Astronomía (5): Estrellas, Enanas Blancas, Pulsares, Agujeros Negros, Supernovas, Luminosidad, Diagramas HR, Cúmulos.

Las estrellas son grandes acumulaciones de gas sometido a fuertes reacciones nucleares. Entre sus propiedades se encuentra la de emitir radiación en forma de luz y calor, así como generar potentes campos gravitatorios capaces de poner a orbitar planetas a su alrededor.

El índice de luminosidad de una estrella se mide a través de la ecuación:

• L = 4 π σ r^2 T^4.

, donde “L” representa la luminosidad, “σ” una constante universal asociada a la luminosidad del Sol, “r” el radio de la estrella, y “T” la temperatura de la misma. Despejando, podemos calcular el radio:

• r = [L / (4 π σ T^4)]^1/2.

A la hora de analizar estrellas es interesante tratar con los Diagramas HR, que representan las tres variables anteriores, clasificando las estrellas según las mismas.

Para entenderlos un poco mejor, tal vez será necesario recordar brevemente la ecuación de Planck y el espectro luminoso.

La velocidad de la luz, “c”, era igual a 300000 km/s en el vacío, y la velocidad del haz de luz se define como:

• c = λ ν.

, donde “λ” es la longitud de onda y “ν” es la frecuencia, cuyo producto debe ser constante, por lo que son inversamente proporcionales. Asimismo, la ecuación de Planck nos decía que la energía de la onda era proporcional a la frecuencia a través de la constante “h”:

• E = h ν.

Además, el color con el que apreciamos el haz lumínico depende de su energía, siendo, en orden ascendente de energía: negros, infrarrojos, rojos, anaranjados, amarillos, verdes, azules, añiles, violeta, ultravioleta… De todo esto concluimos que las estrellas a mayor temperatura son más propensas al color violeta, apróximándose más al tono rojizo cuanta menor sea su energía. Además, no debemos olvidar que por causa del Efecto Doppler, todas las estrellas tienden al color rojo en su apariencia, pues al alejarse disminuyen la frecuencia de onda aparente.

En el diagrama HR adjunto, la temperatura está representada de mayor a menor en el eje horizontal (grados Kelvin), mientras que la luminosidad está representada en el eje vertical de menor a mayor (Unidades Solares). El radio de las estrellas está representado en las líneas trasversales que cruzan el diagrama, medido tomando el Radio Solar como unidad.

La esperanza de vida de una estrella, también anotada en algunos tramos, es una estimación en base a las características físicas de la misma.  Cuanta más masa tiene una estrella, mayor es su velocidad de combustión, y menor será su esperanza de vida, pues no le llevará mucho, relativamente, consumirse. Si tomamos la masa solar:

• S = 2 x 10^30 kg.

, como sistema de referencia, obtenemos las siguiente tabla:

• 1 S = 7000000000 años.
• 3 S = 200000000 años.
• 7 S = 65000000 años.
• 15 S = 10000000 años.

El Sol, que evidentemente está incluido en la primera categoría, aún está en la primera etapa de su vida, pues todavía está ganando temperatura y luminosidad. Una Vez alcance su temperatura máxima, su radio disminuirá, y con él su luminosidad, perdiendo posteriormente temperatura para acabar volviéndose una Enana Blanca.

¿Pero cómo saber en qué se convertirá cada estrella al extinguirse? Pues esto depende fundamentalmente de su radio y su masa.

Si la estrella es muy pequeña y tiene muy poca masa se convertirá en una Enana Blanca, de luminosidad, temperatura e interacción gravitatoria medias. Para llegar a esta fase la anterior estrella se desprende de su corteza.

Si tiene algo más de masa se convertirá en un Pulsar a través del mismo poceso. Los pulsares tienen la peculiaridad de estar compuestos de partículas quasi-elementales, por lo que se las conoce como estrellas de neutrones. El nombre de pulsar deriva de la señal o pulso que emiten sobre los detectores cada vez que uno de sus haces lumínicos incide directamente sobre nosotros.

Si la densidad de una estrella es lo suficientemente grande, ésta se convertira en un Agujero Negro, siempre que se cumpla la condición:

• c ≥ [2 G M / r]^1/2.

, es decir, que la raíz cuadrada del cociente “2 G M / r” sea igual o mayor que la velocidad de la luz, siendo “G” la constante de gravitación universal, “M” la masa de la estrella, y “r” el radio de la estrella.

Si la estrella es lo suficientemente grande, se convertirá en una Supernova y desprenderá grandes cantidades de energía.

Las estrellas acostumbran a encontrarse formando grupos más o menos grandes en los que todas ellas interaccionan gravitatoriamente con una gran dependencia, por lo que no se puede estudiar su movimiento por separado.

De entre todas las estrellas que observamos, el 80% de ellas son estrellas dobles, es decir, un sistema de al menos dos astros. Asimismo, el 24% son ternas de estrellas, y el 7,2% son cuaternas.

Con respecto a las agrupaciones de grandes cantidades de estrellas en el cielo, encontramos cúmulos abiertos si están más o menos dispersas, y cúmulos globulares si todas ellas se acumulan en torno a un punto, que será el centro de masas del sistema.

Las galaxias, por su parte, las clasificamos según otro criterio más adaptado. Serán elípticas si su forma se asemeja a la de una elipse, como las órbitas planetarias, y espirales si las estrellas forman curvas que convergen en círculo al núcleo galáctico.

Astronomía (4): Uso del Planisferio Celeste.

El planisferio celeste es el instrumento generalizado para las observaciones estelares nocturnas, y al servir para observar cosas en movimiento es más complejo que un planisferio terrestre.

En primer lugar, dados los movimientos de rotación y traslación de La Tierra, se hace evidente que lo que podemos ver en el cielo varía con el tiempo. Ya que nunca podemos ver la parte del espacio en la que se encuentre el Sol porque su luz nos estorba, nuestras observaciones se limitan a la región espacial que se aprecia en el lado opuesto al Sol por las noches, y esta varía con la traslación.

Un primer análisis del planisferio nos permite ver que se compone de dos partes: una a la que podríamos llamar la base del mismo, con las estrellas y anotaciones en los extremos; y un plástico superior, en el que está pintada la región blanca de arriba con las respectivas indicaciones de norte, este y oeste, así como las horas en los bordes. La parte superior se mueve para ajustarse al cielo que veremos en cada época del año.

En la base, si vamos desde el exterior hacia dentro, podemos apreciar los siguientes elementos:

• Borde exterior dividido en doce regiones, cada una denominada por el nombre de la constelación zodiacal que aparece en esa región del planisferio. Entre dichas indicaciones está anotado el número de grados de circunferencia que llevamos recorridos. De aquí se deduce que aproximadamente cada mes solo una constelación preside el cielo nocturno, si bien las dos o tres más cercanas también se ven a los lados.
• En la siguiente fila nos volvemos a encontrar nuevas divisiones, esta vez medidas en horas angulares en vez de en grados. Obtenemos, pues, 24 divisiones.
• La tercera capa exterior vuelve a estar dividida en doce regiones, cada una con un mes, y cada mes está dividido a su vez en todos los días que tiene. El posterior uso del planisferio permitirá comprobar que a cada mes le corresponde la constelación que tiene al lado porque mantienen una relación inversamente proporcional: la constelación asignada a un mes es la diametralmente opuesta a la que se ve durante el mismo. Así pues, en Febrero e podemos ver Leo, que está asignado a Agosto, y en Abril podremos ver Libra, que está asignado a Octubre.
• Por último, nos encontramos ante el planisferio estelar en si. Las estrellas que comparten constelación están unidas mediante líneas rectas, con  el nombre de cada una y el de la constelación pertinente junto a ellas. Asimismo, dentro de una constelación, las estrellas llevan asociada una letra que indica su grado de importancia en la constelación, de modo que la estrella “α” es la principal, “β” la secundaria, y así sucesivamente. Otro dato de interés es que el planisferio es atravesado por una mancha blanca que sería la Vía Láctea, y por una elipse a trazos que es el lugar en el que nos podría aparecer algún otro planeta de nuestro sistema solar.

En la parte exterior, la plástica, encontramos los siguientes elementos:

• La esquina está dividida en 24 horas, que se corresponden con el horario internacional o del meridiano de Greenwich (GMT, Greenwich Mean Time), que para el caso de España es de una hora menos. Una vez que hemos visto esto, ya podemos poner en hora el planisferio. No hay más que ir al mes y el día en el que nos encontremos y girar la parte plástica hasta que se encuentre en la hora a la que nos encontremos.
• Una vez hecho esto, la parte blanca cubrirá por completo la región estelar que no veremos esa noche, y además nos indicará el Norte, el Sur, el Este y el Oeste, en función de la estrella polar, cuyo modo de localización varía con la parte de La Tierra en la que nos encontremos.
• El centro de la línea que une el Norte y el Sur, representará la parte del cielo que tendremos justo encima de nosotros.

Solo queda decir que con los planisferios hay que tener un especial cuidado, y es que al igual que los relojes solares, solo son útiles para la latitud para la que fueron diseñados.

Métodos Matemáticos III (1): Geometría Analítica en el Plano: Representación de Puntos, Distancia, Coordenadas Polares, Transformación de Coordenadas, Ecuaciones Paramétricas, Posición Relativa, Ángulos, Curvas Cónicas, Foco, Directriz, Excentricidad.

Representación de Puntos en el Plano:

Consideremos un plano donde dibujamos dos líneas perpendiculares que denominamos “OX” y “OY”. Estas líneas se intersecan en un punto “O” que llamaremos el origen de coordenadas. El origen divide a los ejes en dos partes denominadas semiejes (semieje positivo y negativo). Cualquier punto del plano vendrá especificado por un par de números reales que denominaremos coordenadas del punto P = (px, py). Para obtener estas coordenadas trazamos una línea paralela al eje “Y” que pasa por “P”: el punto de corte de esta línea con el eje “X” se encuantra a una distancia “px” del origen. Análogamente, si trazamos una línea que pasa por “P” paralela al eje “X”, la distancia del punto de corte con el eje “Y” al origen “O” es “py”. A estas coordenadas se las denomina coordenadas cartesianas rectangulares.

A su vez, después de establecer los ejes coordenados podemos decir que el plano 2D está dividido en cuatro cuadrantes. En sentido contrario al avance de las agujas del reloj: I, II, III, IV. Los puntos que se encuentran en el eje “X” o eje de abscisas tienen coordenada “y = 0″. Los puntos que se encuentran en el eje “Y” o de ordenadas tienen coordenada “x = 0″. El origen de coordenadas será obviamente (0, 0).

En general denotaremos un punto en el plano mediante el par ordenado constituido por sus coordenadas (x, y). Abusando un poco del lenguaje podemos decir que que el plano donde se han introducido introducido las coordenadas cartesianas”x” e “y” es el plano “xy”. Se cumple que dado un par arbitrario de números reales “x” e “y” existe siempre un punto “P” en el plano “xy” cuya abscisa es igual a “x” y cuya ordenada es igual a “y”, que denotaremos por (x, y). Esta correspondencia es biunívoca. Definimos como los vectores unitarios coordenados ¬i y ¬j a aquéllos de longitud unidad orientados según los ejes coordenados.

• ¬i = (1, 0).
• ¬j = (0, 1).

Así pues:

• x = ¬OP ¬i.
• y = ¬OP ¬j.

escalarmente, y por último:

• ¬OP = x ¬i + y ¬j.

Distancia entre dos puntos:

Sean dos puntos “P1″ y “P2″ en el plano “xy” de coordenadas (x1, y1) y (x2, y2), respectivamente. La distancia entre “P1″ y “P2″ en función de sus coordenadas es:

• d^2 = (x1 – x2)^2 + (y1 – y2)^2.

, de donde se despeja fácilmente que:

• d = [(x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2]^1/2 = d(P1, P2).

A esta distancia se le denomina también distancia euclídea en el plano, y cumple las siguientes propiedades:

• d(P1, P2) ≥ 0.
• Si d(P1, P2) = o, entonces P1 = P2.
• d(P1, P2) = d(P2, P1).

Consideremos el lugar geométrico de los puntos “M” que distan una distancia “r” de un punto “P” de coordenadas (a, b). Tenemos:

• d(M, P) = [(x - a)^2 + (y - b)^2]^1/2 = r.

, que se escribe como:

• (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2.

Esta es la ecuación canónica de una circunferencia de radio “r”.

Veamos cómo dividir un segmento de acuerdo con una razón dada. Consideremos dos puntos M1(x1, y1) y M2(x2, y2), y el segmento que va de uno a otro. Trataremos de encontrar un punto intermedio “M” tal que para dos números reales cualesquiera “λ1″ y “λ2″ > 0 se cumpla que d(M1, M) / d(M2, M) = λ1 / λ2. Suponiendo que el segmento no es paralelo al eje “X”, por semejanza de triángulos tendremos:

• d(M1, M) / d(M2, M) = |x1 – x| / |x2 – x| = λ1 / λ2.
• d(M1, M) / d(M2, M) = |y1 – y| / |y2 – y| = λ1 / λ2.

De la primera ecuación tenemos:

• x = (x1 λ2 + x2 λ1) / ( λ1 + λ2).

Análogamente, de la segunda:

• y = (y1 λ2 + y2 λ1) / ( λ1 + λ2).

Coordenadas polares:

Supongamos que tenemos definido en el plano l origen de coordenadas “O”, la unidad de escala de longitud y un eje ¬L que pasa por el punto “O”. Sea “M” un punto arbitrario del plano que no coincide con “O”. Determinaremos su posición en el plano unívocamente mediante dos números:

• La distancia entre “M” y “O”, que denotaremos por “r”.
• El ángulo “φ”, medido en el sentido contrario al avance de las agujas del reloj, entre el semieje positivo ¬L y la dirección ¬OM.

Al par ordenado de valores (r, φ) se le denomina coordenadas polares del punto “M”. “r” es el radio polar y “φ” es el ángulo polar. Es habitual llamar a “O” el polo y a “¬L” el eje polar. Con la definición anterior, para todo punto “M” del plano, excepto el punto “O”, tenemos “r > 0″ y “0 ≤ φ ≤ 2 π”. Al polo “O” se le asigna “r = 0″, mientras que el ángulo “φ” está indeterminado. Al sistema de coordenadas que acabamos de construir en el plano se le denomina sistema de coordenadas polares. Podemos relacionar el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares con el de coordenadas polares:

• El polo “O” es el origen de coordenadas (0, 0).
• El eje orientado “X” es el eje polar. El eje “Y” forma un ángulo de “π / 2″ respecto al eje “X”. De este modo tenemos ¬L = ¬i.

Se llaman líneas coordenadas a aquéllas definidasmediante las condiciones:

• r = cte.
• φ = cte”.

En coordenadas polares, estas líneas corresponden a circunferencias centradas en el origen y a semirrectas que pasan por el origen, respectivamente. Los vectores unitarios coordenados son vectores unitarios perpendiculares a las líneas coordenadas de cada punto, y con el mismo sentido del crecimiento de dicha coordenada. Con esta definición, los vectores “¬er” y “¬eφ” son ortonormales y su dirección depende del punto del espacio que consideremos:

• ¬er = Cosφ ¬i + Senφ ¬j.
• ¬eφ = – Senφ ¬i + Cosφ ¬j.

La elección de un adecuado sistema de vectores unitarios tiene especial importancia en la expresión de los campos vecoriales. Interesa que las coordenadas curvilíneas elegidas se adecúen a la simetría que presente el campo. Consideremos por ejemplo una carga eléctrica “q” en el origen de coordenadas. El campo eléctrico generado tiene dirección radial y su módulo es:

• |¬Eq| = (K q / r^2) ¬er.

, mientras que en coordenadas cartesianas (en 2D) tendríamos:

• ¬Eq = (K q / (x^2 + y^2) ) ((x / [x^2 + y^2]^1/2) ¬i + (y / [x^2 + y^2]^1/2) ¬j) = (K q / [x^2 + y^2]^3/2) (x ¬i + y ¬j).

La relación entre coordenadas polares y cartesianas es:

• r = [x^2 + y^2]^1/2.
• Cosφ = x / [x^2 + y^2]^1/2.
• Senφ = y / [x^2 + y^2]^1/2.

A su vez, podemos escribir:

• x = r Cosφ.
• y = r Senφ.

Ya vimos que la ecuación de la circunferencia de radio “r” centrada en el origen en coordenadas cartesianas es:

• x^2 + y^2 = r^2.

, mientras que en coordenadas polares es simplemente:

• r = cte.

La ecuación, en coordenadas cartesianas, de una circunferencia centrada en un punto (a, b) arbitrario y radio “R” es:

• (x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2.

Su expresion en coordenadas polares, siendo:

• a = r0 Cosφ.
• b = r0 Senφ.

, se expresa del siguiente modo:

• 2 r r0 Cos(φ – φ0) = r^2 + r0^2 – R^2.

, y en caso de que la circunferencia pase por el eje de coordenadas (r0 = R), queda aún más simplificada:

• r = 2 R Cos(φ – φ0).

Transformación de Coordenadas:

En algunos casos puede resultar útil referir las coordenadas a sistemas de ejes a los originalmente planteados. Consideremos las siguientes transformaciones:

• Traslaciones: tomamos un nuevo sistema de ejes coordenados cartesianos O’ X’ Y’ donde el origen de coordenadas O’ tiene coordenadas (x0, y0) referidas a los ejes coordenados O X Y. Obviamente se cumple que x’ = x – x0, y’ = y – y0. A esta transformación se la denomina traslación.
• Rotaciones: tomamos un nuevo sistema de ejes cartesianos O’ X’ Y’ en el que los ejes X’ e Y’ se giran solidariamente un cierto ángulo “α” en sentido antihorario.

Veamos cuál es la relación entre las coordenadas X Y referidas al sistema inicial y las coordenadas X’ Y’ referidas al sistema girado. Obsérvese que la componente “x” del vextor unitario “¬i” viene dada por el producto escalar:

• ¬i’ ¬i = Cosα.

, mientras que la componente “y” del vector viene dada por:

• ¬i’ ¬j = Senα.

Tenemos entonces:

• ¬i’ = Cosα ¬i + Senα ¬j.
• ¬j’ = – Senα ¬i + Cosα ¬j.

Dado un punto “P” en el plano de coordenadas (x, y), escribimos:

• ¬OP = x ¬i + y ¬j.

en el sistema de coordenadas sin transformar, mientras que en el transformado tenemos:

• ¬OP = x’ ¬i’ + y’ ¬j’.

Sustituyendo con las anteriores igualdades:

• ¬OP = (x’ Cosα – y’ Senα) ¬i + (x’ Senα + y’ Cosα) ¬j.

Pesto que éstas son las componentes respecto a la base de vectores coordenados “¬i” y “¬j” deducimos:

• x = x’ Cosα – y’ Senα.
• y = x’ Senα + y’ Cosα.

Con 0 ≤ α ≤ 2 π. Por otro lado, los vectores coordenados ¬i y ¬j en términos de los ¬i’ y ¬j’ vienen dados por:

• ¬i = Cosα ¬i’ – Senα ¬j’.
• ¬j = Senα ¬i’ + Senα ¬j’.

Como:

• ¬OP = x ¬i + y ¬j = (x Cosα + y Senα) ¬i + (- x Senα + y Cosα) ¬j.

, deducimos que:

• x’ = x Cosα – y Senα.
• y’ = – x Senα + y Cosα.

Si realizamos una transformación de coordenadas donde se produce una traslación junto con una rotación de los ejes, obtenemos una forma general de las transformaciones de coordenadas en el plano. Para ver cuál es la relación entre las coordenadas referidas al sistema O’ X’ Y’ y las relaciones al sistema O X Y resulta útil construir un sistema auxiliar O’ X” Y” que tiene el mismo origen que el sistema O’ X’ Y’, pero con los ejes paralelos a los del sistema O X Y. Podemos entonces escribir:

• x” = x’ Cosα – y’ Senα.
• y” = x’ Senα + y’ Cosα.

y además:

• x = x” + x0.
• y = y” + y0.

siendo (x0, y0) las coordenadas de O’ en el sistema de referencia O X Y. De lo cual, en resumen, se deduce que:

• x = x’ Cosα – y’ Senα + x0.
• y = x’ Senα + y’ Cosα + y0.

Por otra parte, la relación entre las coordenadas referidas al sistema O’ X” Y” y las referidas al sistema O’ X’ Y’ es:

• x’ = x” Cosα + y” Senα.
• y’ = – x” Senα + y” Cosα.

también expresable como:

• x’ = (x – x0) Cosα + (y – y0) Senα.
• y’ = – (x – xo) Senα + (y – y0) Cosα.

Es posible demostrar que cualquier transformación de coordenadas X Y a X’ Y’ que deje invariante la distancia entre dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), es decir: (x1 – x2)^2 + (y1 – y2)^2 = (x’1 – x’2)^2 + (y’1 – y’2)^2, descrita por las fórmulas de transformación anteriores salvo tal vez un signo:

• x’ = (x – x0) Cosα + (y – y0) Senα.
• y’ = +-[- (x - xo) Senα + (y - y0) Cosα].

El signo menos que aparece en la última fórmula se debe a una reflexión a lo largo de una línea que pasa por el origen de coordenadas.

Reflexión Especular:

Consideremos un sistema de coordenadas O X’ Y’ en el que se cumple que los ejes de abscisas coinciden (O X = O X’) y que el eje de coordenas transformado O Y’ tiene orientación opuesta al O Y. Para un punto “M” arbitrario la relación entre las coordenadas nuevas y las viejas será entonces:

• x = x’.
• y = – y’.

Esto es una reflexión especular respecto al eje O X.

De modo análogo podemos hacer una reflexión especular respecto al eje O Y. Se puede demostrar que cualquier transformación de las coordenadas cartesianas rectangulares que conserve la distancia se puede descomponer en una traslación, giro y reflexión especular.

Curvas en el Plano:

Consideremos una curva en el plano X Y tal como indica la figura. La ecuación dada por:

• f(x, y) = 0.

se llama ecuación implícita de la curva. Los puntos del plano cuyas coordenadas (x, y) cumplen:

• f(x, y) = 0.

se dice que son puntos de la curva. En esencia, la geometría analítica aborda el problema de las curvas en el plano desde las dos perspectivas:

• Encontrar la ecuación de una curva dadas sis propiedades geométricas.
• Encontrar las propiedades geométricas de una curva dada su ecuación.

Ecuaciones Paramétricas de una Curva:

Supongamos un punto “P” sobre una cierta curva y que para cada valor del parámetro “t” las coordenadas del punto son:

• x = f(t).
• y = g(t).

Estas son las llamadas ecuaciones paramétricas de la curva en función del parámetro “t”. En el caso de una partícula que se mueva por el espacio físico que se mueva por el espacio describiendo la curva, este parámetro podría ser por ejemplo el tiempo.

Supongamos un círculo con centro en el origen y radio “R”. Podemos escribir:

• x = R Cosα.
• y = R Senα.

, con 0 ≤ α ≤ 2 π. En este caso el parámetro de la curva es el ángulo “α”. A partir de las ecuaciones paramétricas podemos obtener la ecuación en forma implícita despejando el parámetro:

• x^2 + y^2 = R^2 Cosα^2 + R^2 Senα^2 = R^2.

Consideremos las ecuaciones paramétricas siguientes:

• x = a Cost.
• y = b Sent.
• 0 ≤ t ≤ 2 π.

Para eliminar el parámetro “t” dividimos “x” por “a” e “y” por “b”, de modo que:

• x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1.

Tenemos así la forma implícita de la ecuación de la curva, en este caso una elipse.

Conviene señalar que, en general, el conjunto de puntos que satisfacen las ecuaciones paramétricas no coincide con el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación de la curva en su forma implícita. Consideremos el siguiente ejemplo:

• x = a Cosht.
• y = b Senht.
• Cosht = (e^x + e^-x) / 2.
• Senht = (e^x – e^-x) / 2.

Se cumple que:

• Cosht^2 – Senht^2 = 1.

, y por tanto la ecuación implícita de la curva es:

• x^2 / a^2 – y^2 / b^2 = 1.

Se trata de una hipérbola. En esta ecuación el punto (-a, 0) es solución, pero no satisface las ecuaciones paramétricas originales.

Rectas en el Plano:

Sea ¬P un punto del plano R^2 y ¬u un vector no nulo de R^2 (vector director). Se llama recta que pasa por ¬P y tiene la dirección ¬u al conjunto formado por los puntos ¬r de R^2 tales que:

• ¬r = ¬P + λ ¬u.

, para cualquier valor de “λ”.

Esta se denomina ecuación vectorial de la recta. Dos rectas definidas por:

• ¬r = ¬P + λ ¬u.
• ¬s = ¬Q + λ ¬v.

serán la misma si y solo si los vectores “¬P – ¬Q”, “¬u” y “¬v” son vectores proporcionales.

Se llama segmento que tiene por origen y extremo los puntos “¬P” y “¬Q” al conjunto de puntos de valores “¬xi” tales que:

• ¬xi = ¬P + λ (¬Q – ¬P).

, siempre que 0 ≤ λ ≤ 1.

Si escribimos la ecuación vectorial usando coordenadas o componentes tendremos:

• x = px + λ ux, y = py + λ uy.

Éstas últimas se conocen como ecuaciones paramétricas de la recta en R^2.

Si despejamos “λ” obtendremos:

• (x – px) / ux = (y – py) / uy.

A ésta se la denomina ecuación continua o canónica de la recta.

Obtengamos ahora la ecuación de la recta que pasa por los puntos ¬P(px, py) y Q(qx, qy). Las paramétricas:

• x = λ (qx – px) + px.
• y = λ (qy – py) + py.

La continua:

• (x – px) / (qx – px) = (y – py) / (qy – py).

Consideremos una línea recta que pasa por el punto A0(x0, y0), y sea ¬n = (a, b) un vector normal a la recta. Cualquier otro punto “P” que pertenece a la recta cumple que el vector “¬P – ¬A0″ es perpendicular a “¬n”, y por lo tanto el producto escalar de ambos vectores debe ser nulo, surgiendo así la ecuación euclídea:

• ¬n (¬P – ¬A0) = 0.

Sustituyendo llegamos inmediatamente a la ecuación normal:

• a x + b y + (- a x0 – b y0) = 0.

Los coeficientes que acompañan a “x” e “y” tienen la interpretación de ser los coeficientes de un vector normal a la recta.

En muchos casos es común usar como vector normal a la recta un vector unitario. Supongamos que la normal a la recta forma un ángulo “α” con el eje “X”, entonces:

• ¬n = (Cosα, Senα).

Por otra parte observemos que si ¬n es unitario, entonces:

• a x0 + b y0 = p.

es la proyección del vector de posición (x0, y0) en la dirección normal a la recta. Esta proyección es constante para todos los puntos de la recta, según se manifiesta en la ecuación. Esa ecuación la podemos escribir ahora como:

• Cosα x + Senα y = p.

, y además |p| representa la distancia al origen.

Ya hemos demostrado que dada una recta, y mediante su normal, podemos siempre escribir una ecuación de la forma:

• a x + b y + c = 0.

Veamos el recíproco, es decir, cualquier ecuación de esta forma es la ecuación de una recta en el plano. Supongamos que (x0, y0) es una solución para la ecuación anterior (un punto de la recta), entonces:

• a x0 + b y0 + c = 0.

, y por tanto:

• c = – a x0 – b y0.

Por ello podemos escribir:

• ax + b y – a x0 – b y0 = 0.

, de donde:

• (x – x0) / b = (y – y0) /- a.

, que es la ecuación de una recta que pasa por el punto (x0, y0) y con normal (a, b). Por lo tanto, la ecuación general de una recta en el plano es:

• a x + b y + c = 0.

Siendo el vector (a, b) perpendicular a dicha recta.

Posición Relativa a los Ejes Coordenados:

Supongamos una recta en el plano R^2 dada por la ecuación:

• a x + b y + c = 0.

Tenemos:

• Si a = 0, entonces y = – c / b. Es una línea horizontal paralela al eje “X”.
• Si b = 0, entonces x = – c / a. Es una línea vertical paralela al eje “Y”.
• Si c = 0 entonces ax + by = 0. Es una línea que pasa por el origen de coordenadas.

Si en la ecuación general b ≠ 0, entonces se puede escribir:

• y = – a x / b – c / b.

, o bien:

• y = k x + q con k = – a / b, q = – c / b.

Considerando dos puntos de la recta (x1, x2), (x2, y2):

• y1 = k x1  + q.
• y2 = k x2 + q.

podremos despejar “k” como:

• k = (y2 – y1) / (x2 – x1).

, y:

• k = Tgα.

, salvo tal vez un signo de reflexión especular.

Posición Relativa entre Dos Rectas:

Consideremos dos rectas en el plano dadas las ecuaciones:

• a1 x + b1 y + c1 = 0.
• a2 x + b2 y + c2 = 0.

Veamos si las rectas son paralelas o se cortan. Como ya sabemos, los coeficientes de “x” e “y” son los componentes de un vector perpendicular a la recta.

Por tanto el paralelismo entre dos rectas significa que los vectores (a1, b1) y (a2, b2) tienen la misma dirección, lo cual a su vez implica que los vectores (a1, b1) y (b2, – a2) son perpendiculares, con lo cual, por un producto escalar:

• a1 b2 – b1 a2 = 0.

, de donde:

• a1 / a2 = b1 / b2.

, y pendientes iguales implican paralelismo. La condición de paralelismo significa que no hay solución común a ambas ecuaciones.Si ademas obtenemos que:

• a1 / a2 = b1 / b2 = c1 / c2.

, entonces las dos rectas son la misma, y aparecen infinitas soluciones.

Si por el contrario tenemos:

• a1 / a2 ≠ b1 / b2.

, entonces el sistema de ecuaciones tiene solución única y las rectas son secantes. Para que dos rectas sean perpendiculares sus vectores han de ser perpendiculares:

• a1 a2 + b1 b2 = 0.

, o bien:

• a1 / b1 = – b2 / a2.

Ángulo entre Dos Rectas:

Consideremos dos rectas “r” y “s” del plano euclídeo dadas por las ecuaciones:

• r→a1 x + b1 y + c1 = 0.
• s→a2 x + b2 y + c2 = 0.

Los vectores normales a esas rectas son:

• ¬n1(a1, b1).
• ¬n2(a2, b2).

, respectivamente. El coseno del ángulo entre las dos rectas viene dado por:

• Cosφ = |Cos(¬n1, ¬n2)| = (|¬n1 ¬n2|) / (||¬n1|| ||¬n2||).

, para 0 ≤ φ ≤ 2 π.

Consideremos, por ejemplo, dos rectas escritas en la forma:

• y = m x + h.
• y = m’ x + h’.

Sus vectores normales son ¬n1(m, -1) y ¬n2(m’, -1). Por prodcto escalar:

• Cosφ = |(m m’ + 1) / ([1 + m^2]^1/2 [1 + m'^2]^1/2)|.

, y por comodidad:

• Tgφ = [1 - Cosφ^2] / Cosφ = |m m’| / |1 + m m’|.

Distancia de un Punto a una Recta:

Sea un punto P(xp, yp) del plano y una recta “r” dada por la acuación normal:

• a1 x + b1 y + c1 = 0.

La distancia del punto “P” a la recta es la menor de las distancias de “P” a cualquiera de los puntos de la recta. Sea “¬r” el vector de posición de cualquier punto de la recta y “¬p” el vector de posición del punto (px, py), entonces la distancia “d” que buscamos es la proyección del vector “¬r – ¬p” sobre la dirección perpendicular a la recta:

• d = |(¬r – ¬p) ¬n| / ||¬n||.

Calculando:

• (¬r – ¬p) ¬n = x a1 + y b1 – a1 xp – b1 yp.

Como el punto (x, y) pertenece a la recta se cumplirá que:

• x a1 + y b1 = – c1.

, y por lo tanto:

• |(¬r – ¬p) ¬n| = |a1 xp + b1 yp + c1|.

, y la distancia del punto a la recta vendrá dada por:

• d(P, r) = |a1 xp + b1 yp + c1| / [a1^2 + b1^2]^1/2.

Haces de rectas:

Consideremos dos líneas rectas “r” y “s” distintas dadas por las ecuaciones:

• a1 x + b1 y + c1 = 0.
• a2 x + b2 y + c2 = 0.

Definimos haz de rectas determinado por “r” y “s” como el conjunto de puntos de R^2 que satisfacen la composición lineal de las ecuaciones de las rectas:

• α (a1 x + b1 y + c1) + β (a2 x + b2 y + c2) = 0.

, siendo “α” y “β” no nulos. El haz de rectas que determina “r” y “s” es un conjunto de rectas parametrizadas por los números reales “α” y “β”. Si “r” y “s” se cortan en un punto el haz lo forman todas las rectas que pasan por ese punto, mientras que si “r” y “s” son paralelas el haz lo forman todas las rectas paralelas a “r” y “s”.

.-Consideremos que las rectas “r” y “s” se cortan en un punto P(x0, y0), entonces se cumple que:

• a1 x0 + b1 y0 + c1 = 0.
• a2 x0 + b2 y0 + c2 = 0.
  

Y todas las rectas del haz pasan por (x0, y0) porque verifican la ecuación:

• α (a1 x0 + b1 y0 + c1) + β (a2 x0 + b2 y0 + c2) = 0.

Por otro lado, cualquier recta que pase por el punto (x0, y0) pertenece también al haz. En efecto, dado cualquier punto del plano (x, y) distinto de (x0, y0), podemos hacer que satisfaga la ecuación sin más que tomar los siguientes “α” y “β”:

• α = a2 x + b2 y + c2.
• β = – (a1 x + b1 y + c1).

Tenemos entonces que cualquier punto del plano perteneciente al haz de rectas y que todas las rectas del haz pasan por el punto (x0, y0). Como por dos puntos del plano solo pasa una recta, concluimos que toda recta que pase por (x0, y0) pertenece al haz.

.-Si las rectas “r” y “s” son paralelas pero no coincidentes se verifica el siguiente sistema:

• a1 / a2 = b1 / b2 = 1 /γ.

, y se cumplirá entonces que el haz será:

• (α + β γ) a1 x + (α + β γ) b1 y + α c1 + β c2 = 0.

, que es una recta paralela a “r” y a “s”. Como vimos antes, por todo punto del plano pasa una recta del haz, por tanto el haz está formado en este caso por todas las rectas paralelas a “r” y a “s”.

Curvas de segundo orden en el plano. Cónicas:

Comenzaremos con una introducción particular a cada una de las tres cónicas. Posteriormente daremos una definición general de las cónicas y demostraremos sus propiedades. Luego expresaremos sus ecuaciones en coordenadas polares y, para terminar, haremos un estudio general de las curvas de segundo orden en el plano.

Consideremos un punto “P” en el espacio tridimensional R^3, situado en la perpendicular al centro de una circunferencia en un plano “σ”. Tracemos todas las rectas que pasan por “P” y algún punto de la circunferencia, así obtenemos un cono con vértice “P” y semiángulo “α”.

.-Si intersecamos al cono con un plano perpendicular a su eje de simetría obtendremos una circunferencia.

.-Si intersecamos al cono con un plano inclinado que forma un ángulo mayor que “α” con su eje de simetría obtendremos una elipse.

.-Si lo intersecamos con un plano paralelo a una de sus generatrices obtendremos una parábola.

.-Si lo intersecamos con un plano que forma un ángulo menor que “α” con su eje de simetría obtendremos una hipérbola con dos ramas.

Hay muchos fenómenos naturales que conducen a secciones cónicas. La trayectoria de cuerpos en campos gravitatorios es un ejemplo. La trayectoria del extremo de una sombra de un palo sobre una superficie plana a lo largo de un día es también una sección cónica. Demostraremos  más adelante un teorema sobre las secciones cónicas y sus propiedades. Por ahora estudiaremos la elipse, la hipérbola y la parábola por separado.

La Elipse:

Se llama elipse, que tiene por focos los puntos “F” y “F’” situados a distancia “2 c”, y cuya constante es “2 a”, siendo “a > c > 0, al lugar geométrico de los puntos “Pi” pertenecientes a R^2 tales que la suma de las distancias de “P” a los focos es la constante “2 a”:

• d(F, P) + d(P, F’) = 2 a.

Se llaman ejes de la elipse (por sus ejes de simetría) a la recta F F’ (eje focal o mayor) y a su mediatriz (eje secundario o menor). La intersección de los dos ejes de la elipse es el punto “O”, centro de simetría. Los puntos de la elipse que se encuentran en sus ejes se llaman vértices (A y A’ en el eje mayor y B y B’ en el eje menor). Se verifica que:

• d(O, A) = d(O, A’) = a.
• d(F, B) = d(F, B’) = d(F’, B) = d(F’, B’) = a.
• d(O, B) = d(O, B’) = b, siendo “b” tal que a^2 = b^2 + c^2.

Veamos ahora cuál es la ecuación de la elipse en coordenadas rectangulares suponiendo que su centro coincide con el origen de coordenadas y que sus ejes de simetria coinciden con los ejes de coordenadas. Tenemos:

• F = (c, 0).
• F’ = (-c, 0).
• d(P, F) = [(x - c)^2 + y^2]^1/2.
• d(P, F’) = [(x + c)^2 + y^2]^1/2.

La condición de la elipse será que la suma de las distancias de “P” a cada uno de los focos sean igual a “2 a”:

• [(x - c)^2 + y^2]^1/2 + [(x + c)^2 + y^2]^1/2 = 2 a.

, que simplificado queda:

• x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1.

, que es la ecuación canónica o reducida de la elipse.

La elipse puede considerarse como una generalización de la circunferencia, pues si “a” = “b” la elipse se convierte en una circunferencia de radio “a”.

Propiedades de la Elipse:

• La elipse de semiejes “a” y “b” está contenida en el rectángulo |x| < a, |y| < b. Es fácil demostrarlo ya que como x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1, se tienen que cumplir: “x^2 / a^2 < 1″, y “y^2 / b^2 < 1″.
• Los puntos (+- a, 0) y (0, +- b) son los vértices de la elipse.
• Los ejes “OX” y “Y” son ejes de simetría de la elipse. Si (x0, y0) es un punto de la elipse, entonces (- x0, y0), (x0, – y0) y (- x0, – y0) son también puntos de la elipse.
• Los puntos (c, 0) y (- c , 0) son los focos de la elipse, y “2 c” es la distancia focal. El parámetro “e = c / a” se denomina excentricidad de la elipse, y verifica 0 < e < 1 (porque a^2 = b^2 + c^2 → a > c). Para una circunferencia tenemos “a = b” y “e = c = 0″.

Rectas Directrices y Redefinición de la Elipse:

Las rectas dadas por:

• δ1: x + a / e = 0.
• δ2: x – a / e = 0.

se conocen como rectas directrices de la elipse (izquierda y derecha, respectivamente). Con su ayuda podemos definir la elipse como el lugar geométrico de los puntos del plano que verifican que la razón de la distancia a un foco y a la recta directriz correspondiente es igual a la excentricidad de la elipse:

• d(P, F) / d(P, δ) = e.

La recta directriz derecha es:

• δ2: e x – a = 0.

La distancia de un punto “P” de la elipse a esta recta es:

• d(P, δ) = (a – e x) / e.

, cumpliéndose “a > e x”. La distancia de un punto de la elipse al foco derecho es:

• d(P, F) = [(x - c)^2 + y^2]^1/2.

Como (x, y) está en la elipse siempre que:

• x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1.

, se cumple:

• y = b^2 (1 – x^2 / a^2).

Sustituyendo:

• d(P, F) = a – e x.

Vemos entonces que se obtiene:

• d(P, F) / d(P, δ) = e.

Ecuaciones Paramétricas:

• x = a Cosσ.
• y = b Senσ.
• 0 ≤ σ ≤ 2 π.

En la elipse se puede inscribir una circunferencia con centro (0, 0) y radio “r = b”. A su vez, la elipse está inscrita en una circunferencia con centro en (0, 0) y radio “r = a”.

La Hipérbola:

Llamaremos hipérbola, que tiene por focos los puntos “F” y “F’” situados a una distancia “2 c”, y cuya constante es “2 a”, siendo 0 < a < c, al lugar geométrico de los puntos de R^2 tales que la diferencia de sus distancias a los focos es “2 a”.

Se llama eje focal o real a la recta “F F’”, y eje secundario o imaginario a su mediatriz. Su punto de intersección, O = (0, 0), es el centro de simetría.

El eje “F F’” corta a la hipérbola en dos puntos “A” y “A’”, que se llaman vértices, de modo que:

• OA = OA’ = a.

El eje imaginario no corta a la hipérbola, que tiene dos ramas, una a cada lado de este eje. A los puntos B(0, b) y B’(0, – b), con el parámetro “b” verificando la relación:

• a^2 + b^2 = c^2.

, se les conoce como extremos del eje imaginario.

Si se cumple que “a = b”, entonces la hipérbola se dice equilátera.

Veamos ahora la ecuación de la hipérbola a partir de la relación dada. Sus focos son F(c, 0) y F’(- c, 0), por lo tanto tenemos, restando las distancias:

• |[(x - c)^2 + y^2]^1/2 – [(x+c)^2 + y^2]^1/2| = 2 a.

Elevando al cuadrado y operando obtenemos:

• x^2 / a^2 – y^2 / b^2 = 1.

Propiedades:

• La hipérbola se haya fuera de la franja |x| < a. En efecto, basta ver que x^2 / a^2 = 1 + y^2 / b^2 ≥ 1, por lo tanto |x| ≥ a. Los puntos (+- a, 0) son los vértices de la hipérbola.
• Está contenida en la región comprendida entre las rectas y = +- b x / a, que contiene el eje “OX”. Para comprobarlo basta con tomar la desigualdad x^2 / a^2 > y^2 / b^2, con lo cual |x| / a > |y| / b. Entonces |y| < b |x| / a. La hipérbola se halla contenida por tanto en dos regiones, una contiene la rama derecha y la otra a la izquierda.
• Se cumple que cuando hacemos tender x^2 + y^2 → ∞, la distancia entre los puntos de la hipérbola a una de las rectas +- b x / a tiende a “0″. Estas rectas se denominan asíntotas de la hipérbola. Para verlo, tomemos, por ejemplo, la asíntota y = b x / a. Un punto de la hipérbola tendrá coordenadas P(x, (b / a) [x^2 - a^2]^1/2. La ecuación de la recta se podrá escribir como b x – a y = 0, y la distancia del punto “P” a la recta es: d(P, r) = b |x – [x^2 - a^2]^1/2| / [a^2 + b^2]^1/2. Queremos estudiar el comportamiento de esta expresión cuando x → ∞. Multiplicando numerador y denominador por “x + [x^2 - a^2]^1/2 tenemos: d(P, r) = a^2 b / ([a^2 + b^2]^1/2 (x + [x^2 - a^2]^1/2)). Vemos que d(P, r) → 0.

Otra Definición de la Hipérbola:

Denominamos excentricidad de la hipérbola al parámetro:

• e = c / a.

Se cumple que e > 1. Las rectas:

• x = – a / e.
• x = a / e.

se denominan rectas directrices de la hipérbola. Podemos definir entonces la hipérbola como el conjunto de puntos del plano para los que la razón entre la distancia al foco y a la recta directriz correspondiente es igual a la excentricidad. Igual que con la elipse:

• d(P, F) / d(P, δ) = e.

Tomemos la recta:

• e x – a = 0.

Entonces:

• d(P, δ) = (e x – a) / e.

, y por otra parte:

• d(P, F) = e x – a.

Por lo tanto vemos que se cumple la definición.

Ecuaciones Paramétricas:

Las ecuaciones paramétricas de una hipérbola de semiejes “a” y “b” son:

• +- x = a Cosht.
• y = a Senht.
• - ∞ < t < ∞.

El doble signo da lugar a las dos ramas de la hipérbola.

Hipérbola Conjugada:

Dada la hipérbola de ecuación:

• x^2 / a^2 – y^2 / b^2 = 1.

, se denomina hipérbola conjugada a aquella que tiene como ecuación:

• x^2 / a^2 – y^2 / b^2 = – 1.

Comparte las mismas asíntotas que la hipérbola original.

La Parábola:

Llamamos parábola en el plano euclídeo, que tiene por foco el punto “F” y por directriz la recta “δ” situada a una distancia “p > 0″ del foco “F”, al lugar geométrico de los puntos que equidistan de “F” y “δ”.

Llamamos eje de simetría de la parábola al eje perpendicular a la recta “δ” que pasa por el foco “F”. El eje corta a la parábola en un punto “O”, que se llama vértice. La parábola no tiene centro, y es una curva no acotada que carece de asíntotas.

Un punto pertenecerá a la parábola si verifica que:

• [(x - p / 2)^2 + y^2]^1/2 = |x + p / 2|.

Con lo cual:

• y^2 = 2 p x.

La Parábola como Límite de la Elipse:

Consideremos la siguiente elipse:

• x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1.

Hacemos el cambio de coordenadas:

• x’ = x + a.
• y’ = y.

, es decir:

• x = x’ – a.
• y = y’.

La ecuación de la elipse en las nuevas coordenadas es:

• y’^2 = 2 b^2 x’ / a – b^2 x’^2 / a^2.

Hagamos ahora tender a → ∞ manteniendo el foco “F” en su posición fija. Las coordenadas del foco son F(s, 0), con:

• s = cte.
• s = a – c.

, de donde:

• c = a – s.

Teniendo en cuenta la relación entre los parámetros “a”, “b” y “c” de la elipse:

• b^2 / a^2 = 2 s / a – s^2 / a^2.

Vemos que siempre que a → ∞ se cumple:

• b^2 / a → 2 s

y que:

• b^2 / a^2 → 0.

Por lo tanto la ecuación de la elipse se convierte en:

• y’^2 = 4 s x’.

, que es la ecuación de una parábola con parámetro:

• p = 2 s.

Análogamente se puede demostrar que si en una hipérbola mantenemos un foco fijo y hacemos tender a → ∞ obtenemos una parábola.

La definición de la parábola por medio de su directriz es:

• d(P, F) / d(P, δ) = e.

La parábola es una cónica con excentricidad:

• e= 1.

Tangente a las Cónicas:

Consideremos una cruva expresada mediante la ecuación:

• y = f(x).

Sea A(x0, y0) un punto fijo de la curva y consideremos B(x1, y1) otro punto cualquiera de la curva. La ecuación secante estará expresada mediante:

• y – y0 = (Δy / Δx) (x – x0).
• Δy = y1 – y0.
• Δx = x1 – x0.

Cuando hacemos tender B → A, la recta secante tiende a ser la recta tangente a la curva en el punto “A”, y además: Δy / Δx = f’(x0). Por lo tanto la ecuación de la recta tangente a la curva se puede escribir simplemente como:

• y – y0 = f’(x0) (x – x0).

A veces la curva tiene una expresión analítica más sencilla cuando expresamos:

• x = g(y).

En este caso podemos escribir la ecuación de la recta tangente como:

• x – x0 = g’(y0) (y – y0).

Consideremos ahora una elipse, una hipérbola y una parábola, cuyas ecuaciones reducidas son:

• x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1.
• x^2 / a^2 – y^2 / b^2 = 1.
• y^2 = 2 p x.

Se puede demostrar que en cualquiera de sus puntos (x0, y0) cada una de estas cónicas tiene como tangente la recta dada por las ecuaciones siguientes, respectivamente:

• x x0 / a^2 + y y0 / b^2 = 1.
• x x0 / a^2 – y y0 / b^2 = 1.
• y y0 = p (x0 + x).

Propiedad Óptica de la Parábola:

Una de las propiedades ópticas más conocidas de la parábola es que si ésta actúa como una superficie reflectante cualquier rayo de luz que incida sobre ella según una dirección paralela a su eje se refleja pasando por su foco. En efecto, acabamos de ver que la recta tangente que pasa por (x0, y0) es:

• p x – y0 y + p x0 = 0.

Sea “β” el ángulo que la normal a esta recta forma con la dirección horizontal, y sea “α” el ángulo que forma con el vector que une (x0, y0) y el foco “F”. Matemáticamente se calcula por trigonometría que:

• α = β.

Foco, Directriz y Excentricidad:

Dados en el plano un foco “F”, una recta directriz “δ” que no pasa por “F”, y un número no negativo “e” llamado excentricidad, se verifica que el lugar geométrico de los puntos “P” tales que sus distancias a “F” y a “δ” se mantienen en relación constante e igual a “e” forman una cónica. Concretamente:

• Si e < 1 obtenemos una elipse.
• Si e = 1 obtenemos una parábola.
• Si e > 1 obtenemos una hipérbola.

Cónicas Equivalentes:

Hasta el momento hemos estudiado las tres cónicas fundamentales a partir de sus ecuaciones reducidas. Estas ecuaciones son de segundo grado en coordenadas “x” e “y”. Si cambiamos el origen de coordenadas o rotamos los ejes, las ecuaciones reducidas de las cónicas se transforman en general en ecuaciones de segundo grado, por lo que se les suelen expresar de un modo general como:

• a11 x^2 + a12 x y + a22 y^2 + 2 b1 x + 2 b2 y + c = 0.

Obviamente, si multiplicamos esta ecuación por una constante “ρ”, la nueva ecuación: ρ(a11 x^2 + a12 x y + a22 y^2 + 2 b1 x + 2 b2 y + c) = 0 representa la misma cónica que la anterior, ya que ambas ecuaciones tienen el mismo conjunto de soluciones.

Astronomía (2): Planetas y Eclipses.

A día de hoy los planetas de nuestro Sistema Solar son ocho, y como ya deberíamos saber todos ellos giran en torno al Sol siguiendo órbitas elípticas, tal como propone la 1ª Ley de Kepler. Haremos pues en esta entrada un estudio más o menos detallado de los mismos, si bien no trataremos nada revelador.

El más próximo al Sol es Mercurio, y es uno de los denominados planetas rocosos, ya que al estar más próximo al Sol se encuentra a más altas temperaturas y sus materiales tienden a encontrarse en estado sólido. Ésto dificulta la existencia de una atmósfera que, pese a todo ello, existe, si bien con elementos dispares a los de la atmósfera terrestre.  Además, en el momento de su recorrido en que la velocidad de traslación supera a la de rotación se aprecia desde su superficie un retroceso del Sol en el cielo.

Venus, el segundo planeta del Sistema Solar, pese a estar más lejos del Sol que Mercurio, posee una mayor temperatura atmosférica (por encima de los 400ºC), y que su atmósfera tiene altos contenidos de C O2 (dióxido de carbono), que es el principal responsable del efecto invernadero en el planeta. Cuando la radiación solar penetra la atmósfera venusiana, el C O2 absorbe el calor y no lo deja escapar, apareciendo así las mencionadas temperaturas y presiones de hasta 90 Pa. Las altas temperaturas son, además, buenas reflexoras de radiación lumínica, y es por eso que Venus es, junto a la Luna y el Sol, el tercer cuerpo celeste que se puede ver de día, generalmente al amanecer o al ocaso, siendo conocido como el Lucero del Alba. Como curiosidad fisica podemos destacar que su periodo de rotación es mayor que su periodo de traslación, lo que tiene como consecuencia que sus “días” duran más que sus “años”.

Llegamos ahora a La Tierra, que tiene la peculiaridad de ser aparentemente el único planeta que posee vida, gracias a su atmósfera de propiedades tales como una composición justa en C O2 que mantiene la temperatura sin elevarla demasiado, la conocida capa de O3 (ozono) que filtra la mayoría de raciaciones ultravioleta, protegiéndo a las células y al propio ADN de mutaciones cancerígenas extrañas. Asimismo, también favorecen la existencia de vida el radio medio de distancia al Sol en la orbita y el valor de la interacción gravitatoria, que es el justo para que no salgamos volando de la superficie ni tampoco nos quedemos pegados a ella (lo cual tendría repercusiones en nuestra estructura ósea). La existencia de La Tierra como tal, además ha planteado una repercusión filosófica, pues es tan poco probable que se de una situación para que aparezca la vida que algunas teorías como el Principio Antrópico aseguran que el azar tuvo que jugar intencionadamente a nuestro favor.

Marte, el Planeta Rojo, es el cuarto, y si bien a nivel material tiene menos propiedades en común con La Tierra que Venus, es el segundo planeta en el que la vida parece ser más factible, sobre todo por lo relacionado con la temperatura. Sin embargo, dada su tendencia a recibir impactos meteóricos una vida allí podría ser algo arriesgada. En lo referente a la historia de la física, Marte ha sido un importante elemento, pues gracias a él y a las extrañas trayectorias que seguía observado desde La Tierra el Modelo Geocéntrico fue desprestigiado con más éxito para dar paso al Modelo Heliocéntrico que tenemos hoy en día, además de servir para verificar la 1ª Ley de Kepler antes mencionada, entre otras.

Júpiter, por su parte, es el más grande de los planetas del Sistema Solar, y se puede describir como una gran acumulación de H2 (hidrógeno) y He (helio), en estado gaseoso los dos. Así pues, siendo un poco brutos, podemos decir que es como una estrella que no tiene fuerza para producir reacciones nucleares en su interior y se conforma con la categoría de planeta, pues al no producir energía, ni produce luz ni un campo gravitatorio considerable. Recordemos que la energía produce un campo gravitatotio al igual que la masa, pues ambas están relacionadas a través de la ecuación de Einstein E = m c^2. La observación de la corteza de Júpiter ha permitido observar un gran anticiclón en su corteza conocido como La Gran Mancha Roja, que no pasa desapercibida en ninguna toma del planeta. En lo referente a los satélites sabemos que Galileo le atribuyó cuatro, que podemos considerar los más importantes: Ío, Europa, Ganímedes y Calisto.

Saturno es el único planeta cuyo anillo de micropartículas orbitanto a su alrededor es visible por un telescopio. Es el segundo planeta más grande del Sistema Solar y, al igual que Júpiter, se estructura como una gran acumulacion de gas.

Urano, de composición física semejante a los dos anteriores, es uno de los planetas de los que menos sabemos, y del cual cabe destacar la peculiaridad de su aro azul. Es el tercer planeta más grande.

Neptuno, el último de los ocho planetas, es el único cuya existencia ha sido predicha matemáticamente antes de su observación. Al igual que Júpiter, posee una mancha, conocida como La Gran Mancha Negra, también debida a un anticiclón, pues los vientos en este planeta superan los 600 km/h.

En resumen podemos encontrar algunas generalidades en torno a las características de los planetas que giran en torno a una estrella, tales como que en general sus temperaturas disminuyen con la distancia a ésta, que los más próximos son rocosos, mientras que el resto son gaseosos, y que los gaseosos tienden a ser bastante más grandes, dada la naturaleza de los fluidos.

Hablemos ahora de los eclipses solares, que todos sabemos que se producen cuando la Luna se interpone entre La Tierra y el Sol en línea recta. Sin embargo, las características de estos tres astros hacen que a través de esta definición se den eclipses de varios tipos, y que además sean perdibidos de distintos modos en cada parte de La Tierra. Lo que a continuación sigue igual excede en contenidos matemático-geométricos a lo que se pudiese esperar de esta entrada. Si es así lo siento.

Reflexionemos en las condiciones que se tienen que dar para que un observador en el ecuador de La Tierra vea un eclipse total de Sol. En primer lugar tenemos que considerar el plano de traslación de La Tierra en torno al Sol, en el cual sabemos que se va a encontrar siempre. Además, tenemos que tener en cuenta que nuestro planeta tiene una inclinación de “α” grados con respecto a este plano, por lo que el Sol no lo veremos justo encima desde el ecuador, sino con una inclinación respecto a la vertical de “α” grados. Asimismo, la Luna también posee su propio plano de traslación respecto a La Tierra, que no es paralelo al de La Tierra con respecto al Sol, es decir, los planos de La Tierra y la Luna son secantes, y tienen un ángulo de corte de “β” grados. Dada la complejidad de los movimientos de rototraslación de ambos astros, podemos asumir que el valor “β” varía con el tiempo, y que además la recta de corte entre ambos planos gira constantemente.

Ya solo con estos datos, tenemos que asumir que para que nuestro observador aprecie un eclipse solar, debemos trazar una recta desde sus ojos hasta el Sol. Dicha recta tiene que ser cortada por el plano de traslación de la Luna entre el observador y el Sol, no en otra zona. Si ya la probabilidad de que se de esto es pequeña, hay que reducir sus posibilidades al tener en cuenta que la Luna tiene que estar en el tramo de su plano que corte a la recta mencionada, y que además dicha recta no puede atravesar a La Tierra entre el observador y el Sol, pues entonces para el observador sería de noche y seguro no apreciaría el eclipse (si la recta que une nuestros ojos con el Sol atraviesa La Tierra, el Sol nos queda al otro lado de esta y no lo vemos).

Dadas todas las conciciones mencionadas podemos asegurar que el observador en cuestión verá un eclipse solar. Podemos asegurar también que mientras nuestro observador está ante un eclipse, otro obervador para el cual sea de noche no lo verá de ningún modo. Pero la problemática no acaba aquí.

Sabiendo del pequeño volumen de la Luna en comparación con el del Sol, es poco pobable que lo oculte totalmente, y aquí es donde entran las perspectivas cónicas. Sabemos que, como observadores, cuanto más lejano se nos antoja un objeto, más pequeño lo vemos, y debido a esto, por ejemplo, vemos tan pequeñas las estrellas. Así pues, para que se de un eclipse total con respecto a un observador la Luna tiene que estar lo suficientemente cercana a éste como para poder ocultar al Sol (cuanto más lejos está más pequeña se ve y más difícil es que lo oculte). Podemos despreciar la variación de la perspectiva cónica en lo que al Sol se refiere, pues está tan lejos que más o menos se ve igual de grande desde el perihelio terrestre (punto de traslación en que la distancia al Sol es mínima, en Verano) y el afelio terrestre (punto de traslación en que la distancia al Sol es máxima, en Invierno).

En función de la proximidad de la Luna, mayor o menor será, pues, la superficie de la corteza terrestre donde se apreciará el eclipse, y esto supone, principalmente, que un eclipse solar afecta solo a una región de La Tierra, y no a todas en las que sea de día. Pero dado el movimiento de traslación de la Luna en torno a La Tierra y la propia rotación de la misma, podemos asegurar que la superficie eclipsada se desplaza, de modo que mientras dure el eclipse, no todas las zonas lo apreciarán al mismo tiempo.

Según la posición del observador diurno del eclipse, podemos hablar de un eclipse nulo si en su área no llega a ser visible, un eclipse total si está en el centro de la zona eclipsaa, y de un eclipse parcial en mayor o menor medida según la proximidad al centro de la zona eclipsada.

Con tantas cosas a tener en cuenta, resulta algo más evidente que no haya eclipses cada tan poco tiempo como podría parecer, y su aparición puede resultar un tanto aleatoria si no se estudia continuamente los movimientos de los tres astros que entran en juego.

Nivelación de Física (día 9 y último): energía de las ondas, espejo plano y un problema bastante simple.

La energía de las ondas se materializa en la energía de las partículas cuyo movimiento organizado constituye la onda, y hay dos modos de calcularla, de los cuales solo vimos uno en esta clase: el de calcular su energía mecánica:

• Emec = Ec + Ep.

La energía mecánica es igal a la suma de la cinética y la potencial.

La energía potencial gravitatoria se calcula a través de la Simple ley de Gravitación Universal de Newton:

• Ep = G m m’ / r.

, y la energía cinética de la más que repetida fórmula:

• Ec = m v^2 / 2.

Dado que la primera fórmula es independiente de las características de la onda, todo que da en función de la energía cinética, y ésta, a su vez, de la velocidad trasversal de la onda.

La densidad de la energía cinética pues, se definirá por el cociente entre la energía en si y e volumen que ocupe la onda:

• ρ Ec = Ec / V = m v^2 / 2 V = ρ v^2 / 2.

Sustituyendo por la fórmula de la velocidad del movimiento trasversal:

• ρ A^2 ω^2 Sen(k x – ω t + σ).

Si se integra la ecuación interior y se divide toda ella entre dos dentro de un periodo T, se obtiene la densidad media:

• ρEc = ρ A^2 ω^2 / 4.

Si dejamos la velocidad angular en función de la frecuencia:

• (ν = ω / 2 π)

, se obtiene que:

• ρ Ec = π ρ A^2 ν^2 / 2.

La energía de la onda es proporcional a los cualdrados de la amplitud y la frecuencia de la misma.

El otro medio de calcular la energía sería emplear la constante de Planck:

• E = h ν.

Asimismo, la energía total de la onda sería esta más la que aporta la materia perteneciente a la misma según:

• E0 = m0 c^2.

Cuando una persona se mira en un espejo plano, siempre ve la misma cantidad de su cuerpo, esté lo lejos que esté del mismo, siempre y cuando no cambie la altura de sus ojos. ¿Cómo se puede explicar esto?

El sistema de funcionamiento de un espejo plano es simple. Un rayo de luz es emitido por una parte del cuerpo y choca con el espejo en varios puntos, según la inclinación de cada parte del haz. Todos y cada uno de los fotones que hagan esto ebotarán, según la reflexión, con el mismo ángulo que el de incidencia, y alguno de ellos irá a para al ojo después.

Es decir, la distancia y el ángulo desde la rodilla al punto de choque con el espejo tiene que ser igual que la del ojo, y esto solo se cumple si la perpendicular al punto medio entre ambas partes del cuerpo corta al espejo. Consecuentemente, por mucho que te alejes del espejo, si el punto medio entre cualquier parte del cuerpo y el ojo se conserva, la fracción de cuerpo reflejada en el espejo es constante.

La densidad de mosquitos en un estanque es de “ρ” mosquitos/cm3. Si la superficie de la apertura de la boca de un pájaro es de “S” cm2, y éste se desplaza a una velocidad de “v” cm/s, calcular los mosquitos que se tragará en 1 s.

Si suponemos la apertura de la boca del pájaro como circular, el volumen de aire que traga en un segundo vendría dado por:

• V = S v t

, el producto de la apertura de la boca por la velocidad y por el tiempo (volumen del cilindro).

Una vez calculado el volumen de aire tragado, el número de mosquitos incluidos en él (nº) se definiía por:

• nº = V cm^3 ρ mosquitos/cm^3

, y como el tiempo es tan solo de un segundo:

• nº = S v ρ.

Nivelación de Física (día 8): Efecto Doppler, reflexión, refracción y rozamiento de ondas

“¿Ha notado usted alguna vez que el silbato de un tren que se acerca produce un sonido muy agudo, pero que, una vez que el tren ha pasado, el tono desciende notablemente? Es el llamado Efecto Doppler: la relación entre la altura del sonido y la velocidad de la fuente”.

(“Mr. Topkins in Wonderland, Arthur Gamow)

Hoy, tal y como es fácil de prever, nos centraremos en el efecto Doppler, que es el cambio de la frecuencia medida cuando se mueve el emisor de un sonido o el observador. Cada caso con su fórmula.

a) Emisor en movimiento con velocidad “vs”:

• ν’ = ν / (1 – vs / v).

La frecuencia de onda medida (ν’) es igual a la original (ν), dividida entre uno menos el cociente de la velocidad del foco emisor (vs) entre la velocidad del sonido en el medio (v).

b) Observador en movimiento con velocidad “v0″:

• ν’ = ν (1 + v0 / v).

La frecuencia de onda medida es igual a la original, multiplicada por la suma de uno y el cociente de la velocidad del observador entre la del sonido en el medio.

¿A qué velocidad se debería de acercar una fuente que vibra a 12000 rev/s para que el receptor no la oiga?

La frecuencia a partir de la cual nuestros oídos no perciben sonido es la de 20000 rev/s, por lo que esa será la frecuencia medida que buscaremos, aplicando la fórmula del foco en movimiento.

• ν’ = ν / (1 – vs / v)

Sustituyendo:

• 20000 rev/s = 12000 rev/s / (1 – vs / 340 m/s)

Y despejando:

• vs = 136 m/s.

Cuantas menos revoluciones, más agudo es el tono. Así es que un coche vibra a 100 rev/s.

Para poder utilizar el efecto Doppler como método de diagnóstico médico se requiere que la longitud de onda sea menor que el tamaño del blanco. Con una ν de 5 MHz, ¿en qué zona del espectro de sonido estoy? ¿Qué tamaño de blanco puedo explorar?

Dado que 5 MHz son cinco millones de revoluciones por segundo, la onda será un ultrasonido.

La velocidad de propagación de la onda dentro del cuerpo, dado que es casi todo agua, es de 1500 m/s, así que no queda más que despejar:

• λ = v / ν = 0,00043 m.

Dado que la longitud de onda es el cociente entre la velocidad de propagación de la onda y la frecuencia, la longitud que podrá ser explorada es de 0,43 milímetros.

¿Cómo cambia ν” si el foco y el receptor se despalazan en la misma dirección y a la misma velocidad?

Habría que componer ambas funciones, aunque al desplazarse a la misma velocidad la diferencia de frecuencias sería perfectamente despreciable.

La velocidad de propagación de la onda es perpendicular a los frentes de la misma, y es ella quien determina la propagación de la energía de la onda:

• E = h ν.

Se sabe que si una fuente sonora y un hombre se encuentran a la misma altura en la dirección del viento el sonido se escucha mejor que en contra. Esto se debe a que el viento tiende a focalizar las ondas, esto es, a propagar sus desviaciones en paralelo hacia un foco común.

Algunos otros efectos:

En el aire, la velocidad del sonido es igual a la raíz cuadrada de la presión entre la densidad del mismo en cada punto de propagación:

• v = [ΔP / Δρ]^½.

En una cuerda, la velocidad será igula a la raíz de la tensión entre la densidad de la cuerda:

• v = [ΔT / Δρ]^½.

Un caso más complicado, por ejemplo, puede ser el de la velocidad en el agua, donde “v” es igual a la raíz de la gravedad por la longitud de onda, dividido entre 2 π, y multiplicado todo ello por la tangente hiperbólica de 2 π por la altura respecto a la tierra en cada tramo, deividida entre la longitud de onda, que aparece de nuevo en la ecuación.

La conclusión de esto es que a mayor altura respecto a la base del mar o lo que sea se obtiene una mayor velocidad de propagación, y es por eso que en una playa las ondas marinas (olas) llegan en perfecta distribución a la costa, ya que cada tramo de ellas se adapta a la velocidad proporcional a sus distancia a la arena.

Y ahora es el momento de recordar cuando hablamos de las fuerzas de rozamiento. ¿Recordáis que un fluido que se aproximaba mucho a un sólido se adaptaba en las proximidades a la velocidad de este?

Pues bien, ahora imaginaos un viajero que camina por el desierto y hace tanto calor que la temperatura del suelo está muy elevada, o lo que es lo mismo, sus partículas se mueven con una gran celeridad. Al acercarse la luz a estas partículas, obtiene su energía, que le facilita seguirse desplazando en paralelo al suelo, como si fuese éste quien la emite. A los ojos de un receptor, esta “emisión” de luz por parte del suelo le parecerán un reflejo que, en general, se interpreta como proveniente de un líquido. Es el llamado “efecto Oasis”.

Reflexión:

Cuando una onda rebota al dar con un cambio de emdio material, el ángulo de incidencia es exactamente igual al de la dispersión.

Refracción:

Cuando la luz pasa de un medio a otro, su velocidad cambia un poco (aunque recordemos que la medida es siempre la misma). Esta nueva velocidad se denota por c’, y el coeficiente de variación se define como:

• n = c / c’.

Al intercambiar una onda de medio, se cumple, según la ley de Snell, que:

• n1Senσ1 = n2 Senσ2.

Reflexión total:

Si el cambio de velocidad entre dos medios es muy brusco, podría darse el caso de que el ángulo de refracción fuese de 90º respecto la normal, suponiendo que la onda recorriese el espacio en paralelo a la línea de separación entre los dos medios, con una consecuente reflexión total (ni una parte de la onda penetra en el nuevo medio).

Refracción nula:

Si el ángulo de incidencia al pasar de un medio a otro es perpendicular al cambio, la refracción, aplicando la ley de Snell, es nula, y la trayectoria de la onda es rectilínea.

¿Cómo debería hacer un pescador para cazar un pez con un arpón, si dada su altura la refracción de la imagen de la luz que llega a sus ojos es considerable?

Ubicarse sobre el pez para mirarlo perpendicularmente al agua, y evitando así la refracción.

Nivelación de Física (días 6 y 7): ondas, ondas armónicas, ondas estacionarias y alguna que otra anécdota

Alguien dijo alguna vez que “las ondas son criaturas alegres que gustan de propagarse en todas direcciones, adapatándose a los obstáculos que se encuentran”, sin embargo sabemos que son perturbaciones del medio que, debido a la interacción entre los elementos del mismo, se propagan.

Fundamentalmente hay dos tipos de ondas según su naturaleza: las electromagnéticas, que se propagan a través del vacío como fotones (recordemos que a esta peculiar partícula se la acusa de los campos eléctrico, magnético, y nuclear débil); y las mecánicas, que se propagan a trevás de la materia, siendo propiedades de esta (dualidad onda-corpúsculo).

Una onda sonora, por ejemplo, es una perturbación de la densidad del medio, y como se propaga a través de las partículas, su velocidad dependerá de lo fuertemente unidas que estén las mismas, o dicho de otro modo, de su cohesión.

Una buena forma de ejemplificar esto es con una hilera de personas. Si están unidas por las manos y agitamos a la primera, la alteración probablemente no pasará más a allá de la tercera. Sin embargo, si estuviesen pegadas de hombros y zarandeásemos a la primera el efecto llegaría más lejos.

Así pues, se puede apreciar una notoria diferencia de velocidad de propagación del sonido según los materiales: los gases lo propagan a unos cientos de m/s, los líquidos a poco más de 1000 m/s, y los sólidos entre 3000 m/s y 5500 m/s. Recordemos en este punto la típica escena del tren que se aproxima y la persona que acerca la oreja al raíl para detectarlo, porque el sonido del vehículo se propaga mejor por el metal.

De manera genérica, para una onda unidimensional (se propaga en línea recta), la alteración (φ) quedará definida por la distancia (x) al origen de la onda y el instante de tiempo (t) en el que se observa.

Que la onda se propague quiere decir que lo que le ocurre a un punto del medio en “x” es lo mismo que le pasará punto alejado a Δx un tiempo Δt después.

• φ(x,t) = φ(x + Δx, t + Δt); Δt = Δx / v

, y sustituyendo en la primera parte, la ecuación de una onda es toda aquélla que dependa funcionalmente del tiempo y de la posición dentro de un mismo miembro.

De las siguientes ecuaciones, ¿cuáles son ondas unidimensionales?

• y1(x,t) = 5 x 10^-2 / 0,25 + (x -2t)^2.
• y2(x,t) = 5 x 10^-2 / 0,25 + (x^2 -4t^2 -2t).
• y3(x,t) = 5 x 10^-2 / 0,25 + (t + 2x)^2.

Tan solo la primera y la tercera ecuación son válidas, porque están exclusivamente en funciñon de “x” y de “t”.

Las ondas, en general y sin excepciones, se propagan esféricamente alrededor de su origen. Lo que pasa es que en algunas direcciones se mueven tan lentamente comparadas con otras (según el medio) que se pueden considerar ondulaciones sepradas con características dispares.

Desde el momento en que una onda comienza a propagarse, el lugar geométrico de los puntos más alejados al origen en cada instante se considera el frente de onda, que una vez que ésta esta muy desarrollada, y suponiendo que se propagase en un medio constante, acabaría siendo plano (su radio tiende a infinito y es una superficie curva). En realidad sería curvo siempre, ya que en el espacio tridimensional curvo las líneas rectas son inexistentes, pero no se precisa tanto.

Una onda periódica es aquélla en la que en intervalos de tiempo “T” o periodos iguales, cada posición “x” de ésta se encuentra en la misma situación que en “T” segundos antes. Este fenómeno se suele denominar periodicidad espacial. Y de entre todas las ondas periódicas, las más importantes son las armónicas, de forma funcional relacionada con el seno, tal que:

• φ(x,t) = A Sen(k x – ω t).

“A” sería la amplitud del radio de cada oscilación de la onda, “k” sería el número de oscilaciones por cada metro, y “ω” sería la velocidad angular con la que la onda recorrería el tramo curvo de su trayectoria.

El número de oscilaciones por segundo que hace la onda se denomina frecuencia, y se define, entre otras formas, por:

• ν = 2 π / ω.

Sus unidades son las revoluciones por segundo (rev/s) o los herzios (Hz).

Por curiosear, los oídos detectan ondas sonoras de entre 20 y 20000 rev/s. Asimismo, los ojos diferencian los colores por la fecuencia de las ondas entre 0,000000000045 rev/s y 0,00000000000007 rev/s. Las ondas de frecuencia se consideran color negro y las mayores son invisibles a nuestro ojo. Dentro del intervalos de visivilidad los colores van, de menor a mayor frecuencia, como los del arco iris.

En una onda, además de la velocidad de propagación, está la velocidad trasversal, que es a la que se desplazan los puntos de la misma siguiendo su trayecto ondulatorio, y cuya función se obtiene derivando respecto al tiempo la alteración:

• v = dφ / dt = A ω Cos(k x – ω t).

Un pulso que se propaga sobre una cuerda tensa viene decrito por: φ = b^3 / [b^2 - (2 x - a t)^2]. Dibujar un gráfico de él. ¿Cuáles son la velocidad de propagación y su sentido del movimiento? Calcular la velocidad transversal para los distintos puntos de la cuerda.

La velocidad de propagación (vp) se define como:

• vp = λ / T.

La longitud de onda (λ), a su vez, se define por:

• λ = 2 π / k

, y el periodo  por:

• T = 2 π / ω.

Sustituyendo y simplificando:

• vp = ω / k = a / 2 m/s.

El sentido del movimiento es, evidentemente, hacia adelante.

La velocidad transversal se obtinene derivando de nuevo la función de alteración, resultando:

• vt = dφ / dt = [-2 a b^3 (2  x + a t)] / [b^4 + (2 x + a t)^4 - 4 a x t].

Los tranvías de la línea 8 circulan cada 10 minutos en dirección norte, y con igual frecuencia en dirección sur. ¿Creerías a alguien que dijera que ha visto circular cada 5 minutos un tranvía de la línea 8 en dirección norte?

Solución 1 (la del profe): Si el tramo es completamente recto y yo me muevo en dirección sur a la misma velocidad, veré pasar la línea 8 en la mitad de tiempo.

Solución 2 (la primera que pensé): que cada 10 minutos pasen no implica que sea ese su periodo. O en otras palabras, que pasen cada 10 minutos no implica que por el medio no puedan pasar.

Solución 3 (la mejor para mi gusto): aplicando la Relatividad Especial, un cuerpo que se moviese a 0,87 veces la velocidad de la luz vería pasar el tiempo dos veces más rápido de lo normal.

La audición binaural nos permite localizar la procedencia de sonidos tipo chasquidos por la diferencia de tiempo de llegada a los dos oídos. Si los oídos están separados 15 cm, calcular la diferencia de tiempo para la localización de un chasquido procedente de una fuente sonora localizada a 3 cm del oído derecho, y 30º por delante de la línea que une los dos oídos.

“Para evitar discusiones, lo mejor será poner el angulo de 30º entre los dos oídos”, dijo el profe.

Y claro, yo ante tal aberración tuve que intervenir. Dado que la distancia entre los oídos es de 15 cm y la del chasquido al oído derecho es de 3 cm, por pura lógica se hacía evidente que trazar el ángulo a partir del punto medio de los oídos daría lugar a una indeterminación, y mucho mayor sería esta si el ángulo se ubicase a partir del oído izquierdo. Asimismo, en caso de que desde el punto medio el triángulo llegase a tener solución (aunque es poco probable), el chaquido quedaría ubicado dentro del cerbro por la estructura del ejercicio. Y dentro del cerebro los oídos no detectan nada.

El único modo verosímil de enfocar el ejercicio, pues, era poniendo el ángulo a partir del oído derecho.

Y entonces si, comenzamos con trigonometría. La altura del chasquido con respecto a la recta de los oídos era de:

• 3 Sen30º = 1,5 cm

, y la proyección de ese punto sobre la misma recta estaría ubicada a:

• 3 Cos30º = 2,598 cm.

Una vez completado el triángulo grande, la hipotenusa (d2) sería igual a la raíz de la suma de los cuadrados de los dos catetos: (15 cm + 2,598 cm) y (1,5 cm), resultando de 17,662 cm.

El tiempo que tardaría el sonido en llegar al oído 1 sería de:

• t1 = 3 cm / 340 m / s = 0,000082 s.

El tiempo que tardaría el sonido en llegar al oído 2 sería d:

• t2 = 17,662 cm / 340 m/s = 0,000519 s.

La diferencia de tiempos entre ambas llegadas sería de:

• |t1 – t2| = 0,43 ms.

Se observan dos puntos de una cuerda al pasar una onda móvil por ella. Uno de ellos está ubicado en el origen “O”, y el otro a un metro de él. Si sus ecuaciones de posición son: yO = 0,2 Sen(3 π t), e y2 = 0,2 Sen(3 π t + π / 8), calcular la frecuencia de la onda, la longitud y la velocidad de propagación.

Si 1 metro de distancia suponen π / 8 radianes más de fase, por una simple regla de 3 se llega a la conclusión de que 2 π radianes ocuparán 16 metros.

La frecuencia será igual a la velociada angular dividida entre los radianes que conllevan una vuelta:

• ν = ω / 2 π = 1,5 rev/s.

Por último, la velocidad de propagación se define por:

• vp = λ ν = 24 m/s.

Un buen método para medir la longitud del sonido con un reloj consiste en permanecer a una cierta distancia “d” de un frontón y batir las palmas rítimicamente, de tal modo que no se distinga el eco de la pared. Definir la ecuación de la velocidad del sonido.

Despreciando la distancia del choque de las manos a los oídos, e incluso el grado de inclinación hacia arriba que tiene que hacer para llegar a ellos, el tiempo entre palmadas “T” tendrá que ser igual al doble de la distancia al muro (ida y vuelta) dividido entre la velocidad del sonido “v”. Así nos resulta que:

• v = 2 d / T.

Cualquier onda, al progresar en un medio material, sufre una pérdida de energía siguiendo una progresión geométrica de ecuación:

• E = E0 A^d.

La energía medida es igual a la inicial por el valor de la atenuación (A < 1) elevada a la distancia recorrida.

También las ondas se propagan a una velocidad mayor cuanto mayor sea su frecuencia ν, dado que oscilan más y se multiplican de un modo proporcional. Como las ondas visibles de mayor frecuencia son las azuladas y son las que más rápido se multiplican, son las que definen el color del cielo.

Por último, cuando dos ondas de características semejantes pero distinto sentido se cruzan, dan lugar a una onda estacionaria, que se define por la ecuación:

• φ(x,t) = 2 A Cos(k x + (σ2 – σ1) / 2) Sen(ω t + σ2 + σ1) / 2).

En este tipo de ondas apreciamos que hay valores de “x” que siempre son nulos (los nodos), que el máximo y el mínimo también se dan siempre en los mismos puntos fijos (vientres), y que cuando el seno de la función vale 0 todos los puntos son nulos.

Faltan algunas cosas que explicaré en otro momento.

Pero hoy no quiero dejar esta entrada sin antes hablar de mi ecuación de ondas favorita:

• E = h ν.

La energía de una onda es igual a la constante de Planck por la frecuencia de la misma. Si sustituimos la frecuencia:

• E = h v / λ

, y aplicando la fórmula fundamental de la Relatividad General:

• m c^2 = h v / λ.

Si depejamos la longitud de onda:

• λ = h v / m c^2.

La conclusión es un tanto peculiar. Dado que la materia posee una dualidad onda-corpúsculo y la energía es masa, una onda lleva asociada una masa. Y a la inversa. A partir de esta última ecuación, uno puede calcular la longitud de onda de su cuerpo si conoce su masa y su velocidad. ¿Para qué sirve? Pues no está muy claro, pero es curioso.

Nivelación de Física (día 1): ¡Por fin física con un físico!

Antes de nada, explicaré el título que le he dado a esta entrada “¡Por fin física con un físico!”.

Hoy en día, para bien o para mal, la mayoría de los profesores de instituto de Física y Química (por no decir todos los que me han tocado a mi) son químicos. Y los auténticos científicos, los físicos, como consecuencia no suelen perder el tiempo dando clases a alumnos de instituto. La consecuencia es que el programa es prácticamente todo pura química, y la física se reniega a 2º de bachiller, donde aún así es un químico quien te la explica.

Pues bien, hoy por fin un físico ha sido quien me ha dado clase de física, y para mi se ha notado la diferencia, sobre todo en la actitud y el enfoque de la asignatura.

No obstante, en la presentación han habido algunas frasecillas que no me han gustado: “la física es desordenada y caótica. la Relatividad y la Mecánica Cuántica no tienen nada que ver”. ¿Que no tienen nada que ver? ¿Entonces qué son? ¿Filosofía? ¿Una carrera a parte? Dejémosolo ahí.

La clase, en resumen, ha sido más conceptual que de fórmulas, y, a su vez, más práctica que teórica. Pero además práctica en el sentido que a mi más e gusta, que es el de los experimentos mentales. Con ellos se ha hecho más “ameno” el repaso de los vectores.

Recordemos que un vector es un segmento direccionado en el espacio, que posee módulo o tamaño, dirección y sentido. La dirección, como bien apuntó el profesor, siempre es respecto a un sistema de referencias, por lo que lo que para nosotros es Norte-Sur, para los habitantes de otro planeta puede ser Este-Oeste.

Otra cosa que ha tratado de conceptualizar es que “en la suma, el resultado sustituye a la acción combinada de los sumandos”, que si bien a nivel práctico no sirve para nada nuevo, es otro punto de vista.

Llegamos así al experimento mental uno, que he tenido el detalle de copiar (nos recomendó que no lo hiciésemos), y dice así: Supongamos que alguien nos propone la siguientedefinición del vector suma de otros dos vectores: ¬w = ¬u + ¬v, si y solo si, además |¬w| = |¬u| + |¬v|, y el ángulo wα = uα + vα. ¿Te parece buena la definición?

Enseguida pensé que no, porque en la suma de vectores, el ángulo del resultante nunca es igual a la suma de los dos anteriores. Sin embargo, hubo otro que se me adelantó. “Eso es erróneo porque (…)”. “No es errónero. Es la definición que nos están dando a parte de la otra. Puedes estar de acuerdo con ella o no. Lo que te pregunto es por qué la definición no es buena”.

“Si tenemos en cuenta el modelo normal, la única posibilidad de que eso se cumpla es que los ángulos de todos los vectores sean nulos, lo que supondría que la suma de vectores se resumiría a un único caso”, dije. “Sigues teniendo en cuenta el modelo de suma anterior. Esa tampoco me vale”, contestó.

“No es una suma propiamente dicha”, dijo un tercero. “Eso si que no me vale para nada”, obtuvo por respuesta. “Entonces estoy de acuerdo con la definición”, contestó.

“El mejor motivo para despreciar esta definición”, comenzó a explicar el profe, “es que en un caso extremo, como cuando uno de los dos vectores es casi nulo, la suma da un resultado disparatado a nivel angular, en lugar de ser prácticamente el único miembro de gran valor”.

El producto de un vector por un escalar es un vector del mismo sentido y dirección que el anterior, pero de mayor o menor módulo, según el valor del escalar.

Un caminante debe dirigirse de un punto inicial I a otro F. Durante un primer tramo 1 se mueve con una velocidad V1, y durante un segundo tramo 2 se mueve con una velocidad V2<V1. ¿Cuál debería ser su ruta según la siguiente gráfica?

(En la ruta b: Senσ1 / Senσ2 = v1 / v2).

Mi primera estructuración del problema fue la siguiente: “La ruta “a” es buena si la diferencia entre la velocidad del primer tramo y la del segundo son parecidas, aunque en caso de que la diferencia sea muy grande es la peor de todas. La ruta “c” sería la mejor si, por ejemplo, en la ruta 2 apenas se moviese. La opción que más me convenció fue la 2ª, porque tanto la forma del recorrido como la de la fórmula me recordaron a la refracción de la luz, y la luz se mueve del modo más parecido posible a una recta dentro de la curvatura del espacio-tiempo según la Teoría de la Relatividad“. No obstante, ese argumento debía de descartarlo en una clase de nivelación, y sin él decir que apoyaba la ruta “b” porque se parecía a la refracción era un poco absurdo.

Imaginaos mi sorpresa cuando descubrí que la opción correcta era esa y por ese preciso motivo. Recordemos que la fórmula de refracción de la luz al cambiar de medio óptico es:

• n1 Senσ1 = n2 Senσ2.

, siendo “n1″ y “n2″ los índices de refracción de los distitnos medios por los que se movía.

El producto escalar de dos vectores se define por:

• ¬u ¬v = |¬u| |¬v| Cosα.

, de donde:

• ¬Vu (proyección de un vector sobre el otro)= ¬u  ¬v, si |¬u| = 1

Si dos vectores son prependiculares su producto escalar es nulo.

El producto vectorial de dos vectores se define por:

• ¬W = ¬u Λ ¬v.

¬W será un vector cuyo módulo vale:

• |¬w| = |¬u| |¬v| Senα.

, y cuya dirección será perpendicular a “u” y a “v” a la vez.

¿Puede haber 2 vectores tales que su producto escalar sea 0 y su producto vectorial también?

Únicamente si al menos uno de ellos es nulo, pues tendrían que ser paralelos y perpendiculares a la vez.

Movimientos:

En la gráfica espacio-tiempo se definen por el vector posición ¬r(t), donde “t” es el tiempo.

• Δ¬r = ¬r (t + Δt) – ¬r(t).

El incremento de la posición viene dado por la posición final en función del tiempo menos la posición inicial.

El vector velocidad, que sería la tangente a la gráfica, se definiría por:

• ¬v = Δ¬r / Δt.

Velocidad igual al incremento de espacio dividido entre el incremento de tiempo requerido.

La velocidad es una magnitud vectorial, y por tanto supone una dirección y un sentido, aparte de su módulo, que sería la celeridad. Hablar de velocidad sin especificar las tres características de su vector es un grave error. Así pues, pido perdón por todas las veces que lo haya hecho.

Por último, la aceleración es otra magnitud vectorial que se define por el incremento de velocidad entre el tiempo:

• ¬a = Δ¬v / Δt.

Un comentario que me llamó la atención viendo esto es que ciertamente los castellanos usamos la preposición “por” tanto para multiplicar números como para dividir unidades, cuando son operaciones completamente opuestas.

Curvatura:

Todo intervalo reducido curvo se pude reducir a un arco de circunferencia aproximado.

La curvatura se define por:

• K = 1 / r, siendo “r” el radio de curvatura.

Se trabaja con él en función inversa porque decrece con la curvatra y aumenta con ella (una recta, por ejemplo, que tiene curvatura 0, supone un radio de curvatura infinito).

Para una curva “x – y”, la curvatura también se puede definir como:

• K = y” / [1 + y']^3/2

, por lo que está muy relacionada con la derivada segunda de la función de su arco.

¿Qué tipo de estructuras geométricas poseen una curvatura constante?

La circunferencia y la recta, únicamente.

“La parábola”, pensamos algunos, por aquéllo de que su derivada segunda es constante, pero se nos olvidó que que la curvatura estuviese relacionada con la derivada segunda no implicaba que fuese ella.

¿Qué tipo de trayectoria sigue un móvil de velocidad constante, y cuál uno de celeridad constante?

El primero seguirá un movimiento rectilíneo uniforme, dado que la velocidad es un vector, el segundo queda indeterminado.

El clotoide es una curva que cumple siempre que

• σ r = cte.

El producto del radio por el ángulo de curvatura medido en radianes es constante.

El estudio “moderno” de la materia: modelos atómicos de John Dalton, Ernest Rutherford y Niels Bohr, origen de la Física o Mecánica Cuántica, Efecto Compton, dualidad onda-corpúsculo (II), Principio de Incertidumbre de Werner Heisenberg

Hace algunos días tratamos por encima que desde la antigua Grecia una de las grandes preguntas era saber si la materia era continua e infinitamente divisible o si estaba cuantizada y se acababa llegando a una unidad indivisible, que serían los átomos. Asimismo, también comentamos que la teoría más aceptada fue la primera por ser más perfecta y maravillosa.

Así pasaron más de 2000 años, hasta entrado el siglo XIX, para que el modelo de materia infinita fuese destituido por el atómico. Y este acontecimiento vino de mano del conocido químino John Dalton. Podríamos hablar mucho acerca de este hombre, pero por ahora me limitaré a enunciar las tres leyes con las que resumió su teoría:

-La materia está compuesta por partículas indivisibles llamadas átomos (no-partes).

-Cada átomo de cada diferente elemento es completamente distinto.

-Cuando varios átomos se combinan formando moléculas dan lugar a un compuesto químico.

A partir de estos tres simples enunciados, de los cuales uno de ellos es completamente falso, se puede considerar que comienza una nueva fase de la ciencia que nos ha aportado, por ejemplo y ahora que está tan de moda, el LHC.

A lo largo del siglo XIX también se hicieron los mayores avances de la historia en el estudio del Electromagnetismo de mano de Michael Faraday, y ya hacia finales del mismo se consideraba que la Física ya no tenía mucho más que explicar: la existencia del éter gláctico, las emisiones de radiaciones nucleares y el porqué la corriente eléctrica era continua si la materia estaba cuantizada.

Creo poder asegurar que fue el propio Faraday también quien se dio cuenta de que todas las cargas eran múltiplos de una cantidad determinada (1,6 x 10^-19 C), y como esa diminuta unidad de carga indivisible era la responsable del electromagnetismo, se la denominó electrón.

El mismo problema radicaba en la luz, que si bien había sido demostrada su capacidad ondulatoria con los experimentos de la Doble Rendija de Young, todavía nadie había sido capaz de explicar la reflexión o la refracción de la misma.

Tras haber estudiado muy a fondo este tema, Albert Einstein explicó en 1905 que la luz también estaba cuantificada y que era emitida en pequeños paquetes luminosos llamados fotones. Esta conferencia, en la que también enunció sus postulados de la Teoría de la Relatividad, le valió el Premio Nobel de la Física.

Más tarde, en 1909, Ernest Rutherford se dedicó a estudiar a fondo las propiedades de los átomos, llegando a conclusiones ya completamente ciertas. Su experimento consistió en bombardear núcleos atómicos con partículas α, de las que ya hablaremos. Apartir de sus bombardeos concluyó que la corteza de los átomos estaba ocupada por capas de electrones de carga negativa, mientras que en el núcleo residían las cargas positivas.

Y sabiendo ya la estructura de la corteza del átomo, en 1922 el conocido físico Arthur Compton, en un experimento bombardeando electrones con haces de fotones, descubrió que éstos rebotaban con menos energía de la que llevaban en el impacto, fenómeno conocido como Efecto Compton, y cuya importancia procedo a explicar.

Según explicó pocos años antes Max Planck, la energía de las ondas era directamente proporcional a la frecuencia de las mismas, o lo que es lo mismo, la velocidad con la que oscilaban. Su ecuación tenía el siguiente aspecto:

• E = h ν

, donde “h” sería la constante de Planck (6,62 x 10^-34 kg m^2 / s), y “ν” la frecuencia. Cuanta mayor fuese la energía los colores con los que se percibirían la misma seguirían la siguiente estructura: rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta, ultravieleta, etc.

Ahora bien, en el Efecto Compton tenemos una onda “E = h ν”, que tras chocar con los electrones pierde una energía “E0 = h ν”, conocida como trabajo de extracción. Y después de esto lo más importante es que los electrones que salen disparados llevan una energía cinética:

• Ec = E – E0.

¿Dónde está la importancia? Pues en que la energía cinética es una propiedad de los corpúsculos materiales, como su propia fórmula indica:

• Ec = m v^2 / 2

, y que la energía de onda es una propiedad de las ondas. Sin embargo, las alteraciones en una de ellas afectan a la otra. Existe una correlación onda-corpúsculo.

Y es aquí, finalmente, donde la respuesta a la gran incógnita de la luz cobra sentido: ni es una onda ni es un conjunto de partículas, es todo ello a la vez. La materia tiene frecuencia y longitud de onda, y las ondas tienen algo de masa. Esta relación, ya perfectamente aceptada en la física moderna, ya habría sido perfectamente predicha por la Teoría General de la Relatividad de Einstein:

• E = m c^2.

La demostración es simple. Tenemos la ecuación de energía de las ondas, en este caso lumínicas:

• E = h ν.

Conocemos también que la frecuencia “ν” se define por:

• ν = c / λ (velocidad de la luz dividida entre la longitud de onda).

Sustituyendo en la primera fórmula:

• E = h c / λ.

Aplicando ahora la ecuación de Einstein:

• m c^2 = h c / λ.

Y el resultado es el siguiente:

• m = h / (c λ).

Es decir, la masa de, por ejemplo un haz lumínico, es igual a la constante de Planck dividida entre el producto de la velocidad de la luz por la longitud de la onda del haz. Si hacéis los cálculos comprobaréis que es una cantidad de masa súmamente pequeña. Como aportación extra, la fórmula para cualquier otra onda que no sea un haz lumínico y se mueva más despacio sería del siguiente estilo:

• m = (h v) / (c^2 λ).

Hay que destacar que esa “v” que aparece es la velocidad de propagación de la onda y no la frecuencia como antes.

Visto esto, continuamos con Niels Bohr, el siguiente científico importante en el estudio de la corteza del átomo. Sus estudios se centraron, sobre todo, en explicar cómo se estructuraban los electrones alredor del núcleo atómico, cosa que hizo a través de experimentos con el átomo de hidrógeno y su expectro.

Según habían experimentado, cada nube electrónica iluminada, según el átomo al que perteneciera, reflejaba una imagen diferente a la que denominaron expectro, lo que llevaba a pensar que la distribución de los electrones era diferente para cada uno de ellos. Los experimentos de Bohr son casi todos fotogramas, por lo que no voy a explicarlos, aunque está bien saber que los siguientes enunciados surgieron a partir de ellos: los electrones se mueven en distintos niveles cuánticos de energía alrededor del átomo, cuando la energía del electrón aumenta se alejas más del núcleo, cuando la anergía del electrón disminuye se aproxima más a él emitiendo luz, cada nivel de energía puede estar compuesto de uno o más orbitales cuánticos, el número de orbitales de cada tipo que tiene cada nivel de energía está cuantizado también, cada orbital asume un número máximo de dos electrones, los electrones procurarán ocupar siempre los orbitales de los niveles de energía más próximos al núcleo, tendrán preferencia los niveles de energía más bajos, dentro de un nivel de energía, tendrán preferencia los orbitales vacíos, y dentro de cada orbital cada electrón se mueve con un momento angular diametralmente opuesto a su complementario. Así de golpe puede parecer un poco complicado, pero leído con calma es fácil de entender, y además es probable que ya supiéseis todo esto.

Conocida ya la corteza del átomo, a los físicos solo les faltaba estudiar el núcleo del mismo, pero pronto se toparon con un problema que ninguno de ellos habría sido capaz de vaticinar con antelación. En cuanto un súpermicroscopio intentaba enfocar el núcleo del átomo, éste era iluminado con fotones que alteraban sus partículas interiores, dejando como imagen una nube borrosa. Si intentaban iluminar el átomo con haces de luz más pequeños, su facultad ondulatoria se hacía más notoria y llegaban varias imágenes superpuestas en el mismo punto. Y aparece aquí la constante cuántica, es decir, la cifra que indica en qué momento la característica material de los cuerpos es tan pequeña que pasan a dejar lugar a sus facultades ondulatorias. Ante semejante problema, lo único que pudieron hacer (hasta hoy) fue enfocar esto como un nuevo tipo de ciencia que se conoce por una gran cantidad de nombres: Física Estadística por aquéllo de que solo se pueden calcular las probabilidades de que una electrón esté en un lugar concreto, Física o Mecánica Cuántica porque estudia los movimientos de las partículas cuantizadas, y Física de Altas Energías por motivos que veremos en capítulos venideros.

La constante cuántica, un número incluso más pequeño que la constante de Planck marcaba el límite definitivo de la Mecánica Clásica. El enunciado “esto está aquí” pasaba a ser “la probabilidad de que esto este aqui es del 99%”.

Surgen así las dos ecuaciones más simples de Werner Heisenberg a principios de los 30, que delimitan hasta qué punto es posible experimentar con micropartículas. Por un lado, está la fórmula (demostrada) de que cuanto mejor conozcamos la posición del electrón, peor conoceremos su momento angular (dirección, sentido y velocidad), y viceversa:

• Δp Δq ≥ h.

El producto de la incertidumbre en la medida del momento lineal y la incertidumbre en la medida de la posición siempre es igual o más pequeño que la constante de Planck.

Solo un último apunte antes de dejarlo por hoy, la palabra átomo (no-partes), que hoy en día sabemos que está mal asignada, se le conserva a la unidad de la química por recuerdo a Dalton e incluso por no tener que tomarse la molestia de renombrar todo lo que ya estaba nombrado desde un siglo atrás.

La luz: dualidad onda-corpúsculo, experimentos y el error de la mecánica clásica

¿Qué es la luz? Es muy probable que alguien que nunca haya estudiado aquéllo de lo que hoy voy a hablar más de una vez se haya comido el coco pensando en esta pregunta.

Desde el principio de la filosfía, la respuesta a esta cuestión ha estado dividida, principalmente, en dos puntos de vista. El primero de ellos el que pensaba que la luz era una onda, y el segundo que eran una sucesión de partículas o corpúsculos que se desplazaban en línea recta a partir de un foco emisor. Hoy hablaremos de la larga historia de este tema, y de cómo acabó trayendo de cabeza a los físicos de finales del XIX.

Para empezar con ello, es imprescindible hablar también del antiguo debate sobre si la materia es continua o si está cuantizada. Es decir, si todo se podía descomponer en infinitos pedazos infinitamente pequeños, o si por el contrario acabaría llegando el momento en que la materia no se pudiese dividir más, y formase una estructura fija e irrompible. De esta segunda rama surgió el concepto puramente teórico del átomo (no-partes).

No obstante, y pese a que hoy en día se ha demostrado lo contrario, en la antigua Grecia tuvo mejor aceptación el pensar que le materia era perfectamente divisible sin límite alguno. Esto no es de extrañar si se tiene en cuenta que, como ya expliqué, opinaban que ese ente superior bautizado por Platón como Demiurgo debió de crear el Universo buscando la perfección, y que esta se encontraba en la infinidad y en la eternidad.

La consecuencia de que la materia fuese continua para el tema de hoy es que, evidentemente, los haces de luz (considerados sucesiones de materia luminosa), también tendrían que ser continuos y completamente divisibles.

Además, en aquéllos tiempos hubo quien supuso que la luz era emitida por los ojos para capturar las imágenes y que luego volvía a ellos con la información obtenida. Cosa que hoy sabemos que es completamente falsa.

Y en lo referente a esto, poco más se puede decir de la antigua Grecia.

Con la llegada del Renacimiento y el consecuente renacimiento de la física, las investigaciones volvieron a abrirse camino, y esta vez los dos frentes estaban bastante bien argumentados.

Por un lado estaban otra vez los que consideraban que la luz era material, y lo defendían explicando que sólo así se podían explicar fenómenos como la reflexión, en la que los haces de luz, al chocar con una superficie, retrocedían exactamente con el mismo ángulo de incidencia. Asimismo, era imposible que se tratase de una onda ya que en ese caso tendría que penetrar en algunos recintos cerrados, como lo hacía el sonido.

Por el otro lado estaban aquéllos a quienes les convencía más pensar que se trataba de una onda, y el principal motivo para sostener esta teoría residía en el hecho de que la luz no tiene masa, y si fuese materia debería tenerla.

De los dos bandos, el que una vez más salió ganando durante un largo tiempo fue el primero, ya que contó con el apoyo del personaje más célebre de la física del momento: Isaac Newton.

Y fue necesario esperar a que Newton desapareciese del panorama para que alguien se atreviese a seguir investigando las propiedades ondulatorias de la luz sin que resultase una falta de respeto a un personaje célebre. Así surgió el relativamente conocido Experimento de Young o de la Doble Rendija, a finales del siglo XVIII. Dicho experimento, además, está considerado como uno de los más bonitos en la historia de la ciencia.

El único material que necesitó este físico para cambiar la historia del estudio de la luz fueron un par de cajas con forma de prisma ortogonal apoyadas sobre una mesa, cada una con un agujero circular de diferente tamaño en uno de sus lados.

En un principio colocó un foco delante de la que tenía el mayor agujero y lo iluminó. El resultado fue el esperado: la luz se propagó en línea recta y el interior del lado opuesto de la caja al del agujero quedó iluminado por un círculo de luz del mismo tamaño que el agujero.

Después enfocó el agujero pequeño de la otra caja, pero en esta ocasión el resultado fue diferente: la luz se propagó en todas direcciones tras atravesar el agujero y la zona iluminada fue mucho mayor que este, si bien seguía siendo circular.

¿Cómo se puede explicar esto? Pues la respuesta fue muy fácil para aquéllos para los que la luz era una onda. En el primer experimento el agujero era muy grande, bastante más que la longitud de onda descrita por el haz de luz, lo que le permitió propagarse en línea recta sin problema. En el segundo experimento, en cambio, el agujero era más pequeño que la longitud de onda del haz luminoso, lo que provocó una alteración en el mismo para que pudiese pasar, e hizo que su trayectoria recta de dividiese en múltiples haces de luz más pequeñitos con direcciones oblicuas respecto a la original.

Pero Young, no satisfecho con este resultado, quiso ir más lejos, y ahora si, llegamos a la doble rendija.

Tras el experimento anterior, siguió trabajando con la caja del agujero pequeño, a la que la arraconcó una fina tira de metal de la parte de superior que la atravesaba de lado a lado, paralela al lado con el agujero. Por esta nueva ranura introdujo dos placas metálicas que cerraban de nuevo la caja, atravesándola de arriba a abajo por el medio, y dividiendo su interior en dos recintos separados, uno con el agujero y otro sin él. Después, a la rendija más próxima al agujero, le hizo dos orificios casi en cada extremo y la volvió a introducir en la caja.

Entonces iluminó una vez más el mismo agujero con un haz de luz semejante al del primer experimento, dando el mismo resultado. La placa metálica fue iluminada por un haz circular de mayor radio que el agujero, sin que ninguno de sus orificios (taponados por detrás por la otra placa) quedase iluminado.

Hasta aquí todo parecía normal, pero Young se guardaba un as en la manga. En esta ocasión extrajo la otra placa y le hizo dos orificios exactamente iguales que a la anterior, para después ubicarla junto a ella haciendo coincidir sus orificios. Tras esta modificación, las dos partes de la caja quedaron comunicados por los nuevos agujeros en las placas que los dividían. Solo entonces Young se dispuso a iluminar de nuevo el agujero.

En un principio podría parecer que este experimento estaba de más, ya que antes la luz no llegó a los orificios interiores, pero sin embargo en esta ocasión no solo los alcanzó, sino que la luz llegó también a la otra sección de la caja, generando una tira de proyecciones en el lateral opuesto al del agujero que alternaban luz y oscuridad. Increible.

Las proyecciones luminosas alternativas fueron claramente explicadas a partir de la teoría ondulatoria del mismo modo que el choque entre varias olas del mar, que siempre de la lugar a crestas más grandes donde chocan los centros de las mismas, y a zonas más bajas en el resto del impacto. Allí había pasado lo mismo. Donde las crestas de los haces de luz que venían de cada orificio chocaron de frente, se formaron imágenes más claras, y en el resto de las zonas la luz se extinguió dejando lugar a la oscuridad.

Sin embargo, lo más sorprendente del experimento es otra cosa. ¿Por qué cuando las dos secciones de la caja estaban separadas la luz chocaba de frente con la primera placa y, sin embargo, cuando estaban comunicadas ésta daba un rodeo para atravesar los orificios y llegar a todo el recinto? ¿Cómo puede saber el haz luminoso antes de propagarse si se va a encontrar con un obstáculo o no? La respuesta a esto se sigue buscando hoy en día.

Así pues, nos adentramos en el siglo XIX con la duda de si la luz es una onda o es material, sin saber cómo conoce su recorrido antes de realizarlo, y sin poder explicar su ausencia de masa haciéndola compatible con la reflexión y la refracción. Aunque, como es de entender, después de los experimentos de Young la física se centró más en apoyar la teoría ondulatoria.

El siguiente punto a tratar fue calcular exactamente a qué velocidad se movía la luz. Para ello usaron el método por excelencia, basado en los sistemas de referencia de Galileo: dejar escapar un haz de luz y medir a qué velocidad se alejaba del punto de partida. El resultado fue el conocido valor de 300000km/s. Para asegurarse de que este resultado era cierto, cambiaron ligeramente el experimento y sobre los extremos de una línea recta ubicaron un foco y un científico con un cronómetro, montado en un vehículo que se desplazaría hacia el foco a x km/s. En el instante en que dicho vehículo arrancó, encendieron a la vez el foco. Según la mecánica clásica, el haz y el científico se aproximarían el uno al otro a una velocidad v = 300000 km/s + x km/s. Sin embargo, descubrieron que la velocidad a la que se aproximaban era de nuevo la de la luz.

¡Pero eso es muy complicado!, pensaréis más de alguno. Y entonces estaríais equivocados. No es muy complicado: es imposible. Carece de lógica que dos cuerpos en movimiento, yendo uno hacia el otro, se aproximen a uno velocidad igual a la de tan solo uno de ellos, como si el otro no estuviese formando parte del experimento. Un verdadero caos.

Después de esto comprenderéis que era completamente necesario que alguien organizase semejante incoherencia, pero esa ya es otra historia. Era el fin de la mecánica clásica.