Física General (16): Ondas: Movimiento Armónico Simple, Descripción de una Onda, Ondas Mecánicas, Periódicas, Armónicas, Parámetros, Ondas transversales, Longitudinales, Superposición, Reflexión, Ondas Estacionarias, Dispersivas, Potencia, Intensidad, Efecto Doppler.

Movimiento Armónico Simple:

El movimiento oscilatorio es un movimiento periódico en torno a un punto de equilibrio. Todo movimiento oscilatorio tiene unas características importantes: frecuencia, periodo y amplitud. El movimiento armónico simple (m.a.s.) es el movimiento armónico más sencillo.

Para estudiar el m.a.s. se busca su analogía con el movimiento circular uniforme. Consideremos la partícula “P” de velocidad constante “v0″ describiendo una trayectoria circular de radio “A”.

Podemos definir la posición de “P” con “x”, “y” o con “σ”, que está relacionado con la velocidad angular:

• ω = dσ / dt.

, que, a su vez, está relacionada con la velocidad lineal por:

• v = A ω.

Para calcular “σ” integramos:

• ∫dσ = ω ∫dt.
• σ = ω t + σ0.

Calculemos la proyección sobre el eje “x” de “P”: “Q”. El punto “Q” se mueve hacia “x-” o hacia “x+” según “P” vaya girando. “Q” tiene un m.a.s.

El desplazamiento de “Q” respecto a “0″ vendrá dado por la proyección de “P” sobre el eje “x” por definición:

• x = A Cosσ = A Cos(ω t + σ0).

Para pasar de coseno a seno, a “σ0″ se le suman “π / 2″ radianes:

• x = A Cosσ = A Cos(ω t + σ0 + π / 2).

Estudiemos las características de m.a.s.

Amplitud (A):

Desplazamiento máximo respecto a la posición de equilibrio (0).

Frecuencia Angular (ω):

Número de radianes que recorre en un segundo.

Periodo (T):

Tiempo que tarda en completar una vuelta o ciclo. Al recorrer un ciclo, la fase aumenta en “2 π” radianes:

• T = 2 π / ω.

Frecuencia (f):

Número de vueltas que da en un segundo.

• f = 1 / T = ω / (2 π).

Estudiemos la velocidad de “Q” en m.a.s. Se puede obtener derivando:

• v = dx / dt = – ω A Sen(ω t + σ0).

Esta “v” es la misma que la proyección sobre “x” de la velocidad “v0″. Apreciamos que nuestra “v” está en función de “t”, pero es útil conocerla también en función de “x”. La distancia “¬PQ”, por pitágoras, es:

• d(¬P, ¬Q) = [A^2 - x^2]^1/2.

, y por trigonometría:

• d(¬P, ¬Q) = A Senσ.

Por tanto:

• A Senσ = [A^2 - x^2]^0.5.

, de donde:

• Senσ = [A^2 - x^2]^1/2 / A.

Sustituyendo en “v”:

• v = – ω [A^2 - x^2]^1/2.

Para ponerlo en función de “v0″:

• v = – ω A [1 - (x / A)^2]^1/2 = ± v0 [1 - (x / A)^2]^1/2.

Se cumplen las siguientes propiedades:

• x = – A → v = 0.
• x = 0 → v = ± v0.
• x = A → v = 0.

Estudiemos la aceleración del movimiento armónico simple.

La partícula “P” está sometida a una aceleración centrípeta:

• ac = v^2 / A = ω^2 A.

“a”, la aceleración de “Q”, es la proyección de “ac” sobre el eje “x”.

• a = dv / dt = – ac Cosσ = – ω^2 A Cos(ω t + σ0).

Ecuación Diferencial de un Movimiento en un M.A.S:

• a = d^2 x / dt^2 = dv / dt = dx dv / (dt dx) = v dv / dx = – ω^2 x.

Ya podemos integrar:

• ∫v dv = – ω^2 ∫x dx.
• v^2 / 2 = – ω^2 x^2 / 2 + cte.
• v^2 = – ω^2 x^2 + 2 cte = ω^2 (2 cte / ω^2 – x^2) = ω^2 (A^2 – x^2).
• v = ω [A^2 - x^2]^1/2.

, expresión que ya obtuvimos.

Obtenemos “x”:

• v = dx / dt = w [A^2 - x^2]^1/2.
• ∫(dx / [A^2 - x^2]^1/2) = ω ∫dt.

Para integrar se hace el cambio de variable:

• x = A Cosσ.
• dx = – A Senσ dσ.

• [A^2 - x^2]^1/2 = A[1 - Cosσ^2]^1/2 = A Senσ.

• ∫- A Senσ dσ / (A Senσ) = – ∫dσ = ω ∫dt.
• σ = – ω t + σ0.

Ahora deshacemos el cambio de variable:

• x = A Cosσ = A Cos(- ω t + σ0).

Por tanto, hemos llegado a las ecuaciones que ya teníamos a partir de la ecuación diferencial. “A” y “σ0″ ahora son constantes de integración que dependen de las condiciones iniciales. Determinémoslas:

Partimos de:

• x = A Cos(ω t + σ0).
• v = – ω A Sen(ω t + σ0).
• t = 0.
• x = x0 = A Cos(σ0).
• v = v0 = – A ω Sen(σ0).

Hacemos la división:

• v0 / x0 = – A ω Sen(σ0) / (A Cos(σ0)) = – ω Tg(σ0).
• Tg(σ0) = – v0 / (x0 ω).
• σ0 = Arcotg(- v0 / (x0 ω)).

Para calcular “A”, usaremos:

• Senσ^2 + Cosσ^2 = 1.

• x0^2 = A^2 Cos(σ0)^2.
• v0^2 = – A^2 ω^2 Sen(σ0)^2.
• (v0 / ω)^2 = - A^2 Sen(σ0)^2.

Sumando:

• x0^2 + (v0 / ω)^2 = A^2 (Cos(σ0)^2 + Sen(σ0)^2) = A^2.
• A = [x0^2 + (v0 / ω)^2]^1/2.

Fuerza de Restitución Elástica:

Supongamos un cuerpo de masa “m” unido a un muelle de masa despreciable en la posición de equilibrio. Tirando del objeto, si el muelle es ideal, la fuerza con la que se opone el muelle a la fuerza exterior viene dada por la Ley de Hooke:

• Fe = – k x.

, que es opuesta al desplazamiento, donde “k” es la constante de elasticidad.

Por la 2ª Ley de Newton:

• m a = – k x.

Comparando con la ecuación diferencial del m.a.s:

• a = – ω^2 x = – k x / m.

El muelle se muelle se mueve con un m.a.s. de:

• ω = [k / m]^1/2.

“ω” no depende de la separación inicial (ésta solo influye en la amplitud).

Supongamos un m.a.s. vertical, donde el punto de equilibrio depende del peso. En la posición de equilibrio se cumplirá:

• |¬P| = |¬Fe|.
• mg = k l.
• l = m g / k.

A partir de aquí el razonamiento es similar al m.a.s. simple horizontal. Una partícula con m.a.s. se mueve como si estuviese unida a un muelle ideal.

Energía en el M.A.S:

Ya conocemos cómo es la fuerza asociada a un m.a.s:

• Fe = – k x.

, que es conservativa (no realiza trabajo a lo largo de la trayectoria), por lo que la disminución o el aumento de la energía cinética es a costa de la variación de la energía potencial.

Energía Potencial Elástica:

La energía potencial elástica en “Q” será el trabajo necesario para llevar la partícula de “O” a “Q”.

• Ep = ∫F dx = – k ∫x dx.
• Ep = k x^2 / 2.

Como la fuerza es constante se cumple:

• Ec + Ep = cte.
• m v^2 / 2 + k x^2 / 2 = cte.
• m A^2 ω^2 Sen(ω t + σ0)^2 / 2 + k A^2 Cos(ω t + σ0)^2 / 2 = cte.

, y como:

• k = m ω^2.

, nos resulta:

• k A^2 (Sen(ω t + σ0)^2 + Cos(ω t + σ0)^2) / 2 = k A^2 / 2 = cte.

• m v^2 = k (A^2 – x^2).
• v^2 = k (A^2 – x^2) / m.
• v = w (A^2 – x^2).

de nuevo.

Péndulo Simple:

Modelo de péndulo ideal: masa puntual “m” colgando de un hilo de masa despreciable y longitud “l”. Si lo desplazamos “σ” radianes de su posición de equilibrio, los pares de fuerzas se compensan siguiendo la igualdad:

• P Cosσ = T.

La responsable de la oscilación es “P Senσ”.

• F = – P Senσ.
• m a = – m g Senσ.
• a = – g Senσ.
• l d^2σ / dt^2 = – g Senσ.
• d^2σ / dt^2 = – g Senσ / l.

Para “σ” muy pequeños se movería con m.a.s., y por Taylor:

• Senσ ≈ σ.

Por lo que:

• l d^2σ / dt^2 = – g σ.
• w^2 = g / l.

Notación Compleja:

Un número complejo es isomorfo a un vector en 2 dimensiones, ya que se puede representar en el plano complejo donde la abscisa es la parte real y la ordenada la imaginaria.

• z = x + i y.
• Parte Real = x = r Cosσ.
• Parte Imaginaria = y = r Senσ.

• z = x + i y = r (Cosσ + i Senσ) = r e^(i σ).

, donde “r” es la amplitud y “σ” la fase. Expresado en forma fasorial:

• z = r \ σ.

El complejo conjugado sería de la forma:

• z* = x – y i = r (Cosσ – i Senσ) = r ^(- i σ) =r \ – σ.

El módulo se calcula elementalmente:

• r = [x^2 + y^2]^1/2.
  

Y la fase:

• σ = Arcotg(y / x).

El problema es que los arcotangentes de un complejo y su conjugado resultan ser idénticos, por lo que, para corregir el error, se le suman “π” radianes a “z*”.

Supongamos que la fase varía con el tiempo:

• σ = ω t + σ0.

, entonces, “z” rota con una frecuencia angular “ω”. Por tanto:

• z = r e^(i σ) = r e^(i (ω t + σ0)).
• z = r e^(i ω t) e^(i σ0).

Cada vez que se cumple un periodo “T” se da una vuelta completa, y el fasor vuelve a su valor original. Los fasores se representan con:

• t = 0.

, es decir, no se representa la dependencia temporal. Los fasores, además, son fáciles de derivar.

• dz / dt = d(r e^(i ω t) e^(i σ0)) / dt.
• dz / dt = i ω r e^(i ω t) e^(i σ0) = i w z.

• d^2z / dt^2 = i ω (i w z) = – ω^2 z.

La parte real del fasor “z” es:

• r Cosσ = r Cos(ω t + σ0).

La de “dz / dt” es:

• - ω r Senσ = – ω r Sen(ω t + σ0).

Y por último, la de “d^2z / dt^2″ es:

• - ω^2 r Cosσ = - ω^2 r Cos(ω t + σ0).

Descripción de una onda unidimensional:

Una onda es una perturbación del equilibrio que se propaga de una región del espacio a otra. Se propaga la perturbación, que implica un transporte de energía y momento, y no la materia (ésta se mueve solo en torno a unas posiciones de equilibrio).

Según su naturaleza hay dos tipos de ondas:

• Mecánicas: necesitan un material elástico para propagarse que se llama medio, como por ejemplo las ondas de agua, el sonido, o una cuerda.
• Electromagnéticas: no necesitan un medio para propagarse, y por tanto son las únicas que pueden viajar en el vacío. Se producen por cargas aceleradas de partículas atómicas o subatómicas. Algunos ejemplos son los rayos x, la radio, la luz, que solo varían su frecuencia y su longitud de onda.

Ondas Mecánicas:

Según la dirección de la perturbación, hay varios tipos de onda:

• Transversales: los desplazamientos de las partículas del medio son perpensidulares a la dirección de la onda, como es el caso de la oscilación de la cuerda.
• Longitudinales: las partículas se mueven en la dirección de la onda, como es el caso de un muelle que se contrae o un gas comprimido por un pistón.

La cresta de una ola es una onda transversal y longitudinal a la vez.

Características de las ondas:

• La Velocidad de Propagación de la onda, que solo depende de las propiedades mecánicas del medio, y no de la velocidad de vibración de las partículas.
• El medio no viaja por el espacio: sus partículas realizan un movimiento en torno a unas posiciones de equilibrio.
• Para generar la onda hay que aportar energía realizando un trabajo sobre el sistema.

Descripción Matemática de una Onda Unidimensional:

Supongamos que el medio en que se propaga es elástico, lineal y no dispersivo. Entonces, la onda se propaga a velocidad constante y sin perder la forma.

Supongamos un pulso que se propaga a una velocidad “v”.

Calculemos la función que describa la posición de un punto en cualquier instante. Supongamos, por tanto:

• y = f(x).

Pero necesitamos una dependencia temporal. Para relacionar las funciones en:

• t = 0.
• t’ ≠ 0.

, consideremos un sistema de referencia en la propia perturbación. En este sistema, la función que nos da la posición inicial es igual a la del resto del tiempo:

• y’ = f(x’).

para cualquier “t”.

La relación entre los sistemas viene dada por:

• y’ = y.
• x’ = x – vt.

Por tanto:

• y = y’ = f(x’) = f(x – v t) = f(x / v + t).

Así, ya tenemos la dependencia temporal en la función de onda, que presenta una onda propagándose a velocidad “v” en la dirección “y” que representa el movimiento vertical de un punto “x” en un tiempo “t”. Por tanto, si “t” aumenta en “1″ segundo, hay que aumentar “x” en “v” metros para que “y” tenga el mismo valor.

Hablamos de Ondas Progresivas cuando:

• v > 0.

, y de Ondas Regresivas cuando:

• v < 0.

Para ondas longitudinales:

• y = Φ = desplazamiento paralelo a la velocidad de la onda.

En general, una onda unidimensional será una combinación de una onda regresiva y una progresiva:

• Φ(x, t) = f(x – v t) – g(x + v t).

Ondas Periódicas:

La perturbación se repite cada cierto tiempo de forma regular, es decir, de una fuente periódica.

.-Longitud de Onda “λ”:

Es la distancia espacial (en “m”) en la que la onda efectúa una oscilación completa y tras la cual se repite, es decir, la perturbación se repite cada “λ” metros.

• Φ(x, t) = Φ(x ± λ, t) = Φ(x ± n λ, t).

.-Periodo “T”:

tiempo (en “s”) que la onda tarda en completar una oscilación completa. Fijado un punto “x” del medio, tiempo que tarda dicho punto en dar una oscilación, se cumple:

• Φ(x, t) = Φ(x, t ± T) = Φ(x, t ± n T).

.-Frecuencia “f”:

Número de oscilaciones por segundo (en “Hz”):

• f = 1 / T.

Para relacionar “v”, “T” y “λ” nos ponemos en “x0″ y mecimos con un cronómetro los metros de perturbación que pasan en un segundo, es decir, su frecuencia:

• v = λ f.

Ondas Armónicas:

La perturbación tiene forma sinusoidal, es decir, definida por senos y cosenos (cualquier onda periódica es suma de ondas armónicas).

El m.a.s. nos sirve para crear ondas armónicas, de modo que:

• Φ(x, t) = A Sen(- 2 π x / λ).

Observamos una periodicidad espacial, que nos permite definir el Número de Onda:

• k = – 2 π / λ.

La función total es una función de “t” y de “x”:

• Φ(x, t) = A Sen(- k (x – v t)) = A Sen(- k x + k v t) = A Sen(- k x + 2 π f t).
• Φ(x, t) = A Sen(ω t – k x).

, donde “ω”, “f” y “A” son propiedades de la fuente, y “v” solo del medio.

• Φ(x, t) = A Sen(ω t ± k x + Φ0).
• Φ(x, t) = A e^(i(ω t ± k x + Φ0)).

Ecuación de una Onda Unidimensional:

Vamos a demostrar que una función:

• Φ = Φ(x ± ω t).

es una onda unidimensional propagándose en “± x”.

• α = x ± ω t.
• Φ = Φ(α).

• dΦ / dx = dΦ dα / dα dx = dΦ / dα = Φ’.
• dΦ / dt = dΦ dα / dα dt = ± v dΦ / dt = ± v Φ’.

• d^2Φ / dx^2 = Φ”.
• d^2Φ / dt^2 = v^2 Φ”.

Por tanto, cualquier función dependiente de “x” y “t” de la forma:

• Φ = Φ(x ± ω t).

cumple:

• d^2Φ / dx^2 = Φ”.
• d^2Φ / dt^2 = v^2 Φ”.

• Φ” = d^2Φ / dx^2 = d^2Φ / (v^2 dt^2).
• d^2Φ / dx^2 – d^2Φ / (v^2 dt^2) = 0.

, que es la ecuación de ondas unidimensionales propagándose en la dirección “± x” a “v”.

La solución general es:

• Φ(x, t) = f(x – v t) + g(x + v t).

Como es una ecuación diferencial lineal y sabemos que hay una solución que es una onda y otra que es otra onda, su suma también es solución, por aplicación del principio de superposición.

Cuerda Tensa. Ondas Transversales:

Consideremos un segmento de cuerda sometido a una determinada perturbación y analicemos las fuerzas que actúan sobre ella (tensiones, que son la misma) para estudiar el movimiento.

Dados dos segmentos de cuerda “1″ y “2″, de inclinaciones:

• σ1 ≠ σ2.

por la ligera inclinación debida a la onda:

• ∑Fy = T2y – T1y = T Sen(σ2) – T Sen(σ1) = T (Sen(σ2) – Sen(σ2)).
• ∑Fx = 0.

No hay movimiento en “x”.

Considerando una onda de amplitud pequeña, “σ1″ y “σ2″ son pequeños, cumpliéndose:

• Cosσ ≈ 1.
• Senσ ≈ Tgσ.

Además, podemos considerar:

• m = μ Δx.

, siendo “μ” la densidad lineal.

• ∑Fy = T(Tg(σ2)- Tg(σ1)).

En un determinado punto:

• Tgσ = dy / dx.

, es decir, la pendiente “S” del punto.

• ∑Fy = T(S2 – S1) = T ΔS = m ay = m d^2y / dt^2 = μ Δx d^2y / dt^2.
• T ΔS / Δx = μ d^2y / dt^2.
• d^2y / dt^2 = μ d^2y / (T dt^2).
• d^2y / dt^2 – μ d^2y / (T dt^2) = 0.

Comparando con la ecuación de ondas:

• 1 / v^2 = μ / T.
• v = [T / μ]^1/2.

La velocidad de propagación de una onda depende del medio.

Ondas Sonoras en un Tubo de Aire. Ondas Longitudinales:

Las ondas longitudinales de presión / descompresión en un medio sólido, líquido o gaseoso son ondas sonoras de frecuencia audible entre los los 20 Hz y los 20 kHz.

Consideremos una onda sonora propagándose en un tubo de sección “A”. Consideremos una región en equilibrio:

• p1 = p2.

Sea “ρ0″ la densidad de masa. Si hay una perturbación “dΦ” el gas se expandirá o se contraerá, respectivamente, según:

• dΦ > 0.
• dΦ < 0.

Para la región de volumen considerado, “ρ” será distinto, pero no la masa:

• m1 = m2.
• ρ0 V1 = ρ V2.
• ρ0 A dx = ρ A (dx + dΦ).
• ρ = ρ0 / (1 + dΦ / dx) = ρ0 (1 + dΦ / dx)^(-1).

Veamos las presiones que ejercen las dos masas de aire que rodean la sección considerada para estudiar la fuerza que actúa sobre la misma:

• Fxi = p A.
• Fxd = p’ A.

Siendo “Fxi” la fuerza por el lado izquierdo y “Fxd” la fuerza por el lado derecho. La fuerza resultante “Fx” será:

• Fx = (p – p’) A = – A dp.
• Fx = m a = m d^2Φ / dt^2.

Combinando:

• m d^2Φ / dt^2 = ρ0 A dx d^2Φ / dt^2 = – A dp.
• - dp / dx = – ρ0 = d^2Φ / dt^2.

Por la regla de la cadena:

• dp / dx = dp dρ / dρ dx.

pero como:

• ρ =  ρ0 (1 + dΦ / dx)^(-1).

Obtenemos:

• dp / dx = dp (- ρ0 d^2Φ / dx^2) / dρ.

Comparando:

• d^2Φ / dx^2 = d^2Φ dρ / (dt^2 dp).

, que es la ecuación de ondas de una onda unidimensional propagándose en la dirección:

• v = [dp / dρ]^1/2.

En general, la velocidad de propagación de una onda longitudinal se calcula en función del módulo de volumen del medio, denominaremos “β” a la inversa de la compresibilidad, que juega el papel de la constante elásticas del muelle:

• v = [β / ρ]^1/2.

Para sólidos “s”, líquidos “l”, y gases “g”, se cumple:

• vs > vl > vg.
• βs > βl > βg.

Algunos casos particulares son, la varilla al comprimirse, de ecuación:

• v = [γ / ρ]^1/2.

, donde “γ” representa el Módulo de Young, una constante predeterminada para cada material.

En el gas ideal:

• v = [γ R T / M]^1/2.

, donde “R” es la constante de los gases (8,31 J / mol), “M” es la masa molecular del gas, “T” la temperatura absoluta y “γ” la constante del gas vista en el tema anterior.

Transporte de Energía en una Onda Transversal en una Cuerda:

Supongamos una onda que viaja de izquierda a derecha en un punto “A” de la cuerda. Calculemos el trabajo realizado por unidad de tiempo (potencia) en un segundo elemental de la cuerda, considerando la fuerza que un trazo de cuerda ejerce sobre otro de la derecha.

• Fy = – T Senσ ≈ – T Tgσ.
• Tgσ = dy / dx = S.

Ya tenemos la fuerza que se ejerce sobre “A”, el cual se va a desplazar con una velocidad, y cuando el punto “A” se mueve en la dirección “y”, realiza trabajo sobre ese punto.

La potencia la medimos como:

• P(x, t) = F(x, t) v(x, t) = – T  dy(x, t) dy(x, t) / dx dt.

Consideremos una onda armónica:

• y(x, t) = A Sen(ω t + k x).
• dy(x, t) / dx= A k Cos(ω t – k+x).
• dy(x, t) / dt = A ω Cos(ω t – k+x).

A partir de la expresión anterior:

• P = T k ω A^2 Cos(ω t – kx)^2.

, y como:

• T = v^2 μ.
• v = ω / k.

nos resulta:

• P = v μ ω^2 A^2 Cos(ω t – kx)^2.

, que es la potencia instantánea de onda en el punto “x”. Consecuentemente, la potencia máxima será:

• Pmax = v μ ω^2 A^2.

Pero a nosotros no nos interesa la potencia instantánea, sino la potencia promedio de un ciclo:

• P‾ = (∫(v μ ω^2 A^2 Cos(ω t – kx)^2 dt) desde “0″ hasta “T”) / T.

• P‾ = ω ∫(v μ ω^2 A^2 Cos(ω t – kx)^2 dt) desde “0″ hasta “2 π / ω” / 2 π.
• P‾ = μ v ω^2 A^2 / 2.

, y esta es la potencia promedio de todas las ondas, proporcional al cuadrado de la amplitud:

• P‾ = α A^2.

La energía que fluye del punto “A” al “B” es:

• ΔE‾ = P‾ Δt = μ ω^2 A^2 Δx / 2.

Transporte de Energía en Ondas Longitudinales:

La potencia media por unidad de sección transversal (intensidad de la onda) es:

• I = P‾ / A.

Principio de Superposición:

Cuando dos ondas interfieren, el desplazamiento real de cualquier punto del medio en cualquier instante se obtiene sumandoel desplazamiento que tendría el punto si solo estuviese presente la primera onda y el que tendría si solo estuviese la segunda.

• Onda 1: y1(x, t).
• Onda 2: y2(x, t).
• Onda resultante: y1 + y2 = y(x, t).

La interferencia puede ser ocnstructiva o destructiva según si las ondas están o no en fase, respectivamente. Este principio es aplicable por la linealidad de las funciones de onda.
Reflexión en un Punto Fijo:

Supongamos un punto sobre una pared incapaz de oscilar (es un punto fijo), y supongamos que una onda se propaga hacia el punto en cuestión, de forma que cuando llegue a él tendrá que tomar un valor nulo. Asimismo, después de chocar con la pared, nuestra onda deberá reflejarse, es decir, volver hacia atrás de un modo opuesto al de llegó.

La única explicación matemática posible es que desde la pared, en todo momento, se propage en sentido opuesto a la onda original una onda exactamente igual solo que con sentido y módulo opuesto, de modo que en todo instante amvas ondas se anulen en el punto de la pared.

Poner una condición de este tipo en la propagación de las ondas es establecer una condición de contorno, y si un punto siempre es fijo es un nodo.

Ondas Estacionarias en una Cuerda:

Las ondas que se superponen en una cuerda producen, como onda resultante, ondas estacionarias, para ciertas frecuencias.

Supongamos que tenemos una onda armónica incidente:

• y1(x, t) = A Sen(ω t – k x).

Debido a la reflexión en el punto fijo “B”, existe una onda reflejada:

• y2(x, t) = – A Sen(ω t + k x).

La onda resultante será:

• y(x, t) = y1 + y2 = A Sen(ω t – k x) - A Sen(ω t + k x).
• y(x, t) = A(Sen(ω t – k x) – Sen(ω t + k x)).
• y(x, t) = A(Sen(ω t) Cos(k x) – Cos(ω t) Sen(k x) – Sen(ω t) Cos(k x) – Cos(ω t) Sen(k x)).
• y(x, t) = – 2 A Cos(ω t) Sen(k x).

Como en el punto final de la cuerda de longitud “L” la onda debe anularse, obtenemos que:

• - 2 A Cos(ω t) Sen(k L) = 0.
• Sen(k L) = 0.
• k L = Arcosen(0) = n π radianes.

Es decir, el factor “k L” debe ser igual siempre a un ángulo cuyo seno se anule, representados por “n π”. PAra cada valor de “n”, el valor de “k” será distinto, por lo que es necesario definir los “kn”, que representan el valor de “n” al que van asociados, por lo que, en definitiva:

• kn = n π / L.

Como previamente sabiamos que:

• k = 2 π / λ.
• kn = 2π / λn.

Nos resulta:

• 2 π / λn = n π / L.

, donde los “λn” representan las longitudes de onda asociadas a cada valor de “n”, que se despejan como:

• λn = 2 L / n.

La interpretación física de este fenómeno es que las distintas longitudes de onda representan los distintos armónicos de una cuerda, y en base a ellos se construyen los instrumentos musicales. “n = 1″ seria el primer armónico, “n = 2″ el segundo, y así sucesivamente.

Potencia e Intensidad de las Ondas:

Estudiaremos ambas propiedades particularizando a ondas sonoras, pues la intensidad se define como vimos antes:

• I = P‾ / S.

, donde “S” representa la sección del frente de onda. Además, siempre se cumplía que:

• I = α A^2.

, donde “A” representa la amplitud de la onda.

.-Ondas Dispersivas:

Si la fuente es puntual , se producen ondas esféricas, que se propagan a la misma velocidad en todas direcciones. En este caso la sección será la superficie de la esfera, por lo que:

• I = P‾ / (4 π r^2) = β / r^2.
• I = α A^2.
• α A^2 = β / r^2.
• A^2 r^2 = cte.
• A r = cte.

Si la fuente es lineal se producen ondas cilíndircas:

• I = P‾ / (2 π r h) = β / r.
• I = α A^2.
• α A^2 = β / r.
• A^2 r = cte.
• A r^1/2 = cte.

.-Ondas No Dispersivas:

Si la onda es plana, se propaga en una única dirección, por lo que la sección es constante, y se cumple:

• I = P‾ / S = cte.
• I = α A^2.
• α A^2 = cte.
• A = cte.

Efecto Doppler:

Cuando una fuente de sonido y un oyente están en movimiento uno respecto al otro, la frecuencia percibida por el agente es distinta a la transmitida por la fuente. Cuando se acercan, la frecuencia es mayor y viceversa.

Supongamos que la velocidad de la fuente “vf” y la del oyende “vo” tienen la misma dirección, siendo la dirección positiva la que va del oyente  “o” a la fuente “f”.

.-Fuente en reposo:

Si representamos los puntos con igual fase (frentes de onda) de una fase determinada, la distancia entre ellos es “λf”. El oyente se acerca con “vo” a la fuente; esta emite un sonido de frecuencia “νf”, y por tanto el periodo es:

• Tf = 1 / νf.

Si conocemos la velocidad del sonido “v”,  resulta que:

• λf = v Tf.

, y es que aunque “o” ve una separación “λf”, percibe una frecuencia mayor, porque su velocidad medida “v’” es:

• v’ = vo + v.

Por lo que su frecuencia medida es:

• νo = v’ / λf = (v + vo) / (v / νf) = (v + vo) νf / v.

.-Fuente y oyente en movimiento:

Al desplazarse “f”, se desplazan los centros de origen de las ondas, por lo que “λ1 ≠ λ2″.

Definimos “Tf” como el tiempo en que la cresta recorre “v Tf”, y la fuente “vf Tf”:

• λ = v Tf + vf Tf = (v + vf) / νf.

De modo que en la fórmula de la frecuencia medida cambia este parámetro:

• νo = v’ / λf = (v + vo) / (v + vf / νf) = (v + vo) νf / (v + vf).

En general, aunque “f” y “o” tengan la misma velocidad relativa, el efecto Doppler será distinto según se mueve “f”, “0″ o los dos.

Astronomía (5): Estrellas, Enanas Blancas, Pulsares, Agujeros Negros, Supernovas, Luminosidad, Diagramas HR, Cúmulos.

Las estrellas son grandes acumulaciones de gas sometido a fuertes reacciones nucleares. Entre sus propiedades se encuentra la de emitir radiación en forma de luz y calor, así como generar potentes campos gravitatorios capaces de poner a orbitar planetas a su alrededor.

El índice de luminosidad de una estrella se mide a través de la ecuación:

• L = 4 π σ r^2 T^4.

, donde “L” representa la luminosidad, “σ” una constante universal asociada a la luminosidad del Sol, “r” el radio de la estrella, y “T” la temperatura de la misma. Despejando, podemos calcular el radio:

• r = [L / (4 π σ T^4)]^1/2.

A la hora de analizar estrellas es interesante tratar con los Diagramas HR, que representan las tres variables anteriores, clasificando las estrellas según las mismas.

Para entenderlos un poco mejor, tal vez será necesario recordar brevemente la ecuación de Planck y el espectro luminoso.

La velocidad de la luz, “c”, era igual a 300000 km/s en el vacío, y la velocidad del haz de luz se define como:

• c = λ ν.

, donde “λ” es la longitud de onda y “ν” es la frecuencia, cuyo producto debe ser constante, por lo que son inversamente proporcionales. Asimismo, la ecuación de Planck nos decía que la energía de la onda era proporcional a la frecuencia a través de la constante “h”:

• E = h ν.

Además, el color con el que apreciamos el haz lumínico depende de su energía, siendo, en orden ascendente de energía: negros, infrarrojos, rojos, anaranjados, amarillos, verdes, azules, añiles, violeta, ultravioleta… De todo esto concluimos que las estrellas a mayor temperatura son más propensas al color violeta, apróximándose más al tono rojizo cuanta menor sea su energía. Además, no debemos olvidar que por causa del Efecto Doppler, todas las estrellas tienden al color rojo en su apariencia, pues al alejarse disminuyen la frecuencia de onda aparente.

En el diagrama HR adjunto, la temperatura está representada de mayor a menor en el eje horizontal (grados Kelvin), mientras que la luminosidad está representada en el eje vertical de menor a mayor (Unidades Solares). El radio de las estrellas está representado en las líneas trasversales que cruzan el diagrama, medido tomando el Radio Solar como unidad.

La esperanza de vida de una estrella, también anotada en algunos tramos, es una estimación en base a las características físicas de la misma.  Cuanta más masa tiene una estrella, mayor es su velocidad de combustión, y menor será su esperanza de vida, pues no le llevará mucho, relativamente, consumirse. Si tomamos la masa solar:

• S = 2 x 10^30 kg.

, como sistema de referencia, obtenemos las siguiente tabla:

• 1 S = 7000000000 años.
• 3 S = 200000000 años.
• 7 S = 65000000 años.
• 15 S = 10000000 años.

El Sol, que evidentemente está incluido en la primera categoría, aún está en la primera etapa de su vida, pues todavía está ganando temperatura y luminosidad. Una Vez alcance su temperatura máxima, su radio disminuirá, y con él su luminosidad, perdiendo posteriormente temperatura para acabar volviéndose una Enana Blanca.

¿Pero cómo saber en qué se convertirá cada estrella al extinguirse? Pues esto depende fundamentalmente de su radio y su masa.

Si la estrella es muy pequeña y tiene muy poca masa se convertirá en una Enana Blanca, de luminosidad, temperatura e interacción gravitatoria medias. Para llegar a esta fase la anterior estrella se desprende de su corteza.

Si tiene algo más de masa se convertirá en un Pulsar a través del mismo poceso. Los pulsares tienen la peculiaridad de estar compuestos de partículas quasi-elementales, por lo que se las conoce como estrellas de neutrones. El nombre de pulsar deriva de la señal o pulso que emiten sobre los detectores cada vez que uno de sus haces lumínicos incide directamente sobre nosotros.

Si la densidad de una estrella es lo suficientemente grande, ésta se convertira en un Agujero Negro, siempre que se cumpla la condición:

• c ≥ [2 G M / r]^1/2.

, es decir, que la raíz cuadrada del cociente “2 G M / r” sea igual o mayor que la velocidad de la luz, siendo “G” la constante de gravitación universal, “M” la masa de la estrella, y “r” el radio de la estrella.

Si la estrella es lo suficientemente grande, se convertirá en una Supernova y desprenderá grandes cantidades de energía.

Las estrellas acostumbran a encontrarse formando grupos más o menos grandes en los que todas ellas interaccionan gravitatoriamente con una gran dependencia, por lo que no se puede estudiar su movimiento por separado.

De entre todas las estrellas que observamos, el 80% de ellas son estrellas dobles, es decir, un sistema de al menos dos astros. Asimismo, el 24% son ternas de estrellas, y el 7,2% son cuaternas.

Con respecto a las agrupaciones de grandes cantidades de estrellas en el cielo, encontramos cúmulos abiertos si están más o menos dispersas, y cúmulos globulares si todas ellas se acumulan en torno a un punto, que será el centro de masas del sistema.

Las galaxias, por su parte, las clasificamos según otro criterio más adaptado. Serán elípticas si su forma se asemeja a la de una elipse, como las órbitas planetarias, y espirales si las estrellas forman curvas que convergen en círculo al núcleo galáctico.

Principales ecuaciones de la Fusión de las Unidades.

Hace algunos días escribí una entrada en la que trataba la posibilidad de expresar todas las magnitudes escalares en una única unidad que las definiese perfectamente, para ello había recurrido a un Espacio Euclidiano vacío donde ubicaba un cuanto de masa “dm” (unidad irreducible, no confundir por la nomenclatura con diferencial de masa), y a partir del estudio de su naturaleza en el vacío (prácticamente imposible de realizar) se demostraba que quedaba perfectamente definido el valor de su masa dando cualquier otra magnitud como su radio, su velocidad de rotación, su energía y su tiempo relativo.

Asimismo, poco tiempo después, publiqué otra entrada diciendo que tal vez en un espacio vacío una partícula no tendría personalidad propia, y que siempre necesitaría de otra que le dijese lo que tenía que hacer, siendo la otra también dirigida por la anterior.

Hoy, tras haber desmentido la posibilidad de llevar a cabo la mencionada Fusión de las Unidades, voy a escribir una posible estructuración de las mismas (digo posible porque hay infinidad de formas de hacerlo según lo que se tenga en cuanta).

Lo primero que deberíamos tener en cuenta es que, por lógica, todos los cuantos de masa “dm” tendrían el mismo volumen “dV” (supuestos esféricos), la misma superficie “dS” y el mismo radio “dl”, siendo todas ellas magnitudes cuánticas, es decir, no existiría ni un volumen, ni una superficie, ni un radio más pequeño para una partícula.

Las relaciones entre todos ellos vendrían dadas por las ecuaciones geométricas de toda la vida, haciendo, por ejemplo, la equivalencia entre “dm” y “dV”. Nos queda así:

• dm = dV = 4 π dl^3 /3.

, y:

• dS = 4 π dl^2.

A la subrayada la podríamos denominar 1ª Ley de la Unificación, por ser la primera operación “extraña”.

Asimismo, podemos suponer el cuanto de energía “dE” a partir de la ecuación de Einstein:

• dE = dm c^2.

, y la longitud de onda “dλ” a partir de la ecuación de Max Planck:

• dE = h c / dλ.

, siendo “h” la constante cuántica o de Planck y “c” la velocidad de la luz.

A través de la Ley de la Gravitación de Isaac Newton podemos suponer, además, que en torno a la partícula se genera un campo gravitatorio, donde la velocidad de traslación “dv” en la superficie de la misma resulta ser:

• dv = [G dm / dl]^1/2.

, siendo “G” la constante de gravitación universal. Este resultado se obtiene igualando la fuerza gravitatoria a la fuerza centrífuga que tiene que compensar para que la frontera de la partícula tenga un movimiento circular de rotación en torno a su núcleo.

Pero, como ya hemos visto en la 1ª Ley:

• dm = 4 π dl^3 / 3.

, nos resulta definitivamente que:

• dv = [4 G π dl^2 / 3]^1/2.

Dado que la frontera de esta partícula tendrá su propia velocidad que servirá para definirla, hemos de asumir también que poseerá su propio tiempo relativo, aplicando las leyes de la Relatividad Especial.

Si suponemos nuestra unidad de tiempo como igual a 1, por transformaciones relativistas obtenemos que el tiempo “dt” de dicha partícula será:

• dt = 1 / [1 - dv^2 / c^2]^1/2.

Si sustituimos “dv” en esta ecuación obtenemos por fin la esperada equivalencia entre el cuanto de longitud y de el del tiempo:

• dt = 1 / [1 - 4 G π dl^2 / 3 c^2]^1/2.

, pudiendo ser denominada ésta la 2ª Ley de la Unificación.

Si en la 2ª Ley despejamos el cuanto de longitud llegamos a la siguiente expresión:

• dl = [3 c^2 (1 - 1 / dt^2) / 4 G π]^1/2.

Y si en esta última ecuación aplicamos la 1ª Ley, obtenemos una última equivalencia entre el cuanto de masa y el del tiempo, algo más complejo que el anterior:

• dm = 4 π [3 c^2 (1 - 1 / dt^2) / 4 G π]^3/2 / 3.

Si de aquí despejamos “dt”:

• dt = 1 / [1 - 4 G π [9 dm^2 / 16 π^2]^1/3 /3 c^2]^1/2.

Se podría seguir calculando la equivalencia entre todas las demás magnitudes, pero las más importantes eran estas 3.

Antimateria junto al Principio de Incertidumbre según la Teoría de los Multiversos.

En la última entrada expliqué que aplicando la Superposición de Historias aparecía una ingenua (ni yo, que soy el que ha pensado en esto, lo apoyo del todo) posibilidad de que la dualidad onda-corpúsculo se desvaneciese, en la que las ondas no serían más que la consecuencia de una misma región del espacio afectada por varias dimensiones concurrentes .

Asimismo, comenté que en el viaje hacia el pasado de la antimateria era preciso que ésta se propagase tal y como imaginamos las ondas hacia el pasado si queríamos seguir luchando contra la Incertidumbre. El por qué dije esto será el tema de hoy.

Según sabemos, el choque entre una partícula y su antipartícula genera una explosión en la que ambas son desintegradas. Si dicha antiparícula se propagase hacia el pasado esta afirmación carecería de sentido físico, ya que lo normal es ver cómo ambas van hacia el futuro y colapsan en el espacio-tiempo.

Sin embargo, si asumimos que las antipartículas se propagan muy pegadas hacia el pasado en parejas, cuando se topasen con un electrón tan solo una de ellas desaparecería, mientras que su compañera seguiría viajando en busca de una nueva pareja. Esta partícula superviviente sería la que los observadores considerarían que viaja hacia el futuro, porque a efectos prácticos viene siendo lo mismo ver algo yendo hacia el pasado que hacia el futuro. Es decir, nosotros podríamos ver ahora un positrón que va hacia el pasado, y al avanzar en el tiempo, lo seguiríamos viendo, pero él ya habría pasado por allí antes, y en realidad veríamos al positrón que le sigue a través del tiempo con un “dt” (infinitésima de tiempo).

A medida que esta antípartícula viajase hacia atrás en el tiempo, se iría encontrando cosigo misma procediendo de otras dimensiones según la Teoría de los Muliversos. Si a medida que nuestra dimensión avanza en el tiempo se fragmenta en infinitas dimensiones, ir en contra se su movimiento supone reagrupar todas esas dimensioes en una sola. En resumen, si avanzamos hacia el pasado nos encontraremos con todo lo que consiga llegar hasta él desde los diferentes futuros. E, insisto, esto supondría un reencuentro de la antimateria que proceda de cada uno de ellos.

A nivel cuántico esto otorgaría lógica a la Incertidumbre Antimaterial: la nube de antipartículas sería la superposición de todas las que se van juntando en su peculiar viaje al pasado. Sin embargo, en caso de que la congregación de estas partíulas no sea muy grande, un observador podría llevarse la sorpresa de que al avanzar en el tiempo la inmensa cantidad de ellas desaparecerían por no proceder del mismo futuro.

Esa, para mi gusto, es una buena explicación de por qué después de los grandes experimentos, sobre todo en Súperaceleradores como el LHC, pierden instantáneamente de vista la antmateria: recordemos que de hecho hay un detector en este acelerador llamado LHCb cuya misión es localizar a dónde se va la antimateria. Si lo que acabo de decir resultase cierto, sería imposible que esa máquina siguiese a la antimateria hasta las otras dimensiones futuras. Así que, si cuando empiecen a dar uso a este detector, no encuentran lo que buscan, tal vez me convenza más esta teoría.

Finalmente, retomando el tema de las colisiones, no tengo muy claro cómo se podría explicar coherentemente que siempre se vea la antipartícula que sale ilesa, pero en raras ocasiones el par original que viene del futuro.

Teoría de los Multiversos o de la Superposición de Historias (versionada por mi).

Hace ya mucho tiempo escribí una entrada llamada “Mundo Maravilloso” en la que asenté las bases de la teoría de la que voy a hablar hoy, que es la que personalmente más me apasiona y me permite dar explicaciones sin base matemática a fenómenos muy interesantes.

Para simplificar un poco, asumiré que los que leáis esto conoceréis la relatividad tanto especial como general, los diagramas de Feynman, el experimento Einstein-Podolsky-Rosen, la doble rendija de Young, la teoría cuántica de campos, las especulaciones sobre la antimateria, y algo sobre la teoría de la evolución Big Bang – Big Crunch.

Supongo que el modo correcto de empezar con todo esto es explicar por qué el Universo debería ser eterno, infinito e inmutable.

El primer punto es en cierto modo muy antrópico. A mi, como supongo que al resto de las personas, me es muy difícil imaginar la ausencia de tiempo, y por esta egocentricidad doy por hecho que el tiempo es algo que tiene que estar ahí siempre, a no ser que nunca hubiese nada, o mejor dicho, que podamos hablar de existencia implica que tenga que existir un tiempo que la rija eternamente, y que además debe ser independiente de las otras tres dimensiones (anchura, profundidad y altura): del mismo modo que estamos acostumbrados a imaginarnos distintas regiones espaciales en el mismo tiempo deberíamos ser capaces de poder imaginar distintos tiempos sin que se altere el espacio. Sin embargo, aquí llegamos (o todo apunta a ello) a una incompatibilidad: el cambio de regiones espaciales en el mismo tiempo asumimos que no altera al mismo, y sin embargo el cambio de tiempo en el mismo espacio produce notorias alteraciones en él. ¿Dónde está el error? Pues evidentemente en asumir que el cambio de regiones espaciales no altera también el tiempo.

Según vimos en la Teoría Especial de la Relatividad los cuerpos sometidos a una mayor velocidad, derivada de una aceleración, y ésta a su vez derivada de un notorio sumatorio de fuerzas, poseían la característica de avanzar más lentamente en el tiempo que los cuerpos que los rodeaban, la de comprimir sus dimensiones, y la de aumentar su masa. Es decir, el tiempo y la masa están mucho más dilatados (tienen más valor) en situaciones de descompensación de fuerzas exageradas: en un planeta con respecto al espacio, en un acelerador de partículas con respecto a la superficie normal de La Tierra, en microfísica o mecánica cuántica con respecto a mecánica clásica, etc.

Estas dilataciones, que la experiencia me muestra que se malinterpretan, son como un cambio de moneda. Me explico. Tú puedes vivir en España con el euro y sabes que te va a suponer tantos chicles, tantas barras de pan y tanto lo que quieras, y sin embargo te puedes mudar a otro país de la Unión Europea donde las cosas estén más caras. En esa situación tu mismo euro vale mucho menos, pero sin embargo sigue siendo un euro: el cambio de contexto o referenciales cambia las propiedades de las cosas. Pues con los segundos y los gramos pasa lo mismo en la Relatividad Especial, para el que los lleva de un contexto a otro siguen siendo los mismos, pero sin embargo no se adaptan a su nuevo entorno. En nuestro habitual sistema de referencia un segundo equivale a ver girar a La Tierra 0,004166666 grados. Sin embargo, para un electrón moviéndose a 0,86 veces la velocidad de la luz supone 0,009333333 grados (el doble). La moneda (en este caso el segundo) que empleamos en los dos ejemplos es el mismo, pero si pretendemos valorar uno en función del otro llegamos a la conlusión de que vale más el del electrón porque se ha dilatado. Como el segundo del electrón vale el doble que el del observador humano, evejecerá la mitad de rápido.

Ahora bien, si aplicamos esto desde los orígenes del Universo, las zonas del mismo que hayan sido menos perturbadas por la curvatura material de la Relatividad General habrán avanzado más en su tiempo que aquéllas mayormente perturbadas por sistemas de fuerzas. Es decir, el Universo tiene zonas más jóvenes y zonas más viejas de un modo que podríamos considerar instantáneo. Si ahora mismo paralizásemos el tiempo y nos desplazásemos a una región vacía del espacio (despreciando la materia oscura y el supuesto bosón de Higgs) en cierto modo viajaríamos hacia el futuro, mientras que en un sistema excesivamente alterado como un agujero negro viajaríamos al pasado. Conseguimos así un universo perfectamente correlacionado en el espacio-tiempo, como vaticinó Einstein: las cambios en el espacio suponen un viaje en el tiempo, y los cambios en el tiempo suponen, a su vez, un viaje en el espacio infinitamente recíproco.

Si consiguiésemos llegar a una zona idónea que hubiese sido perturbada excesivamente (lo suficiente como para no viajar en el tiempo), nuestro viaje en el tiempo se aproximaría al infinito y no tendría límite, es decir, siempre podríamos viajar más al pasado.

En lo referente al infinito, normalmente siempre queda la duda de cómo puede algo curvo y limitado ser infinito, a lo que yo siempre doy la misma respuesta: los números del uno en adelante son infinitos, y el conjunto de todos los números es infinito también, pero sin embargo uno es más grande que el otro. Podríamos afirmar que en el primer caso el infinito está limitado, y eso es exactamente lo que pasa con el Universo. (La explicación de por qué sabemos que es curvo ya la expliqué en el capítulo “Relaividad General“). En realidad, si aplicamos la Relatividad Especial y la General juntas, yo me imagino el “límite del Universo” como esa zona a la que constantemente se expande a grandes velocidades superiores a la de la luz, pero a la que si intentas llegar te transporta al pasado, llevándote de nuevo hacia el “centro del Universo” por la consecuente contracción. (Si yendo hacia el futuro el Universo se expande, yendo hacia el pasado se contrae).

La inmutabilidad es el apartado más complejo, y el que lleva la parte más fuerte de imaginación (¡como si las anteriores no!).

Ha llegado la hora de recordar a nuestro querido fotón de la doble rendija de Young, a nuestros queridos electrones del experimento Einstein-Podolsky-Rosen, y a la ya mencionada en su momento frase de Richard Feynman: “un positrón es como un electrón viajando al pasado”, o más generalizado: “una antipartícula es como su correspondiente partícula viajando al pasado”, e incluso más: “un anti-yo sería yo mismo viajando al pasado”.

La evidencia de los viajes al pasado en todo lo mencionado a mi me hace imposible negar esta atractiva idea. Analicemos por separado los dos primeros casos: en la doble rendija de Young el fotón sabía previamente a ser lanzado si el recinto en el que iba a penetrar estaba cerrado o tenía ranuras; y en el experimento Einstein-Podolsky-Rosen un electrón sabía instantáneamente, sin tiempo de transmisión, lo que le sucedía a su par separado por una distancia mayor que la que podría recorrer la luz en el tiempo de reacción. Las conclusiones son claras: en ambos casos las partículas saben lo que va a a suceder antes de que suceda y se preparan para ello. Conocen su futuro.

La teoría cuántica básica implica que esas partículas no es que sepan lo que les va a sueder, sino que conocen constantemente todo el medio que les rodea y actúan en función a este. Como dije en su momento, la conclusión fue que todo estaba correlacionado. El Universo se conoce a sí mismo perfectamente en todo tiempo y lugar, y eso le permite a las partes de sí mismo desarrollarsede modo organizado.

Sin embargo, esta simple interpretación resultaría un poco indefensa ante la Relatividad. Es decir, puede ser que una partícula conozca en todo instante la posición del resto de las partículas del espacio, pero si cada región del espacio tiene su propia unidad de tiempo, ¿acaso esa partícula no conoce cada región del espacio en tiempos muy diferentes e instantáneamente?, o mejor dicho, ¿no implica la Relatividad que conoce a la vez el futuro, el presente y el pasado?

Según el principio antrópico, dada la complejidad necesaria para que se de la vida en el mundo, desde siempre tuvo que ser muy improbable nuestra existencia, y sin embargo estamos aquí. La primera conclusión lógica de eso es que el Universo tiene varios ciclos en los que podemos aparecer o no, esto es, la probabilidad de que en un Universo se de la vida es limitada, y para poder hablar de probabilidades es necesario que el experimento se realice varias veces.

Si la probabilidad de que haya vida es del 100/n %, encontraríamos vida en 1 de cada “n” universos. Si usamos la teoría del Big Bang-Big Crunch, esto implica que el Universo debió de expandirse y contraerse más o menos “n” veces hasta nuestra generación. Esto es algo con lo que la mayoría de la gente podría estar de acuerdo.

La Teoría de Multiversos de la que hablaremos aquí es la síntesis de toda esta complejidad estadística, y es capaz de concluir que el Universo es inmutable.

La más reciente interpretación del Principio de Incertidumbre de Werner Heisenberg explica que la falta de difinición en la posición de las partículas subatómicas no solo se debe a la función de onda, sino que también interviene en ella la Superposición de Historias. Las partículas, en su trayectoria, puden moverse de muy diversas formas, y sería ilógico suponer que algo les hiciese moverse en un sentido concreto porque si, de modo que lo que hacen es propagarse en todas direcciones, y lo hacen a través de diferentes dimensiones. Cuando un observador pretende observar, por ejemplo, a un electrón, lo que en realidad ve es una nube de superposicionamiento de el mismo electrón ubicado en diferentes espacio-tiempos diminutos, y por ahora dejemos esto aparcado.

Partiendo de este apoyo científico, a mi nada me impide, en principio, suponer que con nuestro macro-Universo pasa lo mismo. Supongamos que nuestra generación universal (he decidido llamarla así) se originó a partir del último Big Bang, y se propagó de todos los modos posibles a través de múltiples espacio-tiempos (tan múltiples que serían infinitos en realidad). Cada una de esas dimensiones, a su vez, se fragmentaría en otra infinidad de ellas, según las posibles variaciones a lo largo del espacio-tiempo. De ahí en adelante todo sería posible, y siempre habria infinitas dimensiones con algo en común, pero también infinitas diferentes. De lo que podemos estar seguros es de que todas ellas terminarían del mismo modo: comprimidas dentro de un súper agujero negro.

Según me dio a entender Stephen Hawking en su “Historia del Tiempo”, todas las distintas dimensiones de nuestro Universo podrían acabar de dos modos: o en la singularidad del agujero negro mencionado, o en la propia autocolapsación del Universo para dar lugar a un nuevo Big Bang. Pues bien, desde mi punto de vista ambas situaciones son lo mismo. Si el Universo comenzase a colapsarse, fenómeno conocido como el Big Crunch, cada vez en más regiones la densidad sería suficiente para originar un agujero negro, y al seguirse comprimiendo el Universo éstos se irían juntando entre si, hasta el punto de que toda la masa-energía, y con ella el espacio-tiempo, se reducirían a un solo punto de densidad infinita. Mi pregunta es: ¿qué diferencia hay entre un súper agujero negro de estas características y el Big Bang? ¿Por qué no suponer que toda esa materia concentrada volvería a explotar como lo hizo anteriormente? ¿Por qué suponer diferentes el colapso del Universo y el agujero negro si van a dar a la misma situación?

Volviendo a la Teoría de los Muliversos, cada una de estas dimensiones, según su evolución, podría comprimirse antes o después, y de hecho infinitas lo habrán hecho, infinitas lo hacen, e infinitas lo harán, pero el caso es que todas ellas convergerán en la singularidad del punto de densidad máxima. Cada vez que una de ellas llegue a dicho estado la historia volverá a repetirse exactamente igual que antes: todo volverá a explotar y las dimensiones volverían a propagarse con las mismas infinitas variables antes vistas. Estos dos distintos Big Bang serían exactamente iguales e indistinguibles. ¿A qué nos lleva esto? A que el Universo se repite constantemente, pero no periódicamente, sino instantáneamente: todo tiene lugar a la vez en el espacio-tiempo en distintas dimensiones.

Por poner un ejemplo, si suponemos una de las dimesiones que, naciendo con la nuestra, se colapsaron en un diferencial de tiempo, de ella surgiría un nuevo Big Bang que llevaría un retraso de “dt” con el nuestro, y la dimensión correspondiente a la nuestra nos seguiría con un retraso “dt”. Gracias a eso es prosible la propagación al pasado: siempre encontraremos alguna dimensión Universal reproduciéndolo.

Moraleja: todo se repite en el infinito una infinidad de veces, y las cosas nunca han pasado o van a pasar: pasan. Nosotros no somos más que seres limitados a ver un cierto intervalo de cosas que pasan en un orden mínimamente lógico. El Universo, en su totalidad dimensional espacio-temporal es inmutable.

Ahora que ya tenemos sentadas las bases de esta teoría, procederé a repasar algunas de sus propiedades más evidentes (las primeras ya las comenté en su momento): la primera es que dentro de cada generación universal (el conjunto de dimensiones que parten de un Big Bang común) no hay ni un solo par de dimensiones iguales por definición; estas dimensiones se multiplican siempre hacia el futuro, y como consecuencia varias dimensiones no pueden tener un pasado común anterior a una singularidad espacio-temporal; una generación universal no concluye hasta que todas y cada una de sus dimensiones llega a la singularidad; para nosotros tan solo es posible apreciar todas esas dimensiones si las observamos en un microespacio inferior a la constante cuántica; no obstante, nunca seríamos capaces de ver todas las dimensiones superpuestas en esa región del espacio-tiempo si su pasado común es mínimamente lejano.

Teniendo en cuenta esto, yo debería ser capaz incluso de cargarme la propiedad onda-partícula de la materia, si supongo que la nube electrónica está compuesta cuanto a cuanto de todos los electrones apreciados por el microscopio. El Principio de Incertidumbre no sería una propiedad del Universo para protegerse de la observación, sino la constante duda de saber qué electrón de todos los que vemos es exactamente el que se corresponde con nuestra dimensión. ¿Recordáis la evolución de la frase que iba definiendo la evolución de la cuántica? Primero era “la probabilidad de que este electrón esté aquí es del 99%”, luego era “el 99% del electrón está aquí, y el resto exparcido por el Universo con su función de onda”, y ahora, con los Multiversos, sería “aquí se encuentran el 99% de los electrones de pasado común a corto plazo que nos resultan observables”.

Pero claro, el hecho de que solo podamos o “creamos” que podemos observar las otras dimensiones a nivel cuántico no implica que no debamos fantasear con la parte de las otras dimensiones que no vemos. ¿A quién no le atrae pensar que en infinitas dimensiones se está dedicando a trabajar en la NASA, mientras en otras tantas todavía acaba de nacer, y así con casi todo lo que uno quiera imaginar?

Aquí es donde entran mis queridas limitaciones evolutivas en la infinita propagación de las dimensiones. Y si, esta parte creo que ya es enteramente mía. Las limitaciones, tal y como su propio nombre indica, presuponen que la evolución de las dimensiones abarca todas las posibilidades “posibles”. Es decir, pudiera ser (de hecho es y no es a la vez) que en venideros instantes yo siguiese aquí escribiendo, o que se me fuese la luz, o que me pusiese enfermo y lo dejase, pero sería impensable que me diera por coger y tirarme por la ventana.

Para entenderlo mejor entraremos en el tema de la cuántica cerebral. Tal y como yo lo veo, las partículas que forman las neuronas, a lo largo de su trayectoria como partículas, definen unas ciertas propiedades que engendran la personalidad, y una vez que esa personalidad queda establecida, se anulan posibles evoluciones: si las patículas se acostumbran a engendrar una personalidad tranquila y centrada, la probabilidad de que esa mente se pervierta sería tan pequeña que tal vez sería necesario más tiempo que una vida para que se pudiese dar. Conclusión: alargar la vida puede tener sus consecuencias.

Después de todo lo que llevo contado, tal vez sigáis pensado que os estoy hablando de algo tan abstracto como improbable, pero deberíais saber que esto tiene aplicación científica hoy en día. La computación cuántica, de la que tal vez hayáis oído hablar o incluso conozcáis, permite hacer al ordenador complejos cálculos matemáticos utilizando no solo sus propios electrones, sino también los de las dimensiones que comparte a nivel cuántico. Lo que una dimensión hace, una superposición de dimensiones lo hace mucho mejor. Mi duda es, ¿qué pasaría si desde esas otras dimensiones a otro científico le diera por usar la nuestra al mismo tiempo? ¿Se nos colgaría el sistema de computación cuántica?

Es importante que haya contado ahora esto, porque en lo que queda de entrada estoy solo frente al competitivo mundo de la ciencia, es decir, de aquí en adelante todo es desarrollo puramente personal. ¿Y qué es lo que diferencia mi versión de los Multiversos de la que podríamos considerar estándar? Pues el uso de la hace un rato mencionada frase de Richard Feynman.

El hecho de que la antimateria se propague hacia el pasado mientras que la materia lo hace hacia el futuro podría ser un importante punto de apoyo para contestar a algunas dudas, entre ellas la de por qué hay más materia que antimateria en nuestra dimensión.

¿Qué conocemos de la antimateria? Pues en mi opinión lo suficiente como para dar pié a esta teoría. Lo primero y más importante que se encuentra en desvantaja, y lo segundo que al encontrarse con la materia a la que imita ambas se desintegran (¡fundamental!).

Comencemos a suponer, pues, que la materia viaja en el espacio-tiempo del modo inverso al nuestro. La Teoría de los Multiversos daría un giro de 360º, pero en esencia sería igual. En la singularidad espacio-temporal creo que no es arriesgado vaticinar que habría tanta materia como antimateria, solo que la segunda se propagaría hacia el pasado de esa singularidad, o lo que es lo mismo, en la dimensión que al colapsarse dio lugar a esa singularidad. La antimateria, en otras palabras, partiría del Big Crunch.

La primera diferencia contundente es que, al propagarse siempre hacia el pasado, tan solo se propagaría en una dirección dimensional espacio-temporal, y según lo que acabo de decir antes debería poderse escapar del Principio de Incertidumbre, por lo que, si quiero seguir haciéndole frente, es necesario suponer que las antipartículas se propagan como una onda por el vacío hacia el pasado y acabando con el Universo. Cada vez que una de ellas choca con su partícula original, ambas se desintegran y ninguna puede seguirse desplazando, de modo que para que tanto la materia como la antimateria conserven su identidad es necesario que no se encuentren como pares. Consecuencia lógica: cuanto más avanzan las antipartículas hacia el pasado menos de ellas quedan, o bien cuanto más avanzan las partículas hacia el futuro, menos de ellas quedan. Encontramos así dos momentos clave donde la cantidad de ambas queda compensada: la singularidad espacio-temporal y el punto de inflexión en el que la expansión da lugar a la contracción, que viene siendo la vida media (si considerásemos el tiempo absoluto) de una dimensión que se va propagando. Nosotros, como vivimos en la expansión, vemos más materia que antimateria.

Hablemos ahora de inteligencia cuántica. Si un fotón conoce su futuro, e insistimos en que algo se lo tiene que haber comunicado, ¿por qué no suponer que la antimateria que viene del futuro aporta información a la materia con la que se encuentra (si no se desintegran)? Si un fotón, o electrón, o lo que sea, puede conocer algo tan complejo como su futuro, y todos ellos forman nuestro cerebro, ¿por qué nosotros no íbamos a ser capaces? Si, estoy relacionando las “premoniciones” o “visiones en sueños del futuro” como una interacción con la antimateria que se estaciona en nuestro cerebro. Además, como ya dije en la otra ocasión, también opino que el simple hecho de imaginar podría suponer enviar a nuestras partículas cerebrales a observar dimensiones relativamente cercanas en el espacio-tiempo (teoría sin desarrollar).

Por último, si combinamos todo lo visto, imaginad lo que pasaría si alguna persona lograse vivir en el Big Crunch o proceso de contracción universal. Sería un tanto curioso: ¡al haber mucha más antimateria que materia ser vidente estaría a la orden del día! Claro que tal vez así verías incluso tu propia muerte…

Y eso es todo lo que quería comentar en esta entrada. Próximamente tal vez retome este tema.

Gracias a los que hayáis tenido el detalle de leéroslo todo.

Y a los demás también.

La tristeza del electrón

Aquí os dejo este temazo que descubrí el otro día.

Pasaron varios siglos sin que el hombre descubriera
que vivía a su manera el electrón.
Estaba en todas partes y no estaba en ningún sitio
por aquello de la indeterminación.

Vivía desde siempre enamorado
de un próximo y pesado nucleón.
Jamás los vieron juntos en la Tierra,
la Luna o el Sol.

Qué triste es ser electrón,
vivir en una nube,
el electrón se aburre por definición.

Qué triste es ser electrón,
vivir en una nube,
el electrón se aburre por definición.

Sentía una atracción irresistible
y el amor era imposible por aquel bello protón.
El Hombre destrozó todo el encanto
con la inversa del cuadrado que se le ocurrió a un señor.

Danzando por un átomo cualquiera,
espera conocer lo que es amor.
Jamás los vieron juntos en la Tierra,
la Luna o el Sol.

Qué triste es ser electrón,
vivir en una nube,
el electrón se aburre por definición.

Qué triste es ser electrón,
vivir en una nube,
el electrón se aburre por definición.

Fundamentos de Computadores (1): analogía y digitalidad.

Sistemas analógicos son aquéllos en los que los datos siguen una estructuctura ínfimamente continua.

Sistemas digitales son aquéllos en los que los datos se toman cada cierto número de valores de un sistema analógico.

La ventaja de un sistema digital frente a uno analógico es que la información se resume, ocupando menos espacio, y es más fácil de transmitir. La pérdida de información es insignificante. (Toda la información analógica del vinilo se almacena en Cds sin perder calidad. Del mismo modo, los CDs almacenan 40000 digitos por cada segundo, siendo el máximo número de dígitos perceptibles por el oído de 20000).

Un caso particular de a sistemática digital es el código binario, que consiste en trabajar con magnitudes de dos únicos valores posibles: el alto (HIGH), que se define por 1, y el bajo (LOW),que se define por 0. Cada uno de ellos representa un bit (binary digit).

Para saber de qué tipo de bit  estamos tratando se tiene en cuenta el nivel de tensión o voltaje de cada parte del circuito.

En el sistema TTS, entre 0 V (voltios) y 0,8 V se habla del bit 0, mientras que el 1 estaía comprendido entre 2 V y 5 V.

En el sistema CMOS se procura reducir la cantidad de voltaje necesario: al principio, en 0,07 μm de intervalo, el voltaje necesario era igual que en el sistema TTL; en 2001, con 0,15 μm, el 1 se comprendía entre 1,2 V y 1,5 V; en 2006, con intervalos de 0,1 μm, el 1 pasó a establecerse entre 0,9 V y 1,2 V.

Es muy difícil reducir mucho más el intervalo de digitalizaciñon de los sistemas, porque cuanto más se reduce la longitud de medida también se hace más pequeño el tiempo de pulso, y puede no darse tiempo al sistema a tomar un valor bien definido.

Basándonos en el esquema, al trabajar siempre con los mismos voltajes, a un sistema siempre le lleva lo mismo pasar de 0 a 1, independientemente de la longitud del pulso. Si la longitud del pulso (medida por el observador) es menor que el flanco de subida, puede pillar a la onda digital en un punto intermedio entre 0 y 1, llevando a la confusión.

Cuanta menor es la longitud del pulso, si el voltaje es el mismo, la frecuencia (ν) aumenta, y lo puede hacer ilimitadamente, con la consecuencia vista. Asimimo, el periodo de cada pulso se define como el todos los movimientos ondulatorios armónicos:

• T = 1 / ν

, y el número de ciclos o pulsos realizados en un intervalo de tiempo “t” se definen como:

• k = t / T.

Los datos son grupos de bits que transportan algún tipo de información (13 es 1101 y 178 es 10110010), y como dependen de una cierta combinación de voltajes medidos se pueden propagar en serie o en paralelo.

En serie los pulsos se propagan a través del mismo cable, unos detrás de otros.

En paralelo los pulsos salen de la misma fuente por distintos cables y se dirigen a la vez hacia el aparato receptor.

Las series en paralelo tienen un problema, y es que a grandes frecuencias la simultaneidad en la llegada de los bits es caótica, por lo que hoy en día se usa el modelo en serie.

LHC rap (o el rap del Gran Colisionador de Hadrones).

Después de bastante tiempo esperando el momento para subir este… no sé como llamarlo. Hoy, por fin, lo pongo. Supongo que ya lo conoceréis todos.

• Veintisiete quilómetros de túnel bajo tierra
• inteligentemente diseñado para enviar protones a su alrededor,
• un círculo que cruza Suiza y Francia,
• sesenta naciones contribuyendo al avance de la cencia.
• Dos cañones de protones dando vueltas por el anillo que los conduce,
• y en el corazón de los detectores deben colisionar,
• y toda la energía liberada en esa recogidita y pequeña habitación
• se convierte en masa (E = m c2), partículas creadas de la nada.
• Y entonces…
• LHCb ve hacia donde se dirige la antimateria,
• ALICE observa las colisiones entre iones de cobre
• CMS y ATLAS tienen la misma función:
• están buscando cualquier nueva partícula que puedan encontrar.
• El LHC acelera los protones y el cobre,
• y las cosas que descubra chocarán en tu cabeza.
• Nosotros vemos asteroides y planetas, montones de estrellas,
• sabemos que los agujeros negros residen en cada núcleo galáctico.
• Pero ni siquiera toda esa materia puede explicar qué es lo que mantiene
• todas las estrellas juntas. Tiene que haber algo más.
• Si la materia oscura interactúa solo a través de la gravedad,
• ¿cómo vamos a ver una partícula que no se puede ver?
• Llévala a la conservación de la energía
• y las partículas aparecerán tan claras como quieras.
• Tú ves partículas volando a través de haces
• y observas que algo está yendo en otra dirección.
• “¡Mi ley de conservación ha sido violada!”
• “¡No puede ser!”
• “¡Tiene que haber otra partícula que equilibre esta balanza!”
• Tal vez sea la materia oscura, y por primera vez
• creemos que entendemos mejor el Universo
• porque…
• LHCb ve hacia donde se dirige la antimateria,
• ALICE observa las colisiones entre iones de cobre
• CMS y ATLAS tienen la misma función:
• están buscando cualquier nueva partícula que puedan encontrar.
• La antimateria es como el antagonista de la materia
• porque excepto en la carga y en la dirección de su spin
• son lo mismo que una partícula y su gemela.
• Pero tú no le puedes presentar a una partícula a su compañera
• porque cuando se conocen se aniquilan,
• se transforman en energía y se disipan.
• La materia es creada por energía,
• y eso exactamente lo que ellos hacen en el LHC:
• cogen materia y antimateria en partes iguales,
• y tratan de recontruír cómo empezó el Universo:
• el Big Bang.
• Todo era oscuro cuando la materia explotó
• y la atimateria quedó en dsventaja de algún modo,
• porque cuando miramos al espacio la materia abunda,
• pero a la antimateria no hay modo de localizarla.
• Y es por eso que…
• LHCb ve hacia donde se dirige la antimateria,
• ALICE observa las colisiones entre iones de cobre
• CMS y ATLAS tienen la misma función:
• están buscando cualquier nueva partícula que puedan encontrar.
• El LHC acelera los protones y el cobre,
• y las cosas que descubra chocarán en tu cabeza.
• El bosón de Higgs, es de lo que todo el mundo habla,
• y es la única partícula que seguramente esta máquina encntrará.
• Si el Higgs existe iremos por el buen camino,
• y si no, los científicos por fin dirán:
• “¡No hay Higgs! ¡Necesitamos una nueva teoría física
• que explique por qué las cosas tienen masa!
• ¡Algo en el modelo estándar va mal!”
• Pero el Higgs, aún no he dicho qué es lo que hace.
• Ellos suponen que las partículas tienen masa porque
• hay un campo de Higgs que se extiende por todo el espacio
• y hace a algunas partículas moverse despacio mientras otras correr velozmente
• como el fotón, que no tiene masa,
• aunque algo más pesado como un quark
• se ve muy afectado.
• Y el Higgs es un bosón que porta una fuerza
• y da masa a las partículas según su interacción.
• Ellos lo detectarán…
• Cuando LHCb ve hacia donde se dirige la antimateria,
• ALICE observa las colisiones entre iones de cobre
• CMS y ATLAS tienen la misma función:
• están buscando cualquier nueva partícula que puedan encontrar.
• Alguno de vosotros podría pensar que la gravedad es fuerte
• porque cuando caes de tu bicicleta
• no te lleva mucho llegar al suelo y decir “¡Qué daño!”
• Pero si piensas que esta fuerza es poderosa estás equivocado.
• La gravedad es la más débil de las fuerzas
• y el motivo por el que los científicos la estudian.
• Ellos piensan en las dimensiones, vivimos en tres,
• aunque tal vez haya otras que son muy pequeñas.
• Dentro de esas dimensiones la gravedad se extiende,
• y po eso nosotros la vemos limitada desde aquí.
• Y esas dimensiones están enrolladas
• a tan diminuta escala
• que no te afectan en tu vida diaria.
• Pero si fueses tan pequeño como un gravitón
• podrías entrar en esas dimensiones e ir reflexionando sobre ellas
• Y ellos te encontrarían, cuando…
• LHCb e hacia donde se dirige la antimateria,
• ALICE observa las colisiones entre iones de cobre
• CMS y ATLAS tienen la misma función:
• están buscando cualquier nueva partícula que puedan encontrar.
• El LHC acelera los protones y el cobre,
• y las cosas que descubra chocarán en tu cabeza.

Sabéis que no creo en la mitad de las cosas que estuian ahí (el bosón de Higgs, los gravitones, la antimateria en desventaja…), pero es otro punto de vista y todavía nadie lo ha podido desmentir.

Por cierto, la traducción la hice más o menos. Es decir, no está dicho todo exactamente igual, aunque la idea es la misma.

Nivelación de Física (día 9 y último): energía de las ondas, espejo plano y un problema bastante simple.

La energía de las ondas se materializa en la energía de las partículas cuyo movimiento organizado constituye la onda, y hay dos modos de calcularla, de los cuales solo vimos uno en esta clase: el de calcular su energía mecánica:

• Emec = Ec + Ep.

La energía mecánica es igal a la suma de la cinética y la potencial.

La energía potencial gravitatoria se calcula a través de la Simple ley de Gravitación Universal de Newton:

• Ep = G m m’ / r.

, y la energía cinética de la más que repetida fórmula:

• Ec = m v^2 / 2.

Dado que la primera fórmula es independiente de las características de la onda, todo que da en función de la energía cinética, y ésta, a su vez, de la velocidad trasversal de la onda.

La densidad de la energía cinética pues, se definirá por el cociente entre la energía en si y e volumen que ocupe la onda:

• ρ Ec = Ec / V = m v^2 / 2 V = ρ v^2 / 2.

Sustituyendo por la fórmula de la velocidad del movimiento trasversal:

• ρ A^2 ω^2 Sen(k x – ω t + σ).

Si se integra la ecuación interior y se divide toda ella entre dos dentro de un periodo T, se obtiene la densidad media:

• ρEc = ρ A^2 ω^2 / 4.

Si dejamos la velocidad angular en función de la frecuencia:

• (ν = ω / 2 π)

, se obtiene que:

• ρ Ec = π ρ A^2 ν^2 / 2.

La energía de la onda es proporcional a los cualdrados de la amplitud y la frecuencia de la misma.

El otro medio de calcular la energía sería emplear la constante de Planck:

• E = h ν.

Asimismo, la energía total de la onda sería esta más la que aporta la materia perteneciente a la misma según:

• E0 = m0 c^2.

Cuando una persona se mira en un espejo plano, siempre ve la misma cantidad de su cuerpo, esté lo lejos que esté del mismo, siempre y cuando no cambie la altura de sus ojos. ¿Cómo se puede explicar esto?

El sistema de funcionamiento de un espejo plano es simple. Un rayo de luz es emitido por una parte del cuerpo y choca con el espejo en varios puntos, según la inclinación de cada parte del haz. Todos y cada uno de los fotones que hagan esto ebotarán, según la reflexión, con el mismo ángulo que el de incidencia, y alguno de ellos irá a para al ojo después.

Es decir, la distancia y el ángulo desde la rodilla al punto de choque con el espejo tiene que ser igual que la del ojo, y esto solo se cumple si la perpendicular al punto medio entre ambas partes del cuerpo corta al espejo. Consecuentemente, por mucho que te alejes del espejo, si el punto medio entre cualquier parte del cuerpo y el ojo se conserva, la fracción de cuerpo reflejada en el espejo es constante.

La densidad de mosquitos en un estanque es de “ρ” mosquitos/cm3. Si la superficie de la apertura de la boca de un pájaro es de “S” cm2, y éste se desplaza a una velocidad de “v” cm/s, calcular los mosquitos que se tragará en 1 s.

Si suponemos la apertura de la boca del pájaro como circular, el volumen de aire que traga en un segundo vendría dado por:

• V = S v t

, el producto de la apertura de la boca por la velocidad y por el tiempo (volumen del cilindro).

Una vez calculado el volumen de aire tragado, el número de mosquitos incluidos en él (nº) se definiía por:

• nº = V cm^3 ρ mosquitos/cm^3

, y como el tiempo es tan solo de un segundo:

• nº = S v ρ.

Nivelación de Física (día 8): Efecto Doppler, reflexión, refracción y rozamiento de ondas

“¿Ha notado usted alguna vez que el silbato de un tren que se acerca produce un sonido muy agudo, pero que, una vez que el tren ha pasado, el tono desciende notablemente? Es el llamado Efecto Doppler: la relación entre la altura del sonido y la velocidad de la fuente”.

(“Mr. Topkins in Wonderland, Arthur Gamow)

Hoy, tal y como es fácil de prever, nos centraremos en el efecto Doppler, que es el cambio de la frecuencia medida cuando se mueve el emisor de un sonido o el observador. Cada caso con su fórmula.

a) Emisor en movimiento con velocidad “vs”:

• ν’ = ν / (1 – vs / v).

La frecuencia de onda medida (ν’) es igual a la original (ν), dividida entre uno menos el cociente de la velocidad del foco emisor (vs) entre la velocidad del sonido en el medio (v).

b) Observador en movimiento con velocidad “v0″:

• ν’ = ν (1 + v0 / v).

La frecuencia de onda medida es igual a la original, multiplicada por la suma de uno y el cociente de la velocidad del observador entre la del sonido en el medio.

¿A qué velocidad se debería de acercar una fuente que vibra a 12000 rev/s para que el receptor no la oiga?

La frecuencia a partir de la cual nuestros oídos no perciben sonido es la de 20000 rev/s, por lo que esa será la frecuencia medida que buscaremos, aplicando la fórmula del foco en movimiento.

• ν’ = ν / (1 – vs / v)

Sustituyendo:

• 20000 rev/s = 12000 rev/s / (1 – vs / 340 m/s)

Y despejando:

• vs = 136 m/s.

Cuantas menos revoluciones, más agudo es el tono. Así es que un coche vibra a 100 rev/s.

Para poder utilizar el efecto Doppler como método de diagnóstico médico se requiere que la longitud de onda sea menor que el tamaño del blanco. Con una ν de 5 MHz, ¿en qué zona del espectro de sonido estoy? ¿Qué tamaño de blanco puedo explorar?

Dado que 5 MHz son cinco millones de revoluciones por segundo, la onda será un ultrasonido.

La velocidad de propagación de la onda dentro del cuerpo, dado que es casi todo agua, es de 1500 m/s, así que no queda más que despejar:

• λ = v / ν = 0,00043 m.

Dado que la longitud de onda es el cociente entre la velocidad de propagación de la onda y la frecuencia, la longitud que podrá ser explorada es de 0,43 milímetros.

¿Cómo cambia ν” si el foco y el receptor se despalazan en la misma dirección y a la misma velocidad?

Habría que componer ambas funciones, aunque al desplazarse a la misma velocidad la diferencia de frecuencias sería perfectamente despreciable.

La velocidad de propagación de la onda es perpendicular a los frentes de la misma, y es ella quien determina la propagación de la energía de la onda:

• E = h ν.

Se sabe que si una fuente sonora y un hombre se encuentran a la misma altura en la dirección del viento el sonido se escucha mejor que en contra. Esto se debe a que el viento tiende a focalizar las ondas, esto es, a propagar sus desviaciones en paralelo hacia un foco común.

Algunos otros efectos:

En el aire, la velocidad del sonido es igual a la raíz cuadrada de la presión entre la densidad del mismo en cada punto de propagación:

• v = [ΔP / Δρ]^½.

En una cuerda, la velocidad será igula a la raíz de la tensión entre la densidad de la cuerda:

• v = [ΔT / Δρ]^½.

Un caso más complicado, por ejemplo, puede ser el de la velocidad en el agua, donde “v” es igual a la raíz de la gravedad por la longitud de onda, dividido entre 2 π, y multiplicado todo ello por la tangente hiperbólica de 2 π por la altura respecto a la tierra en cada tramo, deividida entre la longitud de onda, que aparece de nuevo en la ecuación.

La conclusión de esto es que a mayor altura respecto a la base del mar o lo que sea se obtiene una mayor velocidad de propagación, y es por eso que en una playa las ondas marinas (olas) llegan en perfecta distribución a la costa, ya que cada tramo de ellas se adapta a la velocidad proporcional a sus distancia a la arena.

Y ahora es el momento de recordar cuando hablamos de las fuerzas de rozamiento. ¿Recordáis que un fluido que se aproximaba mucho a un sólido se adaptaba en las proximidades a la velocidad de este?

Pues bien, ahora imaginaos un viajero que camina por el desierto y hace tanto calor que la temperatura del suelo está muy elevada, o lo que es lo mismo, sus partículas se mueven con una gran celeridad. Al acercarse la luz a estas partículas, obtiene su energía, que le facilita seguirse desplazando en paralelo al suelo, como si fuese éste quien la emite. A los ojos de un receptor, esta “emisión” de luz por parte del suelo le parecerán un reflejo que, en general, se interpreta como proveniente de un líquido. Es el llamado “efecto Oasis”.

Reflexión:

Cuando una onda rebota al dar con un cambio de emdio material, el ángulo de incidencia es exactamente igual al de la dispersión.

Refracción:

Cuando la luz pasa de un medio a otro, su velocidad cambia un poco (aunque recordemos que la medida es siempre la misma). Esta nueva velocidad se denota por c’, y el coeficiente de variación se define como:

• n = c / c’.

Al intercambiar una onda de medio, se cumple, según la ley de Snell, que:

• n1Senσ1 = n2 Senσ2.

Reflexión total:

Si el cambio de velocidad entre dos medios es muy brusco, podría darse el caso de que el ángulo de refracción fuese de 90º respecto la normal, suponiendo que la onda recorriese el espacio en paralelo a la línea de separación entre los dos medios, con una consecuente reflexión total (ni una parte de la onda penetra en el nuevo medio).

Refracción nula:

Si el ángulo de incidencia al pasar de un medio a otro es perpendicular al cambio, la refracción, aplicando la ley de Snell, es nula, y la trayectoria de la onda es rectilínea.

¿Cómo debería hacer un pescador para cazar un pez con un arpón, si dada su altura la refracción de la imagen de la luz que llega a sus ojos es considerable?

Ubicarse sobre el pez para mirarlo perpendicularmente al agua, y evitando así la refracción.