendo órbitas elípticas, tal como propone la 1ª Ley de Kepler. Haremos pues en esta entrada un estudio más o menos detallado de los mismos, si bien no trataremos nada revelador.

El más próximo al Sol es Mercurio, y es uno de los denominados planetas rocosos, ya que al estar más próximo al Sol se encuentra a más altas temperaturas y sus materiales tienden a encontrarse en estado sólido. Ésto dificulta la existencia de una atmósfera que, pese a todo ello, existe, si bien con elementos dispares a los de la atmósfera terrestre.  Además, en el momento de su recorrido en que la velocidad de traslación supera a la de rotación se aprecia desde su superficie un retroceso del Sol en el cielo.

Venus, el segundo planeta del Sistema Solar, pese a estar más lejos del Sol que Mercurio, posee una mayor temperatura atmosférica (por encima de los 400ºC), y que su atmósfera tiene altos contenidos de C O2 (dióxido de carbono), que es el principal responsable del efecto invernadero en el planeta. Cuando la radiación solar penetra la atmósfera venusiana, el C O2 absorbe el calor y no lo deja escapar, apareciendo así las mencionadas temperaturas y presiones de hasta 90 Pa. Las altas temperaturas son, además, buenas reflexoras de radiación lumínica, y es por eso que Venus es, junto a la Luna y el Sol, el tercer cuerpo celeste que se puede ver de día, generalmente al amanecer o al ocaso, siendo conocido como el Lucero del Alba. Como curiosidad fisica podemos destacar que su periodo de rotación es mayor que su periodo de traslación, lo que tiene como consecuencia que sus “días” duran más que sus “años”.

Llegamos ahora a La Tierra, que tiene la peculiaridad de ser aparentemente el único planeta que posee vida, gracias a su atmósfera de propiedades tales como una composición justa en C O2 que mantiene la temperatura sin elevarla demasiado, la conocida capa de O3 (ozono) que filtra la mayoría de raciaciones ultravioleta, protegiéndo a las células y al propio ADN de mutaciones cancerígenas extrañas. Asimismo, también favorecen la existencia de vida el radio medio de distancia al Sol en la orbita y el valor de la interacción gravitatoria, que es el justo para que no salgamos volando de la superficie ni tampoco nos quedemos pegados a ella (lo cual tendría repercusiones en nuestra estructura ósea). La existencia de La Tierra como tal, además ha planteado una repercusión filosófica, pues es tan poco probable que se de una situación para que aparezca la vida que algunas teorías como el Principio Antrópico aseguran que el azar tuvo que jugar intencionadamente a nuestro favor.

Marte, el Planeta Rojo, es el cuarto, y si bien a nivel material tiene menos propiedades en común con La Tierra que Venus, es el segundo planeta en el que la vida parece ser más factible, sobre todo por lo relacionado con la temperatura. Sin embargo, dada su tendencia a recibir impactos meteóricos una vida allí podría ser algo arriesgada. En lo referente a la historia de la física, Marte ha sido un importante elemento, pues gracias a él y a las extrañas trayectorias que seguía observado desde La Tierra el Modelo Geocéntrico fue desprestigiado con más éxito para dar paso al Modelo Heliocéntrico que tenemos hoy en día, además de servir para verificar la 1ª Ley de Kepler antes mencionada, entre otras.

Júpiter, por su parte, es el más grande de los planetas del Sistema Solar, y se puede describir como una gran acumulación de H2 (hidrógeno) y He (helio), en estado gaseoso los dos. Así pues, siendo un poco brutos, podemos decir que es como una estrella que no tiene fuerza para producir reacciones nucleares en su interior y se conforma con la categoría de planeta, pues al no producir energía, ni produce luz ni un campo gravitatorio considerable. Recordemos que la energía produce un campo gravitatotio al igual que la masa, pues ambas están relacionadas a través de la ecuación de Einstein E = m c^2. La observación de la corteza de Júpiter ha permitido observar un gran anticiclón en su corteza conocido como La Gran Mancha Roja, que no pasa desapercibida en ninguna toma del planeta. En lo referente a los satélites sabemos que Galileo le atribuyó cuatro, que podemos considerar los más importantes: Ío, Europa, Ganímedes y Calisto.

Saturno es el único planeta cuyo anillo de micropartículas orbitanto a su alrededor es visible por un telescopio. Es el segundo planeta más grande del Sistema Solar y, al igual que Júpiter, se estructura como una gran acumulacion de gas.

Urano, de composición física semejante a los dos anteriores, es uno de los planetas de los que menos sabemos, y del cual cabe destacar la peculiaridad de su aro azul. Es el tercer planeta más grande.

Neptuno, el último de los ocho planetas, es el único cuya existencia ha sido predicha matemáticamente antes de su observación. Al igual que Júpiter, posee una mancha, conocida como La Gran Mancha Negra, también debida a un anticiclón, pues los vientos en este planeta superan los 600 km/h.

En resumen podemos encontrar algunas generalidades en torno a las características de los planetas que giran en torno a una estrella, tales como que en general sus temperaturas disminuyen con la distancia a ésta, que los más próximos son rocosos, mientras que el resto son gaseosos, y que los gaseosos tienden a ser bastante más grandes, dada la naturaleza de los fluidos.

Hablemos ahora de los eclipses solares, que todos sabemos que se producen cuando la Luna se interpone entre La Tierra y el Sol en línea recta. Sin embargo, las características de estos tres astros hacen que a través de esta definición se den eclipses de varios tipos, y que además sean perdibidos de distintos modos en cada parte de La Tierra. Lo que a continuación sigue igual excede en contenidos matemático-geométricos a lo que se pudiese esperar de esta entrada. Si es así lo siento.

Reflexionemos en las condiciones que se tienen que dar para que un observador en el ecuador de La Tierra vea un eclipse total de Sol. En primer lugar tenemos que considerar el plano de traslación de La Tierra en torno al Sol, en el cual sabemos que se va a encontrar siempre. Además, tenemos que tener en cuenta que nuestro planeta tiene una inclinación de “α” grados con respecto a este plano, por lo que el Sol no lo veremos justo encima desde el ecuador, sino con una inclinación respecto a la vertical de “α” grados. Asimismo, la Luna también posee su propio plano de traslación respecto a La Tierra, que no es paralelo al de La Tierra con respecto al Sol, es decir, los planos de La Tierra y la Luna son secantes, y tienen un ángulo de corte de “β” grados. Dada la complejidad de los movimientos de rototraslación de ambos astros, podemos asumir que el valor “β” varía con el tiempo, y que además la recta de corte entre ambos planos gira constantemente.

Ya solo con estos datos, tenemos que asumir que para que nuestro observador aprecie un eclipse solar, debemos trazar una recta desde sus ojos hasta el Sol. Dicha recta tiene que ser cortada por el plano de traslación de la Luna entre el observador y el Sol, no en otra zona. Si ya la probabilidad de que se de esto es pequeña, hay que reducir sus posibilidades al tener en cuenta que la Luna tiene que estar en el tramo de su plano que corte a la recta mencionada, y que además dicha recta no puede atravesar a La Tierra entre el observador y el Sol, pues entonces para el observador sería de noche y seguro no apreciaría el eclipse (si la recta que une nuestros ojos con el Sol atraviesa La Tierra, el Sol nos queda al otro lado de esta y no lo vemos).

Dadas todas las conciciones mencionadas podemos asegurar que el observador en cuestión verá un eclipse solar. Podemos asegurar también que mientras nuestro observador está ante un eclipse, otro obervador para el cual sea de noche no lo verá de ningún modo. Pero la problemática no acaba aquí.

Sabiendo del pequeño volumen de la Luna en comparación con el del Sol, es poco pobable que lo oculte totalmente, y aquí es donde entran las perspectivas cónicas. Sabemos que, como observadores, cuanto más lejano se nos antoja un objeto, más pequeño lo vemos, y debido a esto, por ejemplo, vemos tan pequeñas las estrellas. Así pues, para que se de un eclipse total con respecto a un observador la Luna tiene que estar lo suficientemente cercana a éste como para poder ocultar al Sol (cuanto más lejos está más pequeña se ve y más difícil es que lo oculte). Podemos despreciar la variación de la perspectiva cónica en lo que al Sol se refiere, pues está tan lejos que más o menos se ve igual de grande desde el perihelio terrestre (punto de traslación en que la distancia al Sol es mínima, en Verano) y el afelio terrestre (punto de traslación en que la distancia al Sol es máxima, en Invierno).

En función de la proximidad de la Luna, mayor o menor será, pues, la superficie de la corteza terrestre donde se apreciará el eclipse, y esto supone, principalmente, que un eclipse solar afecta solo a una región de La Tierra, y no a todas en las que sea de día. Pero dado el movimiento de traslación de la Luna en torno a La Tierra y la propia rotación de la misma, podemos asegurar que la superficie eclipsada se desplaza, de modo que mientras dure el eclipse, no todas las zonas lo apreciarán al mismo tiempo.

Según la posición del observador diurno del eclipse, podemos hablar de un eclipse nulo si en su área no llega a ser visible, un eclipse total si está en el centro de la zona eclipsaa, y de un eclipse parcial en mayor o menor medida según la proximidad al centro de la zona eclipsada.

Con tantas cosas a tener en cuenta, resulta algo más evidente que no haya eclipses cada tan poco tiempo como podría parecer, y su aparición puede resultar un tanto aleatoria si no se estudia continuamente los movimientos de los tres astros que entran en juego.

¿Tierra Hueca? ¡Venga ya!

Esta entrada con un título tan peculiar se debe a que curioseando vídeos en youtube recientemente me he encontrado con algo parecido a una secta que asegura que La Tierra está hueca en su interior, donde se haya un Sol interno flotando en el vacío.

Las bases de esta teoría son básicamente las de toda religión: que nosotros, la gente de a pie, no podemos demostrar experimentalmente lo contrario.

Antes de desmentir casi por completo lo que aquí se dice os haré una pequeña introducción al asunto, si bien podéis documentaros mejor viendo cualquiera de los vídeos mencionados.

Básicamente, esta gente cuenta que a mediados del siglo XX el jefe de una expedición de los Estados Unidos en el Polo Norte se perdió y, en su travesía, llegó a un oasis caluroso, donde conoció a humanoides más evolucionados que nosotros. Dicho expedicionista había descendido en el polo por un gran cráter que llevaba al centro de La Tierra, ni más ni menos. Bueno, relativamente, porque parece ser que estos humanoides le explicaron que si seguía descendiendollegaría a un agujero que atravesaría nuestro planeta por su eje de rotación, en el centro del cual se hayaba un Sol interno (hablemos de estrella interna para ser mínimamente tecnicos). Cuando este expedicionista volvió a los Estados Unidos, de nuevo según esta secta, el gobierno le silenció, aunque a alguien se lo debió de contar. Podemos hablar de este personaje como el precursor de esta “religión”, tal y como Jesús promovió el cristianismo y Mahoma la religión musulmana.

Vamos ahora con la explicación técnica de esta teoría, que es donde más se nota que quienes la promueven no aprendieron nada sobre lógica en su vida.

En primer lugar, aseguran que La Tierra está hueca y que hay agujeros en los polos que van a dar a este inmenso vacío. Si no los hemos visto hasta ahora, se supone, es porque los gobiernos modifican las imágenes de satélite (claro, también es mentira que Neil Amstrong llegó a la Luna). Y, por si no lo sabéis, no se hacen líneas aéreas sobre esa zona para que nadie vea el agujero. Estad seguros de que si nadie vuela por allí no se debe ni a las bajas temperaturas ni a los fuertes campos electromagnéticos que guían a las brújulas. En fin…

La primera consecuencia lógica de esta afirmación es que todo el aire del planeta, al tener una vía libre de acceso a su interior, sería atraído gravitatoriamente hacia el mismo y, además, sería poco probable que pudiese escapar del interior del planeta para permitirnos respirar. Al fin y al cabo, el espacio lo comprimiría más hacia el núcleo, aumentando su presión a grandes valores en los que por varias reacciones nucleares estaría compuesto básicamente de hidrógeno y helio, y pasaría a formar parte de la estrella interior mencionada. El campo gravitatorio se dilataría y el cataclismo sería bastante probable.

En segundo lugar, aseguran que la corteza terrestre tiene una profundidad de 800 millas (1287,475 m) en toda la superficie, reduciendose ésta de un modo lineal en los polos. Ésto deja un espacio vacio interior de nada menos que 1082040576000 km^3 repleto de aire concentrado. Todo este aire ejerciendo presión sobre la corteza terrestre la fragmentaría en muy poco tiempo.

En tercer lugar, y éste es el fallo más grande, dicen que ya que la corteza tiene 800 millas de profundidad, su centro de gravedad está a 400 millas. La aberración ya no es solo física, sino matemática. Es cierto que en una varilla de 800 millas de longitud y densidad constante el centro de gravedad de encuentra en la mitad, a 400 millas de los extremos, pero en este caso estamos hablando de una esfera, y a parte, el centro de gravedad es un punto, como su propio nombre indica, y en la imagen se puede apreciar que lo tratan como una superficie. Al ser un punto, no puedes decir que está a tantas millas de profundidad, además tendrías que especificar escarbando por dónde. Independientemente de esto, el dentro de gravedad de cualquier figura tridimensional con tres o más ejes de simetría se encuentra en el punto de corte de todos ellos, siendo en este caso el propio centro de La Tierra como siempre, independientemente de que haya una estrella interna o no, pues el centro de gravedad de un sistema de partículas no tiene que estar ubicado sobre una de ellas.

Queriendo ser generoso con la teoría, podría suponer que lo que quisieron decir es que, suponiendo una semirecta desde el centro de la tierra a la superficie, despreciando la estrella interna que ellos mismos han metido ahí y el gas antes mencionado, en la parte de la semirecta que pasa por la corteza el valor medio de la gravedad estaría en el centro de la misma. Si aplicamos ésto a las infinitas semirectas que parten del núcleo, obtenemos una superficie equiescalar uniendo los puntos de gravedad media de las mismas, que sería como una esfera encerrada dentro de la corteza, hueca también en los polos.

Pero aún así, suponiendo que se querían referir a eso, llegamos a un error de cálculo, pues en una esfera hueca maciza la masa no aumenta en la corteza proporcionalmente al radio, sino con el cubo de este, por lo que dicha superficie equiescalar media estaría más próxima a la superficie que a 400 millas.

En resumen, espero que esto sirva de algo si me lee alguien que se haya creido todo eso. Esto no es ciencia. Mucho cuidado con las burradas que se ven en internet.

Física General (14): Primer Principio de la Termodinámica: Trabajo Termodinámico, Trabajo Adiabático, Energía Interna, Concepto de Calor, Capacidad Calorífica, Calor Específico, Entalpía.

Trabajo Termodinámico. Aplicación a un Sistema Expansivo:

El trabajo termodinámico se define como la energía que se transfiere entre un sistema y su entorno cuando entre ambos se ejerce una fuerza. Numéricamente, el trabajo infinitesimal “d‾W” que realiza una fuerza “F” al sufrir su punto de aplicación un desplazamiento “dr” viene dado por la expresión:

• d‾W = F dr.

, siendo por lo tanto una magnitud escalar. El trabajo total en un desplazamiento finito del punto de aplicación de la fuerza se obtiene por integración de la expresión anterior:

• W = F Δr.

, para lo cual es necesario conocer la relación entre “F” y “dr” si la fuerza no es constante.

Si un sistema en conjunto ejerce una fuerza sobre o por el medio que lo rodea y tiene lugar un desplazamiento del punto de aplicación de aquélla, el trabajo realizado por o sobre el sistema se denomina trabajo externo. Si el trabajo se realiza por una parte sobre otra se denomina trabajo interno. En Termodinámica el trabajo interno no tiene interés y sólo importa el trabajo externo, que supone una interacción entre un sistema y su medio exterior.

En las interacciones experimentadas por los sitemas termodinámicos, éstos pueden recibir o ceder energía, y puesto que si el sistema la recibe se debe a que la está cediendo el medio, o viceversa, es necesario establecer un criterio de signos que nos permita interpretar los resultados que se obtengan. Así, la IUPAC (acrónimo en inglés de la Unión Internacional de Química Pura y Aplicada) recomienda en 1970 que se considere el mismo criterio que en Mecánica. Esto quiere decir que si la fuerza es realizada por el medio exterior sobre el sistema y el desplazamiento tiene su mismo sentido, es el sistema el que incrementa su energía y, en consecuencia, se dice que se ha realizado un trabajo sobre el sistema y se considera trabajo positivo. Por el contrario, si el trabajo es realizado por el sistema sobre el medio exterior y el desplazamiento tiene su mismo sentido, disminuye la energía del sistema y se considera trabajo negativo.

La definición termodinámica de trabajo es más amplia que la definición mecánica en los términos indicados por la anterior ecuación. Por ejemplo, el flujo de corriente eléctrica a través de la frontera de un sistema se considera trabajo en Termodinámica.

Cuando un sistema termodinámico experimenta un proceso, el trabajo que se realiza está siempre asociado a una fuerza. Sin embargo, en Termodinámica es más conveniente expresar el trabajo en función de las variables de estado del sistema, y éstas serán distintas dependiendo del sistema concreto que estemos estudiando, por lo que puede resultar difícil reconocer en ese intercambio de energía una interacción en forma de trabajo. En éstos casos suele ser útil la definición clásica de trabajo termodinámico, dada por Poincaré, que dice que “el trabajo es una interacción entre un sistema y sus alrededores, y lo realiza el sistema si el único efecto externo a las fronteras del sistema puede consistir en la elevación de un peso”.

Sin embargo, vamos a limitar nuestro estudio a lo que se denomina sistema hidrostático o expansivo, que es cualquier sistema de masa constante que ejerce sobre el medio que lo rodea una presión hidrostática uniforme, en ausencia de efectos de superficie y de la acción de campos gravitatorio y electromagnético, es decir, en un sistema expansivo el trabajo se debe únicamente a un cambio de volumen.

Consideremos un sistema termodinámico de forma arbitraria y volumen “V”, sobre el que actúa el medio exterior ejerciendo fuerzas debidas a una presión hidrostática “pe”, que supondremos uniforme. La fuerza que el medio exterior ejerce sobre un elemento de la superficie frontera “dS” viene dada por:

• dFe = – pe dS.

, en dónde el signo negativo se debe a que la fuerza de presión que el medio externo ejerce sobre el sistema está dirigida hacia el interior del sistema, mientras que el elemento de superficie está representado hacia el exterior, por ser la superficie frontera una superficie cerrada.

El trabajo elemental realizado por el medio será:

• d‾W = F dr = -pe dS dr.

, en donde el trabajo infinitésimal así expresado es una diferencial de tercer orden, y teniendo en cuenta que el producto escalar indicado en la última igualdad representa la variación infinitesimal de volumen “dV” del sistema globalmente, podemos escribir:

• d‾W = – pe dV.

Si el sistema disminuye su volumen (dV < 0) es debido a que recibe trabajo, y la anterior expresión conduce a dW > 0, lo que está de acuerdo con el criterio de signos adoptado. Por el contrario, si el sistema se expansiona (dV > 0), es el proprio sistema el que realiza trabajo sobre el medio, y de acuerdo una vez más a la ecuación, dW < 0, que también es acorde con el criterio de signos adoptado.

Para un proceso finito, cuando el volumen del sistema varía
desde un valor “Vi” hasta un valor “Vf”, la energía total intercambiada en forma de trabajo entre el sistema y sus entorno verndrá dada por:

• W = – ∫(pe) dV desde “Vi” hasta “Vf”.

Si el proceso de cambio de estado termodinámico del sistema tiene lugar de forma cuasiestática, es decir, transcurre como una sucesión infinita de estados de equilibrio, lo que implica que el sistema esté constantemente en equilibrio mecánico con el medio exterior, la presión externa “pe” debe ser prácticamente igual a la presión “p” ejercida por el sistema. Por lo tanto, para un proceso cuasiestático el trabajo vendrá dado por:

• d‾W = – pe dV.

, y para un proceso finito cuasiestático:

• W = – ∫(p) dV desde “Vi” hasta “Vf”.

Antes decontinuar, debemos indicar que las expresiones integradas representan un trabajo y no una cantidad de trabajo, pues si bien el trabajo tiene unidades de energía no representa un tipo específico de enrgía, sino una cantidad de energía transferida entre el sistema y su entorno a través de la superficie frontera del sistema. En las ecuaciones diferenciales se ha representado el trabajo en un proceso infinitesimal por “d‾” (a veces se denota también por δ), lo que nos indica que el trabajo no es una diferencial exacta de las variables de estado del sistema sino función de proceso, es decir, depende además del tipo de proceso seguido durante la transformación.

Para poder realizar las integrales es necesario conocer la funcionalidad entre la presión y el volumen durante el proceso, lo cual a su vez dependerá del tipo de proceso que tenga lugar. La relación entre la presión y el volumen de un sistema en cualquier proceso cuasiestático (y sólo en este caso, pues de lo contrario el sistema no está en equilibrio y, en consecuencia, sus variables de estado no están definidas) puede representarse por una curva en el espacio p-V, denominado espacio termodinámico, que es el espacio métrico cuyas coordenadas son las variables de estado. El trabajo correspondiente a un cambio infinitesimal de volumen “dV” se representa gráficamente por el área “p dV” de una franja vertical, tal como se muestra en la figura.

El trabajo total realizado en un proceso finito viene dado por el área limitada por la curva representativa del proceso y el eje de volúmenes entre las ordenadas “Vi” y “Vf”, tal como se muestra en las otras dos figuras. Ya hemos visto en el tema anterior que un proceso isocórico o isostérico es aquel que se realiza a volumen constante, y por lo tanto, el trabajo en este tipo de procesos es nulo.

A partir del análisis de los diagramas anteriores, es fácil obtener el signo del trabajo en un proceso cíclico, y así un ciclo recorrido en el sentido de las agujas del reloj dará como resultado un trabajo negativo y, por el contrario, recorrido en sentido antihorario el trabajo será positivo. El área limitada por el ciclo representa el trabajo neto realizado durante el mismo.

Trabajo adiabático. Primer Principio de la Termodinámica. Energía Interna:

Existen muchos procesos que permiten que un sistema termodinámico pase de un estado de equilibrio a otro y, en general, el trabajo realizado por o sobre el sistema es diferente en cada proceso, como ya vimos anteriormente.

De todos los procesos posibles entre dos estados determinados de un sistema seleccionemos aquéllos que sean adiabáticos, es decir, que la pared que rodea al sistema no permita el intercambio de energía térmica y en consecuencia la temperatura del sistema sea independiente de la que posea el medio exterior.

Constituye un hecho experimental de singular importancia que un sistema pueda sufrir una transformación desde un estado inicial dado a un estado final diferente, realizando únicamente trabajo adiabático, y además se encuentra también que el trabajo puesto en juego es el mismo para cualquier proceso adiabático que tenga lugar entre los mismos estados de equilibrio para un sistema cerrado. La generalización de los resultados anteriores constituye el enunciado del Primer Principio de la Termodinámica, que se enuncia “cuando un sistema cerrado varía su estado adiabáticamente, el trabajo asociado con ese cambio de estado es el mismo para todos los procesos posibles entre los dos estados de equilibrio dados”, y por lo tanto el trabajo realizado solo depende de los estados inicial y final (para estos casos concretos). Este enunciado del primer principio sólo hace referencia a transformaciones adiabáticas, con independencia de la forma en que tenga lugar: trayectoria seguida, cuasiestática o no, reversible o irreversible…

Si notamos por {xi} el conjunto de variables de estado inicial  y por {xf} el conjunto de variables del estado final, el enunciado del primer principio nos permite escribir:

• W desde “i” hasta “f” = f({xi},{xf}).

El trabajo es una función de las variables ene stado inicial y final.

Basándonos en la teoría de campos, sabemos que si el trabajo no depende de la trayectoria seguida existe una función escalar tal que la diferencia entre los valores que toma dicha función para los estados entre los que evoluciona el sistema es igual al trabajo realizado durante la transformación. De forma análoga, introducimos ahora una función escalar de las variables de estado, denominada energía interna del sistema, que denotaremos por “U”, tal que la variación de dicha función entre los estados inicial y final sea igual al trabajo asociado al proceso:

• W desde “i” hasta “j” = Uf – Ui.

, en donde la energía interna toma un único valor en cada estado, es decir, es una función de estado. Además, la energía interna es una magnitud extensiva, o sea se, depende de la masa.

Es necesario comprobar que la ecuación está de acuerdo con el criterio de signos utilizado. En efecto, si el trabajo adiabático realizado sobre el sistema es positivo, el sistema recibe energía, con lo que en el estado final debe ser mayor que en el estado inicial, lo cual se corresponde con que ΔU > 0.

Para un proceso infinitesimal, podemos expresar la ecuación anterior en la forma:

• dW = dU.

, lo que nos indica que el trabajo adiabático infinitesimal no depende de la trayectoria.

El valor real de “U” solo se pued eestablecer si se asigna de modo arbitrario un valor numérico concreto para un estado de referencia dado de la sustancia objeto de estudio, al igual que sucede en Mecánica o Electrostática, pues como hemos visto en teoría de campos, la función escalar aparece indeterminada en una constante.

Generalizaciñon del Primer Principio. Concepto Termodinámico de Calor:

Hemos considerado hasta aquí procesos en los cuales el sistema experimenta una transición entre la realización de trabajo adiabático, si bien este tipo de procesos no son los que se realizan con más frecuencia en la práctica.

Realicemos dos experimentos distintos con el mismo sistema cerrado entre dos mismos estado inicial y final, uno adiabático, de tal forma que la energía del sistema llevar al sistema del estado inicial al final sea igual a “Uf – Ui”, y el otro en el que el sistema sufra una transformación entre los mismos estados de equilibrio pero no de forma adiabática. La variación de energía interna en este caso será la misma que en el priemr caso, pero no sucede lo mismo con el trabajo realizado.

Para que este resultado sea compatible con el principio de conservación de la energía, es necesario decir que ha habido una transferencia de energía por medios distintos de la realización de trabajo. Esta energía, cuya transferencia entre el sistema y su entorno es necesaria para que se cumpla dicho principio de conservación, y que solo ha tenido lugar en virtud de la diferencia de temperaturas entre el sistema y el medio exterior, es lo que se denomina calor.

En consecuencia adoptamos como definición termodinámica de calor la siguiente: “cuando un sistema, cuyo medio exterior se encuentra a distinta temperatura que él y sobre el cual puede realizarse un trabajo mecánico, experimenta un proceso, se denomina calor a la energía intercambiada por medios no mecánicos, y que es numéricamente igual a la diferencia entre la variación de energía interna y el trabajo realizado. Designando por “Q” esta diferencia, se tiene:

• Q = ΔU – W.

, o lo que es igual:

• ΔU = Q + W.

, en donde hemos adoptado como criterio que el calor es positivo cuando la energía fluye hacia el sistema y negativo cuando fluye desde el sistema hacia el medio.

Al igual que sucede con el trabajo, no se puede hablar de cantidad de calor, pues esta magnitud representa la cantidad de energía transferida por medios no mecánicos, y no un tipo específico de energía. Además, mientras que el trabajo realizado puede ser utilizado directamente para variar cualquier forma de energía, no sucede lo mismo con el calor, que debe ser previamente transformado en trabajo para poder utilizarlo.

La ecuación anterior se considera comúnmente como la expresión analítica del primer principio, pero estrictamente no es más que la expresión matemática del principio de conservación de la energía desde un punto de vista termodinámico y sirve para calcular “Q”, por ello nos referiremos a ella como la expresión generalizada del primer principio.

Obsérvese además que el calor es independiente de las propiedades de la sustancia en partícular y de la escala de temperaturas empleada y, dado que el trabajo puede ser mecánico (en sentido estrcito), eléctrico o de cualquier otro tipo, y el proceso reversible o irreversible… el calor queda definido para cualquier proceso en general.

Dado el significado de trabajo en una transformación adiabática, el calor puede definirse también como:

• Q = Wadiabático – W.

Así pues, dada una transición partícular entre dos estados, el calor es la diferencia entre el trabajo realizado en una transición adiabática y el trabajo realizado en la transición partícular entre los mismos dos estados inicial y final. Ésto nos permite dar una definición alternativa de proceso adiabático como aquel en el que el calor asociado a la transformación es nulo en todo momento.

Para un proceso infinitesimal, la ecuación toma la forma:

• dU = d‾Q + d‾W.

, en donde hemos empleado la misma notación “d‾” que en el caso del trabajo, para indicar que el calor no es una diferencial exacta de las variables de estado del sistema, sino una función de proceso.

Capacidad calorífica. Calor Específico:

Cuando un sistema homogéneo absorbe calor, puede o no tener lugar una variación de temperatura del sistema, dependiendo de la naturaleza del proceso. Si la temperatura del sistema vería desde un valor inicial “Ti” hasta un valor final “Tf” al intercambiar con el medio un calor “Q”, podemos definir la capacidad calorífica media “C‾” del sistema para un determinado tipo de proceso como la razón:

• C‾ = Q / ΔT.

La capacidad calorífica verdadera o simplemente la capacidad calorífica del sistema viene dada por la expresión anterior cuando ΔT tiende a 0:

• C = d‾Q / dT.

Es necesario tener en cuenta que la relación d‾Q / dT no puede interpretarse como la derivada de “Q” respecto a “T”, pues “Q” no es una función de estado, sino que “d‾Q” representa simplemente el caloer infinitesimal asociado a una variación infinitesimal “dT” de la temperatura del sistema. Podemos pues definir la capacidad como el calor necesario para hacer variar la temperatura del sistema en 1 K en un proceso concreto.

Como el calor no es función de estado, la capacidad calorífica tampoco lo es, porque depende del proceso que tenga lugar y solo tiene un valor definido para un proceso determinado. Numéricamente la capacidad calorífica puede ser positiva, negativa o nula, según el proceso que experimente el sistema.

La capacidad calorífica depende de la cantidad de masa que tiene el sistema, y para obviar este inconveniente se define el calor específico como la capacidad calorífica por unidad de masa y se nota por:

• c = C / m.

, en donde “m” es la masa del sistema, y también podemos definir capacidad calorífica molar, calor especifico molar o capacidad calorífica por mol de sustancia, que se nota por la misma letra:

• c = C / n.

, siendo ahora “n” el número de moles de sustancia que contiene el sistema. Los calores específicos se expresan en el Sistema Internacional en J / kg K ó J / mol K según corresponda.

Así pues, el calor específico es el calor necesario para variar en 1 K la temperatura de la unidad de masa del sistema, al sufrir éste un proceso no adiabático.

Desde un punto de vista práctico, para un sistema expansivo, las capacidades caloríficas más importantes son la capacidad calorífica a presión constante, o isobárica, y lo capacidad calorífica a volumen constante, o isocórica, que vamos a definir a continuación.

La capacidad calorífica en un proceso durante el cual el sistema se mantiene a presión hidrostática externa constante se denomina capacidad calorífica isobárica o a presión constante, y se representa por:

• Cp = (d‾Q / dT)p.

, y su valor numérico para un sistema determinado depende de la presión y la temperatura del mismo.

Si el sistema se mantiene a volumen constante mientras se le suministra/extrae calor, la capacidad calorífica correspondiente se le denomina capacidad calorífica isocórica o a volumen constante y se representa por:

• Cv = (d‾Q / dT)v.

Estas dos última expresiones nos permiten conocer el valor asociado a los procesos indicados, conocidas las capacidades caloríficas, ya que se va a cumplir:

• Q = ∫(Cp) dT y Q = ∫(Cv) dT.

Teniendo en cuenta que en un proceso a volumen constante el trabajo asociado al mismo es nulo y aplicando la expresión generalizada del primer principio para un proceso infinitesimal se obtiene que dU = dQ, y por tanto:

• ΔU = ∫(Cv) dT.

Por otra parte, si el sistema expermenta un cambio de agregacion, éste se verificará (como se justificará al profundizar en el estudio de la Termodinámica) a presión y a temperatura constantes, y el calor asociado al proceso puede expresarse:

• Q = m l.

, en donde “m” representa la masa del sistema y a la “l” se la denomina calor latente de cambio de estado de agregación (sólido, líquido o gaseoso). Así pues, este calor latente resulta ser el calor que es necesario comunicar/extraer al/del sistema por unidad de masa para que tenga lugar el cambio de fase, y por lo tanto, este calor latente podrá ser positivo o negativo:

• l = Q / m

Entalpía:

Además de la energía “U” de una sustancia, resulta muy útl definir una nueva función que denominamos entalpía (al profundizar en el estudio de la Termodinámica se justificará su introducción) y que notamos por “H”, mediante la relación:

• H = U + p V.

Puesto que “U” es función de estado y “p” y “V” son variables de estado, la entalpía será función de estado, por lo que su variación entre dos estados de equilibrio dados será independiente del tipo de proceso seguido en la transición entre ambos estados. Además, la entalpía es una magnitud extensiva, pues “U” y “V” también lo son.

La definición de entalpía dada anteriormente solo es válida para sistemas expansivos, cerrados y simples. Además, no debe pensarse que la entalpía es una forma específica de energía, sino que es simplemente una magnitud definida de una forma concreta, muy útil en la solución de problemas científicos y de ingeniería.

Si consideramos la variación de entalpía que tiene lugar cuando un sistema experimenta un proceso infinitesimal, la ecuación anterior toma la forma:

• dH = dU + p dV + V dp.

Una de las propiedades más interesantes de la entalpía es su relación con el calor. Así, analizamos para un sistema expansivo las variaciones de volumenque se producen bajo condiciones de presión constante, puesto que el volumen del sistema se modifica, el proceso lleva asociado un trabajo. Para evaluar dicho trabajo admitiremos que el proceso se realiza de forma cuasiestática; con esta suposición, será de aplicación la ecación anteriormente vista:

• d‾W = – p dV.

, y podremos expresar que:

• dU = d‾Q = – p dV.

, en donde:

• d‾Q = dU + p dV.

, y teniendo en cuenta la ecuación de la entalpía a presión constante:

• dH = dU + p dV.

, y finalmente:

• dU = dH.

, relación que nos indica que el calor transferido entre el medio y el sistema expansivo simple, durante un proceso a presión constante y cuasiestático, es numéricamente igual a la variación de entalpía del sistema. Así, teniendo en cuenta lo anterior y la ecuación del calor específico a presión constante:

• dH = Cp dT.
  

Principales ecuaciones de la Fusión de las Unidades.

Hace algunos días escribí una entrada en la que trataba la posibilidad de expresar todas las magnitudes escalares en una única unidad que las definiese perfectamente, para ello había recurrido a un Espacio Euclidiano vacío donde ubicaba un cuanto de masa “dm” (unidad irreducible, no confundir por la nomenclatura con diferencial de masa), y a partir del estudio de su naturaleza en el vacío (prácticamente imposible de realizar) se demostraba que quedaba perfectamente definido el valor de su masa dando cualquier otra magnitud como su radio, su velocidad de rotación, su energía y su tiempo relativo.

Asimismo, poco tiempo después, publiqué otra entrada diciendo que tal vez en un espacio vacío una partícula no tendría personalidad propia, y que siempre necesitaría de otra que le dijese lo que tenía que hacer, siendo la otra también dirigida por la anterior.

Hoy, tras haber desmentido la posibilidad de llevar a cabo la mencionada Fusión de las Unidades, voy a escribir una posible estructuración de las mismas (digo posible porque hay infinidad de formas de hacerlo según lo que se tenga en cuanta).

Lo primero que deberíamos tener en cuenta es que, por lógica, todos los cuantos de masa “dm” tendrían el mismo volumen “dV” (supuestos esféricos), la misma superficie “dS” y el mismo radio “dl”, siendo todas ellas magnitudes cuánticas, es decir, no existiría ni un volumen, ni una superficie, ni un radio más pequeño para una partícula.

Las relaciones entre todos ellos vendrían dadas por las ecuaciones geométricas de toda la vida, haciendo, por ejemplo, la equivalencia entre “dm” y “dV”. Nos queda así:

• dm = dV = 4 π dl^3 /3.

, y:

• dS = 4 π dl^2.

A la subrayada la podríamos denominar 1ª Ley de la Unificación, por ser la primera operación “extraña”.

Asimismo, podemos suponer el cuanto de energía “dE” a partir de la ecuación de Einstein:

• dE = dm c^2.

, y la longitud de onda “dλ” a partir de la ecuación de Max Planck:

• dE = h c / dλ.

, siendo “h” la constante cuántica o de Planck y “c” la velocidad de la luz.

A través de la Ley de la Gravitación de Isaac Newton podemos suponer, además, que en torno a la partícula se genera un campo gravitatorio, donde la velocidad de traslación “dv” en la superficie de la misma resulta ser:

• dv = [G dm / dl]^1/2.

, siendo “G” la constante de gravitación universal. Este resultado se obtiene igualando la fuerza gravitatoria a la fuerza centrífuga que tiene que compensar para que la frontera de la partícula tenga un movimiento circular de rotación en torno a su núcleo.

Pero, como ya hemos visto en la 1ª Ley:

• dm = 4 π dl^3 / 3.

, nos resulta definitivamente que:

• dv = [4 G π dl^2 / 3]^1/2.

Dado que la frontera de esta partícula tendrá su propia velocidad que servirá para definirla, hemos de asumir también que poseerá su propio tiempo relativo, aplicando las leyes de la Relatividad Especial.

Si suponemos nuestra unidad de tiempo como igual a 1, por transformaciones relativistas obtenemos que el tiempo “dt” de dicha partícula será:

• dt = 1 / [1 - dv^2 / c^2]^1/2.

Si sustituimos “dv” en esta ecuación obtenemos por fin la esperada equivalencia entre el cuanto de longitud y de el del tiempo:

• dt = 1 / [1 - 4 G π dl^2 / 3 c^2]^1/2.

, pudiendo ser denominada ésta la 2ª Ley de la Unificación.

Si en la 2ª Ley despejamos el cuanto de longitud llegamos a la siguiente expresión:

• dl = [3 c^2 (1 - 1 / dt^2) / 4 G π]^1/2.

Y si en esta última ecuación aplicamos la 1ª Ley, obtenemos una última equivalencia entre el cuanto de masa y el del tiempo, algo más complejo que el anterior:

• dm = 4 π [3 c^2 (1 - 1 / dt^2) / 4 G π]^3/2 / 3.

Si de aquí despejamos “dt”:

• dt = 1 / [1 - 4 G π [9 dm^2 / 16 π^2]^1/3 /3 c^2]^1/2.

Se podría seguir calculando la equivalencia entre todas las demás magnitudes, pero las más importantes eran estas 3.

¿Cómo vivir más tiempo que el resto de la gente según la Relatividad Especial?

Creo poder asegurar que cualquier persona, desde el primer momento en que da credibilidad a la Relatividad Especial, y consecuentemente a la dilatación del tiempo, mientras tarda en aceptar que nunca llegará a hacérsele notorio, empieza a reflexionar sobre cómo hacer para dilatar su propio tiempo para vivir más que el resto de las personas.

Asimismo, esa idea lleva intrínseco el hecho de que nunca, en ningún caso, se puede alargar el tiempo biológico (de un modo no genético). Lo que es posible es conseguir que el tiempo de los demás se te pase más rápido, sin que te des cuenta. Sin embargo, al no notar que se te ha pasado, en realidad no es vivir más, sino con una unidad de tiempo dilatada.

Si hacemos un análisis de la dilatación del tiempo, podemos estudiar que la dilatación tiene lugar en las zonas sometidas a mayor velocidad que las de su entorno, y dado que todo en el universo se mueve, es improbable encontrar dos áreas pegadas con la misma unidad temporal. Asimismo, a nivel subatómico, es mucho menos probable que todas las micropartículas compaginen sus velocidades.

Visto esto, tal vez sería posible modelar el universo como un campo escalar de tiempos, con sus gradientes variales en función del espacio-tiempo, dichos gradientes, que son la parte interesante, estarían dirigidos hacia las zonas donde el tiempo está más dilatado.

Estas zonas, según la propia fórmula de la dilatación, serían aquéllas cuya velocidad inercial fuese muy superior, por ejemplo en la frontera de nuestro Universo curvo.

Asimismo, si considerásemos como sistema de referencia fijo en el espacio, todas las zonas espacio-temporales próximas entre si estarían equilibradas en cuanto al escalar tiempo.

Sin embargo, cuando el sistema de referencia es un observador en la superficie terrestre a nivel del mar, la cosa cambia. Desde su punto de vista, alguien que viva más lejos del núcleo (a más altura) tendrá el tiempo más dilatado, porque su velocidad de rotación será superior al aumentar el radio de giro:

• v = ω r.

No obstante, según “La Historia del Tiempo” de Stephen Hawking, alguien que viviese en la montaña envejeceria mas rapido que alguien que viviese en la ciudad, tal vez debido a que la vida en la ciudad es más ajetreada.

Pero aún cabe otra explicación (no sé si es la que tenía en mente o no), que es la que se produce a nivel cuántico.

Dado que nosotros estamos formados por partículas, y ellas son las que rigen nuestra vida, sus velocidades serán las que más nos influencien. Y las partículas, por lógica y definición, están más “excitadas” en zonas de mayor actividad de fuerzas.

Así pues, las regiones espacio-temporales sometidas a fuerzas de gran magnitud “envejecerán” antes, haya vida en ellas o no. Este enfoque corrobora, por ejemplo, que las partículas que orbitan en el interior de un agujero negro puedan alcanzar velocidades iguales o incluso superiores a la de la luz.

Entonces, en resumen, obtenemos que se envejece menos en zonas afectadas por fuerzas de gran intensidad y en las que se desplazan rototraslatoriamente a grandes velocidades, siendo el mejor ejemplo de estas características una singularidad espacio-temporal como un aguejro negro.

Asimismo, hay otro tipo de fuerzas, como son las explosivas interiores a un sistema de partículas, que tal vez serían incluso más eficaces que las anteriores.

Ejemplos de estas fuerzas son la detonación de una granada o el retroceso de una pistola. Cuando se dan, son tan fuertes que las demás carecen de importancia. Es decir, si constantemente te estuvieses detonando tus partículas no se preocuparían mucho de avanzar en el tiempo, y disparando constantemente con un bazooka tu tiempo de vida también se ampliaría considerablemente.

Quizá el ejemplo más “visible” de esto es el del huevo en la sartén, del libro “Breviario del Señor Topkins”, de George Gamow. Este experimento consiste en tener una sartén con aceite, echar un huevo a freír, y agitarlo constantemente cambiándole la velocidad y la dirección. Se pude apreciar que está tan “concentrado” en encontrar un movimiento estable que sus partículas se despreocuban de las demás fuerzas que actúan sobre ellas y el huevo tarda más en freirse. (Si a cada instante se le hiciese variar su movimiento nunca se freiría).

Por último en esta entrada, he puesto aquí una tabla con las distintas velocidades que serían necesarias para multiplciar nuestro tiempo.

Física General (12): Dinámica de Fluidos: Línea de Flujo, Líneas y Tubo de Corriente, Ecuación de Continuidad, Ecuación General del Movimiento de un Fluido o de Euler, Ecuación de Daniel Bernoulli y aplicaciones: Teorema de Torricelli y Tubo de Venturi.

El estudio del movimiento de los fluidos es, en general, un problema muy complejo. Las moléculas de un fluido, además de ejercer entre si acciones mutuas de gran importancia, pueden tener diferentes velocidades y estar sujetas a distintas aceleraciones. Por esta razón es necesario tener en cuenta conceptos adicionales al aplicar las leyes de la dinámica a los fluidos en movimiento.

La dinámica de fluidos es una parte de la reología, definida como la ciencia dedicada al estudio de las deformaciones y flujos de la materia. Ésta se divide en dos ramas: la hidrodinámica y la aerodinámica.

En este tema estudiaremos fluidos ideales, es decir, incompresibles y carentes de rozamiento interno o viscosidad.

El movimiento de un fluido está definido por un Campo Vectorial de Velocidades correspondientes a las partículas del flujo, y un Campo Escalar de Presiones en función de la posición y el tiempo, correspondientes a los distintos puntos del mismo.

En cada instante se puede definir en cada punto del espacio un vector velocidad que es el de la partícula fluida que pasa por él en ese momento. El conjunto de todos estos vectores constituyen el campo vectorial de velocidades.

Se denomina Línea de Flujo a la trayectoria seguida por un elemento de un fluido móvil. En general, a lo largo de la línea de flujo, la velocidad del elemento varía tanto en magnitud como en dirección. Si todo elemento que pasa por un punto dado sigue la misma trayectoria que los elementos precedentes, se dice que el flujo es estacionario.

En estado estacionario, la velocidad en cada punto del espacio no varía con el tiempo, si bien la velocidad de una parte determinada del fluido puede cambiar de un punto a otro.

Se define Línea de Corriente como aquélla curva cuya tangente en cualquier punto coincide con la dirección de la velocidad del fluido en dicho punto. Cuando se trata de un flujo estacionario, las líneas de corriente coinciden con las de flujo.

Si se consideran todas las líneas de corriente que pasan por un contorno cerrado “c”, estas líneas encierran un volumen denominado Tubo de Corriente. De la definición de la línea de corriente se deduce que no pasa fluido a través de las paredes laterales de un tubo de corriente.

Ecuación de Continuidad:

En un tubo de corriente se cumple la ecuación de continuidad del movimiento en cualquier sección normal al tubo, siempre que la densidad sea constante, y dice que en cada sección “S” del mismo, el producto de su superficie por la velocidad del fluido en su interior es constante: S v = cte.

Ecuación General del Movimiento de un Fluido:

Como demostramos en el tema anterior:

• ρ ¬f = ¬gradP.

, siendo “ρ” la densidad del fluido, “¬f” la fuerza por unidad de masa y “¬gradP” el gradiente de la presión.

En la estática de fluidos:

• ρ ¬f – ¬gradP = 0.

, y en la dinámica de fluidos, en cambio:

• ρ ¬f – ¬gradP = ¬a.

, siendo “¬a” la aceleración del sistema.

A través de un complejo cálculo matemático, se llega a que:

• ¬f – ¬gradP / ρ = d¬v / dt + ¬gradv^2 / 2 + ¬rotv Λ ¬v.

, expresión conocida como la Ecuación de Euler. No confundir con la otra ecuación de Euler de los números complejos.

A partir de esta ecuación, si suponemos un régimen estacionario donde “¬v” es constante, donde el fluido es “no viscoso”, y el cual se ve perturbado únicamente por un campo gravitatorio, obtenemos que:

• ¬f = – ¬gradV.

, siendo “V” el potencial gravitatorio:

• m ¬f = – ¬grad(m g h).

; y finalmente:

• ¬f = – g ¬gradh.

Si sustituimos en la ecuación de Euler, multiplicamos todo escalarmente por “d¬l” y simplificamos, llegamos al Teorema de Bernoulli:

• P + ρ v^2 / 2 + ρ g h = cte.

, que dice que a lo largo de una línea de corriente, la suma de la presión hidrostática, la cinética (debida a la velocidad) y la estática (debida a la altura) es constante.

Aplicaciones del Teorema de Bernoulli:

• Teorema de Torricelli: si a un recipiente que contiene un fluido se le abre un pequeño orificio, dado que las presiones son idénticas en la superficie y la velocidad de escape por el orificio es mucho mayor que la otra, haciéndola despreciable, se obtiene que la velocidad de escape es: v = [2 g h]^1/2. Se llama Gasto o Caudal al producto de la sección por la velocidad del fluido en la misma.
• Tubo de Venturi: mediante una disminución gradual en la entrada se reduce la turbulencia, porque la presión del fluido disminuye con la superficie de la sección.
  

Física General (11): Estática de Fluidos: Presión y sus unidades, Ecuación Fundamental, Manómetro, Principio de Arquímedes y Peso Aparente.

Los fluidos se caracterizan porque carecen de elasticidad: no tienen forma propia sino que se adaptan al recipiente.

Dentro del concepto de fluidos hemos de distinguir entre gases y líquidos: los gases carecen de volumen propio dado que son muy compresibles, entendiendo por compresividad la propiedad por la que un fluido sometido a una presión varía su volumen.

La diferencia fundamental entre un sólido rígido y un fluido estriba en que la moléculas de un fluido no están rigidamente unidas como en el caso de los sólidos, sino que pueden deslizarse unas respecto a otras sin más que vencer una pequeña fuerza de rozamiento entre capas adyacentes que llamamos viscosidad, y que es nula para los líquidos perfectos.

Los líquidos perfectos son aquéllos en los que las acciones tangenciales de rozamiento son nulas, de modo que para deformar un líquido perfecto el trabajo desarrollado es nulo.

Ésto equivale a decir que las acciones de contacto entre dos porciones A y B de una masa líquida , supuesta perfecta, deben ser normales a la superficie de separación.

Presión:

Cuando un cuerpo se sumerge en un líquido experimenta por parte de éste un bombardeo molécular que tiene lugar en todas direcciones. Este bombardeo es causa de la fuerza normal a la superficie del cuerpo y de módulo independiente de la orientación de dicha superficie en el seno del fluido, observándose además que aumenta de valor a medida que crece la profundidad a la que se encuentra sumergido.

• P = F / S.

, la presión es igual a al módulo de la fuerza que actúa (generalmente el peso) dividido entre el módulo de la superficie afectada. Diferencialmente:

• P = dF /dS.

, y vectorialmente:

• d¬F = P d¬S.

La presión se puede medir en varias unidades diferentes. Por ejemplo, en sistema cegesimal (gramo centímetro segundo), obtenemos que la presión se mide en dinas divididas entre centímetros cuadrados, lo que corresponde a una baria:

• baria = dina /cm^2.

Un millón de barias hacen un bar:

• bar = 10^6 baria.

, y una milésima parte de éste se corresponde con un milibar:

• milibar = 10^-3 bar.

En el sistema internacional, la presión se mide en newtons partidos por metros cuadrados, lo que es igual a un pascal:

• Pa = N / m^2.

Un pascal se corresponde con 10 barias.

Otra unidad es la atmósfera, que se corresponde con la presión ejercida por una columna de mercurio de 76 cm de altura y 1 cm2 de sección a 0º centígrados y a nivel del mar sobre otro cm2 de superficie.

• 1 atm = 1,1013 x 10^6 barias = 1,013 x 10^5 Pa.

Ecuación Fundamental de la Estática de Fluidos:

Antes de empezar con este apartado, habrá que tener en cuenta que “¬f” será igual a la fuerza por unidad de masa del campo donde esté el elemento en cuestión, o sea, que “¬f” será una aceleración, a diferencia de “¬F”, que sigue siendo una fuerza.

Si “P” es la presión debida al resto del fluido en el punto diferencial de masa “M”, y si llamamos “dP” a la diferencia de presión entre los laterales “M1″ y “M2″ del mismo, se cumple que la presión parcial sobre “M1″ será igual a la total menos la semipresión diferencial:

• PM1 = P – dP / 2.

, y algo similar obtendremos para “M2″.

La fuerza debida a la presión en la cara 1 será:

• f1 m = P dS = (P – dP dy / 2 dy) dx dz.

, mientras que en la cara 2 será:

• f2 m = (P + dP dy / 2 dy) dx dz.

La fuerza en la diercción del propio eje “y” será:

• f  m = (f2 – f1) m

, que operando:

• f m= 2 (dP dy dx dz / 2 dy) = dP dV / dy.

Así pues, para cada eje “x”:

• fx m = dP dV / dV.

, y la fuerza total sobre el cuerpo se expresa vectorialmente como:

• ¬F = ∫((¬fx + ¬fy + ¬fz) dm) desde “m = 0″ hasta “m” = ∫((¬fx + ¬fy + ¬fz) ρ dV) desde “V= 0″ hasta “V”.

, siendo “ρ” la densidad volúmica.

Para que el elemento de fluido esté en equilibrio el sumatorio de fuerzas que actuén sobre él debe ser nulo:

• ∑(¬fi) desde “i = 0″ hasta “n” = 0.

, por lo que las fuerzas parciales tienen que ser nulas. Para resolverlo, podemos simplificarlas:

• Fx = fx dm = fx ρ dV = dP dV / dx.

, de donde:

• ρ fx = dP / dx.

En resumen, obtenemos la Ecuación Elemental de la Estática de Fluidos:

• ρ ¬f = ¬fx + ¬fy + ¬fz = dP (¬i / dx + ¬j / dy + ¬k / dz) = ¬gradP = ¬Å P.

, siendo “Å” una adaptación del operador nabla a wordpress.com.

Si el fluido se encuentra en un campo gravitatorio: ¬f = – ¬gradEp, y como simplificamos:

• Ep = m g h.

, se cumple que:

• ¬F = – mg ¬gradh.

, que si cambiamos por la fuerza por unidad de masa se reduce a:

• ¬f = – g ¬gradh.

, y al variar “h” únicamente con el eje “OZ”:

• ¬f = – g dh ¬k / dz.

Si ahora volvemos a la Ecuación Elemental:

• ρ ¬F = ¬gradP.

, de donde:

• ρ ¬f = ¬gradP.

, y sustituyendo:

• - g dh ¬k / dz = dP ¬k / dz.

Por cálculo integral:

• ∫(dP) = – g ρ ∫(dh).

, de donde:

• P2 – P1 = g ρ (h1 – h2).

, o dicho de otro modo,

• P2 = P1  + ρ g h.

, siendo “h” la profundidad aumentada. La diferencia de presión entre dos puntos de un fluido en equilibrio en el campo gravitatorio es igual, cualitativamente, al peso de una columna del mismo de sección 1 y altura igual a la distancia vertical que separa dichos puntos (m = ρ V, y V = base x altura, siendo la base 1 y la altura h, por lo que, cuantitativamente: V = h, y m = ρ V. Finalmente, el peso P = m g = ρ g h).

El Manómetro:

Supuesto el manómetro de la imagen adjunta, donde “P” es una presión absoluta del sistema y “Patm” es la presión atmosférica procedente del exterior, se cumple que la presión en ambos extremos del líquido será idéntica, por lo que, aplicando la ecuación antes vista:

• P + ρ g  h1 = Patm + ρ g  h2.

, de donde:

• P – Patm = ρ g d.

, siendo “d” la diferencia “h2 – h1″, denominada Presión Manométrica.

Principio de Arquímedes:

Si suponemos sumergido en un fluido un prisma ortogonal de dimensiones “a”, “b” y “c”, siendo “c” la altura del mismo, se cumple que la presión en su cara inferior será:

• Pi = Patm + ρ g h.

, siendo “h” la profundidad de la altura, y en la cara superior:

• Ps = Patm + ρ g (h – c).

Si multiplicamos la presión por la superficie de cada una de las caras, obtenemos una fuerza de dirección hacia arriba según las componentes de los vectores superficie “¬Si” y “¬Ss”.

• Fi = (Patm + ρ g h) a b.

, y:

• Fs = (Patm + ρ g (h – c)) a b.

Asimismo, la fuerza total de es:

• F = Fi – Fs = ρ g a b c = ρ V g = E.

, siendo “E” la conocida Fuerza de Empuje.

Asimismo, si multiplicamos el volumen desplazado de líquido por su densidad obtenemos su masa:

• m = ρ V.

, y su peso será:

• P = m g.

, por lo que:

• E = Pfluido.

Todo cuerpo sumergido en el agua subre una fuerza ascensional igual al peso del volumen desplazado de fluido.

Peso Aparente:

Dada la igualdad:

• E = Pfluido-desplazado.

, el peso aparente “Papa” de un cuerpo sumergido será igual al real menos el empuje:

• Papa = P – E.

, siendo “P” el peso del cuerpo sumergido.

• Papa = ρcuerpo V g – ρfluido V cuerpo = (ρcuerpo – ρfluido) V g.

Dada esta ecuación, el signo del peso aparente depende de las densidades de los dos cuerpos en interacción, pudiendo darse tres casos:

• ρcuerpo > ρfluido, en cuyo caso el cuerpo se hundirá.
• ρcuerpo < ρfluido, en cuyo caso el cuerpo flotará, y se cumplirá que: Pcuerpo = E, siendo el empuje en este caso: ρfluido Vsumergido g, y el volumen sumergido, despejando: Vsumergido = ρcuerpo Vcuerpo / ρfluido = mcuerpo / ρfluido.
• ρcuerpo = ρfluido, en cuyo caso el cuerpo quedará en equilibrio.
  

Conferencia de Gerardus ‘t Hooft en Santiago de Compostela. 16 de Diciembre de 2008.

Hoy he asistido de nuevo a una conferencia sobre divulgación científica. En esta ocasión de Gerardus ‘t Hooft, galardonado con el Premio Nobel en 1999 por proponer una estructura detallada de cómo se comportan los bosones de la interacción electronuclear débil.

No obstante, la charla ha sido de divulgación científica sobre el futuro de la ciencia.

En primer lugar, como no podía ser de otra forma, trató el tema del CERN y el LHC, centrándose en “La Unificación”. Según nos mostró en la más o menos conocida tabla energética de la física, para poder estudiar el mundo en dimensiones más pequeñas hacen falta mayores cantidades de energía.

Hasta ahora, la energía que alcanzábamos nos ha permitido descubrir un montón de partículas interesantes: el fotón (γ), el protón (p+), el electrón (e¯), el neutrino (ν), el positrón (e+), el muón (μ‾), el taón (τ‾), el pión (π), el kaón (k), las partículas W de la interacción débil…

En teoría, las nuevas energías que se obtengan en el LHC deberían permitir avanzar en este estudio y dar lugar a nuevos descubrimientos tales como el bosón de Higgs, también conocido como la partícula divina.

Sin embargo, no pretenden conformarse con eso. Dado que en LHC se encuentran con el inconveniente de tener que apañar algunos tramos para que las partículas colisionen en línea recta (es curvo), las perspectivas de futuro en la aceleración de partículas están en diseñar nuevos aceleradores de tramos completamente rectos. Solo así, aparentemente, se puede avanzar en niveles energéticos.

¿Y para qué avanzar en niveles energéticos? Pues bien, según la teoría de La Unificación en un momento inicial, justo en el instante en que tras una compresión espacial toda la materia queda concentrada en la singularidad de un punto, las distintas magnitudes, así como las fuerzas, se reducen a una única cosa, que al disiparse en la expansión se descompone en lo que conocemos hoy en día.

La importancia de esto radica en que si se consiguiese la suficiente energía como para engendrar una pequeña singularidad se podría apreciar el Universo de un modo extremadamente detallado. Es estando en ese estado o en uno muy próximo a él cuando los físicos teóricos suponen que deberían encontrar los primeros indicios de la existencia del gravitón.

Un buen ejemplo típico de esta teoría es que el agua, según la observas, es un elemento puro, pero si la enfrías y separas sus componentes te encuentras con dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno. Lo mismo pasaría con la singularidad espacio-temporal: al estar expandida se divide en cuatro fuerzas fundamentales y en un montón de materia.

Hablando ya de cosmología, se quiso meter también en el tema de los agujeros negros y la controversia con la radiación de materia de los mismos propuesta por Stephen Hawking, a la que tachó de imposible y de novela de ciencia ficción.

Sin embargo, tuvo el detalle de mostrarnos una representacion digital del estudio del movimiento de las estrellas próximas al núcleo de nuestra galaxia y la evidencia de que allí habitaba un agujero negro por la curvatura que sufría la trayectoria de los astros que pasaban junto a él: curvaban más su trayectoria y se movían más rápido (2ª Ley de Kepler).

No obstante, hay que tener en cuenta que la ley de Kepler pronto deberá ser sustituida, porque se han encontrado trayectorias esféricas en torno a agujeros negros, que evidentemente no conservan el momento angular.

Habló de la nanotecnología, que parece ser que dentro de poco aspira a fabricar nanotubos atómicos donde se cogerían duras redes iónicas y se enroscarían para formar complejas estructuras. Estas estructuras, según nos mostró en sus imágenes, serían semejantes a las que tenemos en nuestro mundo macroscópico (cuerdas enredadas, nudos…).

En lo referente a la robótica y a la mecánica fantaseó con la posibilidad de enviar robots a explorar el espacio, e incluso con la inteligencia suficiente como para aprender a llevar y plantar vida a los otros planetas, si bien nosotros nunca deberíamos ser capaces de ir más allá de Marte.

Asimismo, comentó los avances en inteligencia robótica y la posibilidad futura de trasladar inteligencia directamente de un cerebro a un robot, hasta hacerlo incluso más inteligente que una persona, pero siendo siempre perfectamente controlable.

En cuanto a la genética, según juzgo un asistente, fue tal vez demasiado optimista en cuanto a nuestras posibilidades, ya que hablaba de diseñar qué tipo de seres necesitaríamos (máquinas que fabricasen huevos o carne de vaca sin tener que matar una) como si crearlos fuese la acción mas trivial del mundo.

Es por eso que reflexionó sobre las cuestiones éticas que conllevaba jugar a ser divinidades fabricando especies nuevas íntegramente artificiales, dado que podríamos cargarnos la línea evolutiva de la naturaleza.

En resumen, ha sido una conferencia muy interesante y multitemática, en la que Hooft destacó algo importante que la gente tiene muy mal entendido: “La ciencia no cambia con el tiempo. Se perfecciona”, o dicho en otras palabras, estamos hartos de la gente que mete la Relatividad o la Teoría Cuántica en todas partes sin venir a cuento, e insinuando que desmontan todo lo anterior.