“El Placer de Descubrir”, Richard P. Feynman

Voy a empezar a promocionar libros en este blog, y comienzo con esta maravilla: “El placer de descubrir”, una recopilación de entrevistas, conferencias y artículos del gran físico del siglo pasado, Richard P. Feynman, Premio Nobel de 1965, de quien ya he hablado en varias ocasiones, y que para mi es el modelo a seguir en ciencia.

La grandeza de Feynman no se debe solo a sus descubrimientos sobre electrodinámica cuántica o a que sea, como le bautizaron, el “padre de la nanotecnología”. Su grandeza se debe a que todos sus pasos los dio con gran humor, imaginación y humildad, hasta el punto de que uno de los libros que tratan sobre él se titula: “¿Está usted de broma, señor Feynman?”.

En “El placer de descubrir” podremos aprender mucho sobre cómo debe pensar alguien verdaderamente interesado en descubrir, y trata los siguientes temas:

Infancia:

En varios capítulos descubrimos cómo desde pequeño fue educado por su padre para amar la ciencia, dando paseos por el bosque y analizando cada minúsculo detalle, jugando con secuencias lógicas de colores y números, y analizando la mecánica clásica con un simple coche de ruedas:

Un día estaba yo jugando con lo que llamamos un vagón exprés (…). Tenía dentro una bola (lo recuerdo bien) y me fijé en un detalle del movimiento de la bola, así que le dije a mi padre: “Papá, he notado algo: cuando tiro del vagón la bola rueda hacia la parte trasera, y cuando estoy tirando y de repoente dejo de hacerlo, la bola rueda hacia la parte delantera (…), ¿por qué pasa eso?” (…) “Nadie lo sabe. Hay un principio general que dice que las cosas que están en movimiento tratan de seguir en movimiento, y las cosas que están en reposo tienden a permanecer en reposo a menos que ejerzas una fuerza sobre ellas (…). Esta tendencia se llama inercia pero nadie sabe por qué es verdad. (…) Si te fijas bien verás que no es la bola la que rueda hacia la parte trasera del vagón, sino que es la parte trasera del vagón la que tú estás tirando hacia la bola; verás que la bola sigue quieta o que quizá empieza a moverse debido a la fricción, pero en realidad se mueve hacia adelante y no hacia atrás.”

Asimismo, podemos incluir en su época joven experimentos acerca de si es posible o no contar mientras se lee o se habla, con resultados interesantes.

Participación en el Proyecto Manhattan:

De su participación en el proyecto de la bomba atómica podemos encontrar un joya de capítulo en este libro, donde Feynman nos cuenta cómo era la estancia en Los Álamos, y un sinfín de anécdotas: cómo consiguió tener una habitación para él solo, cómo filtraba información “disimuladamente”, cómo aprendió a desvalijar cajas fuertes escuchando sonidos o probando con constantes universales, cómo tuvo algunos golpes de suerte para contestar adecuadamente en situaciones en las que estaba despistado, cómo consiguió ser la primera persona que vió una bomba atómica en fase de pruebas sin gafas de protección cubriéndose con la luna de un coche de la radiacción ultravioleta, cómo conoció al Premio Nobel Niels Bohr sin dudar en preguntarle si estaba loco, y más situaciones como la que sigue:

Y así llega el día, el primer día de la censura. ¡Teléfono! ¡Riiiiing! Yo: “¿Qué?” “Venga, por favor.” Yo voy. “¿Qué es esto?” Es una carta de mi padre. “Bien, ¿qué es?” Hay un papel rayado, y hay unas líneas con puntos: cuatro puntos abajo, un punto arriba, dos puntos abajo, un punto arriba, un punto debajo de un punto. “¿Qué es esto?” Yo dije: “Es un código.” Y ellos: “sí, es un código; pero ¿qué dice?”. Yo dije: “No sé lo que dice.” Dijeron: “Bien, ¿cuál es la clave del código; cómo lo descrifra?”. Yo dije: “Pues no lo sé.” Entonces ellos dijeron: “¿Qué es esto?”. Yo dije: “Es una carta de mi mujer.” “dice TJXYWZ TW1X3. ¿Qué es esto?” Yo dije: “Otro código.” “¿Cuál es la clave?” “No lo sé.” Dijeron: “¿Usted está recibiendo mensajes en clave y no la conoce?” “Exactamente. Juego con ellos. Les reto a que me envíen un código que no pueda descifrar, ¿ven ustedes? De modo que se inventan códigos y me envían mensajes sin decirme cuál es la clave.” Ahora bien, una de las reglas de la censura era que no iban a interferir en nada que uno hiciera normalmente en el correo. Así que dijeron: “Bien, usted va a tener que decirles que por favor envíen la clave con el mensaje.” Dije: “¡Pero yo no quiero saber la clave!” Dijeron: “Muy bien, nosotros sacaremos la clave.” Y llegamos a ese compromiso.

Reflexiones Éticas:

Encontramos también en el libro entrevistas y conferencias en las que Richard expone su opinión sobre cómo se está menospreciando la ciencia en la sociedad, y que es vergonzoso que las pseudociencias (astrología, tarot, sanadores…) ganen tanto terreno:

Pienso, y todos ustedes deben saberlo por experiencia, que la gente (quiero decir la persona media, la gran mayoría de las personas, la inmensa mayoría de las personas) son lamentablemente, penosamente, absolutamente ignorantes de la ciencia en el mundo en el que viven, y pueden seguir así. No quiero decir nada de ellos; lo que quiero decir es que pueden seguir sin que les preocupe lo más mínimo (sólo tibiamente) y cuando ocasionalmente ven la CP mencionada en los periódicos, preguntan qué es eso. Y una cuestión interesante de la relación entre ciencia y sociedad moderna es precisamente ésa: ¿por qué es posible que la gente en una sociedad moderna permanezca tan penosamente ignorante, y pese a todo razonablemente felíz, cuando hay tanto conocimiento al que no pueden acceder?

Conferencia “Hay Mucho Sitio al Fondo”:

Esta conferencia, que el libro reproduce integramente, le valió a Feynman el ya mencionado título de “padre de la nanotecnología”, pues en ella aseguraba, algo adelantado a su época, que en un futuro cercano sería posible usar los propios átomos para procesar cada bit de un ordenador, de modo que todos los libros del mundo podrían grabarse con láser sobre nada menos que 2/3 de la punta de un alfiler.

En resumen, es un libro interesante, sobre una persona muy interesante, y que cautivará a cualquiera que esté interesado en el tema.

Física General (16): Ondas: Movimiento Armónico Simple, Descripción de una Onda, Ondas Mecánicas, Periódicas, Armónicas, Parámetros, Ondas transversales, Longitudinales, Superposición, Reflexión, Ondas Estacionarias, Dispersivas, Potencia, Intensidad, Efecto Doppler.

Movimiento Armónico Simple:

El movimiento oscilatorio es un movimiento periódico en torno a un punto de equilibrio. Todo movimiento oscilatorio tiene unas características importantes: frecuencia, periodo y amplitud. El movimiento armónico simple (m.a.s.) es el movimiento armónico más sencillo.

Para estudiar el m.a.s. se busca su analogía con el movimiento circular uniforme. Consideremos la partícula “P” de velocidad constante “v0″ describiendo una trayectoria circular de radio “A”.

Podemos definir la posición de “P” con “x”, “y” o con “σ”, que está relacionado con la velocidad angular:

• ω = dσ / dt.

, que, a su vez, está relacionada con la velocidad lineal por:

• v = A ω.

Para calcular “σ” integramos:

• ∫dσ = ω ∫dt.
• σ = ω t + σ0.

Calculemos la proyección sobre el eje “x” de “P”: “Q”. El punto “Q” se mueve hacia “x-” o hacia “x+” según “P” vaya girando. “Q” tiene un m.a.s.

El desplazamiento de “Q” respecto a “0″ vendrá dado por la proyección de “P” sobre el eje “x” por definición:

• x = A Cosσ = A Cos(ω t + σ0).

Para pasar de coseno a seno, a “σ0″ se le suman “π / 2″ radianes:

• x = A Cosσ = A Cos(ω t + σ0 + π / 2).

Estudiemos las características de m.a.s.

Amplitud (A):

Desplazamiento máximo respecto a la posición de equilibrio (0).

Frecuencia Angular (ω):

Número de radianes que recorre en un segundo.

Periodo (T):

Tiempo que tarda en completar una vuelta o ciclo. Al recorrer un ciclo, la fase aumenta en “2 π” radianes:

• T = 2 π / ω.

Frecuencia (f):

Número de vueltas que da en un segundo.

• f = 1 / T = ω / (2 π).

Estudiemos la velocidad de “Q” en m.a.s. Se puede obtener derivando:

• v = dx / dt = – ω A Sen(ω t + σ0).

Esta “v” es la misma que la proyección sobre “x” de la velocidad “v0″. Apreciamos que nuestra “v” está en función de “t”, pero es útil conocerla también en función de “x”. La distancia “¬PQ”, por pitágoras, es:

• d(¬P, ¬Q) = [A^2 - x^2]^1/2.

, y por trigonometría:

• d(¬P, ¬Q) = A Senσ.

Por tanto:

• A Senσ = [A^2 - x^2]^0.5.

, de donde:

• Senσ = [A^2 - x^2]^1/2 / A.

Sustituyendo en “v”:

• v = – ω [A^2 - x^2]^1/2.

Para ponerlo en función de “v0″:

• v = – ω A [1 - (x / A)^2]^1/2 = ± v0 [1 - (x / A)^2]^1/2.

Se cumplen las siguientes propiedades:

• x = – A → v = 0.
• x = 0 → v = ± v0.
• x = A → v = 0.

Estudiemos la aceleración del movimiento armónico simple.

La partícula “P” está sometida a una aceleración centrípeta:

• ac = v^2 / A = ω^2 A.

“a”, la aceleración de “Q”, es la proyección de “ac” sobre el eje “x”.

• a = dv / dt = – ac Cosσ = – ω^2 A Cos(ω t + σ0).

Ecuación Diferencial de un Movimiento en un M.A.S:

• a = d^2 x / dt^2 = dv / dt = dx dv / (dt dx) = v dv / dx = – ω^2 x.

Ya podemos integrar:

• ∫v dv = – ω^2 ∫x dx.
• v^2 / 2 = – ω^2 x^2 / 2 + cte.
• v^2 = – ω^2 x^2 + 2 cte = ω^2 (2 cte / ω^2 – x^2) = ω^2 (A^2 – x^2).
• v = ω [A^2 - x^2]^1/2.

, expresión que ya obtuvimos.

Obtenemos “x”:

• v = dx / dt = w [A^2 - x^2]^1/2.
• ∫(dx / [A^2 - x^2]^1/2) = ω ∫dt.

Para integrar se hace el cambio de variable:

• x = A Cosσ.
• dx = – A Senσ dσ.

• [A^2 - x^2]^1/2 = A[1 - Cosσ^2]^1/2 = A Senσ.

• ∫- A Senσ dσ / (A Senσ) = – ∫dσ = ω ∫dt.
• σ = – ω t + σ0.

Ahora deshacemos el cambio de variable:

• x = A Cosσ = A Cos(- ω t + σ0).

Por tanto, hemos llegado a las ecuaciones que ya teníamos a partir de la ecuación diferencial. “A” y “σ0″ ahora son constantes de integración que dependen de las condiciones iniciales. Determinémoslas:

Partimos de:

• x = A Cos(ω t + σ0).
• v = – ω A Sen(ω t + σ0).
• t = 0.
• x = x0 = A Cos(σ0).
• v = v0 = – A ω Sen(σ0).

Hacemos la división:

• v0 / x0 = – A ω Sen(σ0) / (A Cos(σ0)) = – ω Tg(σ0).
• Tg(σ0) = – v0 / (x0 ω).
• σ0 = Arcotg(- v0 / (x0 ω)).

Para calcular “A”, usaremos:

• Senσ^2 + Cosσ^2 = 1.

• x0^2 = A^2 Cos(σ0)^2.
• v0^2 = – A^2 ω^2 Sen(σ0)^2.
• (v0 / ω)^2 = - A^2 Sen(σ0)^2.

Sumando:

• x0^2 + (v0 / ω)^2 = A^2 (Cos(σ0)^2 + Sen(σ0)^2) = A^2.
• A = [x0^2 + (v0 / ω)^2]^1/2.

Fuerza de Restitución Elástica:

Supongamos un cuerpo de masa “m” unido a un muelle de masa despreciable en la posición de equilibrio. Tirando del objeto, si el muelle es ideal, la fuerza con la que se opone el muelle a la fuerza exterior viene dada por la Ley de Hooke:

• Fe = – k x.

, que es opuesta al desplazamiento, donde “k” es la constante de elasticidad.

Por la 2ª Ley de Newton:

• m a = – k x.

Comparando con la ecuación diferencial del m.a.s:

• a = – ω^2 x = – k x / m.

El muelle se muelle se mueve con un m.a.s. de:

• ω = [k / m]^1/2.

“ω” no depende de la separación inicial (ésta solo influye en la amplitud).

Supongamos un m.a.s. vertical, donde el punto de equilibrio depende del peso. En la posición de equilibrio se cumplirá:

• |¬P| = |¬Fe|.
• mg = k l.
• l = m g / k.

A partir de aquí el razonamiento es similar al m.a.s. simple horizontal. Una partícula con m.a.s. se mueve como si estuviese unida a un muelle ideal.

Energía en el M.A.S:

Ya conocemos cómo es la fuerza asociada a un m.a.s:

• Fe = – k x.

, que es conservativa (no realiza trabajo a lo largo de la trayectoria), por lo que la disminución o el aumento de la energía cinética es a costa de la variación de la energía potencial.

Energía Potencial Elástica:

La energía potencial elástica en “Q” será el trabajo necesario para llevar la partícula de “O” a “Q”.

• Ep = ∫F dx = – k ∫x dx.
• Ep = k x^2 / 2.

Como la fuerza es constante se cumple:

• Ec + Ep = cte.
• m v^2 / 2 + k x^2 / 2 = cte.
• m A^2 ω^2 Sen(ω t + σ0)^2 / 2 + k A^2 Cos(ω t + σ0)^2 / 2 = cte.

, y como:

• k = m ω^2.

, nos resulta:

• k A^2 (Sen(ω t + σ0)^2 + Cos(ω t + σ0)^2) / 2 = k A^2 / 2 = cte.

• m v^2 = k (A^2 – x^2).
• v^2 = k (A^2 – x^2) / m.
• v = w (A^2 – x^2).

de nuevo.

Péndulo Simple:

Modelo de péndulo ideal: masa puntual “m” colgando de un hilo de masa despreciable y longitud “l”. Si lo desplazamos “σ” radianes de su posición de equilibrio, los pares de fuerzas se compensan siguiendo la igualdad:

• P Cosσ = T.

La responsable de la oscilación es “P Senσ”.

• F = – P Senσ.
• m a = – m g Senσ.
• a = – g Senσ.
• l d^2σ / dt^2 = – g Senσ.
• d^2σ / dt^2 = – g Senσ / l.

Para “σ” muy pequeños se movería con m.a.s., y por Taylor:

• Senσ ≈ σ.

Por lo que:

• l d^2σ / dt^2 = – g σ.
• w^2 = g / l.

Notación Compleja:

Un número complejo es isomorfo a un vector en 2 dimensiones, ya que se puede representar en el plano complejo donde la abscisa es la parte real y la ordenada la imaginaria.

• z = x + i y.
• Parte Real = x = r Cosσ.
• Parte Imaginaria = y = r Senσ.

• z = x + i y = r (Cosσ + i Senσ) = r e^(i σ).

, donde “r” es la amplitud y “σ” la fase. Expresado en forma fasorial:

• z = r \ σ.

El complejo conjugado sería de la forma:

• z* = x – y i = r (Cosσ – i Senσ) = r ^(- i σ) =r \ – σ.

El módulo se calcula elementalmente:

• r = [x^2 + y^2]^1/2.
  

Y la fase:

• σ = Arcotg(y / x).

El problema es que los arcotangentes de un complejo y su conjugado resultan ser idénticos, por lo que, para corregir el error, se le suman “π” radianes a “z*”.

Supongamos que la fase varía con el tiempo:

• σ = ω t + σ0.

, entonces, “z” rota con una frecuencia angular “ω”. Por tanto:

• z = r e^(i σ) = r e^(i (ω t + σ0)).
• z = r e^(i ω t) e^(i σ0).

Cada vez que se cumple un periodo “T” se da una vuelta completa, y el fasor vuelve a su valor original. Los fasores se representan con:

• t = 0.

, es decir, no se representa la dependencia temporal. Los fasores, además, son fáciles de derivar.

• dz / dt = d(r e^(i ω t) e^(i σ0)) / dt.
• dz / dt = i ω r e^(i ω t) e^(i σ0) = i w z.

• d^2z / dt^2 = i ω (i w z) = – ω^2 z.

La parte real del fasor “z” es:

• r Cosσ = r Cos(ω t + σ0).

La de “dz / dt” es:

• - ω r Senσ = – ω r Sen(ω t + σ0).

Y por último, la de “d^2z / dt^2″ es:

• - ω^2 r Cosσ = - ω^2 r Cos(ω t + σ0).

Descripción de una onda unidimensional:

Una onda es una perturbación del equilibrio que se propaga de una región del espacio a otra. Se propaga la perturbación, que implica un transporte de energía y momento, y no la materia (ésta se mueve solo en torno a unas posiciones de equilibrio).

Según su naturaleza hay dos tipos de ondas:

• Mecánicas: necesitan un material elástico para propagarse que se llama medio, como por ejemplo las ondas de agua, el sonido, o una cuerda.
• Electromagnéticas: no necesitan un medio para propagarse, y por tanto son las únicas que pueden viajar en el vacío. Se producen por cargas aceleradas de partículas atómicas o subatómicas. Algunos ejemplos son los rayos x, la radio, la luz, que solo varían su frecuencia y su longitud de onda.

Ondas Mecánicas:

Según la dirección de la perturbación, hay varios tipos de onda:

• Transversales: los desplazamientos de las partículas del medio son perpensidulares a la dirección de la onda, como es el caso de la oscilación de la cuerda.
• Longitudinales: las partículas se mueven en la dirección de la onda, como es el caso de un muelle que se contrae o un gas comprimido por un pistón.

La cresta de una ola es una onda transversal y longitudinal a la vez.

Características de las ondas:

• La Velocidad de Propagación de la onda, que solo depende de las propiedades mecánicas del medio, y no de la velocidad de vibración de las partículas.
• El medio no viaja por el espacio: sus partículas realizan un movimiento en torno a unas posiciones de equilibrio.
• Para generar la onda hay que aportar energía realizando un trabajo sobre el sistema.

Descripción Matemática de una Onda Unidimensional:

Supongamos que el medio en que se propaga es elástico, lineal y no dispersivo. Entonces, la onda se propaga a velocidad constante y sin perder la forma.

Supongamos un pulso que se propaga a una velocidad “v”.

Calculemos la función que describa la posición de un punto en cualquier instante. Supongamos, por tanto:

• y = f(x).

Pero necesitamos una dependencia temporal. Para relacionar las funciones en:

• t = 0.
• t’ ≠ 0.

, consideremos un sistema de referencia en la propia perturbación. En este sistema, la función que nos da la posición inicial es igual a la del resto del tiempo:

• y’ = f(x’).

para cualquier “t”.

La relación entre los sistemas viene dada por:

• y’ = y.
• x’ = x – vt.

Por tanto:

• y = y’ = f(x’) = f(x – v t) = f(x / v + t).

Así, ya tenemos la dependencia temporal en la función de onda, que presenta una onda propagándose a velocidad “v” en la dirección “y” que representa el movimiento vertical de un punto “x” en un tiempo “t”. Por tanto, si “t” aumenta en “1″ segundo, hay que aumentar “x” en “v” metros para que “y” tenga el mismo valor.

Hablamos de Ondas Progresivas cuando:

• v > 0.

, y de Ondas Regresivas cuando:

• v < 0.

Para ondas longitudinales:

• y = Φ = desplazamiento paralelo a la velocidad de la onda.

En general, una onda unidimensional será una combinación de una onda regresiva y una progresiva:

• Φ(x, t) = f(x – v t) – g(x + v t).

Ondas Periódicas:

La perturbación se repite cada cierto tiempo de forma regular, es decir, de una fuente periódica.

.-Longitud de Onda “λ”:

Es la distancia espacial (en “m”) en la que la onda efectúa una oscilación completa y tras la cual se repite, es decir, la perturbación se repite cada “λ” metros.

• Φ(x, t) = Φ(x ± λ, t) = Φ(x ± n λ, t).

.-Periodo “T”:

tiempo (en “s”) que la onda tarda en completar una oscilación completa. Fijado un punto “x” del medio, tiempo que tarda dicho punto en dar una oscilación, se cumple:

• Φ(x, t) = Φ(x, t ± T) = Φ(x, t ± n T).

.-Frecuencia “f”:

Número de oscilaciones por segundo (en “Hz”):

• f = 1 / T.

Para relacionar “v”, “T” y “λ” nos ponemos en “x0″ y mecimos con un cronómetro los metros de perturbación que pasan en un segundo, es decir, su frecuencia:

• v = λ f.

Ondas Armónicas:

La perturbación tiene forma sinusoidal, es decir, definida por senos y cosenos (cualquier onda periódica es suma de ondas armónicas).

El m.a.s. nos sirve para crear ondas armónicas, de modo que:

• Φ(x, t) = A Sen(- 2 π x / λ).

Observamos una periodicidad espacial, que nos permite definir el Número de Onda:

• k = – 2 π / λ.

La función total es una función de “t” y de “x”:

• Φ(x, t) = A Sen(- k (x – v t)) = A Sen(- k x + k v t) = A Sen(- k x + 2 π f t).
• Φ(x, t) = A Sen(ω t – k x).

, donde “ω”, “f” y “A” son propiedades de la fuente, y “v” solo del medio.

• Φ(x, t) = A Sen(ω t ± k x + Φ0).
• Φ(x, t) = A e^(i(ω t ± k x + Φ0)).

Ecuación de una Onda Unidimensional:

Vamos a demostrar que una función:

• Φ = Φ(x ± ω t).

es una onda unidimensional propagándose en “± x”.

• α = x ± ω t.
• Φ = Φ(α).

• dΦ / dx = dΦ dα / dα dx = dΦ / dα = Φ’.
• dΦ / dt = dΦ dα / dα dt = ± v dΦ / dt = ± v Φ’.

• d^2Φ / dx^2 = Φ”.
• d^2Φ / dt^2 = v^2 Φ”.

Por tanto, cualquier función dependiente de “x” y “t” de la forma:

• Φ = Φ(x ± ω t).

cumple:

• d^2Φ / dx^2 = Φ”.
• d^2Φ / dt^2 = v^2 Φ”.

• Φ” = d^2Φ / dx^2 = d^2Φ / (v^2 dt^2).
• d^2Φ / dx^2 – d^2Φ / (v^2 dt^2) = 0.

, que es la ecuación de ondas unidimensionales propagándose en la dirección “± x” a “v”.

La solución general es:

• Φ(x, t) = f(x – v t) + g(x + v t).

Como es una ecuación diferencial lineal y sabemos que hay una solución que es una onda y otra que es otra onda, su suma también es solución, por aplicación del principio de superposición.

Cuerda Tensa. Ondas Transversales:

Consideremos un segmento de cuerda sometido a una determinada perturbación y analicemos las fuerzas que actúan sobre ella (tensiones, que son la misma) para estudiar el movimiento.

Dados dos segmentos de cuerda “1″ y “2″, de inclinaciones:

• σ1 ≠ σ2.

por la ligera inclinación debida a la onda:

• ∑Fy = T2y – T1y = T Sen(σ2) – T Sen(σ1) = T (Sen(σ2) – Sen(σ2)).
• ∑Fx = 0.

No hay movimiento en “x”.

Considerando una onda de amplitud pequeña, “σ1″ y “σ2″ son pequeños, cumpliéndose:

• Cosσ ≈ 1.
• Senσ ≈ Tgσ.

Además, podemos considerar:

• m = μ Δx.

, siendo “μ” la densidad lineal.

• ∑Fy = T(Tg(σ2)- Tg(σ1)).

En un determinado punto:

• Tgσ = dy / dx.

, es decir, la pendiente “S” del punto.

• ∑Fy = T(S2 – S1) = T ΔS = m ay = m d^2y / dt^2 = μ Δx d^2y / dt^2.
• T ΔS / Δx = μ d^2y / dt^2.
• d^2y / dt^2 = μ d^2y / (T dt^2).
• d^2y / dt^2 – μ d^2y / (T dt^2) = 0.

Comparando con la ecuación de ondas:

• 1 / v^2 = μ / T.
• v = [T / μ]^1/2.

La velocidad de propagación de una onda depende del medio.

Ondas Sonoras en un Tubo de Aire. Ondas Longitudinales:

Las ondas longitudinales de presión / descompresión en un medio sólido, líquido o gaseoso son ondas sonoras de frecuencia audible entre los los 20 Hz y los 20 kHz.

Consideremos una onda sonora propagándose en un tubo de sección “A”. Consideremos una región en equilibrio:

• p1 = p2.

Sea “ρ0″ la densidad de masa. Si hay una perturbación “dΦ” el gas se expandirá o se contraerá, respectivamente, según:

• dΦ > 0.
• dΦ < 0.

Para la región de volumen considerado, “ρ” será distinto, pero no la masa:

• m1 = m2.
• ρ0 V1 = ρ V2.
• ρ0 A dx = ρ A (dx + dΦ).
• ρ = ρ0 / (1 + dΦ / dx) = ρ0 (1 + dΦ / dx)^(-1).

Veamos las presiones que ejercen las dos masas de aire que rodean la sección considerada para estudiar la fuerza que actúa sobre la misma:

• Fxi = p A.
• Fxd = p’ A.

Siendo “Fxi” la fuerza por el lado izquierdo y “Fxd” la fuerza por el lado derecho. La fuerza resultante “Fx” será:

• Fx = (p – p’) A = – A dp.
• Fx = m a = m d^2Φ / dt^2.

Combinando:

• m d^2Φ / dt^2 = ρ0 A dx d^2Φ / dt^2 = – A dp.
• - dp / dx = – ρ0 = d^2Φ / dt^2.

Por la regla de la cadena:

• dp / dx = dp dρ / dρ dx.

pero como:

• ρ =  ρ0 (1 + dΦ / dx)^(-1).

Obtenemos:

• dp / dx = dp (- ρ0 d^2Φ / dx^2) / dρ.

Comparando:

• d^2Φ / dx^2 = d^2Φ dρ / (dt^2 dp).

, que es la ecuación de ondas de una onda unidimensional propagándose en la dirección:

• v = [dp / dρ]^1/2.

En general, la velocidad de propagación de una onda longitudinal se calcula en función del módulo de volumen del medio, denominaremos “β” a la inversa de la compresibilidad, que juega el papel de la constante elásticas del muelle:

• v = [β / ρ]^1/2.

Para sólidos “s”, líquidos “l”, y gases “g”, se cumple:

• vs > vl > vg.
• βs > βl > βg.

Algunos casos particulares son, la varilla al comprimirse, de ecuación:

• v = [γ / ρ]^1/2.

, donde “γ” representa el Módulo de Young, una constante predeterminada para cada material.

En el gas ideal:

• v = [γ R T / M]^1/2.

, donde “R” es la constante de los gases (8,31 J / mol), “M” es la masa molecular del gas, “T” la temperatura absoluta y “γ” la constante del gas vista en el tema anterior.

Transporte de Energía en una Onda Transversal en una Cuerda:

Supongamos una onda que viaja de izquierda a derecha en un punto “A” de la cuerda. Calculemos el trabajo realizado por unidad de tiempo (potencia) en un segundo elemental de la cuerda, considerando la fuerza que un trazo de cuerda ejerce sobre otro de la derecha.

• Fy = – T Senσ ≈ – T Tgσ.
• Tgσ = dy / dx = S.

Ya tenemos la fuerza que se ejerce sobre “A”, el cual se va a desplazar con una velocidad, y cuando el punto “A” se mueve en la dirección “y”, realiza trabajo sobre ese punto.

La potencia la medimos como:

• P(x, t) = F(x, t) v(x, t) = – T  dy(x, t) dy(x, t) / dx dt.

Consideremos una onda armónica:

• y(x, t) = A Sen(ω t + k x).
• dy(x, t) / dx= A k Cos(ω t – k+x).
• dy(x, t) / dt = A ω Cos(ω t – k+x).

A partir de la expresión anterior:

• P = T k ω A^2 Cos(ω t – kx)^2.

, y como:

• T = v^2 μ.
• v = ω / k.

nos resulta:

• P = v μ ω^2 A^2 Cos(ω t – kx)^2.

, que es la potencia instantánea de onda en el punto “x”. Consecuentemente, la potencia máxima será:

• Pmax = v μ ω^2 A^2.

Pero a nosotros no nos interesa la potencia instantánea, sino la potencia promedio de un ciclo:

• P‾ = (∫(v μ ω^2 A^2 Cos(ω t – kx)^2 dt) desde “0″ hasta “T”) / T.

• P‾ = ω ∫(v μ ω^2 A^2 Cos(ω t – kx)^2 dt) desde “0″ hasta “2 π / ω” / 2 π.
• P‾ = μ v ω^2 A^2 / 2.

, y esta es la potencia promedio de todas las ondas, proporcional al cuadrado de la amplitud:

• P‾ = α A^2.

La energía que fluye del punto “A” al “B” es:

• ΔE‾ = P‾ Δt = μ ω^2 A^2 Δx / 2.

Transporte de Energía en Ondas Longitudinales:

La potencia media por unidad de sección transversal (intensidad de la onda) es:

• I = P‾ / A.

Principio de Superposición:

Cuando dos ondas interfieren, el desplazamiento real de cualquier punto del medio en cualquier instante se obtiene sumandoel desplazamiento que tendría el punto si solo estuviese presente la primera onda y el que tendría si solo estuviese la segunda.

• Onda 1: y1(x, t).
• Onda 2: y2(x, t).
• Onda resultante: y1 + y2 = y(x, t).

La interferencia puede ser ocnstructiva o destructiva según si las ondas están o no en fase, respectivamente. Este principio es aplicable por la linealidad de las funciones de onda.
Reflexión en un Punto Fijo:

Supongamos un punto sobre una pared incapaz de oscilar (es un punto fijo), y supongamos que una onda se propaga hacia el punto en cuestión, de forma que cuando llegue a él tendrá que tomar un valor nulo. Asimismo, después de chocar con la pared, nuestra onda deberá reflejarse, es decir, volver hacia atrás de un modo opuesto al de llegó.

La única explicación matemática posible es que desde la pared, en todo momento, se propage en sentido opuesto a la onda original una onda exactamente igual solo que con sentido y módulo opuesto, de modo que en todo instante amvas ondas se anulen en el punto de la pared.

Poner una condición de este tipo en la propagación de las ondas es establecer una condición de contorno, y si un punto siempre es fijo es un nodo.

Ondas Estacionarias en una Cuerda:

Las ondas que se superponen en una cuerda producen, como onda resultante, ondas estacionarias, para ciertas frecuencias.

Supongamos que tenemos una onda armónica incidente:

• y1(x, t) = A Sen(ω t – k x).

Debido a la reflexión en el punto fijo “B”, existe una onda reflejada:

• y2(x, t) = – A Sen(ω t + k x).

La onda resultante será:

• y(x, t) = y1 + y2 = A Sen(ω t – k x) - A Sen(ω t + k x).
• y(x, t) = A(Sen(ω t – k x) – Sen(ω t + k x)).
• y(x, t) = A(Sen(ω t) Cos(k x) – Cos(ω t) Sen(k x) – Sen(ω t) Cos(k x) – Cos(ω t) Sen(k x)).
• y(x, t) = – 2 A Cos(ω t) Sen(k x).

Como en el punto final de la cuerda de longitud “L” la onda debe anularse, obtenemos que:

• - 2 A Cos(ω t) Sen(k L) = 0.
• Sen(k L) = 0.
• k L = Arcosen(0) = n π radianes.

Es decir, el factor “k L” debe ser igual siempre a un ángulo cuyo seno se anule, representados por “n π”. PAra cada valor de “n”, el valor de “k” será distinto, por lo que es necesario definir los “kn”, que representan el valor de “n” al que van asociados, por lo que, en definitiva:

• kn = n π / L.

Como previamente sabiamos que:

• k = 2 π / λ.
• kn = 2π / λn.

Nos resulta:

• 2 π / λn = n π / L.

, donde los “λn” representan las longitudes de onda asociadas a cada valor de “n”, que se despejan como:

• λn = 2 L / n.

La interpretación física de este fenómeno es que las distintas longitudes de onda representan los distintos armónicos de una cuerda, y en base a ellos se construyen los instrumentos musicales. “n = 1″ seria el primer armónico, “n = 2″ el segundo, y así sucesivamente.

Potencia e Intensidad de las Ondas:

Estudiaremos ambas propiedades particularizando a ondas sonoras, pues la intensidad se define como vimos antes:

• I = P‾ / S.

, donde “S” representa la sección del frente de onda. Además, siempre se cumplía que:

• I = α A^2.

, donde “A” representa la amplitud de la onda.

.-Ondas Dispersivas:

Si la fuente es puntual , se producen ondas esféricas, que se propagan a la misma velocidad en todas direcciones. En este caso la sección será la superficie de la esfera, por lo que:

• I = P‾ / (4 π r^2) = β / r^2.
• I = α A^2.
• α A^2 = β / r^2.
• A^2 r^2 = cte.
• A r = cte.

Si la fuente es lineal se producen ondas cilíndircas:

• I = P‾ / (2 π r h) = β / r.
• I = α A^2.
• α A^2 = β / r.
• A^2 r = cte.
• A r^1/2 = cte.

.-Ondas No Dispersivas:

Si la onda es plana, se propaga en una única dirección, por lo que la sección es constante, y se cumple:

• I = P‾ / S = cte.
• I = α A^2.
• α A^2 = cte.
• A = cte.

Efecto Doppler:

Cuando una fuente de sonido y un oyente están en movimiento uno respecto al otro, la frecuencia percibida por el agente es distinta a la transmitida por la fuente. Cuando se acercan, la frecuencia es mayor y viceversa.

Supongamos que la velocidad de la fuente “vf” y la del oyende “vo” tienen la misma dirección, siendo la dirección positiva la que va del oyente  “o” a la fuente “f”.

.-Fuente en reposo:

Si representamos los puntos con igual fase (frentes de onda) de una fase determinada, la distancia entre ellos es “λf”. El oyente se acerca con “vo” a la fuente; esta emite un sonido de frecuencia “νf”, y por tanto el periodo es:

• Tf = 1 / νf.

Si conocemos la velocidad del sonido “v”,  resulta que:

• λf = v Tf.

, y es que aunque “o” ve una separación “λf”, percibe una frecuencia mayor, porque su velocidad medida “v’” es:

• v’ = vo + v.

Por lo que su frecuencia medida es:

• νo = v’ / λf = (v + vo) / (v / νf) = (v + vo) νf / v.

.-Fuente y oyente en movimiento:

Al desplazarse “f”, se desplazan los centros de origen de las ondas, por lo que “λ1 ≠ λ2″.

Definimos “Tf” como el tiempo en que la cresta recorre “v Tf”, y la fuente “vf Tf”:

• λ = v Tf + vf Tf = (v + vf) / νf.

De modo que en la fórmula de la frecuencia medida cambia este parámetro:

• νo = v’ / λf = (v + vo) / (v + vf / νf) = (v + vo) νf / (v + vf).

En general, aunque “f” y “o” tengan la misma velocidad relativa, el efecto Doppler será distinto según se mueve “f”, “0″ o los dos.

Ideas Sobre Geometría Espacio-Temporal en el Espacio Euclidiano: Puntos, Curvas y Superficies Evolutivas.

Conociendo ya la geometría del plano y del espacio, en esta entrada pretendo dar un salto más allá y analizar qué pasa con ciertas figuras cuando introducimos el parámetro tiempo en nuestras descripciones. A diferencia de sus geometrías precedentes, aquí nos encontraremos con la particularidad de que los tres ejes (x, y, z, t) no son equivalentes, y que denominaremos a las figuras de forma diferente  según dónde esté ubicado el parámetro “t” en la ecuación, es decir, la geometría espacio-temporal es una idea más compleja que la geometría de 4 dimensiones, si bien tienen varias cosas en común. Así pues, estructuraré esta entrada explicando las cosas según el modelo 4-D, y después aportando las restricciones de que la 4ª dimensión. El espacio sobre el que trabajaremos será euclidiano, por lo que despreciaremos cualquier posible efecto relativista.

Puntos y vectores en 4 dimensiones:

En analogía con los anteriores espacios, el punto “¬P” se representará en función de sus 4 parámetros (x, y, z, t), y todo vector “¬v” dependerá de sus cuatro componentes (vx, vy, vz, vt).

Recta en 4 dimensiones:

A partir de las anteriores definiciones, podemos describir nuestra primera figura geométrica del siguiente modo:

• ¬P = ¬P0 + λ ¬v.

• ¬P = (x, y, z, t).
• ¬P0 = (x0, y0, z0, t0).
• ¬v = (vx, vy, vz, vt).

, donde “λ” puede tomar cualquier valor real y “P0″ representa un punto cualquiera de la recta.

En versión paramétrica, sus ecuaciones serían:

• x = x0 + λ vx.
• y = y0 + λ vy.
• z = z0 + λ vz.
• t = t0 + λ vt.

En continua:

• λ = (x – xo) / vx = (y – yo) / vy = (z – zo) / vz = (t – t0) / vt.

, también representable como:

• λ = Δx / vx = Δy / vy = Δz / vz = Δt / vt.

Punto en M.R.U.. Vector velocidad:

La recta “r” en 4 dimensiones antes descrita, si tiene un vector director “¬v” que cumpla:

• vz ≠ 0.

toma un único valor (x, y, z) para cada valor de “t”, por lo que podemos considerarla, en analogía con el espacio en 3 dimensiones, un punto en movimiento.

Para ello, es más cómodo definir un cierto vector velocidad (vx, vy, vz, 1) equivalente, porque así, despejando de la ecuación continua antes vista:

• λ = Δt.

, y obtenemos:

• ¬P = ¬P0 + Δt ¬v.

, que, en analogía con la cinemática clásica, representa un movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.) para un punto material, y cumple:

• x = x0 + vx Δt.
• y = y0 + vy Δt.
• z = z0 + vz Δt.
• t = t0 + Δt.

, verificando la última ecuación nuestra definición de “Δt”.

Por último:

• Δt = Δx / vx = Δy / vy = Δz / vz.

Evidentemente, este enfoque de la recta de 4 dimensiones no tiene sentido en caso de que:

• vt = 0.

, pues toda ella estaría comprendida dentro de un único valor de “t”, inmóvil.

Posición relativa de dos rectas de 4 Dimensiones:

Dadas dos rectas “r1″ y “r2″ 4-D:

• ¬P1 = ¬P01 + α ¬v1.
• ¬P2 = ¬P02 + β ¬v2.

Diremos que son paralelas si sus vectores lo son, es decir, si “α” toma algún valor tal que:

• α ¬v1 = ¬v2.

Si además de ésto, el punto “¬P02″ pertenece a “r1″, serán coincidentes:

• ¬P01 + α ¬v1 = ¬P02.

En caso de que no sean paralelas, simplemente podrán cortarse o no. Si se cortan es trivial deducir el único punto de corte (x, y, z, t) que puden poseer, pues tiene que ser el único que tengan en común.

• x = x01 + α vx1 = x02 + β vx2.
• y = y01 + α vy1 = y02 + β vy2.
• z = z01 + α vz1 = z02 + β vz2.
• t = t01 + α vt1 = t02 + β vt2.

En caso de que el sistema tenga solución se cortan en ella. En caso contrario simplemente se cruzan, pero no llegan a chocar.

Movimiento Relativo de Dos Puntos en M.R.U:

Si, a partir del apartado anterior, queremos que nuestras rectas 4-D “r1″ y “r2″ sean ambas puntos en m.r.u., deben cumplir que:

• v1t ≠ 0.
• v2t ≠ 0.

, y por comodidad les impondremos:

• t01 = 0.
• t02 = 0.
• v1t = 1.
• v2t = 1.

Las dos primeras condiciones se cumplen tomando como puntos de origen “¬P01″ y “¬P02″ aquéllos ubicados en:

• t = 0.

para cada una. Es decir, no basta con poner un “0″ en sus coordenadas de golpe. Para la segunda hay que dividir todas las componentes de los vectores dirección entre sus componentes “v1t” y “v2t” respectivamente.

Nos resultan así:

• (x, y, z, t) = (x01, y01, z01, 0) + Δt (v1x, v1y, v1z, 1).
• (x, y, z, t) = (x02, y02, z02, 0) + Δt (v2x, v2y, v2z, 1).

Estos cuerpos tomarán trayectorias paralelas si:

• Δt ¬v1 = ¬v2.

, y además serán coincidentes si:

• ¬P01 = ¬P02.

Si sus trayectorias no son paralelas pueden colisionar o no. Y si lo hacen tiene que existir un valor “Δt” en el que cumplan:

• x01 + v1x Δt = x02 + v2x Δt.
• y01 + v1y Δt = y02 + v2y Δt.
• z01 + v1z Δt = z02 + v2z Δt.

Plano en 4 Dimensiones:

Denominaremos plano 4-D “γ” al conjunto de puntos que cumplen la ecuación:

• ¬P = ¬P0 + α ¬v + β ¬w.

En paramétricas:

• x = xo + α vx + β wx.
• y = yo + α vy + β wy.
• z = zo + α vz + β wz.
• t = to + α vt + β wt.

Recta en M.R.U:

Esta vez las condiciones que impondremos sobre la ecuación serán más complejas. En primer lugar:

• t0 = 0.

, como hemos hecho hasta ahora. En segundo lugar, tan solo uno de los dos vectores “¬v” o “¬w” debe depender del tiempo, por lo que sin pérdida de generalidad impondremos:

• vt = 1.
• wt = 0.

La unión de estas dos condiciones sin alterar la ecuación original es bastante compleja, por lo que la explicaré paso a paso. En primer lugar debemos considerar el vector 3-D perpendicular a las  componentes (x, y, z) de los “¬v” y “¬w” originales a través del producto vectorial:

• ¬l = (vy wz – vz wy, vx wz – vz wx, vx wy – vy wx) = (lx, ly, lz).

Depués denominar un nuevo vector:

• ¬m = (wx – vx, wy – vy, wz – vz, 0) = (mx, my, mz, 0).

Y finalmente el vector producto vectorial de “¬l” y las componentes (x, y, z) de “¬m”:

• ¬n = (ly mz – lz my, lx mz – lz mx, lx my – ly mx) = (nx, ny, nz).

Y fabricamos los nuevos vectores:

• ¬v = ¬m.
• ¬w = (nx, ny, nz, 1).

Y nos resulta:

• ¬P = ¬P0 + λ ¬v + Δt ¬w.

Teniendo esta ecuación resulta evidente que para valores fijos de “Δt” la figura resultante es una recta, que se va desplazando con m.r.u. a lo largo del tiempo.

En caso de que inicialmente ya solo uno de los dos vectores dependa del tiempo tan solo hay que dejar la componente “t” del otro igual a “1″, y en caso de que ninguno de ellos lo haga estariamos ante un simple plano estacionario de ecuaciones:

• (x, y, z) = (x0, y0, z0) + α (vx, vy, vz) + β (wx, wy, wz).
• t = t0.

Posición Relativa entre dos Planos de 4 Dimensiones:

Dados dos planos 4-D “γ1″ y “γ2″ genéricos:

• ¬P1 = ¬P01 + α ¬v1 + β ¬w1.
• ¬P2 = ¬P02 + δ ¬v2 + ε ¬w2.

Para que sean paralelos el subespacio generado por sus vectores debe tener dimensión dos. Es decir, que de entre los vectores “¬v1″, “¬v2″, “¬w1″, “¬w2″ dos de ellos sean linealmente dependientes de los otros dos. Lo cual es equivalente a calcular el rango de la matriz:

• M  = [v1x, v1y, v1z, v1t; v2x, v2y, v2z, v2t; w1x, w1y, w1z, w1t; w2x, w2y, w2z, w2t].

y comprobar que es igual a “2″.

Si además de ser paralelas, el punto “¬P02″ pertenece a “γ1″:

• ¬P01 + α ¬v1 + β ¬w1 = ¬P02.

para algún par de valores de “α” y “β” serán, además, coincidentes.

Si, en cambio, el rango de la matriz “M” es “3″, los planos 4-D se podrán cortar en una recta 4-D, y en caso de que el rango sea “4″, se cortarán en un punto que satisfaga:

• x = x01 + α v1x + β w1x = x02 + δ v2x + ε w2x.
• y = y01 + α v1y + β w1y = y02 + δ v2y + ε w2y.
• z = z01 + α v1z + β w1z = x02 + δ v2z + ε w2z.
• t = t01 + α v1t + β w1t = t02 + δ v2t + ε w2t.

, y sabemos que este sistema siempre puede tener solución porque estamos ante cuatro ecuaciones linealmente independientes de cuatro vectores. En caso de que el rango sea “3″, como ya dijimos, el corte se producirá sobre una recta 4-D, pues estaremos ante un sistema de cuatro ecuaciones compatibles y dependientes de tres vectores (el cuarto es combinación lineal de los anteriores).

Concluimos pues que, por muy antiintuitivo que sea, dos planos 4-D pueden intersecar en un punto, como veremos más detalladamente en el próximo apartado.

Por último, e intuitivamente, si el mencionado sistema de ecuaciones resulta incompatible, no poseerán puntos en común.

Movimiento Relativo de Dos Rectas en M.R.U:

Dadas dos rectas en m.r.u. “γ1″ y “γ2″:

• ¬P1 = ¬P01 + d ¬v1 + Δt ¬w1.
• ¬P2 = ¬Po2 + e ¬v2 + Δt¬w2.

Serán paralelas si, para algún valor de “d” y “Δt”, se cumple:

• d ¬v1 = ¬v2.
• Δt ¬w1 = ¬w2.

Si además:

• ¬P01 + d ¬v1 + Δt ¬w1 = ¬P02.

serán coincidentes.

Analicemos ahora los posibles cortes. En caso de que no sean paralelas generalmente se cortarán en un punto, pues barrerán dos planos sobre el espacio 3-D, que siempre intersecan según las ecuaciones antes vistas.

La única posibilidad de que dos rectas en m.r.u. intersequen en una recta es que ambas coincidan en algún espacio 3-D delimitado por un determinado tiempo “t”, es decir, que sus vectores “¬v” sean linealmente dependientes, y que además, si prescindimos de ellos, los puntos en movimiento “r” y “s” determinados por:

• ¬P1 = ¬P01 + Δt ¬w1.
• ¬P2 = ¬P02 + Δt ¬w2.

converjan.

Movimiento Relativo de una Recta en M.R.U. Respecto a un Plano Estacionario:

Supongamos la recta en m.r.u. “r” y el plano estacionario “s” dados por las ecuaciones:

• ¬P1 = ¬P01 + e ¬v1 + Δt ¬w1.
• ¬P2 = ¬P02 + α ¬v2 + β ¬w2.

, donde obviamente “s” tiene un valor fijo del tiempo por definición.

Cuando se cumpla:

• ¬t1 = ¬t2.

recta y plano compartirán el mismo espacio y las leyes que rigen su intersección son las vistas en R^3.

Si las componentes (x, y, z) de “¬v1″ son linealmente dependientes de las de los vectores “¬v2″ y “¬w2″ la “r” estará contenida en “s” durante el instante “t” mencionado, mientras que en caso contrario convergeran en un punto.

Espacio Generado por 3 Vectores de 4 Dimensiones:

Definimos como volumen 4-D “π” al conjunto de puntos que cumplen la ecuación:

• ¬P = ¬P0 + α ¬u + β ¬v + γ ¬w.

, y como tiene una dimensión menos que la del espacio total, podemos definirlo a través de la ecuación normal con ayuda del vector “¬n” perpendicular a los tres vectores directores de “π”. Ésto lo realizamos a través de un producto vectorial de 4 dimensiones, definido como el determinante de la matriz:

• [¬i, ¬j, ¬k, ¬l; ux, uy, uz, ut; vx, vy, vz, vt; wx, wy, wz, wt].

, donde “¬l” es el vector unitario en la dirección tiempo. Se calcule como se calcule este determinante (según el orden de los vectores), el resultado siempre será el mismo, excepto tal vez un cambio de signo que no afecta, resultándonos:

• ¬n = (nx, ny, nz, nt).

De modo que la ecuación normal nos resultará:

• nx x + ny y + nz z + nt t + k = 0.

, que por primera vez no es una ecuación vectorial. “k” es un escalar que se calcula de modo que el punto “¬P0″ satisfaga la ecuación. Más concretamente, resulta sencillo representar esta ecuación como un producto escalar:

• ¬n ¬P + k = 0.

, donde “¬P” representa al conjunto de puntos que cumplen esa ecuación.

Plano en M.R.U:

Si a partir de la ecuación:

• ¬P = ¬P0 + α ¬u + β ¬v + γ ¬w.

Imponemos las condiciones:

• t0 = 0.
• ut = 0.
• vt = 0.
• wt = 1.

a través de los métodos anteriormente vistos, obtenemos:

• ¬P = ¬P0 + d ¬u + e ¬v + Δt ¬w.

, donde se aprecia que estamos ante la ecuación de un plano que se mueve con un m.r.u. a lo largo del tiempo.

No obstante, también es más cómodo representarlo a través de su ecuación normal, entre otras cosas porque siempre vamos a saber que existe, y nos permite saber con más antelación si depende del tiempo o no. Veamos algunos ejemplos:

• t = 0.

Es el conjunto de todos los puntos que  existen en el mencionado tiempo, es decir, no es un plano en m.r.u.

• x = 0.

Es el plano que foman entre los ejes “y” y “z”, invariante a lo largo de todo el tiempo.

• x = t.

Es el plano antes mecionado desplazándose paralelamente al eje “x” de un modo directamente proporcional al tiempo.

Posición Relativa entre  Dos Planos en M.R.U. Redefinición de la Recta en M.R.U:

Dados dos planos en m.r.u. “π1″ y “π2″:

• ¬n1 ¬P1 + k1 = 0.
• ¬n2 ¬P2 + k2 = 0.

Si:

• λ ¬n1 = ¬n2.

, son paralelos, pues sus vectores normales únicos son linealmente dependientes.

Si, además, dado un punto “¬P02″ perteneciente a “π2″, cumple:

• ¬n1 ¬P02 + k1 = 0.

serán coincidentes.

En caso de que no sean paralelos, por lo general se cortarán siempre en una recta en m.r.u., redefinida a través de las ecuaciones de ambos. Es decir, si “π1″ y “π2″ son linealmente independientes entre ellos, sus ecuaciones juntas definen una recta.

Asimismo, la intersección de tres planos en m.r.u. linealmente independientes define un punto en m.r.u., y la intersección de cuatro define un punto.

Ejemplos:

• t = 0.

• x = 0.

Nos encontramos ante un plano de 4-D sobre los ejes “x” e “y” en el tiempo origen.

• x = 0.

• y = 0.

Nos encontramos ante la recta que compone el eje “z”, constante a lo largo del tiempo.

• x = 0.

• y = 0.

• z = 0.

Definimos aquí el origen de coordenadas a lo largo del tiempo.

Movimiento Relativo entre un Plano y una Recta en M.R.U. Redefinición del Punto en M.R.U:

Sean el plano en m.r.u. “π” y la recta en m.r.u. “γ”:

• ¬n1 ¬P1 + k1 = 0.

• ¬n2 ¬P2 + k2 = 0.
• ¬n3 ¬P3 + k3 = 0.

Si las tres ecuaciones son linealmente independientes se cortarán en un punto en m.r.u. definido entre las tres ecuaciones, mientras que si la primera es dependiente de alguna de las otras dos se cortarán en la propia recta “γ”.

Veamos un ejemplo:

• x = t.

• x = 0.
• y = 0.

Estamos intersecando el plano perpendicular a “x” que se movia proporcionalmente a “t” con el eje “z” a lo largo del tiempo, antes definidos. Nos resulta el eje “z” en el tiempo inicial.

Movimiento Relativo entre un Plano y un Punto en M.R.U:

Sean el plano en m.r.u. “π” y el punto en m.r.u. “r”:

• ¬n1 ¬P1 + k1 = 0.

• ¬n2 ¬P2 + k2 = 0.
• ¬n3 ¬P3 + k3 = 0.
• ¬n4 ¬P4 + k4 = 0.

Si las cuatro ecuaciones son linealmente independientes se cortan en un punto, y en caso contrario se cortan en el propio punto en movimiento “r”.

Veamos un ejemplo:

• z = 0.

• x = 0.
• y = 0.
• z = 0.

Estamos intersecando el plano formado por “y” y “z” a lo largo del tiempo con el origen de coordenadas a lo largo del tiempo. Se ve que la primera ecuación es dependiente de la cuarta, por lo que se intersecan en el origen a lo largo del tiempo.

Movimiento Relativo entre una Recta y un Punto en M.R.U:

Sean la recta en m.r.u. “γ” y el punto en m.r.u. “r”:

• ¬n1 ¬P1 + k1 = 0.
• ¬n2 ¬P2 + k2 = 0.

• ¬n3 ¬P3 + k3 = 0.
• ¬n4 ¬P4 + k4 = 0.
• ¬n5 ¬P5 + k5 = 0.

Como es imposible que cuatro ecuaciones sean linealmente independientes en un espacio 4-D, al menos una de ellas siempre será linealmente dependiente de las otra 4. Si solo una lo es, convergerán en un punto. Si lo son dos, se cortarán en el propio punto en movimiento.

Superficies Evolutivas:

Acabamos de definir el el plano en m.r.u. como una función de los parámetros (x, y, z, t) igualada a “0″, pero la forma que adopta su ecuación no es más que un caso particular que la de este tipo de superficie cuando se mueve en m.r.u. Así pues, podemos generalizar la ecuación implícita dependiente de cuatro parámetros como la que define siempre algún tipo de superficie variando en el tiempo, es decir, evolucionando, de modo que toda superficie en movimiento “σ” se podrá definir como:

• σ(x, y, z, t) = 0.

Un plano con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) tomaría la forma:

• ¬n ¬P + (t + c)^2 = 0.

, donde “c” representa cualquier escalar constante.

Curvas Evolutivas:

Del mismo modo que la intersección de dos planos en m.r.u. engendraba una recta en m.r.u, la intersección de dos superficies evolutivas definirá una curva evolutiva “Φ”, definida con las ecuaciones de las mismas:

• σ1(x, y, z, t) = 0.
• σ2(x, y, z, t) = 0.

Veremos ejemplos de esto en otra ocasión.

Superficies Evolutivas de Revolución:

.-Revolución de Primer Orden:

Decimos que una superficie evolutiva consta de una revolución de primer orden si dos de sus parámetros distintos de “t”, como por ejemplo “x” e “y”, cumplen:

• (x – x0)^2 + (y – y0)^2 = R^2.

para algún valor de “x0″, “y0″ y “R”, es decir, si sobre que el plano que forman sus ejes la superficie siempre toma la forma de circunferencias.

.-Revolución de Segundo Orden:

Diremos, en analogía con lo anterior, que una superficie evolutiva consta de una revolución de segundo orden si siempre se cumple:

• (x – x0)^2 + (y – y0)^2 + (z – zo)^2 = R^2.

para algún valor de “x0″, “y0″, “z0″ y “R”, o dicho de otro modo, si posee forma esférica en todos los instantes de tiempo.

Superficies Evolutivas Cilíndricas:

Decimos que una superficie evolutiva “σ” es cilíndrica si, dada una curva evolutiva “Φ”, definimos una dirección vectorial “¬v” y la aplicamos sobre todos y cada uno de sus puntos. Por ejemplo, si a la esfera:

• x^2 + y^2 + z^2 = 0.
• t = 0.

le obligamos a seguir “λ” veces el vector:

• ¬v = (1, 1, 1, 1).

, nos estamos cargando la segunda ecuación de nuestra figura, que fijaba el tiempo, y pasa a ser una esfera en m.r.u., es decir, una superficie evolutiva con cualidades cilíndricas.

Todas las figuras (superficies, curvas, puntos) en m.r.u. son cilíndricas.

Superficies Evolutivas Cónicas:

Dada una curva evolutiva “Φ” y un punto “¬P” perteneciente o no a la misma. Definimos como superficie evolutiva cónica al conjunto de puntos “¬Q” que cumplen, para algún valor de “λ” y algún punto “¬O” de “Φ”:

• ¬P + λ (¬O – ¬P) = ¬Q.

Tomemos como ejemplo:

• ¬P = (0, 0, 0, 0).

Φ:

• x^2 + y^2 + z^2 = R^2.
• t = 0.

al origen de coordenadas y una esfera estacionaria que lo tenga por centro. Si pensamos en todos los puntos que están alineados con el origen pasando por nuestra esfera obtenemos todo el espacio:

• t = 0.

De modo que, en cierto modo, los espacios delimitados por un valor concreto de cualquiera de las componentes son superficies evolutivas cónicas.

Estudio General de las Cuádricas Evolutivas:

De modo análogo a como acontecía en R^2 y en R^3, todas las curvas cuádricas evolutivas estarán definidas por ecuaciones del estilo:

• a1 x^2 + a2 y^2 + a3 z^2 + a4 t^2 + b12 z t + b13 y t + b14 y z + b23 x t + b24 x z + b34 x y + c1 x + c2 y + c3 z + c4 t + d = 0.

Matricialmente:

• Pt M P = 0.

, donde “t” representa matriz traspuesta, y:

• P = [1; x; y; z; t].
• M = [d, c1, c2, c3, c4; c1, a1, b34, b24, b23; c2, b34, a2, b14, b13; c3, b24, b14, a3, b12; c4, b23, b13, b12, a4].

En general, siempre exigiremos que, para que la ecuación ciertamente represente una cuádrica evolutiva, cumpla:

• detM ≠ 0.

Una vez sepamos esto, definimos la matriz de términos cuadráticos:

• A = [a1, b34, b24, b23; b34, a2, b14, b13; b24, b14, a3, b12; b23, b13, b12, a4].

Y calculamos sus cuatro autovalores “λ1″, “λ2″, “λ3″, “λ4″, de los cuales a lo sumo uno de ellos será nulo. En caso de que ninguno de ellos lo sea, tal y como pasaba en anteriores dimensiones, nos encontramos ante una cuádrica evolutiva de ecuación:

• λ1 x^2 + λ2 y^2 + λ3 z^2 + λ4 t^2 + detM / detA = 0.

En caso de que uno de ellos lo sea, pongamos por ejemplo “λ4″, nos resulta:

• λ1 x^2 + λ2 y^2 + λ3 z^2 + 2 [- detM / (λ1 λ2 λ3)]^1/2 z = 0.

Pero estas cuádricas son genéricas para un espacio extrañamente simétrico de 4-D. Nosotros queremos que la cuarta dimensión sea el tiempo para darle sentido físico, de modo que, para las anteriores ecuaciones, no solo será interesante saber dónde está ubicado el tiempo, sino que además habrá que analizar su signo. Veamos los 18 casos posibles.

En las próximas explicaciones, despreciaremos la posible existencia de términos constantes innecesarios que, si bien nos proporcionarían más generalidad, oscurecerían la visión de las figuras descritas, que es el verdadero objetivo. Consecuentemente, todas las figuras poseerán algún grado de revolución.

Elipsoide Evolutivo Creciente:

• x^2 + y^2 + z^2 = t.

Dada su revolución de 2º grado, estamos ante una esfera cuyo radio aumenta de la forma:

• R = t^1/2.

Así pues, obtenemos una representación de cómo el origen de coordenadas se va dilatando esféricamente hasta el infinito.

Elipsoide Evolutivo Decreciente:

• x^2 + y^2 + z^2 = – t.

En esta ocasión, el elipsoide solo está definido para valores negativos del tiempo, es decir, precedentes al origen. Nos encontramos ante el caso opuesto al de antes: una esfera infinita se comprime hasta ser un punto, el origen de coordenadas.

Elipsoide Evolutivo Cóncavo:

• x^2 + y^2 + z^2 + t^2 = 1.

Dada su forma, podemos introducir el concepto de revolución de 3er grado. Si escribimos esto de un modo más claro:

• x^2 + y^2 + z^2 = 1 – t^2.

, apreciamos que el radio de nuestra esfera se comprime con el valor absoluto del tiempo, de modo que alcanza un radio máximo en el tiempo inicial. Nos encontramos ante el origen de coordenadas, que en:

• t = – 1.

comenzó a dilatarse esféricamente, alcanzando un radio:

• R = 1.

en el instante:

• t = 0.

para volver a su condición de punto en el instante:

• t = 1.

Elipsoide Evolutivo Convexo:

• x^2 + y^2 + z^2 – t^2 = 1.

De un modo más claro:

• x^2 + y^2 + z^2 = 1 + t^2.

Estamos ante una esfera de radio infinito en sus orígenes, que en el instante:

• t = 0.

se ha comprimido a una esfera:

• x^2 + y^2 + z^2 = 1.

, para posteriormente se ha vuelto a dilatar hasta alcanzar de nuevo un radio infinito.

Elipsoide Evolutivo Imaginario:

• x^2 + y^2 + z^2 + t^2 = – 1.

La suma de números cuadrados nunca puede ser negativa, por lo que esta ecuación no toma valores reales.

Elipsoide Evolutivo Fraccionado.

• x^2 + y^2 + z^2 – t^2 = – 1.

Reordenando:

• x^2 + y^2 + z^2 =  t^2 – 1.

De nuevo estamos ante una esfera de radio infinito que se contrae y se vuelve a expandir, pero en esta ocasión en los instantes:

• t = – 1.
• t = 1.

se cumple que:

• R = 0.

, de modo que en el intervalo (-1, 1) no está definida. La consideramos fraccionada por este periodo de tiempo en el que su radio se contrae más de lo físicamente posible, haciéndola desaparecer hasta que crece de nuevo.

Hiperboloide Evolutivo de 2 Hojas:

• x^2 + y^2 + t^2 – z^2 = – 1.

Expresado de otro modo:

• x^2 + y^2 – z^2 = – 1 – t^2.

Dado que la parte derecha de la ecuación es negativa, el hiperboloide siempre será de 2 hojas, y comienza y acaba en su forma límite, que es formando dos planos infinitos en la base y en el techo del espacio 3-D. Por el medio del tiempo se va aproximando a su forma más conocida, achatándose y tendiendo a un cono hasta:

• t = 0.

, para después crecer de nuevo y retomar su forma original.

Hiperboloide Evolutivo de 1 Hoja:

• x^2 + y^2 – z^2 – t^2 = 1.

O dicho de otro modo:

• x^2 + y^2 – z^2 = 1 + t^2.

Como la parte derecha siempre es positiva, siempre estaremos ante un hiperboloide de 1 hoja, que comienza siendo un cilindro de radio infinito, para después achatarse por el centro, tendiendo a formar un cono hasta:

• t = o.

, momento en el que vuelve a expandirse.

Hiperboloide Evolutivo Creciente:

• x^2 + y^2 – z^2 = t.

Observamos que, en un principio, a medida que “t” es negativo y se va aproximando al “0″, estamos ante un hiperboloide evolutivo de 2 hojas con una evolución más lineal. Sin embargo, en esta ocasión, cuando:

• t = 0.

llega a ser un cono, y no recupera su forma original, sino que el cono se transforma a en un hiperboloide evolutivo de 1 hoja que acabará siendo un cilindro de radio infinito.

Hiperboloide Evolutivo Decreciente:

• x^2 + y^2 – z^2 = – t.

Estamos ante el mismo caso que antes, solo que en esta ocasión comienza siendo un  hiperboloide evolutivo de 1 hoja y acaba siendo un 2 hojas.

Hiperboloide Evolutivo Centrado en 2 Hojas:

• x^2 + y^2 – z^2 – t^2 = -1.

También expresable como:

• x^2 + y^2 – z^2 = -1 + t^2.

En analogía con el hiperboloide evolutivo de 1 hoja, el término de la derecha es casi siempre positivo, y por tanto podemos compararlos, con la particularidad de que esta vez en los valores:

• t = – 1.
• t = 1.

llega a ser un cono, y en el intervalo (-1, 1) es un 2 hojas que se infla un poco para deshacerse de nuevo y dar lugar al 1 hoja original.

Hiperboloide Evolutivo Centrado en 1 Hoja:

• x^2 + y^2 + t^2 – z^2 = 1.

Enunciable mejor como:

• x^2 + y^2 – z^2 = 1 – t^2.

Comparándolo con el anterior, el término de la derecha es casi siempre evolutivo, y podemos asumir que se comporta exactamente igual cambiando en todo momento “2 hojas” por “1 hoja” y viceversa.

Paraboloide Evolutivo Elíptico Creciente 1:

• x^2 + y^2 + t^2 = z.

De un modo más claro:

• x^2 + y^2 = z – t^2.

El paraboloide solo está definido para valores positivos del miembro derecho de la ecuación, por lo que a medida que aumenta el valor absoluto del tiempo el vértice del paraboloide se eleva a:

• z = t^2.

Paraboloide Evolutivo Elíptico Decreciente 1:

• x^2 + y^2 + t^2 = – z.

Enunciable como:

• x^2 + y^2 = – z – t^2.

Debido a que el segundo miembro siempre tiene que ser positivo para que esté definido, el vértice del paraboloide se encontrará en todo momento en:

• z = – t^2.

, e irá descendiendo o ascendiendo acorde con ello. Este paraboloide está curvado hacia abajo, mientras que el anterior lo estaba hacia arriba.

Paraboloide Evolutivo Elíptico Creciente 2:

• x^2 + y^2 – t^2 = z.

Operando:

• x^2 + y^2 = z + t^2.

El vértice de este paraboloide estará ubicado en:

• z = – t^2.

, ascendiendo.

Paraboloide Evolutivo Elíptico Decreciente 2:

• x^2 + y^2 – t^2 =  – z.

Haciendo el cambio pertinente:

• x^2 + y^2 =  – z + t^2.

Tenemos el vértice ubicado en:

• z = t^2.

, descendiendo.

Paraboloide Evolutivo Hiperbólico Creciente:

• x^2 + t^2 – y^2 = z.

El punto de silla de la figura se encuentra en:

• z = t^2.

, ascendiendo con el valor absoluto del tiempo.

Paraboloide Evolutivo Hiperbólico Decreciente:

• x^2 + t^2 – y^2 = – z.

Tenemos un punto de silla descendiente en:

• z = – t^2.

Astronomía (5): Estrellas, Enanas Blancas, Pulsares, Agujeros Negros, Supernovas, Luminosidad, Diagramas HR, Cúmulos.

Las estrellas son grandes acumulaciones de gas sometido a fuertes reacciones nucleares. Entre sus propiedades se encuentra la de emitir radiación en forma de luz y calor, así como generar potentes campos gravitatorios capaces de poner a orbitar planetas a su alrededor.

El índice de luminosidad de una estrella se mide a través de la ecuación:

• L = 4 π σ r^2 T^4.

, donde “L” representa la luminosidad, “σ” una constante universal asociada a la luminosidad del Sol, “r” el radio de la estrella, y “T” la temperatura de la misma. Despejando, podemos calcular el radio:

• r = [L / (4 π σ T^4)]^1/2.

A la hora de analizar estrellas es interesante tratar con los Diagramas HR, que representan las tres variables anteriores, clasificando las estrellas según las mismas.

Para entenderlos un poco mejor, tal vez será necesario recordar brevemente la ecuación de Planck y el espectro luminoso.

La velocidad de la luz, “c”, era igual a 300000 km/s en el vacío, y la velocidad del haz de luz se define como:

• c = λ ν.

, donde “λ” es la longitud de onda y “ν” es la frecuencia, cuyo producto debe ser constante, por lo que son inversamente proporcionales. Asimismo, la ecuación de Planck nos decía que la energía de la onda era proporcional a la frecuencia a través de la constante “h”:

• E = h ν.

Además, el color con el que apreciamos el haz lumínico depende de su energía, siendo, en orden ascendente de energía: negros, infrarrojos, rojos, anaranjados, amarillos, verdes, azules, añiles, violeta, ultravioleta… De todo esto concluimos que las estrellas a mayor temperatura son más propensas al color violeta, apróximándose más al tono rojizo cuanta menor sea su energía. Además, no debemos olvidar que por causa del Efecto Doppler, todas las estrellas tienden al color rojo en su apariencia, pues al alejarse disminuyen la frecuencia de onda aparente.

En el diagrama HR adjunto, la temperatura está representada de mayor a menor en el eje horizontal (grados Kelvin), mientras que la luminosidad está representada en el eje vertical de menor a mayor (Unidades Solares). El radio de las estrellas está representado en las líneas trasversales que cruzan el diagrama, medido tomando el Radio Solar como unidad.

La esperanza de vida de una estrella, también anotada en algunos tramos, es una estimación en base a las características físicas de la misma.  Cuanta más masa tiene una estrella, mayor es su velocidad de combustión, y menor será su esperanza de vida, pues no le llevará mucho, relativamente, consumirse. Si tomamos la masa solar:

• S = 2 x 10^30 kg.

, como sistema de referencia, obtenemos las siguiente tabla:

• 1 S = 7000000000 años.
• 3 S = 200000000 años.
• 7 S = 65000000 años.
• 15 S = 10000000 años.

El Sol, que evidentemente está incluido en la primera categoría, aún está en la primera etapa de su vida, pues todavía está ganando temperatura y luminosidad. Una Vez alcance su temperatura máxima, su radio disminuirá, y con él su luminosidad, perdiendo posteriormente temperatura para acabar volviéndose una Enana Blanca.

¿Pero cómo saber en qué se convertirá cada estrella al extinguirse? Pues esto depende fundamentalmente de su radio y su masa.

Si la estrella es muy pequeña y tiene muy poca masa se convertirá en una Enana Blanca, de luminosidad, temperatura e interacción gravitatoria medias. Para llegar a esta fase la anterior estrella se desprende de su corteza.

Si tiene algo más de masa se convertirá en un Pulsar a través del mismo poceso. Los pulsares tienen la peculiaridad de estar compuestos de partículas quasi-elementales, por lo que se las conoce como estrellas de neutrones. El nombre de pulsar deriva de la señal o pulso que emiten sobre los detectores cada vez que uno de sus haces lumínicos incide directamente sobre nosotros.

Si la densidad de una estrella es lo suficientemente grande, ésta se convertira en un Agujero Negro, siempre que se cumpla la condición:

• c ≥ [2 G M / r]^1/2.

, es decir, que la raíz cuadrada del cociente “2 G M / r” sea igual o mayor que la velocidad de la luz, siendo “G” la constante de gravitación universal, “M” la masa de la estrella, y “r” el radio de la estrella.

Si la estrella es lo suficientemente grande, se convertirá en una Supernova y desprenderá grandes cantidades de energía.

Las estrellas acostumbran a encontrarse formando grupos más o menos grandes en los que todas ellas interaccionan gravitatoriamente con una gran dependencia, por lo que no se puede estudiar su movimiento por separado.

De entre todas las estrellas que observamos, el 80% de ellas son estrellas dobles, es decir, un sistema de al menos dos astros. Asimismo, el 24% son ternas de estrellas, y el 7,2% son cuaternas.

Con respecto a las agrupaciones de grandes cantidades de estrellas en el cielo, encontramos cúmulos abiertos si están más o menos dispersas, y cúmulos globulares si todas ellas se acumulan en torno a un punto, que será el centro de masas del sistema.

Las galaxias, por su parte, las clasificamos según otro criterio más adaptado. Serán elípticas si su forma se asemeja a la de una elipse, como las órbitas planetarias, y espirales si las estrellas forman curvas que convergen en círculo al núcleo galáctico.

Código en Lenguaje de Programación C de un Programa que calcule tu Edad en Otros Planetas con las Ecuaciones.

Dados los diferentes periodos de rotación y traslación de los distintos planetas la duración de los años y los días en cada uno de ellos son dispares. Calcula con este programa compilable con programas como “Dev c++” tu edad en cada uno de ellos. Las ecuaciones van incluidas en el código, siendo “a” los años de vida, y siendo “b” los días.

int main(int argc, char *argv[]){
int opcion;
float a,b;
do{
printf(“\n1.Calcular tu edad en los otros planetas\n2.Salir\n”);
scanf(“%d”,&opcion);
if(opcion==1){
printf(“\nIntroduce tus dias terrestres de vida\n”);
scanf(“%f”,&b);
a=b/365.75;
printf(“\nEn Mercurio tienes %f años”,4.16*a);
printf(“\nEn Mercurio tienes %f dias”,0.017*b);
printf(“\nEn Venus tienes %f años”,1.62*a);
printf(“\nEn Venus tienes %f dias”,0.0041*b);
printf(“\nEn Marte tienes %f años”,0.53*a);
printf(“\nEn Marte tienes %f dias”,0.97*b);
printf(“\nEn Jupiter tienes %f años”,0.084*a);
printf(“\nEn Jupiter tienes %f dias”,2.44*b);
printf(“\nEn Saturno tienes %f años”,0.034*a);
printf(“\nEn Saturno tienes %f dias”,2.22*b);
printf(“\nEn Urano tienes %f años”,0.012*a);
printf(“\nEn Urano tienes %f dias”,1.39*b);
printf(“\nEn Neptuno tienes %f años”,0.0059*a);
printf(“\nEn Neptuno tienes %f dias”,1.49*b);
}
}
while(opcion!=2);
system(“PAUSE”);
return 0;
}

Astronomía (3): Historia de la Mecánica Celeste y Relojes Solares.

Dado que de la mayoría de los temas que me han presentado hoy ya han aparecido por este blog, voy a pasar de los repetidos y centrarme en las cosas nuevas de la conferencia de astronomía de hoy.

Tras una presentación sobre la historia de la mecánica celeste, de la cual ya hablé en el enlace de arriba, los datos nuevos e interesantes que tengo que añadir son el modelo cosmológico de Tycho Brahe y las elementos keplerianos para determinar la órbita seguida por un astro, que son perfectamente calculables a partir tan solo de tres observaciones del mismo (aplicando después las leyes de geometría elemental, Kepler y Newton).

El modelo de Brahe, que debemos ubicar entre el de Copérnico y el de Kepler (fue tutor del segundo) tenía la pecualiaridad de seguir siendo Geocéntrico, pese a las anteriores aportaciones de Copérnico. Según Brahe, La Tierra era el centro del Universo, y en torno a ella giraban la Luna y el Sol, girando todos los demás planetas en torno al Sol, con órbitas lo suficientemente grandes o pequeñas como para no chocar nunca con La Tierra. Este modelo, pese a lo rebuscado que pueda parecer, tenía bastante lógica, pues respetaba el Geocéntrico y además concordaba con las observaciones del movimiento de los otros planetas en el firmamento. Sin embargo, tal vez hubiese sido demasiado evidente que si La Tierra también es un planeta debería de girar también en torno al Sol.

Una vez estuvo instaurado el modelo Heliocéntrico y las mencionadas leyes de Kepler y Newton, llegaron los elementos keplerianos de las órbitas, llamados asi en honor a Kepler.

Para comprenderlos mejor, primero asegurémonos de que sabemos bien lo que es una elipse tanto teórica como matemáticamente, y para ello partiremos del círculo.

El círculo tiene infinitos ejes de simetría, como todos sabemos, y es por eso que siempre podremos escoger dos de estos ejes que sean perpendiculares para considerarlos nuestros ejes de coordenadas en 2D. Respecto a estos ejes aparecen cuatro fragmentos de círculo que tendrán la misma forma, y por tanto la misma superficie. Dado que si tomamos dos ejes y analizamos el fragmento del eje “x>0″ y del “eje y>0″ observaremos que la longitud de ambos semiejes es el radio del círculo, y que a medida que avanzamos en uno decrecemos la componente en el otro. Es decir, tienen una relación inversa, que se expresa mediante la siguiente suma:

• x^2 + y^2 = r^2.

El cuadrado del radio del círculo será siempre igual a la suma de los cuadrados de las componentes del punto referentes a nuestro sistema. Así pues, si avanzamos “r” en el eje “x”, observamos que “y” tiene que valer “0″, como efectivamente hace.

Ahora bien, en la elipse ambos ejes se pueden prolongar, y no necesariamesme en la misma proporción, lo que acaba con la simetría infinita y nuestros ejes serán ya los únicos ejes de simetría. Al más grande lo denominamos eje mayor, y al más pequeño lo denominamos eje menor. Si “a” y “b” son los incrementos observados en dichos ejes, la nueva ecuación será:

• a x^2 + b y^2 = r^2.

, donde “r” pasa a ser una simple constante, pues al no ser circular ya no podemos hablar de radio. El punto donde se cortan los dos ejes sigue siendo el centro de la elipse, y si analizamos los ejes desde el obtenemos dos semiejes mayores y dos semiejes menores tras dividir los grandes a la mitad en este punto. Si desde cada uno de los extremos del eje menor tomamos la distancia de uno de los semiejes mayores y la llevamos sobre ambos formando un triángulo, obtenemos dos puntos sobre el eje mayor llamados focos, que por construcción cumplen la propiedad de que si a cualquier punto en la elipse se le calculan las distancias a ambos los focos y se suman, el resultado es la longitud del eje mayor.

En conclusión, podemos construir cualquier elipse conociendo al menos dos de los elementos anteriores, pues solo hemos necesitado dos datos (los ejes) para construirla entera. Sabiendo estos detalles, ya podemos comprender mejor los elementos keplerianos.

Supongamos que nosotros, desde La Tierra, queremos calcular la elipse de traslación de otro astro en el cielo, conociendo la posición del astro en torno al cual gira. Para mayor comodidad supondremos que estamos calculando la elipse de Marte en torno al Sol.

El primer dato necesario será la Longitud del Nodo Ascendente. Imaginemonos La Tierra rotando en torno al Sol sobre una elipse contenida en un plano (como siempre), donde el Sol es uno de los focos. Al estar el Sol en un foco, asumimos que si trazamos una paralela al eje menor sobre él cortaremos a la elipse en dos secciones, siendo una mucho mayor que la otra. En lo referente a los puntos de corte, uno será el que lleve a La Tierra a la parte grande de la elipse, y el otro el que la lleve a la parte pequeña (teniendo en cuenta su sentido de traslación). El punto que la lleva a la parte grande podemos definirlo como el Nodo Ascendente o Punto de Aries, y al otro el Nodo Desdendente o Punto de Libra. Recordemos el símbolo “γ” como el Punto de Aries de de La Tierra. Consideremos ahora el plano de traslación de Marte “p1″, dentro del cual también podremos calcular el Punto de Aries marciano, al que denominaremos “Ω”. Si ahora consideramos los puntos del Sol, “γ”, “Ω”, sabiendo que son tres determinan un plano, al que llamaremos plano “p2″. Dentro de este plano, si desde el Sol trazamos dos vectores, uno que lo una con “γ”, y otro que lo una con “Ω”, el menor ángulo que formen los vectores será conocido como el ángulo “Ω” también, y será nuestro medio de trasladar cuentas desde “γ” en nuestra órbita hasta “Ψ” en la órbita de Marte, medida en radianes. La Longitud del Nodo Ascendente será la distancia del Sol al punto “Ω”.

El segundo elemento, la Inclinación, no es más que el menor de los ángulos de intersección del plano “p1″ de Marte con el plano “p2″ antes mencionado.

Si consideramos el vector que une el Sol con el Perihelio de Marte (punto más próximo al Sol en órbita) y trazamos su ángulo desde el vector que unía al Sol con el Punto de Aries “Ω”, siguiendo el sentido de la ruta del planeta, obtenemos el ángulo “ω”, que será nuestro tercer elemento, el Argumento del Perihelio.

Dado que la órbita marciana, como todas, será una elipse, otro elemento será evidentemente el Semieje Mayor, aunque el eje mayor entero, por motivos más que evidentes, también valdrá.

El quinto elemento, la Excentricidad, mide el grado de desnivel entre los ejes de la elipse. Si retomamos la ecuación de la elipse mencionada anteriormente:

• a x^2 + b y^2 = r^2.

, el Excentricidad mediría la relación entre los coeficientes “a” y “b”.

Por último, la Anomalía Media de la Época es la que hace referencia a la dinámica del planeta: grados recorridos en torno al Sol, arco desplazado…

En lo referente a los relojes solares se ha tratado la problemática de que según la región en la que se vaya a usar su orientación y sus elementos deben adaptarse a la incidendia de la radiación lumínica, ya que si usamos el mismo reloj solar en el ecuador o en el polo obtendremos resultados dispares.

Así pues, podemos sacar algunos datos a tener siempre en cuenta a la hora de hacer un reloj solar, que son la latitud del punto donde se va a implantar, esto es, su grado de inclinación con respecto al ecuador, y la estación del año, pues el mismo reloj dilataría las horas en verano y las comprimiría en invierno, según el tiempo de Sol diario.

Orientarse con sombras era un buen método de cronometrar en la antigüedad, pero hoy en día los relojes solares ya no son realmente útiles a no ser que alguien esté perdido, puesto que tienen el gran problema de que no aportan información alguna por la noche.

Astronomía (2): Planetas y Eclipses.

A día de hoy los planetas de nuestro Sistema Solar son ocho, y como ya deberíamos saber todos ellos giran en torno al Sol siguiendo órbitas elípticas, tal como propone la 1ª Ley de Kepler. Haremos pues en esta entrada un estudio más o menos detallado de los mismos, si bien no trataremos nada revelador.

El más próximo al Sol es Mercurio, y es uno de los denominados planetas rocosos, ya que al estar más próximo al Sol se encuentra a más altas temperaturas y sus materiales tienden a encontrarse en estado sólido. Ésto dificulta la existencia de una atmósfera que, pese a todo ello, existe, si bien con elementos dispares a los de la atmósfera terrestre.  Además, en el momento de su recorrido en que la velocidad de traslación supera a la de rotación se aprecia desde su superficie un retroceso del Sol en el cielo.

Venus, el segundo planeta del Sistema Solar, pese a estar más lejos del Sol que Mercurio, posee una mayor temperatura atmosférica (por encima de los 400ºC), y que su atmósfera tiene altos contenidos de C O2 (dióxido de carbono), que es el principal responsable del efecto invernadero en el planeta. Cuando la radiación solar penetra la atmósfera venusiana, el C O2 absorbe el calor y no lo deja escapar, apareciendo así las mencionadas temperaturas y presiones de hasta 90 Pa. Las altas temperaturas son, además, buenas reflexoras de radiación lumínica, y es por eso que Venus es, junto a la Luna y el Sol, el tercer cuerpo celeste que se puede ver de día, generalmente al amanecer o al ocaso, siendo conocido como el Lucero del Alba. Como curiosidad fisica podemos destacar que su periodo de rotación es mayor que su periodo de traslación, lo que tiene como consecuencia que sus “días” duran más que sus “años”.

Llegamos ahora a La Tierra, que tiene la peculiaridad de ser aparentemente el único planeta que posee vida, gracias a su atmósfera de propiedades tales como una composición justa en C O2 que mantiene la temperatura sin elevarla demasiado, la conocida capa de O3 (ozono) que filtra la mayoría de raciaciones ultravioleta, protegiéndo a las células y al propio ADN de mutaciones cancerígenas extrañas. Asimismo, también favorecen la existencia de vida el radio medio de distancia al Sol en la orbita y el valor de la interacción gravitatoria, que es el justo para que no salgamos volando de la superficie ni tampoco nos quedemos pegados a ella (lo cual tendría repercusiones en nuestra estructura ósea). La existencia de La Tierra como tal, además ha planteado una repercusión filosófica, pues es tan poco probable que se de una situación para que aparezca la vida que algunas teorías como el Principio Antrópico aseguran que el azar tuvo que jugar intencionadamente a nuestro favor.

Marte, el Planeta Rojo, es el cuarto, y si bien a nivel material tiene menos propiedades en común con La Tierra que Venus, es el segundo planeta en el que la vida parece ser más factible, sobre todo por lo relacionado con la temperatura. Sin embargo, dada su tendencia a recibir impactos meteóricos una vida allí podría ser algo arriesgada. En lo referente a la historia de la física, Marte ha sido un importante elemento, pues gracias a él y a las extrañas trayectorias que seguía observado desde La Tierra el Modelo Geocéntrico fue desprestigiado con más éxito para dar paso al Modelo Heliocéntrico que tenemos hoy en día, además de servir para verificar la 1ª Ley de Kepler antes mencionada, entre otras.

Júpiter, por su parte, es el más grande de los planetas del Sistema Solar, y se puede describir como una gran acumulación de H2 (hidrógeno) y He (helio), en estado gaseoso los dos. Así pues, siendo un poco brutos, podemos decir que es como una estrella que no tiene fuerza para producir reacciones nucleares en su interior y se conforma con la categoría de planeta, pues al no producir energía, ni produce luz ni un campo gravitatorio considerable. Recordemos que la energía produce un campo gravitatotio al igual que la masa, pues ambas están relacionadas a través de la ecuación de Einstein E = m c^2. La observación de la corteza de Júpiter ha permitido observar un gran anticiclón en su corteza conocido como La Gran Mancha Roja, que no pasa desapercibida en ninguna toma del planeta. En lo referente a los satélites sabemos que Galileo le atribuyó cuatro, que podemos considerar los más importantes: Ío, Europa, Ganímedes y Calisto.

Saturno es el único planeta cuyo anillo de micropartículas orbitanto a su alrededor es visible por un telescopio. Es el segundo planeta más grande del Sistema Solar y, al igual que Júpiter, se estructura como una gran acumulacion de gas.

Urano, de composición física semejante a los dos anteriores, es uno de los planetas de los que menos sabemos, y del cual cabe destacar la peculiaridad de su aro azul. Es el tercer planeta más grande.

Neptuno, el último de los ocho planetas, es el único cuya existencia ha sido predicha matemáticamente antes de su observación. Al igual que Júpiter, posee una mancha, conocida como La Gran Mancha Negra, también debida a un anticiclón, pues los vientos en este planeta superan los 600 km/h.

En resumen podemos encontrar algunas generalidades en torno a las características de los planetas que giran en torno a una estrella, tales como que en general sus temperaturas disminuyen con la distancia a ésta, que los más próximos son rocosos, mientras que el resto son gaseosos, y que los gaseosos tienden a ser bastante más grandes, dada la naturaleza de los fluidos.

Hablemos ahora de los eclipses solares, que todos sabemos que se producen cuando la Luna se interpone entre La Tierra y el Sol en línea recta. Sin embargo, las características de estos tres astros hacen que a través de esta definición se den eclipses de varios tipos, y que además sean perdibidos de distintos modos en cada parte de La Tierra. Lo que a continuación sigue igual excede en contenidos matemático-geométricos a lo que se pudiese esperar de esta entrada. Si es así lo siento.

Reflexionemos en las condiciones que se tienen que dar para que un observador en el ecuador de La Tierra vea un eclipse total de Sol. En primer lugar tenemos que considerar el plano de traslación de La Tierra en torno al Sol, en el cual sabemos que se va a encontrar siempre. Además, tenemos que tener en cuenta que nuestro planeta tiene una inclinación de “α” grados con respecto a este plano, por lo que el Sol no lo veremos justo encima desde el ecuador, sino con una inclinación respecto a la vertical de “α” grados. Asimismo, la Luna también posee su propio plano de traslación respecto a La Tierra, que no es paralelo al de La Tierra con respecto al Sol, es decir, los planos de La Tierra y la Luna son secantes, y tienen un ángulo de corte de “β” grados. Dada la complejidad de los movimientos de rototraslación de ambos astros, podemos asumir que el valor “β” varía con el tiempo, y que además la recta de corte entre ambos planos gira constantemente.

Ya solo con estos datos, tenemos que asumir que para que nuestro observador aprecie un eclipse solar, debemos trazar una recta desde sus ojos hasta el Sol. Dicha recta tiene que ser cortada por el plano de traslación de la Luna entre el observador y el Sol, no en otra zona. Si ya la probabilidad de que se de esto es pequeña, hay que reducir sus posibilidades al tener en cuenta que la Luna tiene que estar en el tramo de su plano que corte a la recta mencionada, y que además dicha recta no puede atravesar a La Tierra entre el observador y el Sol, pues entonces para el observador sería de noche y seguro no apreciaría el eclipse (si la recta que une nuestros ojos con el Sol atraviesa La Tierra, el Sol nos queda al otro lado de esta y no lo vemos).

Dadas todas las conciciones mencionadas podemos asegurar que el observador en cuestión verá un eclipse solar. Podemos asegurar también que mientras nuestro observador está ante un eclipse, otro obervador para el cual sea de noche no lo verá de ningún modo. Pero la problemática no acaba aquí.

Sabiendo del pequeño volumen de la Luna en comparación con el del Sol, es poco pobable que lo oculte totalmente, y aquí es donde entran las perspectivas cónicas. Sabemos que, como observadores, cuanto más lejano se nos antoja un objeto, más pequeño lo vemos, y debido a esto, por ejemplo, vemos tan pequeñas las estrellas. Así pues, para que se de un eclipse total con respecto a un observador la Luna tiene que estar lo suficientemente cercana a éste como para poder ocultar al Sol (cuanto más lejos está más pequeña se ve y más difícil es que lo oculte). Podemos despreciar la variación de la perspectiva cónica en lo que al Sol se refiere, pues está tan lejos que más o menos se ve igual de grande desde el perihelio terrestre (punto de traslación en que la distancia al Sol es mínima, en Verano) y el afelio terrestre (punto de traslación en que la distancia al Sol es máxima, en Invierno).

En función de la proximidad de la Luna, mayor o menor será, pues, la superficie de la corteza terrestre donde se apreciará el eclipse, y esto supone, principalmente, que un eclipse solar afecta solo a una región de La Tierra, y no a todas en las que sea de día. Pero dado el movimiento de traslación de la Luna en torno a La Tierra y la propia rotación de la misma, podemos asegurar que la superficie eclipsada se desplaza, de modo que mientras dure el eclipse, no todas las zonas lo apreciarán al mismo tiempo.

Según la posición del observador diurno del eclipse, podemos hablar de un eclipse nulo si en su área no llega a ser visible, un eclipse total si está en el centro de la zona eclipsaa, y de un eclipse parcial en mayor o menor medida según la proximidad al centro de la zona eclipsada.

Con tantas cosas a tener en cuenta, resulta algo más evidente que no haya eclipses cada tan poco tiempo como podría parecer, y su aparición puede resultar un tanto aleatoria si no se estudia continuamente los movimientos de los tres astros que entran en juego.

¿Tierra Hueca? ¡Venga ya!

Esta entrada con un título tan peculiar se debe a que curioseando vídeos en youtube recientemente me he encontrado con algo parecido a una secta que asegura que La Tierra está hueca en su interior, donde se haya un Sol interno flotando en el vacío.

Las bases de esta teoría son básicamente las de toda religión: que nosotros, la gente de a pie, no podemos demostrar experimentalmente lo contrario.

Antes de desmentir casi por completo lo que aquí se dice os haré una pequeña introducción al asunto, si bien podéis documentaros mejor viendo cualquiera de los vídeos mencionados.

Básicamente, esta gente cuenta que a mediados del siglo XX el jefe de una expedición de los Estados Unidos en el Polo Norte se perdió y, en su travesía, llegó a un oasis caluroso, donde conoció a humanoides más evolucionados que nosotros. Dicho expedicionista había descendido en el polo por un gran cráter que llevaba al centro de La Tierra, ni más ni menos. Bueno, relativamente, porque parece ser que estos humanoides le explicaron que si seguía descendiendollegaría a un agujero que atravesaría nuestro planeta por su eje de rotación, en el centro del cual se hayaba un Sol interno (hablemos de estrella interna para ser mínimamente tecnicos). Cuando este expedicionista volvió a los Estados Unidos, de nuevo según esta secta, el gobierno le silenció, aunque a alguien se lo debió de contar. Podemos hablar de este personaje como el precursor de esta “religión”, tal y como Jesús promovió el cristianismo y Mahoma la religión musulmana.

Vamos ahora con la explicación técnica de esta teoría, que es donde más se nota que quienes la promueven no aprendieron nada sobre lógica en su vida.

En primer lugar, aseguran que La Tierra está hueca y que hay agujeros en los polos que van a dar a este inmenso vacío. Si no los hemos visto hasta ahora, se supone, es porque los gobiernos modifican las imágenes de satélite (claro, también es mentira que Neil Amstrong llegó a la Luna). Y, por si no lo sabéis, no se hacen líneas aéreas sobre esa zona para que nadie vea el agujero. Estad seguros de que si nadie vuela por allí no se debe ni a las bajas temperaturas ni a los fuertes campos electromagnéticos que guían a las brújulas. En fin…

La primera consecuencia lógica de esta afirmación es que todo el aire del planeta, al tener una vía libre de acceso a su interior, sería atraído gravitatoriamente hacia el mismo y, además, sería poco probable que pudiese escapar del interior del planeta para permitirnos respirar. Al fin y al cabo, el espacio lo comprimiría más hacia el núcleo, aumentando su presión a grandes valores en los que por varias reacciones nucleares estaría compuesto básicamente de hidrógeno y helio, y pasaría a formar parte de la estrella interior mencionada. El campo gravitatorio se dilataría y el cataclismo sería bastante probable.

En segundo lugar, aseguran que la corteza terrestre tiene una profundidad de 800 millas (1287,475 m) en toda la superficie, reduciendose ésta de un modo lineal en los polos. Ésto deja un espacio vacio interior de nada menos que 1082040576000 km^3 repleto de aire concentrado. Todo este aire ejerciendo presión sobre la corteza terrestre la fragmentaría en muy poco tiempo.

En tercer lugar, y éste es el fallo más grande, dicen que ya que la corteza tiene 800 millas de profundidad, su centro de gravedad está a 400 millas. La aberración ya no es solo física, sino matemática. Es cierto que en una varilla de 800 millas de longitud y densidad constante el centro de gravedad de encuentra en la mitad, a 400 millas de los extremos, pero en este caso estamos hablando de una esfera, y a parte, el centro de gravedad es un punto, como su propio nombre indica, y en la imagen se puede apreciar que lo tratan como una superficie. Al ser un punto, no puedes decir que está a tantas millas de profundidad, además tendrías que especificar escarbando por dónde. Independientemente de esto, el dentro de gravedad de cualquier figura tridimensional con tres o más ejes de simetría se encuentra en el punto de corte de todos ellos, siendo en este caso el propio centro de La Tierra como siempre, independientemente de que haya una estrella interna o no, pues el centro de gravedad de un sistema de partículas no tiene que estar ubicado sobre una de ellas.

Queriendo ser generoso con la teoría, podría suponer que lo que quisieron decir es que, suponiendo una semirecta desde el centro de la tierra a la superficie, despreciando la estrella interna que ellos mismos han metido ahí y el gas antes mencionado, en la parte de la semirecta que pasa por la corteza el valor medio de la gravedad estaría en el centro de la misma. Si aplicamos ésto a las infinitas semirectas que parten del núcleo, obtenemos una superficie equiescalar uniendo los puntos de gravedad media de las mismas, que sería como una esfera encerrada dentro de la corteza, hueca también en los polos.

Pero aún así, suponiendo que se querían referir a eso, llegamos a un error de cálculo, pues en una esfera hueca maciza la masa no aumenta en la corteza proporcionalmente al radio, sino con el cubo de este, por lo que dicha superficie equiescalar media estaría más próxima a la superficie que a 400 millas.

En resumen, espero que esto sirva de algo si me lee alguien que se haya creido todo eso. Esto no es ciencia. Mucho cuidado con las burradas que se ven en internet.

Física General (14): Primer Principio de la Termodinámica: Trabajo Termodinámico, Trabajo Adiabático, Energía Interna, Concepto de Calor, Capacidad Calorífica, Calor Específico, Entalpía.

Trabajo Termodinámico. Aplicación a un Sistema Expansivo:

El trabajo termodinámico se define como la energía que se transfiere entre un sistema y su entorno cuando entre ambos se ejerce una fuerza. Numéricamente, el trabajo infinitesimal “d‾W” que realiza una fuerza “F” al sufrir su punto de aplicación un desplazamiento “dr” viene dado por la expresión:

• d‾W = F dr.

, siendo por lo tanto una magnitud escalar. El trabajo total en un desplazamiento finito del punto de aplicación de la fuerza se obtiene por integración de la expresión anterior:

• W = F Δr.

, para lo cual es necesario conocer la relación entre “F” y “dr” si la fuerza no es constante.

Si un sistema en conjunto ejerce una fuerza sobre o por el medio que lo rodea y tiene lugar un desplazamiento del punto de aplicación de aquélla, el trabajo realizado por o sobre el sistema se denomina trabajo externo. Si el trabajo se realiza por una parte sobre otra se denomina trabajo interno. En Termodinámica el trabajo interno no tiene interés y sólo importa el trabajo externo, que supone una interacción entre un sistema y su medio exterior.

En las interacciones experimentadas por los sitemas termodinámicos, éstos pueden recibir o ceder energía, y puesto que si el sistema la recibe se debe a que la está cediendo el medio, o viceversa, es necesario establecer un criterio de signos que nos permita interpretar los resultados que se obtengan. Así, la IUPAC (acrónimo en inglés de la Unión Internacional de Química Pura y Aplicada) recomienda en 1970 que se considere el mismo criterio que en Mecánica. Esto quiere decir que si la fuerza es realizada por el medio exterior sobre el sistema y el desplazamiento tiene su mismo sentido, es el sistema el que incrementa su energía y, en consecuencia, se dice que se ha realizado un trabajo sobre el sistema y se considera trabajo positivo. Por el contrario, si el trabajo es realizado por el sistema sobre el medio exterior y el desplazamiento tiene su mismo sentido, disminuye la energía del sistema y se considera trabajo negativo.

La definición termodinámica de trabajo es más amplia que la definición mecánica en los términos indicados por la anterior ecuación. Por ejemplo, el flujo de corriente eléctrica a través de la frontera de un sistema se considera trabajo en Termodinámica.

Cuando un sistema termodinámico experimenta un proceso, el trabajo que se realiza está siempre asociado a una fuerza. Sin embargo, en Termodinámica es más conveniente expresar el trabajo en función de las variables de estado del sistema, y éstas serán distintas dependiendo del sistema concreto que estemos estudiando, por lo que puede resultar difícil reconocer en ese intercambio de energía una interacción en forma de trabajo. En éstos casos suele ser útil la definición clásica de trabajo termodinámico, dada por Poincaré, que dice que “el trabajo es una interacción entre un sistema y sus alrededores, y lo realiza el sistema si el único efecto externo a las fronteras del sistema puede consistir en la elevación de un peso”.

Sin embargo, vamos a limitar nuestro estudio a lo que se denomina sistema hidrostático o expansivo, que es cualquier sistema de masa constante que ejerce sobre el medio que lo rodea una presión hidrostática uniforme, en ausencia de efectos de superficie y de la acción de campos gravitatorio y electromagnético, es decir, en un sistema expansivo el trabajo se debe únicamente a un cambio de volumen.

Consideremos un sistema termodinámico de forma arbitraria y volumen “V”, sobre el que actúa el medio exterior ejerciendo fuerzas debidas a una presión hidrostática “pe”, que supondremos uniforme. La fuerza que el medio exterior ejerce sobre un elemento de la superficie frontera “dS” viene dada por:

• dFe = – pe dS.

, en dónde el signo negativo se debe a que la fuerza de presión que el medio externo ejerce sobre el sistema está dirigida hacia el interior del sistema, mientras que el elemento de superficie está representado hacia el exterior, por ser la superficie frontera una superficie cerrada.

El trabajo elemental realizado por el medio será:

• d‾W = F dr = -pe dS dr.

, en donde el trabajo infinitésimal así expresado es una diferencial de tercer orden, y teniendo en cuenta que el producto escalar indicado en la última igualdad representa la variación infinitesimal de volumen “dV” del sistema globalmente, podemos escribir:

• d‾W = – pe dV.

Si el sistema disminuye su volumen (dV < 0) es debido a que recibe trabajo, y la anterior expresión conduce a dW > 0, lo que está de acuerdo con el criterio de signos adoptado. Por el contrario, si el sistema se expansiona (dV > 0), es el proprio sistema el que realiza trabajo sobre el medio, y de acuerdo una vez más a la ecuación, dW < 0, que también es acorde con el criterio de signos adoptado.

Para un proceso finito, cuando el volumen del sistema varía
desde un valor “Vi” hasta un valor “Vf”, la energía total intercambiada en forma de trabajo entre el sistema y sus entorno verndrá dada por:

• W = – ∫(pe) dV desde “Vi” hasta “Vf”.

Si el proceso de cambio de estado termodinámico del sistema tiene lugar de forma cuasiestática, es decir, transcurre como una sucesión infinita de estados de equilibrio, lo que implica que el sistema esté constantemente en equilibrio mecánico con el medio exterior, la presión externa “pe” debe ser prácticamente igual a la presión “p” ejercida por el sistema. Por lo tanto, para un proceso cuasiestático el trabajo vendrá dado por:

• d‾W = – pe dV.

, y para un proceso finito cuasiestático:

• W = – ∫(p) dV desde “Vi” hasta “Vf”.

Antes decontinuar, debemos indicar que las expresiones integradas representan un trabajo y no una cantidad de trabajo, pues si bien el trabajo tiene unidades de energía no representa un tipo específico de enrgía, sino una cantidad de energía transferida entre el sistema y su entorno a través de la superficie frontera del sistema. En las ecuaciones diferenciales se ha representado el trabajo en un proceso infinitesimal por “d‾” (a veces se denota también por δ), lo que nos indica que el trabajo no es una diferencial exacta de las variables de estado del sistema sino función de proceso, es decir, depende además del tipo de proceso seguido durante la transformación.

Para poder realizar las integrales es necesario conocer la funcionalidad entre la presión y el volumen durante el proceso, lo cual a su vez dependerá del tipo de proceso que tenga lugar. La relación entre la presión y el volumen de un sistema en cualquier proceso cuasiestático (y sólo en este caso, pues de lo contrario el sistema no está en equilibrio y, en consecuencia, sus variables de estado no están definidas) puede representarse por una curva en el espacio p-V, denominado espacio termodinámico, que es el espacio métrico cuyas coordenadas son las variables de estado. El trabajo correspondiente a un cambio infinitesimal de volumen “dV” se representa gráficamente por el área “p dV” de una franja vertical, tal como se muestra en la figura.

El trabajo total realizado en un proceso finito viene dado por el área limitada por la curva representativa del proceso y el eje de volúmenes entre las ordenadas “Vi” y “Vf”, tal como se muestra en las otras dos figuras. Ya hemos visto en el tema anterior que un proceso isocórico o isostérico es aquel que se realiza a volumen constante, y por lo tanto, el trabajo en este tipo de procesos es nulo.

A partir del análisis de los diagramas anteriores, es fácil obtener el signo del trabajo en un proceso cíclico, y así un ciclo recorrido en el sentido de las agujas del reloj dará como resultado un trabajo negativo y, por el contrario, recorrido en sentido antihorario el trabajo será positivo. El área limitada por el ciclo representa el trabajo neto realizado durante el mismo.

Trabajo adiabático. Primer Principio de la Termodinámica. Energía Interna:

Existen muchos procesos que permiten que un sistema termodinámico pase de un estado de equilibrio a otro y, en general, el trabajo realizado por o sobre el sistema es diferente en cada proceso, como ya vimos anteriormente.

De todos los procesos posibles entre dos estados determinados de un sistema seleccionemos aquéllos que sean adiabáticos, es decir, que la pared que rodea al sistema no permita el intercambio de energía térmica y en consecuencia la temperatura del sistema sea independiente de la que posea el medio exterior.

Constituye un hecho experimental de singular importancia que un sistema pueda sufrir una transformación desde un estado inicial dado a un estado final diferente, realizando únicamente trabajo adiabático, y además se encuentra también que el trabajo puesto en juego es el mismo para cualquier proceso adiabático que tenga lugar entre los mismos estados de equilibrio para un sistema cerrado. La generalización de los resultados anteriores constituye el enunciado del Primer Principio de la Termodinámica, que se enuncia “cuando un sistema cerrado varía su estado adiabáticamente, el trabajo asociado con ese cambio de estado es el mismo para todos los procesos posibles entre los dos estados de equilibrio dados”, y por lo tanto el trabajo realizado solo depende de los estados inicial y final (para estos casos concretos). Este enunciado del primer principio sólo hace referencia a transformaciones adiabáticas, con independencia de la forma en que tenga lugar: trayectoria seguida, cuasiestática o no, reversible o irreversible…

Si notamos por {xi} el conjunto de variables de estado inicial  y por {xf} el conjunto de variables del estado final, el enunciado del primer principio nos permite escribir:

• W desde “i” hasta “f” = f({xi},{xf}).

El trabajo es una función de las variables ene stado inicial y final.

Basándonos en la teoría de campos, sabemos que si el trabajo no depende de la trayectoria seguida existe una función escalar tal que la diferencia entre los valores que toma dicha función para los estados entre los que evoluciona el sistema es igual al trabajo realizado durante la transformación. De forma análoga, introducimos ahora una función escalar de las variables de estado, denominada energía interna del sistema, que denotaremos por “U”, tal que la variación de dicha función entre los estados inicial y final sea igual al trabajo asociado al proceso:

• W desde “i” hasta “j” = Uf – Ui.

, en donde la energía interna toma un único valor en cada estado, es decir, es una función de estado. Además, la energía interna es una magnitud extensiva, o sea se, depende de la masa.

Es necesario comprobar que la ecuación está de acuerdo con el criterio de signos utilizado. En efecto, si el trabajo adiabático realizado sobre el sistema es positivo, el sistema recibe energía, con lo que en el estado final debe ser mayor que en el estado inicial, lo cual se corresponde con que ΔU > 0.

Para un proceso infinitesimal, podemos expresar la ecuación anterior en la forma:

• dW = dU.

, lo que nos indica que el trabajo adiabático infinitesimal no depende de la trayectoria.

El valor real de “U” solo se pued eestablecer si se asigna de modo arbitrario un valor numérico concreto para un estado de referencia dado de la sustancia objeto de estudio, al igual que sucede en Mecánica o Electrostática, pues como hemos visto en teoría de campos, la función escalar aparece indeterminada en una constante.

Generalizaciñon del Primer Principio. Concepto Termodinámico de Calor:

Hemos considerado hasta aquí procesos en los cuales el sistema experimenta una transición entre la realización de trabajo adiabático, si bien este tipo de procesos no son los que se realizan con más frecuencia en la práctica.

Realicemos dos experimentos distintos con el mismo sistema cerrado entre dos mismos estado inicial y final, uno adiabático, de tal forma que la energía del sistema llevar al sistema del estado inicial al final sea igual a “Uf – Ui”, y el otro en el que el sistema sufra una transformación entre los mismos estados de equilibrio pero no de forma adiabática. La variación de energía interna en este caso será la misma que en el priemr caso, pero no sucede lo mismo con el trabajo realizado.

Para que este resultado sea compatible con el principio de conservación de la energía, es necesario decir que ha habido una transferencia de energía por medios distintos de la realización de trabajo. Esta energía, cuya transferencia entre el sistema y su entorno es necesaria para que se cumpla dicho principio de conservación, y que solo ha tenido lugar en virtud de la diferencia de temperaturas entre el sistema y el medio exterior, es lo que se denomina calor.

En consecuencia adoptamos como definición termodinámica de calor la siguiente: “cuando un sistema, cuyo medio exterior se encuentra a distinta temperatura que él y sobre el cual puede realizarse un trabajo mecánico, experimenta un proceso, se denomina calor a la energía intercambiada por medios no mecánicos, y que es numéricamente igual a la diferencia entre la variación de energía interna y el trabajo realizado. Designando por “Q” esta diferencia, se tiene:

• Q = ΔU – W.

, o lo que es igual:

• ΔU = Q + W.

, en donde hemos adoptado como criterio que el calor es positivo cuando la energía fluye hacia el sistema y negativo cuando fluye desde el sistema hacia el medio.

Al igual que sucede con el trabajo, no se puede hablar de cantidad de calor, pues esta magnitud representa la cantidad de energía transferida por medios no mecánicos, y no un tipo específico de energía. Además, mientras que el trabajo realizado puede ser utilizado directamente para variar cualquier forma de energía, no sucede lo mismo con el calor, que debe ser previamente transformado en trabajo para poder utilizarlo.

La ecuación anterior se considera comúnmente como la expresión analítica del primer principio, pero estrictamente no es más que la expresión matemática del principio de conservación de la energía desde un punto de vista termodinámico y sirve para calcular “Q”, por ello nos referiremos a ella como la expresión generalizada del primer principio.

Obsérvese además que el calor es independiente de las propiedades de la sustancia en partícular y de la escala de temperaturas empleada y, dado que el trabajo puede ser mecánico (en sentido estrcito), eléctrico o de cualquier otro tipo, y el proceso reversible o irreversible… el calor queda definido para cualquier proceso en general.

Dado el significado de trabajo en una transformación adiabática, el calor puede definirse también como:

• Q = Wadiabático – W.

Así pues, dada una transición partícular entre dos estados, el calor es la diferencia entre el trabajo realizado en una transición adiabática y el trabajo realizado en la transición partícular entre los mismos dos estados inicial y final. Ésto nos permite dar una definición alternativa de proceso adiabático como aquel en el que el calor asociado a la transformación es nulo en todo momento.

Para un proceso infinitesimal, la ecuación toma la forma:

• dU = d‾Q + d‾W.

, en donde hemos empleado la misma notación “d‾” que en el caso del trabajo, para indicar que el calor no es una diferencial exacta de las variables de estado del sistema, sino una función de proceso.

Capacidad calorífica. Calor Específico:

Cuando un sistema homogéneo absorbe calor, puede o no tener lugar una variación de temperatura del sistema, dependiendo de la naturaleza del proceso. Si la temperatura del sistema vería desde un valor inicial “Ti” hasta un valor final “Tf” al intercambiar con el medio un calor “Q”, podemos definir la capacidad calorífica media “C‾” del sistema para un determinado tipo de proceso como la razón:

• C‾ = Q / ΔT.

La capacidad calorífica verdadera o simplemente la capacidad calorífica del sistema viene dada por la expresión anterior cuando ΔT tiende a 0:

• C = d‾Q / dT.

Es necesario tener en cuenta que la relación d‾Q / dT no puede interpretarse como la derivada de “Q” respecto a “T”, pues “Q” no es una función de estado, sino que “d‾Q” representa simplemente el caloer infinitesimal asociado a una variación infinitesimal “dT” de la temperatura del sistema. Podemos pues definir la capacidad como el calor necesario para hacer variar la temperatura del sistema en 1 K en un proceso concreto.

Como el calor no es función de estado, la capacidad calorífica tampoco lo es, porque depende del proceso que tenga lugar y solo tiene un valor definido para un proceso determinado. Numéricamente la capacidad calorífica puede ser positiva, negativa o nula, según el proceso que experimente el sistema.

La capacidad calorífica depende de la cantidad de masa que tiene el sistema, y para obviar este inconveniente se define el calor específico como la capacidad calorífica por unidad de masa y se nota por:

• c = C / m.

, en donde “m” es la masa del sistema, y también podemos definir capacidad calorífica molar, calor especifico molar o capacidad calorífica por mol de sustancia, que se nota por la misma letra:

• c = C / n.

, siendo ahora “n” el número de moles de sustancia que contiene el sistema. Los calores específicos se expresan en el Sistema Internacional en J / kg K ó J / mol K según corresponda.

Así pues, el calor específico es el calor necesario para variar en 1 K la temperatura de la unidad de masa del sistema, al sufrir éste un proceso no adiabático.

Desde un punto de vista práctico, para un sistema expansivo, las capacidades caloríficas más importantes son la capacidad calorífica a presión constante, o isobárica, y lo capacidad calorífica a volumen constante, o isocórica, que vamos a definir a continuación.

La capacidad calorífica en un proceso durante el cual el sistema se mantiene a presión hidrostática externa constante se denomina capacidad calorífica isobárica o a presión constante, y se representa por:

• Cp = (d‾Q / dT)p.

, y su valor numérico para un sistema determinado depende de la presión y la temperatura del mismo.

Si el sistema se mantiene a volumen constante mientras se le suministra/extrae calor, la capacidad calorífica correspondiente se le denomina capacidad calorífica isocórica o a volumen constante y se representa por:

• Cv = (d‾Q / dT)v.

Estas dos última expresiones nos permiten conocer el valor asociado a los procesos indicados, conocidas las capacidades caloríficas, ya que se va a cumplir:

• Q = ∫(Cp) dT y Q = ∫(Cv) dT.

Teniendo en cuenta que en un proceso a volumen constante el trabajo asociado al mismo es nulo y aplicando la expresión generalizada del primer principio para un proceso infinitesimal se obtiene que dU = dQ, y por tanto:

• ΔU = ∫(Cv) dT.

Por otra parte, si el sistema expermenta un cambio de agregacion, éste se verificará (como se justificará al profundizar en el estudio de la Termodinámica) a presión y a temperatura constantes, y el calor asociado al proceso puede expresarse:

• Q = m l.

, en donde “m” representa la masa del sistema y a la “l” se la denomina calor latente de cambio de estado de agregación (sólido, líquido o gaseoso). Así pues, este calor latente resulta ser el calor que es necesario comunicar/extraer al/del sistema por unidad de masa para que tenga lugar el cambio de fase, y por lo tanto, este calor latente podrá ser positivo o negativo:

• l = Q / m

Entalpía:

Además de la energía “U” de una sustancia, resulta muy útl definir una nueva función que denominamos entalpía (al profundizar en el estudio de la Termodinámica se justificará su introducción) y que notamos por “H”, mediante la relación:

• H = U + p V.

Puesto que “U” es función de estado y “p” y “V” son variables de estado, la entalpía será función de estado, por lo que su variación entre dos estados de equilibrio dados será independiente del tipo de proceso seguido en la transición entre ambos estados. Además, la entalpía es una magnitud extensiva, pues “U” y “V” también lo son.

La definición de entalpía dada anteriormente solo es válida para sistemas expansivos, cerrados y simples. Además, no debe pensarse que la entalpía es una forma específica de energía, sino que es simplemente una magnitud definida de una forma concreta, muy útil en la solución de problemas científicos y de ingeniería.

Si consideramos la variación de entalpía que tiene lugar cuando un sistema experimenta un proceso infinitesimal, la ecuación anterior toma la forma:

• dH = dU + p dV + V dp.

Una de las propiedades más interesantes de la entalpía es su relación con el calor. Así, analizamos para un sistema expansivo las variaciones de volumenque se producen bajo condiciones de presión constante, puesto que el volumen del sistema se modifica, el proceso lleva asociado un trabajo. Para evaluar dicho trabajo admitiremos que el proceso se realiza de forma cuasiestática; con esta suposición, será de aplicación la ecación anteriormente vista:

• d‾W = – p dV.

, y podremos expresar que:

• dU = d‾Q = – p dV.

, en donde:

• d‾Q = dU + p dV.

, y teniendo en cuenta la ecuación de la entalpía a presión constante:

• dH = dU + p dV.

, y finalmente:

• dU = dH.

, relación que nos indica que el calor transferido entre el medio y el sistema expansivo simple, durante un proceso a presión constante y cuasiestático, es numéricamente igual a la variación de entalpía del sistema. Así, teniendo en cuenta lo anterior y la ecuación del calor específico a presión constante:

• dH = Cp dT.
  

Código en lenguaje de programación c de un programa que trabaje con transformaciones matemáticas de Lorentz para Relatividad Especial.

La estructuración del programa es un simple menu.

Para introducir dilataciones o compresiones se hace como cocientes. Es decir, si quieres una dilatacion en la que el tiempo dure el triple solo tendras que poner un 3. Si quieres una contracion en la que el espacio se comprima a una cuarta parte deberas introducir 1/4, o sea se, 0,25.

Cuando el programa devuelva 1.#INF00 el resultado valdrá infinito.

Se puede compilar con cualquier programa que use “c” como lenguaje de programación. Por ejemplo Dev_c++.

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define c 300000000

int main(){
int eleccion1,eleccion2,velocidadA,dilatacionmedida,eleccion3,velocidadB;
float cocienteA,gammaA,dilatacion,cocienteB,gammaB,velocidadAA,cocienteC,gammaC,compresionmedida,gammaD,velocidadBB;
do{
printf(“Sobre que desea trabajar?:\n1.Dilatacion del tiempo\n2.Compresion del espacio\n3.Salir\n\n”);
scanf(“%d”,&eleccion1);
if(eleccion1==1){
do{
printf(“1.Medir una dilatacion temporal\n2.Calcular la velocidad de una dilatacion temporal\n3.Volver atras\n\n”);
scanf(“%d”,&eleccion2);
if(eleccion2==1){
printf(“Introduzca la velocidad relativa en m/s\n\n”);
scanf(“%d”,&velocidadA);
if(velocidadA>=0 && velocidadA<=c){
cocienteA=pow(velocidadA,2)/pow(c,2);
gammaA=sqrt(1-cocienteA);
dilatacion=1/gammaA;
printf(“La dilatacion es de %f\n\n”,dilatacion);
}
else{
printf(“La velocidad indicada es imposible\n\n”);
}
}
if(eleccion2==2){
printf(“Indicar la dilatacion medida\n\n”);
scanf(“%d”,&dilatacionmedida);
if(dilatacionmedida>=1){
cocienteB=1/pow(dilatacionmedida,2);
gammaB=sqrt(1-cocienteB);
velocidadAA=c*gammaB;
printf(“La velocidad relativa es de %f m/s\n\n”,velocidadAA);
}
else{
printf(“La dilatacion indicada es imposible\n\n”);
}
}
}
while(eleccion2!=3);
}
if(eleccion1==2){
do{
printf(“1.Medir una compresion espacial\n2.Calcular la velocidad de una compresion espacial\n3.Volver atras\n\n”);
scanf(“%d”,&eleccion3);
if(eleccion3==1){
printf(“Introduzca la velocidad relativa en m/s\n\n”);
scanf(“%d”,&velocidadB);
if(velocidadB>=0 && velocidadB<=c){
cocienteC=pow(velocidadB,2)/pow(c,2);
gammaC=sqrt(1-cocienteC);
printf(“La compresion es de %f\n\n”,gammaC);
}
else{
printf(“La velocidad indicada es imposible\n\n”);
}
}
if(eleccion3==2){
printf(“Indicar la compresion medida\n\n”);
scanf(“%f”,&compresionmedida);
if(compresionmedida<=1 && compresionmedida>=0){
gammaD=sqrt(1-pow(compresionmedida,2));
velocidadBB=c*gammaD;
printf(“La velocidad relativa es de %f m/s\n\n”,velocidadBB);
}
else{
printf(“La compresion indicada es imposible\n\n”);
}
}
}
while(eleccion3!=3);
}
}
while(eleccion1!=3);
system(“PAUSE”);
return 0;
}