Física General (16): Ondas: Movimiento Armónico Simple, Descripción de una Onda, Ondas Mecánicas, Periódicas, Armónicas, Parámetros, Ondas transversales, Longitudinales, Superposición, Reflexión, Ondas Estacionarias, Dispersivas, Potencia, Intensidad, Efecto Doppler.

Movimiento Armónico Simple:

El movimiento oscilatorio es un movimiento periódico en torno a un punto de equilibrio. Todo movimiento oscilatorio tiene unas características importantes: frecuencia, periodo y amplitud. El movimiento armónico simple (m.a.s.) es el movimiento armónico más sencillo.

Para estudiar el m.a.s. se busca su analogía con el movimiento circular uniforme. Consideremos la partícula “P” de velocidad constante “v0″ describiendo una trayectoria circular de radio “A”.

Podemos definir la posición de “P” con “x”, “y” o con “σ”, que está relacionado con la velocidad angular:

• ω = dσ / dt.

, que, a su vez, está relacionada con la velocidad lineal por:

• v = A ω.

Para calcular “σ” integramos:

• ∫dσ = ω ∫dt.
• σ = ω t + σ0.

Calculemos la proyección sobre el eje “x” de “P”: “Q”. El punto “Q” se mueve hacia “x-” o hacia “x+” según “P” vaya girando. “Q” tiene un m.a.s.

El desplazamiento de “Q” respecto a “0″ vendrá dado por la proyección de “P” sobre el eje “x” por definición:

• x = A Cosσ = A Cos(ω t + σ0).

Para pasar de coseno a seno, a “σ0″ se le suman “π / 2″ radianes:

• x = A Cosσ = A Cos(ω t + σ0 + π / 2).

Estudiemos las características de m.a.s.

Amplitud (A):

Desplazamiento máximo respecto a la posición de equilibrio (0).

Frecuencia Angular (ω):

Número de radianes que recorre en un segundo.

Periodo (T):

Tiempo que tarda en completar una vuelta o ciclo. Al recorrer un ciclo, la fase aumenta en “2 π” radianes:

• T = 2 π / ω.

Frecuencia (f):

Número de vueltas que da en un segundo.

• f = 1 / T = ω / (2 π).

Estudiemos la velocidad de “Q” en m.a.s. Se puede obtener derivando:

• v = dx / dt = – ω A Sen(ω t + σ0).

Esta “v” es la misma que la proyección sobre “x” de la velocidad “v0″. Apreciamos que nuestra “v” está en función de “t”, pero es útil conocerla también en función de “x”. La distancia “¬PQ”, por pitágoras, es:

• d(¬P, ¬Q) = [A^2 - x^2]^1/2.

, y por trigonometría:

• d(¬P, ¬Q) = A Senσ.

Por tanto:

• A Senσ = [A^2 - x^2]^0.5.

, de donde:

• Senσ = [A^2 - x^2]^1/2 / A.

Sustituyendo en “v”:

• v = – ω [A^2 - x^2]^1/2.

Para ponerlo en función de “v0″:

• v = – ω A [1 - (x / A)^2]^1/2 = ± v0 [1 - (x / A)^2]^1/2.

Se cumplen las siguientes propiedades:

• x = – A → v = 0.
• x = 0 → v = ± v0.
• x = A → v = 0.

Estudiemos la aceleración del movimiento armónico simple.

La partícula “P” está sometida a una aceleración centrípeta:

• ac = v^2 / A = ω^2 A.

“a”, la aceleración de “Q”, es la proyección de “ac” sobre el eje “x”.

• a = dv / dt = – ac Cosσ = – ω^2 A Cos(ω t + σ0).

Ecuación Diferencial de un Movimiento en un M.A.S:

• a = d^2 x / dt^2 = dv / dt = dx dv / (dt dx) = v dv / dx = – ω^2 x.

Ya podemos integrar:

• ∫v dv = – ω^2 ∫x dx.
• v^2 / 2 = – ω^2 x^2 / 2 + cte.
• v^2 = – ω^2 x^2 + 2 cte = ω^2 (2 cte / ω^2 – x^2) = ω^2 (A^2 – x^2).
• v = ω [A^2 - x^2]^1/2.

, expresión que ya obtuvimos.

Obtenemos “x”:

• v = dx / dt = w [A^2 - x^2]^1/2.
• ∫(dx / [A^2 - x^2]^1/2) = ω ∫dt.

Para integrar se hace el cambio de variable:

• x = A Cosσ.
• dx = – A Senσ dσ.

• [A^2 - x^2]^1/2 = A[1 - Cosσ^2]^1/2 = A Senσ.

• ∫- A Senσ dσ / (A Senσ) = – ∫dσ = ω ∫dt.
• σ = – ω t + σ0.

Ahora deshacemos el cambio de variable:

• x = A Cosσ = A Cos(- ω t + σ0).

Por tanto, hemos llegado a las ecuaciones que ya teníamos a partir de la ecuación diferencial. “A” y “σ0″ ahora son constantes de integración que dependen de las condiciones iniciales. Determinémoslas:

Partimos de:

• x = A Cos(ω t + σ0).
• v = – ω A Sen(ω t + σ0).
• t = 0.
• x = x0 = A Cos(σ0).
• v = v0 = – A ω Sen(σ0).

Hacemos la división:

• v0 / x0 = – A ω Sen(σ0) / (A Cos(σ0)) = – ω Tg(σ0).
• Tg(σ0) = – v0 / (x0 ω).
• σ0 = Arcotg(- v0 / (x0 ω)).

Para calcular “A”, usaremos:

• Senσ^2 + Cosσ^2 = 1.

• x0^2 = A^2 Cos(σ0)^2.
• v0^2 = – A^2 ω^2 Sen(σ0)^2.
• (v0 / ω)^2 = - A^2 Sen(σ0)^2.

Sumando:

• x0^2 + (v0 / ω)^2 = A^2 (Cos(σ0)^2 + Sen(σ0)^2) = A^2.
• A = [x0^2 + (v0 / ω)^2]^1/2.

Fuerza de Restitución Elástica:

Supongamos un cuerpo de masa “m” unido a un muelle de masa despreciable en la posición de equilibrio. Tirando del objeto, si el muelle es ideal, la fuerza con la que se opone el muelle a la fuerza exterior viene dada por la Ley de Hooke:

• Fe = – k x.

, que es opuesta al desplazamiento, donde “k” es la constante de elasticidad.

Por la 2ª Ley de Newton:

• m a = – k x.

Comparando con la ecuación diferencial del m.a.s:

• a = – ω^2 x = – k x / m.

El muelle se muelle se mueve con un m.a.s. de:

• ω = [k / m]^1/2.

“ω” no depende de la separación inicial (ésta solo influye en la amplitud).

Supongamos un m.a.s. vertical, donde el punto de equilibrio depende del peso. En la posición de equilibrio se cumplirá:

• |¬P| = |¬Fe|.
• mg = k l.
• l = m g / k.

A partir de aquí el razonamiento es similar al m.a.s. simple horizontal. Una partícula con m.a.s. se mueve como si estuviese unida a un muelle ideal.

Energía en el M.A.S:

Ya conocemos cómo es la fuerza asociada a un m.a.s:

• Fe = – k x.

, que es conservativa (no realiza trabajo a lo largo de la trayectoria), por lo que la disminución o el aumento de la energía cinética es a costa de la variación de la energía potencial.

Energía Potencial Elástica:

La energía potencial elástica en “Q” será el trabajo necesario para llevar la partícula de “O” a “Q”.

• Ep = ∫F dx = – k ∫x dx.
• Ep = k x^2 / 2.

Como la fuerza es constante se cumple:

• Ec + Ep = cte.
• m v^2 / 2 + k x^2 / 2 = cte.
• m A^2 ω^2 Sen(ω t + σ0)^2 / 2 + k A^2 Cos(ω t + σ0)^2 / 2 = cte.

, y como:

• k = m ω^2.

, nos resulta:

• k A^2 (Sen(ω t + σ0)^2 + Cos(ω t + σ0)^2) / 2 = k A^2 / 2 = cte.

• m v^2 = k (A^2 – x^2).
• v^2 = k (A^2 – x^2) / m.
• v = w (A^2 – x^2).

de nuevo.

Péndulo Simple:

Modelo de péndulo ideal: masa puntual “m” colgando de un hilo de masa despreciable y longitud “l”. Si lo desplazamos “σ” radianes de su posición de equilibrio, los pares de fuerzas se compensan siguiendo la igualdad:

• P Cosσ = T.

La responsable de la oscilación es “P Senσ”.

• F = – P Senσ.
• m a = – m g Senσ.
• a = – g Senσ.
• l d^2σ / dt^2 = – g Senσ.
• d^2σ / dt^2 = – g Senσ / l.

Para “σ” muy pequeños se movería con m.a.s., y por Taylor:

• Senσ ≈ σ.

Por lo que:

• l d^2σ / dt^2 = – g σ.
• w^2 = g / l.

Notación Compleja:

Un número complejo es isomorfo a un vector en 2 dimensiones, ya que se puede representar en el plano complejo donde la abscisa es la parte real y la ordenada la imaginaria.

• z = x + i y.
• Parte Real = x = r Cosσ.
• Parte Imaginaria = y = r Senσ.

• z = x + i y = r (Cosσ + i Senσ) = r e^(i σ).

, donde “r” es la amplitud y “σ” la fase. Expresado en forma fasorial:

• z = r \ σ.

El complejo conjugado sería de la forma:

• z* = x – y i = r (Cosσ – i Senσ) = r ^(- i σ) =r \ – σ.

El módulo se calcula elementalmente:

• r = [x^2 + y^2]^1/2.
  

Y la fase:

• σ = Arcotg(y / x).

El problema es que los arcotangentes de un complejo y su conjugado resultan ser idénticos, por lo que, para corregir el error, se le suman “π” radianes a “z*”.

Supongamos que la fase varía con el tiempo:

• σ = ω t + σ0.

, entonces, “z” rota con una frecuencia angular “ω”. Por tanto:

• z = r e^(i σ) = r e^(i (ω t + σ0)).
• z = r e^(i ω t) e^(i σ0).

Cada vez que se cumple un periodo “T” se da una vuelta completa, y el fasor vuelve a su valor original. Los fasores se representan con:

• t = 0.

, es decir, no se representa la dependencia temporal. Los fasores, además, son fáciles de derivar.

• dz / dt = d(r e^(i ω t) e^(i σ0)) / dt.
• dz / dt = i ω r e^(i ω t) e^(i σ0) = i w z.

• d^2z / dt^2 = i ω (i w z) = – ω^2 z.

La parte real del fasor “z” es:

• r Cosσ = r Cos(ω t + σ0).

La de “dz / dt” es:

• - ω r Senσ = – ω r Sen(ω t + σ0).

Y por último, la de “d^2z / dt^2″ es:

• - ω^2 r Cosσ = - ω^2 r Cos(ω t + σ0).

Descripción de una onda unidimensional:

Una onda es una perturbación del equilibrio que se propaga de una región del espacio a otra. Se propaga la perturbación, que implica un transporte de energía y momento, y no la materia (ésta se mueve solo en torno a unas posiciones de equilibrio).

Según su naturaleza hay dos tipos de ondas:

• Mecánicas: necesitan un material elástico para propagarse que se llama medio, como por ejemplo las ondas de agua, el sonido, o una cuerda.
• Electromagnéticas: no necesitan un medio para propagarse, y por tanto son las únicas que pueden viajar en el vacío. Se producen por cargas aceleradas de partículas atómicas o subatómicas. Algunos ejemplos son los rayos x, la radio, la luz, que solo varían su frecuencia y su longitud de onda.

Ondas Mecánicas:

Según la dirección de la perturbación, hay varios tipos de onda:

• Transversales: los desplazamientos de las partículas del medio son perpensidulares a la dirección de la onda, como es el caso de la oscilación de la cuerda.
• Longitudinales: las partículas se mueven en la dirección de la onda, como es el caso de un muelle que se contrae o un gas comprimido por un pistón.

La cresta de una ola es una onda transversal y longitudinal a la vez.

Características de las ondas:

• La Velocidad de Propagación de la onda, que solo depende de las propiedades mecánicas del medio, y no de la velocidad de vibración de las partículas.
• El medio no viaja por el espacio: sus partículas realizan un movimiento en torno a unas posiciones de equilibrio.
• Para generar la onda hay que aportar energía realizando un trabajo sobre el sistema.

Descripción Matemática de una Onda Unidimensional:

Supongamos que el medio en que se propaga es elástico, lineal y no dispersivo. Entonces, la onda se propaga a velocidad constante y sin perder la forma.

Supongamos un pulso que se propaga a una velocidad “v”.

Calculemos la función que describa la posición de un punto en cualquier instante. Supongamos, por tanto:

• y = f(x).

Pero necesitamos una dependencia temporal. Para relacionar las funciones en:

• t = 0.
• t’ ≠ 0.

, consideremos un sistema de referencia en la propia perturbación. En este sistema, la función que nos da la posición inicial es igual a la del resto del tiempo:

• y’ = f(x’).

para cualquier “t”.

La relación entre los sistemas viene dada por:

• y’ = y.
• x’ = x – vt.

Por tanto:

• y = y’ = f(x’) = f(x – v t) = f(x / v + t).

Así, ya tenemos la dependencia temporal en la función de onda, que presenta una onda propagándose a velocidad “v” en la dirección “y” que representa el movimiento vertical de un punto “x” en un tiempo “t”. Por tanto, si “t” aumenta en “1″ segundo, hay que aumentar “x” en “v” metros para que “y” tenga el mismo valor.

Hablamos de Ondas Progresivas cuando:

• v > 0.

, y de Ondas Regresivas cuando:

• v < 0.

Para ondas longitudinales:

• y = Φ = desplazamiento paralelo a la velocidad de la onda.

En general, una onda unidimensional será una combinación de una onda regresiva y una progresiva:

• Φ(x, t) = f(x – v t) – g(x + v t).

Ondas Periódicas:

La perturbación se repite cada cierto tiempo de forma regular, es decir, de una fuente periódica.

.-Longitud de Onda “λ”:

Es la distancia espacial (en “m”) en la que la onda efectúa una oscilación completa y tras la cual se repite, es decir, la perturbación se repite cada “λ” metros.

• Φ(x, t) = Φ(x ± λ, t) = Φ(x ± n λ, t).

.-Periodo “T”:

tiempo (en “s”) que la onda tarda en completar una oscilación completa. Fijado un punto “x” del medio, tiempo que tarda dicho punto en dar una oscilación, se cumple:

• Φ(x, t) = Φ(x, t ± T) = Φ(x, t ± n T).

.-Frecuencia “f”:

Número de oscilaciones por segundo (en “Hz”):

• f = 1 / T.

Para relacionar “v”, “T” y “λ” nos ponemos en “x0″ y mecimos con un cronómetro los metros de perturbación que pasan en un segundo, es decir, su frecuencia:

• v = λ f.

Ondas Armónicas:

La perturbación tiene forma sinusoidal, es decir, definida por senos y cosenos (cualquier onda periódica es suma de ondas armónicas).

El m.a.s. nos sirve para crear ondas armónicas, de modo que:

• Φ(x, t) = A Sen(- 2 π x / λ).

Observamos una periodicidad espacial, que nos permite definir el Número de Onda:

• k = – 2 π / λ.

La función total es una función de “t” y de “x”:

• Φ(x, t) = A Sen(- k (x – v t)) = A Sen(- k x + k v t) = A Sen(- k x + 2 π f t).
• Φ(x, t) = A Sen(ω t – k x).

, donde “ω”, “f” y “A” son propiedades de la fuente, y “v” solo del medio.

• Φ(x, t) = A Sen(ω t ± k x + Φ0).
• Φ(x, t) = A e^(i(ω t ± k x + Φ0)).

Ecuación de una Onda Unidimensional:

Vamos a demostrar que una función:

• Φ = Φ(x ± ω t).

es una onda unidimensional propagándose en “± x”.

• α = x ± ω t.
• Φ = Φ(α).

• dΦ / dx = dΦ dα / dα dx = dΦ / dα = Φ’.
• dΦ / dt = dΦ dα / dα dt = ± v dΦ / dt = ± v Φ’.

• d^2Φ / dx^2 = Φ”.
• d^2Φ / dt^2 = v^2 Φ”.

Por tanto, cualquier función dependiente de “x” y “t” de la forma:

• Φ = Φ(x ± ω t).

cumple:

• d^2Φ / dx^2 = Φ”.
• d^2Φ / dt^2 = v^2 Φ”.

• Φ” = d^2Φ / dx^2 = d^2Φ / (v^2 dt^2).
• d^2Φ / dx^2 – d^2Φ / (v^2 dt^2) = 0.

, que es la ecuación de ondas unidimensionales propagándose en la dirección “± x” a “v”.

La solución general es:

• Φ(x, t) = f(x – v t) + g(x + v t).

Como es una ecuación diferencial lineal y sabemos que hay una solución que es una onda y otra que es otra onda, su suma también es solución, por aplicación del principio de superposición.

Cuerda Tensa. Ondas Transversales:

Consideremos un segmento de cuerda sometido a una determinada perturbación y analicemos las fuerzas que actúan sobre ella (tensiones, que son la misma) para estudiar el movimiento.

Dados dos segmentos de cuerda “1″ y “2″, de inclinaciones:

• σ1 ≠ σ2.

por la ligera inclinación debida a la onda:

• ∑Fy = T2y – T1y = T Sen(σ2) – T Sen(σ1) = T (Sen(σ2) – Sen(σ2)).
• ∑Fx = 0.

No hay movimiento en “x”.

Considerando una onda de amplitud pequeña, “σ1″ y “σ2″ son pequeños, cumpliéndose:

• Cosσ ≈ 1.
• Senσ ≈ Tgσ.

Además, podemos considerar:

• m = μ Δx.

, siendo “μ” la densidad lineal.

• ∑Fy = T(Tg(σ2)- Tg(σ1)).

En un determinado punto:

• Tgσ = dy / dx.

, es decir, la pendiente “S” del punto.

• ∑Fy = T(S2 – S1) = T ΔS = m ay = m d^2y / dt^2 = μ Δx d^2y / dt^2.
• T ΔS / Δx = μ d^2y / dt^2.
• d^2y / dt^2 = μ d^2y / (T dt^2).
• d^2y / dt^2 – μ d^2y / (T dt^2) = 0.

Comparando con la ecuación de ondas:

• 1 / v^2 = μ / T.
• v = [T / μ]^1/2.

La velocidad de propagación de una onda depende del medio.

Ondas Sonoras en un Tubo de Aire. Ondas Longitudinales:

Las ondas longitudinales de presión / descompresión en un medio sólido, líquido o gaseoso son ondas sonoras de frecuencia audible entre los los 20 Hz y los 20 kHz.

Consideremos una onda sonora propagándose en un tubo de sección “A”. Consideremos una región en equilibrio:

• p1 = p2.

Sea “ρ0″ la densidad de masa. Si hay una perturbación “dΦ” el gas se expandirá o se contraerá, respectivamente, según:

• dΦ > 0.
• dΦ < 0.

Para la región de volumen considerado, “ρ” será distinto, pero no la masa:

• m1 = m2.
• ρ0 V1 = ρ V2.
• ρ0 A dx = ρ A (dx + dΦ).
• ρ = ρ0 / (1 + dΦ / dx) = ρ0 (1 + dΦ / dx)^(-1).

Veamos las presiones que ejercen las dos masas de aire que rodean la sección considerada para estudiar la fuerza que actúa sobre la misma:

• Fxi = p A.
• Fxd = p’ A.

Siendo “Fxi” la fuerza por el lado izquierdo y “Fxd” la fuerza por el lado derecho. La fuerza resultante “Fx” será:

• Fx = (p – p’) A = – A dp.
• Fx = m a = m d^2Φ / dt^2.

Combinando:

• m d^2Φ / dt^2 = ρ0 A dx d^2Φ / dt^2 = – A dp.
• - dp / dx = – ρ0 = d^2Φ / dt^2.

Por la regla de la cadena:

• dp / dx = dp dρ / dρ dx.

pero como:

• ρ =  ρ0 (1 + dΦ / dx)^(-1).

Obtenemos:

• dp / dx = dp (- ρ0 d^2Φ / dx^2) / dρ.

Comparando:

• d^2Φ / dx^2 = d^2Φ dρ / (dt^2 dp).

, que es la ecuación de ondas de una onda unidimensional propagándose en la dirección:

• v = [dp / dρ]^1/2.

En general, la velocidad de propagación de una onda longitudinal se calcula en función del módulo de volumen del medio, denominaremos “β” a la inversa de la compresibilidad, que juega el papel de la constante elásticas del muelle:

• v = [β / ρ]^1/2.

Para sólidos “s”, líquidos “l”, y gases “g”, se cumple:

• vs > vl > vg.
• βs > βl > βg.

Algunos casos particulares son, la varilla al comprimirse, de ecuación:

• v = [γ / ρ]^1/2.

, donde “γ” representa el Módulo de Young, una constante predeterminada para cada material.

En el gas ideal:

• v = [γ R T / M]^1/2.

, donde “R” es la constante de los gases (8,31 J / mol), “M” es la masa molecular del gas, “T” la temperatura absoluta y “γ” la constante del gas vista en el tema anterior.

Transporte de Energía en una Onda Transversal en una Cuerda:

Supongamos una onda que viaja de izquierda a derecha en un punto “A” de la cuerda. Calculemos el trabajo realizado por unidad de tiempo (potencia) en un segundo elemental de la cuerda, considerando la fuerza que un trazo de cuerda ejerce sobre otro de la derecha.

• Fy = – T Senσ ≈ – T Tgσ.
• Tgσ = dy / dx = S.

Ya tenemos la fuerza que se ejerce sobre “A”, el cual se va a desplazar con una velocidad, y cuando el punto “A” se mueve en la dirección “y”, realiza trabajo sobre ese punto.

La potencia la medimos como:

• P(x, t) = F(x, t) v(x, t) = – T  dy(x, t) dy(x, t) / dx dt.

Consideremos una onda armónica:

• y(x, t) = A Sen(ω t + k x).
• dy(x, t) / dx= A k Cos(ω t – k+x).
• dy(x, t) / dt = A ω Cos(ω t – k+x).

A partir de la expresión anterior:

• P = T k ω A^2 Cos(ω t – kx)^2.

, y como:

• T = v^2 μ.
• v = ω / k.

nos resulta:

• P = v μ ω^2 A^2 Cos(ω t – kx)^2.

, que es la potencia instantánea de onda en el punto “x”. Consecuentemente, la potencia máxima será:

• Pmax = v μ ω^2 A^2.

Pero a nosotros no nos interesa la potencia instantánea, sino la potencia promedio de un ciclo:

• P‾ = (∫(v μ ω^2 A^2 Cos(ω t – kx)^2 dt) desde “0″ hasta “T”) / T.

• P‾ = ω ∫(v μ ω^2 A^2 Cos(ω t – kx)^2 dt) desde “0″ hasta “2 π / ω” / 2 π.
• P‾ = μ v ω^2 A^2 / 2.

, y esta es la potencia promedio de todas las ondas, proporcional al cuadrado de la amplitud:

• P‾ = α A^2.

La energía que fluye del punto “A” al “B” es:

• ΔE‾ = P‾ Δt = μ ω^2 A^2 Δx / 2.

Transporte de Energía en Ondas Longitudinales:

La potencia media por unidad de sección transversal (intensidad de la onda) es:

• I = P‾ / A.

Principio de Superposición:

Cuando dos ondas interfieren, el desplazamiento real de cualquier punto del medio en cualquier instante se obtiene sumandoel desplazamiento que tendría el punto si solo estuviese presente la primera onda y el que tendría si solo estuviese la segunda.

• Onda 1: y1(x, t).
• Onda 2: y2(x, t).
• Onda resultante: y1 + y2 = y(x, t).

La interferencia puede ser ocnstructiva o destructiva según si las ondas están o no en fase, respectivamente. Este principio es aplicable por la linealidad de las funciones de onda.
Reflexión en un Punto Fijo:

Supongamos un punto sobre una pared incapaz de oscilar (es un punto fijo), y supongamos que una onda se propaga hacia el punto en cuestión, de forma que cuando llegue a él tendrá que tomar un valor nulo. Asimismo, después de chocar con la pared, nuestra onda deberá reflejarse, es decir, volver hacia atrás de un modo opuesto al de llegó.

La única explicación matemática posible es que desde la pared, en todo momento, se propage en sentido opuesto a la onda original una onda exactamente igual solo que con sentido y módulo opuesto, de modo que en todo instante amvas ondas se anulen en el punto de la pared.

Poner una condición de este tipo en la propagación de las ondas es establecer una condición de contorno, y si un punto siempre es fijo es un nodo.

Ondas Estacionarias en una Cuerda:

Las ondas que se superponen en una cuerda producen, como onda resultante, ondas estacionarias, para ciertas frecuencias.

Supongamos que tenemos una onda armónica incidente:

• y1(x, t) = A Sen(ω t – k x).

Debido a la reflexión en el punto fijo “B”, existe una onda reflejada:

• y2(x, t) = – A Sen(ω t + k x).

La onda resultante será:

• y(x, t) = y1 + y2 = A Sen(ω t – k x) - A Sen(ω t + k x).
• y(x, t) = A(Sen(ω t – k x) – Sen(ω t + k x)).
• y(x, t) = A(Sen(ω t) Cos(k x) – Cos(ω t) Sen(k x) – Sen(ω t) Cos(k x) – Cos(ω t) Sen(k x)).
• y(x, t) = – 2 A Cos(ω t) Sen(k x).

Como en el punto final de la cuerda de longitud “L” la onda debe anularse, obtenemos que:

• - 2 A Cos(ω t) Sen(k L) = 0.
• Sen(k L) = 0.
• k L = Arcosen(0) = n π radianes.

Es decir, el factor “k L” debe ser igual siempre a un ángulo cuyo seno se anule, representados por “n π”. PAra cada valor de “n”, el valor de “k” será distinto, por lo que es necesario definir los “kn”, que representan el valor de “n” al que van asociados, por lo que, en definitiva:

• kn = n π / L.

Como previamente sabiamos que:

• k = 2 π / λ.
• kn = 2π / λn.

Nos resulta:

• 2 π / λn = n π / L.

, donde los “λn” representan las longitudes de onda asociadas a cada valor de “n”, que se despejan como:

• λn = 2 L / n.

La interpretación física de este fenómeno es que las distintas longitudes de onda representan los distintos armónicos de una cuerda, y en base a ellos se construyen los instrumentos musicales. “n = 1″ seria el primer armónico, “n = 2″ el segundo, y así sucesivamente.

Potencia e Intensidad de las Ondas:

Estudiaremos ambas propiedades particularizando a ondas sonoras, pues la intensidad se define como vimos antes:

• I = P‾ / S.

, donde “S” representa la sección del frente de onda. Además, siempre se cumplía que:

• I = α A^2.

, donde “A” representa la amplitud de la onda.

.-Ondas Dispersivas:

Si la fuente es puntual , se producen ondas esféricas, que se propagan a la misma velocidad en todas direcciones. En este caso la sección será la superficie de la esfera, por lo que:

• I = P‾ / (4 π r^2) = β / r^2.
• I = α A^2.
• α A^2 = β / r^2.
• A^2 r^2 = cte.
• A r = cte.

Si la fuente es lineal se producen ondas cilíndircas:

• I = P‾ / (2 π r h) = β / r.
• I = α A^2.
• α A^2 = β / r.
• A^2 r = cte.
• A r^1/2 = cte.

.-Ondas No Dispersivas:

Si la onda es plana, se propaga en una única dirección, por lo que la sección es constante, y se cumple:

• I = P‾ / S = cte.
• I = α A^2.
• α A^2 = cte.
• A = cte.

Efecto Doppler:

Cuando una fuente de sonido y un oyente están en movimiento uno respecto al otro, la frecuencia percibida por el agente es distinta a la transmitida por la fuente. Cuando se acercan, la frecuencia es mayor y viceversa.

Supongamos que la velocidad de la fuente “vf” y la del oyende “vo” tienen la misma dirección, siendo la dirección positiva la que va del oyente  “o” a la fuente “f”.

.-Fuente en reposo:

Si representamos los puntos con igual fase (frentes de onda) de una fase determinada, la distancia entre ellos es “λf”. El oyente se acerca con “vo” a la fuente; esta emite un sonido de frecuencia “νf”, y por tanto el periodo es:

• Tf = 1 / νf.

Si conocemos la velocidad del sonido “v”,  resulta que:

• λf = v Tf.

, y es que aunque “o” ve una separación “λf”, percibe una frecuencia mayor, porque su velocidad medida “v’” es:

• v’ = vo + v.

Por lo que su frecuencia medida es:

• νo = v’ / λf = (v + vo) / (v / νf) = (v + vo) νf / v.

.-Fuente y oyente en movimiento:

Al desplazarse “f”, se desplazan los centros de origen de las ondas, por lo que “λ1 ≠ λ2″.

Definimos “Tf” como el tiempo en que la cresta recorre “v Tf”, y la fuente “vf Tf”:

• λ = v Tf + vf Tf = (v + vf) / νf.

De modo que en la fórmula de la frecuencia medida cambia este parámetro:

• νo = v’ / λf = (v + vo) / (v + vf / νf) = (v + vo) νf / (v + vf).

En general, aunque “f” y “o” tengan la misma velocidad relativa, el efecto Doppler será distinto según se mueve “f”, “0″ o los dos.

Ideas Sobre Geometría Espacio-Temporal en el Espacio Euclidiano: Puntos, Curvas y Superficies Evolutivas.

Conociendo ya la geometría del plano y del espacio, en esta entrada pretendo dar un salto más allá y analizar qué pasa con ciertas figuras cuando introducimos el parámetro tiempo en nuestras descripciones. A diferencia de sus geometrías precedentes, aquí nos encontraremos con la particularidad de que los tres ejes (x, y, z, t) no son equivalentes, y que denominaremos a las figuras de forma diferente  según dónde esté ubicado el parámetro “t” en la ecuación, es decir, la geometría espacio-temporal es una idea más compleja que la geometría de 4 dimensiones, si bien tienen varias cosas en común. Así pues, estructuraré esta entrada explicando las cosas según el modelo 4-D, y después aportando las restricciones de que la 4ª dimensión. El espacio sobre el que trabajaremos será euclidiano, por lo que despreciaremos cualquier posible efecto relativista.

Puntos y vectores en 4 dimensiones:

En analogía con los anteriores espacios, el punto “¬P” se representará en función de sus 4 parámetros (x, y, z, t), y todo vector “¬v” dependerá de sus cuatro componentes (vx, vy, vz, vt).

Recta en 4 dimensiones:

A partir de las anteriores definiciones, podemos describir nuestra primera figura geométrica del siguiente modo:

• ¬P = ¬P0 + λ ¬v.

• ¬P = (x, y, z, t).
• ¬P0 = (x0, y0, z0, t0).
• ¬v = (vx, vy, vz, vt).

, donde “λ” puede tomar cualquier valor real y “P0″ representa un punto cualquiera de la recta.

En versión paramétrica, sus ecuaciones serían:

• x = x0 + λ vx.
• y = y0 + λ vy.
• z = z0 + λ vz.
• t = t0 + λ vt.

En continua:

• λ = (x – xo) / vx = (y – yo) / vy = (z – zo) / vz = (t – t0) / vt.

, también representable como:

• λ = Δx / vx = Δy / vy = Δz / vz = Δt / vt.

Punto en M.R.U.. Vector velocidad:

La recta “r” en 4 dimensiones antes descrita, si tiene un vector director “¬v” que cumpla:

• vz ≠ 0.

toma un único valor (x, y, z) para cada valor de “t”, por lo que podemos considerarla, en analogía con el espacio en 3 dimensiones, un punto en movimiento.

Para ello, es más cómodo definir un cierto vector velocidad (vx, vy, vz, 1) equivalente, porque así, despejando de la ecuación continua antes vista:

• λ = Δt.

, y obtenemos:

• ¬P = ¬P0 + Δt ¬v.

, que, en analogía con la cinemática clásica, representa un movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.) para un punto material, y cumple:

• x = x0 + vx Δt.
• y = y0 + vy Δt.
• z = z0 + vz Δt.
• t = t0 + Δt.

, verificando la última ecuación nuestra definición de “Δt”.

Por último:

• Δt = Δx / vx = Δy / vy = Δz / vz.

Evidentemente, este enfoque de la recta de 4 dimensiones no tiene sentido en caso de que:

• vt = 0.

, pues toda ella estaría comprendida dentro de un único valor de “t”, inmóvil.

Posición relativa de dos rectas de 4 Dimensiones:

Dadas dos rectas “r1″ y “r2″ 4-D:

• ¬P1 = ¬P01 + α ¬v1.
• ¬P2 = ¬P02 + β ¬v2.

Diremos que son paralelas si sus vectores lo son, es decir, si “α” toma algún valor tal que:

• α ¬v1 = ¬v2.

Si además de ésto, el punto “¬P02″ pertenece a “r1″, serán coincidentes:

• ¬P01 + α ¬v1 = ¬P02.

En caso de que no sean paralelas, simplemente podrán cortarse o no. Si se cortan es trivial deducir el único punto de corte (x, y, z, t) que puden poseer, pues tiene que ser el único que tengan en común.

• x = x01 + α vx1 = x02 + β vx2.
• y = y01 + α vy1 = y02 + β vy2.
• z = z01 + α vz1 = z02 + β vz2.
• t = t01 + α vt1 = t02 + β vt2.

En caso de que el sistema tenga solución se cortan en ella. En caso contrario simplemente se cruzan, pero no llegan a chocar.

Movimiento Relativo de Dos Puntos en M.R.U:

Si, a partir del apartado anterior, queremos que nuestras rectas 4-D “r1″ y “r2″ sean ambas puntos en m.r.u., deben cumplir que:

• v1t ≠ 0.
• v2t ≠ 0.

, y por comodidad les impondremos:

• t01 = 0.
• t02 = 0.
• v1t = 1.
• v2t = 1.

Las dos primeras condiciones se cumplen tomando como puntos de origen “¬P01″ y “¬P02″ aquéllos ubicados en:

• t = 0.

para cada una. Es decir, no basta con poner un “0″ en sus coordenadas de golpe. Para la segunda hay que dividir todas las componentes de los vectores dirección entre sus componentes “v1t” y “v2t” respectivamente.

Nos resultan así:

• (x, y, z, t) = (x01, y01, z01, 0) + Δt (v1x, v1y, v1z, 1).
• (x, y, z, t) = (x02, y02, z02, 0) + Δt (v2x, v2y, v2z, 1).

Estos cuerpos tomarán trayectorias paralelas si:

• Δt ¬v1 = ¬v2.

, y además serán coincidentes si:

• ¬P01 = ¬P02.

Si sus trayectorias no son paralelas pueden colisionar o no. Y si lo hacen tiene que existir un valor “Δt” en el que cumplan:

• x01 + v1x Δt = x02 + v2x Δt.
• y01 + v1y Δt = y02 + v2y Δt.
• z01 + v1z Δt = z02 + v2z Δt.

Plano en 4 Dimensiones:

Denominaremos plano 4-D “γ” al conjunto de puntos que cumplen la ecuación:

• ¬P = ¬P0 + α ¬v + β ¬w.

En paramétricas:

• x = xo + α vx + β wx.
• y = yo + α vy + β wy.
• z = zo + α vz + β wz.
• t = to + α vt + β wt.

Recta en M.R.U:

Esta vez las condiciones que impondremos sobre la ecuación serán más complejas. En primer lugar:

• t0 = 0.

, como hemos hecho hasta ahora. En segundo lugar, tan solo uno de los dos vectores “¬v” o “¬w” debe depender del tiempo, por lo que sin pérdida de generalidad impondremos:

• vt = 1.
• wt = 0.

La unión de estas dos condiciones sin alterar la ecuación original es bastante compleja, por lo que la explicaré paso a paso. En primer lugar debemos considerar el vector 3-D perpendicular a las  componentes (x, y, z) de los “¬v” y “¬w” originales a través del producto vectorial:

• ¬l = (vy wz – vz wy, vx wz – vz wx, vx wy – vy wx) = (lx, ly, lz).

Depués denominar un nuevo vector:

• ¬m = (wx – vx, wy – vy, wz – vz, 0) = (mx, my, mz, 0).

Y finalmente el vector producto vectorial de “¬l” y las componentes (x, y, z) de “¬m”:

• ¬n = (ly mz – lz my, lx mz – lz mx, lx my – ly mx) = (nx, ny, nz).

Y fabricamos los nuevos vectores:

• ¬v = ¬m.
• ¬w = (nx, ny, nz, 1).

Y nos resulta:

• ¬P = ¬P0 + λ ¬v + Δt ¬w.

Teniendo esta ecuación resulta evidente que para valores fijos de “Δt” la figura resultante es una recta, que se va desplazando con m.r.u. a lo largo del tiempo.

En caso de que inicialmente ya solo uno de los dos vectores dependa del tiempo tan solo hay que dejar la componente “t” del otro igual a “1″, y en caso de que ninguno de ellos lo haga estariamos ante un simple plano estacionario de ecuaciones:

• (x, y, z) = (x0, y0, z0) + α (vx, vy, vz) + β (wx, wy, wz).
• t = t0.

Posición Relativa entre dos Planos de 4 Dimensiones:

Dados dos planos 4-D “γ1″ y “γ2″ genéricos:

• ¬P1 = ¬P01 + α ¬v1 + β ¬w1.
• ¬P2 = ¬P02 + δ ¬v2 + ε ¬w2.

Para que sean paralelos el subespacio generado por sus vectores debe tener dimensión dos. Es decir, que de entre los vectores “¬v1″, “¬v2″, “¬w1″, “¬w2″ dos de ellos sean linealmente dependientes de los otros dos. Lo cual es equivalente a calcular el rango de la matriz:

• M  = [v1x, v1y, v1z, v1t; v2x, v2y, v2z, v2t; w1x, w1y, w1z, w1t; w2x, w2y, w2z, w2t].

y comprobar que es igual a “2″.

Si además de ser paralelas, el punto “¬P02″ pertenece a “γ1″:

• ¬P01 + α ¬v1 + β ¬w1 = ¬P02.

para algún par de valores de “α” y “β” serán, además, coincidentes.

Si, en cambio, el rango de la matriz “M” es “3″, los planos 4-D se podrán cortar en una recta 4-D, y en caso de que el rango sea “4″, se cortarán en un punto que satisfaga:

• x = x01 + α v1x + β w1x = x02 + δ v2x + ε w2x.
• y = y01 + α v1y + β w1y = y02 + δ v2y + ε w2y.
• z = z01 + α v1z + β w1z = x02 + δ v2z + ε w2z.
• t = t01 + α v1t + β w1t = t02 + δ v2t + ε w2t.

, y sabemos que este sistema siempre puede tener solución porque estamos ante cuatro ecuaciones linealmente independientes de cuatro vectores. En caso de que el rango sea “3″, como ya dijimos, el corte se producirá sobre una recta 4-D, pues estaremos ante un sistema de cuatro ecuaciones compatibles y dependientes de tres vectores (el cuarto es combinación lineal de los anteriores).

Concluimos pues que, por muy antiintuitivo que sea, dos planos 4-D pueden intersecar en un punto, como veremos más detalladamente en el próximo apartado.

Por último, e intuitivamente, si el mencionado sistema de ecuaciones resulta incompatible, no poseerán puntos en común.

Movimiento Relativo de Dos Rectas en M.R.U:

Dadas dos rectas en m.r.u. “γ1″ y “γ2″:

• ¬P1 = ¬P01 + d ¬v1 + Δt ¬w1.
• ¬P2 = ¬Po2 + e ¬v2 + Δt¬w2.

Serán paralelas si, para algún valor de “d” y “Δt”, se cumple:

• d ¬v1 = ¬v2.
• Δt ¬w1 = ¬w2.

Si además:

• ¬P01 + d ¬v1 + Δt ¬w1 = ¬P02.

serán coincidentes.

Analicemos ahora los posibles cortes. En caso de que no sean paralelas generalmente se cortarán en un punto, pues barrerán dos planos sobre el espacio 3-D, que siempre intersecan según las ecuaciones antes vistas.

La única posibilidad de que dos rectas en m.r.u. intersequen en una recta es que ambas coincidan en algún espacio 3-D delimitado por un determinado tiempo “t”, es decir, que sus vectores “¬v” sean linealmente dependientes, y que además, si prescindimos de ellos, los puntos en movimiento “r” y “s” determinados por:

• ¬P1 = ¬P01 + Δt ¬w1.
• ¬P2 = ¬P02 + Δt ¬w2.

converjan.

Movimiento Relativo de una Recta en M.R.U. Respecto a un Plano Estacionario:

Supongamos la recta en m.r.u. “r” y el plano estacionario “s” dados por las ecuaciones:

• ¬P1 = ¬P01 + e ¬v1 + Δt ¬w1.
• ¬P2 = ¬P02 + α ¬v2 + β ¬w2.

, donde obviamente “s” tiene un valor fijo del tiempo por definición.

Cuando se cumpla:

• ¬t1 = ¬t2.

recta y plano compartirán el mismo espacio y las leyes que rigen su intersección son las vistas en R^3.

Si las componentes (x, y, z) de “¬v1″ son linealmente dependientes de las de los vectores “¬v2″ y “¬w2″ la “r” estará contenida en “s” durante el instante “t” mencionado, mientras que en caso contrario convergeran en un punto.

Espacio Generado por 3 Vectores de 4 Dimensiones:

Definimos como volumen 4-D “π” al conjunto de puntos que cumplen la ecuación:

• ¬P = ¬P0 + α ¬u + β ¬v + γ ¬w.

, y como tiene una dimensión menos que la del espacio total, podemos definirlo a través de la ecuación normal con ayuda del vector “¬n” perpendicular a los tres vectores directores de “π”. Ésto lo realizamos a través de un producto vectorial de 4 dimensiones, definido como el determinante de la matriz:

• [¬i, ¬j, ¬k, ¬l; ux, uy, uz, ut; vx, vy, vz, vt; wx, wy, wz, wt].

, donde “¬l” es el vector unitario en la dirección tiempo. Se calcule como se calcule este determinante (según el orden de los vectores), el resultado siempre será el mismo, excepto tal vez un cambio de signo que no afecta, resultándonos:

• ¬n = (nx, ny, nz, nt).

De modo que la ecuación normal nos resultará:

• nx x + ny y + nz z + nt t + k = 0.

, que por primera vez no es una ecuación vectorial. “k” es un escalar que se calcula de modo que el punto “¬P0″ satisfaga la ecuación. Más concretamente, resulta sencillo representar esta ecuación como un producto escalar:

• ¬n ¬P + k = 0.

, donde “¬P” representa al conjunto de puntos que cumplen esa ecuación.

Plano en M.R.U:

Si a partir de la ecuación:

• ¬P = ¬P0 + α ¬u + β ¬v + γ ¬w.

Imponemos las condiciones:

• t0 = 0.
• ut = 0.
• vt = 0.
• wt = 1.

a través de los métodos anteriormente vistos, obtenemos:

• ¬P = ¬P0 + d ¬u + e ¬v + Δt ¬w.

, donde se aprecia que estamos ante la ecuación de un plano que se mueve con un m.r.u. a lo largo del tiempo.

No obstante, también es más cómodo representarlo a través de su ecuación normal, entre otras cosas porque siempre vamos a saber que existe, y nos permite saber con más antelación si depende del tiempo o no. Veamos algunos ejemplos:

• t = 0.

Es el conjunto de todos los puntos que  existen en el mencionado tiempo, es decir, no es un plano en m.r.u.

• x = 0.

Es el plano que foman entre los ejes “y” y “z”, invariante a lo largo de todo el tiempo.

• x = t.

Es el plano antes mecionado desplazándose paralelamente al eje “x” de un modo directamente proporcional al tiempo.

Posición Relativa entre  Dos Planos en M.R.U. Redefinición de la Recta en M.R.U:

Dados dos planos en m.r.u. “π1″ y “π2″:

• ¬n1 ¬P1 + k1 = 0.
• ¬n2 ¬P2 + k2 = 0.

Si:

• λ ¬n1 = ¬n2.

, son paralelos, pues sus vectores normales únicos son linealmente dependientes.

Si, además, dado un punto “¬P02″ perteneciente a “π2″, cumple:

• ¬n1 ¬P02 + k1 = 0.

serán coincidentes.

En caso de que no sean paralelos, por lo general se cortarán siempre en una recta en m.r.u., redefinida a través de las ecuaciones de ambos. Es decir, si “π1″ y “π2″ son linealmente independientes entre ellos, sus ecuaciones juntas definen una recta.

Asimismo, la intersección de tres planos en m.r.u. linealmente independientes define un punto en m.r.u., y la intersección de cuatro define un punto.

Ejemplos:

• t = 0.

• x = 0.

Nos encontramos ante un plano de 4-D sobre los ejes “x” e “y” en el tiempo origen.

• x = 0.

• y = 0.

Nos encontramos ante la recta que compone el eje “z”, constante a lo largo del tiempo.

• x = 0.

• y = 0.

• z = 0.

Definimos aquí el origen de coordenadas a lo largo del tiempo.

Movimiento Relativo entre un Plano y una Recta en M.R.U. Redefinición del Punto en M.R.U:

Sean el plano en m.r.u. “π” y la recta en m.r.u. “γ”:

• ¬n1 ¬P1 + k1 = 0.

• ¬n2 ¬P2 + k2 = 0.
• ¬n3 ¬P3 + k3 = 0.

Si las tres ecuaciones son linealmente independientes se cortarán en un punto en m.r.u. definido entre las tres ecuaciones, mientras que si la primera es dependiente de alguna de las otras dos se cortarán en la propia recta “γ”.

Veamos un ejemplo:

• x = t.

• x = 0.
• y = 0.

Estamos intersecando el plano perpendicular a “x” que se movia proporcionalmente a “t” con el eje “z” a lo largo del tiempo, antes definidos. Nos resulta el eje “z” en el tiempo inicial.

Movimiento Relativo entre un Plano y un Punto en M.R.U:

Sean el plano en m.r.u. “π” y el punto en m.r.u. “r”:

• ¬n1 ¬P1 + k1 = 0.

• ¬n2 ¬P2 + k2 = 0.
• ¬n3 ¬P3 + k3 = 0.
• ¬n4 ¬P4 + k4 = 0.

Si las cuatro ecuaciones son linealmente independientes se cortan en un punto, y en caso contrario se cortan en el propio punto en movimiento “r”.

Veamos un ejemplo:

• z = 0.

• x = 0.
• y = 0.
• z = 0.

Estamos intersecando el plano formado por “y” y “z” a lo largo del tiempo con el origen de coordenadas a lo largo del tiempo. Se ve que la primera ecuación es dependiente de la cuarta, por lo que se intersecan en el origen a lo largo del tiempo.

Movimiento Relativo entre una Recta y un Punto en M.R.U:

Sean la recta en m.r.u. “γ” y el punto en m.r.u. “r”:

• ¬n1 ¬P1 + k1 = 0.
• ¬n2 ¬P2 + k2 = 0.

• ¬n3 ¬P3 + k3 = 0.
• ¬n4 ¬P4 + k4 = 0.
• ¬n5 ¬P5 + k5 = 0.

Como es imposible que cuatro ecuaciones sean linealmente independientes en un espacio 4-D, al menos una de ellas siempre será linealmente dependiente de las otra 4. Si solo una lo es, convergerán en un punto. Si lo son dos, se cortarán en el propio punto en movimiento.

Superficies Evolutivas:

Acabamos de definir el el plano en m.r.u. como una función de los parámetros (x, y, z, t) igualada a “0″, pero la forma que adopta su ecuación no es más que un caso particular que la de este tipo de superficie cuando se mueve en m.r.u. Así pues, podemos generalizar la ecuación implícita dependiente de cuatro parámetros como la que define siempre algún tipo de superficie variando en el tiempo, es decir, evolucionando, de modo que toda superficie en movimiento “σ” se podrá definir como:

• σ(x, y, z, t) = 0.

Un plano con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) tomaría la forma:

• ¬n ¬P + (t + c)^2 = 0.

, donde “c” representa cualquier escalar constante.

Curvas Evolutivas:

Del mismo modo que la intersección de dos planos en m.r.u. engendraba una recta en m.r.u, la intersección de dos superficies evolutivas definirá una curva evolutiva “Φ”, definida con las ecuaciones de las mismas:

• σ1(x, y, z, t) = 0.
• σ2(x, y, z, t) = 0.

Veremos ejemplos de esto en otra ocasión.

Superficies Evolutivas de Revolución:

.-Revolución de Primer Orden:

Decimos que una superficie evolutiva consta de una revolución de primer orden si dos de sus parámetros distintos de “t”, como por ejemplo “x” e “y”, cumplen:

• (x – x0)^2 + (y – y0)^2 = R^2.

para algún valor de “x0″, “y0″ y “R”, es decir, si sobre que el plano que forman sus ejes la superficie siempre toma la forma de circunferencias.

.-Revolución de Segundo Orden:

Diremos, en analogía con lo anterior, que una superficie evolutiva consta de una revolución de segundo orden si siempre se cumple:

• (x – x0)^2 + (y – y0)^2 + (z – zo)^2 = R^2.

para algún valor de “x0″, “y0″, “z0″ y “R”, o dicho de otro modo, si posee forma esférica en todos los instantes de tiempo.

Superficies Evolutivas Cilíndricas:

Decimos que una superficie evolutiva “σ” es cilíndrica si, dada una curva evolutiva “Φ”, definimos una dirección vectorial “¬v” y la aplicamos sobre todos y cada uno de sus puntos. Por ejemplo, si a la esfera:

• x^2 + y^2 + z^2 = 0.
• t = 0.

le obligamos a seguir “λ” veces el vector:

• ¬v = (1, 1, 1, 1).

, nos estamos cargando la segunda ecuación de nuestra figura, que fijaba el tiempo, y pasa a ser una esfera en m.r.u., es decir, una superficie evolutiva con cualidades cilíndricas.

Todas las figuras (superficies, curvas, puntos) en m.r.u. son cilíndricas.

Superficies Evolutivas Cónicas:

Dada una curva evolutiva “Φ” y un punto “¬P” perteneciente o no a la misma. Definimos como superficie evolutiva cónica al conjunto de puntos “¬Q” que cumplen, para algún valor de “λ” y algún punto “¬O” de “Φ”:

• ¬P + λ (¬O – ¬P) = ¬Q.

Tomemos como ejemplo:

• ¬P = (0, 0, 0, 0).

Φ:

• x^2 + y^2 + z^2 = R^2.
• t = 0.

al origen de coordenadas y una esfera estacionaria que lo tenga por centro. Si pensamos en todos los puntos que están alineados con el origen pasando por nuestra esfera obtenemos todo el espacio:

• t = 0.

De modo que, en cierto modo, los espacios delimitados por un valor concreto de cualquiera de las componentes son superficies evolutivas cónicas.

Estudio General de las Cuádricas Evolutivas:

De modo análogo a como acontecía en R^2 y en R^3, todas las curvas cuádricas evolutivas estarán definidas por ecuaciones del estilo:

• a1 x^2 + a2 y^2 + a3 z^2 + a4 t^2 + b12 z t + b13 y t + b14 y z + b23 x t + b24 x z + b34 x y + c1 x + c2 y + c3 z + c4 t + d = 0.

Matricialmente:

• Pt M P = 0.

, donde “t” representa matriz traspuesta, y:

• P = [1; x; y; z; t].
• M = [d, c1, c2, c3, c4; c1, a1, b34, b24, b23; c2, b34, a2, b14, b13; c3, b24, b14, a3, b12; c4, b23, b13, b12, a4].

En general, siempre exigiremos que, para que la ecuación ciertamente represente una cuádrica evolutiva, cumpla:

• detM ≠ 0.

Una vez sepamos esto, definimos la matriz de términos cuadráticos:

• A = [a1, b34, b24, b23; b34, a2, b14, b13; b24, b14, a3, b12; b23, b13, b12, a4].

Y calculamos sus cuatro autovalores “λ1″, “λ2″, “λ3″, “λ4″, de los cuales a lo sumo uno de ellos será nulo. En caso de que ninguno de ellos lo sea, tal y como pasaba en anteriores dimensiones, nos encontramos ante una cuádrica evolutiva de ecuación:

• λ1 x^2 + λ2 y^2 + λ3 z^2 + λ4 t^2 + detM / detA = 0.

En caso de que uno de ellos lo sea, pongamos por ejemplo “λ4″, nos resulta:

• λ1 x^2 + λ2 y^2 + λ3 z^2 + 2 [- detM / (λ1 λ2 λ3)]^1/2 z = 0.

Pero estas cuádricas son genéricas para un espacio extrañamente simétrico de 4-D. Nosotros queremos que la cuarta dimensión sea el tiempo para darle sentido físico, de modo que, para las anteriores ecuaciones, no solo será interesante saber dónde está ubicado el tiempo, sino que además habrá que analizar su signo. Veamos los 18 casos posibles.

En las próximas explicaciones, despreciaremos la posible existencia de términos constantes innecesarios que, si bien nos proporcionarían más generalidad, oscurecerían la visión de las figuras descritas, que es el verdadero objetivo. Consecuentemente, todas las figuras poseerán algún grado de revolución.

Elipsoide Evolutivo Creciente:

• x^2 + y^2 + z^2 = t.

Dada su revolución de 2º grado, estamos ante una esfera cuyo radio aumenta de la forma:

• R = t^1/2.

Así pues, obtenemos una representación de cómo el origen de coordenadas se va dilatando esféricamente hasta el infinito.

Elipsoide Evolutivo Decreciente:

• x^2 + y^2 + z^2 = – t.

En esta ocasión, el elipsoide solo está definido para valores negativos del tiempo, es decir, precedentes al origen. Nos encontramos ante el caso opuesto al de antes: una esfera infinita se comprime hasta ser un punto, el origen de coordenadas.

Elipsoide Evolutivo Cóncavo:

• x^2 + y^2 + z^2 + t^2 = 1.

Dada su forma, podemos introducir el concepto de revolución de 3er grado. Si escribimos esto de un modo más claro:

• x^2 + y^2 + z^2 = 1 – t^2.

, apreciamos que el radio de nuestra esfera se comprime con el valor absoluto del tiempo, de modo que alcanza un radio máximo en el tiempo inicial. Nos encontramos ante el origen de coordenadas, que en:

• t = – 1.

comenzó a dilatarse esféricamente, alcanzando un radio:

• R = 1.

en el instante:

• t = 0.

para volver a su condición de punto en el instante:

• t = 1.

Elipsoide Evolutivo Convexo:

• x^2 + y^2 + z^2 – t^2 = 1.

De un modo más claro:

• x^2 + y^2 + z^2 = 1 + t^2.

Estamos ante una esfera de radio infinito en sus orígenes, que en el instante:

• t = 0.

se ha comprimido a una esfera:

• x^2 + y^2 + z^2 = 1.

, para posteriormente se ha vuelto a dilatar hasta alcanzar de nuevo un radio infinito.

Elipsoide Evolutivo Imaginario:

• x^2 + y^2 + z^2 + t^2 = – 1.

La suma de números cuadrados nunca puede ser negativa, por lo que esta ecuación no toma valores reales.

Elipsoide Evolutivo Fraccionado.

• x^2 + y^2 + z^2 – t^2 = – 1.

Reordenando:

• x^2 + y^2 + z^2 =  t^2 – 1.

De nuevo estamos ante una esfera de radio infinito que se contrae y se vuelve a expandir, pero en esta ocasión en los instantes:

• t = – 1.
• t = 1.

se cumple que:

• R = 0.

, de modo que en el intervalo (-1, 1) no está definida. La consideramos fraccionada por este periodo de tiempo en el que su radio se contrae más de lo físicamente posible, haciéndola desaparecer hasta que crece de nuevo.

Hiperboloide Evolutivo de 2 Hojas:

• x^2 + y^2 + t^2 – z^2 = – 1.

Expresado de otro modo:

• x^2 + y^2 – z^2 = – 1 – t^2.

Dado que la parte derecha de la ecuación es negativa, el hiperboloide siempre será de 2 hojas, y comienza y acaba en su forma límite, que es formando dos planos infinitos en la base y en el techo del espacio 3-D. Por el medio del tiempo se va aproximando a su forma más conocida, achatándose y tendiendo a un cono hasta:

• t = 0.

, para después crecer de nuevo y retomar su forma original.

Hiperboloide Evolutivo de 1 Hoja:

• x^2 + y^2 – z^2 – t^2 = 1.

O dicho de otro modo:

• x^2 + y^2 – z^2 = 1 + t^2.

Como la parte derecha siempre es positiva, siempre estaremos ante un hiperboloide de 1 hoja, que comienza siendo un cilindro de radio infinito, para después achatarse por el centro, tendiendo a formar un cono hasta:

• t = o.

, momento en el que vuelve a expandirse.

Hiperboloide Evolutivo Creciente:

• x^2 + y^2 – z^2 = t.

Observamos que, en un principio, a medida que “t” es negativo y se va aproximando al “0″, estamos ante un hiperboloide evolutivo de 2 hojas con una evolución más lineal. Sin embargo, en esta ocasión, cuando:

• t = 0.

llega a ser un cono, y no recupera su forma original, sino que el cono se transforma a en un hiperboloide evolutivo de 1 hoja que acabará siendo un cilindro de radio infinito.

Hiperboloide Evolutivo Decreciente:

• x^2 + y^2 – z^2 = – t.

Estamos ante el mismo caso que antes, solo que en esta ocasión comienza siendo un  hiperboloide evolutivo de 1 hoja y acaba siendo un 2 hojas.

Hiperboloide Evolutivo Centrado en 2 Hojas:

• x^2 + y^2 – z^2 – t^2 = -1.

También expresable como:

• x^2 + y^2 – z^2 = -1 + t^2.

En analogía con el hiperboloide evolutivo de 1 hoja, el término de la derecha es casi siempre positivo, y por tanto podemos compararlos, con la particularidad de que esta vez en los valores:

• t = – 1.
• t = 1.

llega a ser un cono, y en el intervalo (-1, 1) es un 2 hojas que se infla un poco para deshacerse de nuevo y dar lugar al 1 hoja original.

Hiperboloide Evolutivo Centrado en 1 Hoja:

• x^2 + y^2 + t^2 – z^2 = 1.

Enunciable mejor como:

• x^2 + y^2 – z^2 = 1 – t^2.

Comparándolo con el anterior, el término de la derecha es casi siempre evolutivo, y podemos asumir que se comporta exactamente igual cambiando en todo momento “2 hojas” por “1 hoja” y viceversa.

Paraboloide Evolutivo Elíptico Creciente 1:

• x^2 + y^2 + t^2 = z.

De un modo más claro:

• x^2 + y^2 = z – t^2.

El paraboloide solo está definido para valores positivos del miembro derecho de la ecuación, por lo que a medida que aumenta el valor absoluto del tiempo el vértice del paraboloide se eleva a:

• z = t^2.

Paraboloide Evolutivo Elíptico Decreciente 1:

• x^2 + y^2 + t^2 = – z.

Enunciable como:

• x^2 + y^2 = – z – t^2.

Debido a que el segundo miembro siempre tiene que ser positivo para que esté definido, el vértice del paraboloide se encontrará en todo momento en:

• z = – t^2.

, e irá descendiendo o ascendiendo acorde con ello. Este paraboloide está curvado hacia abajo, mientras que el anterior lo estaba hacia arriba.

Paraboloide Evolutivo Elíptico Creciente 2:

• x^2 + y^2 – t^2 = z.

Operando:

• x^2 + y^2 = z + t^2.

El vértice de este paraboloide estará ubicado en:

• z = – t^2.

, ascendiendo.

Paraboloide Evolutivo Elíptico Decreciente 2:

• x^2 + y^2 – t^2 =  – z.

Haciendo el cambio pertinente:

• x^2 + y^2 =  – z + t^2.

Tenemos el vértice ubicado en:

• z = t^2.

, descendiendo.

Paraboloide Evolutivo Hiperbólico Creciente:

• x^2 + t^2 – y^2 = z.

El punto de silla de la figura se encuentra en:

• z = t^2.

, ascendiendo con el valor absoluto del tiempo.

Paraboloide Evolutivo Hiperbólico Decreciente:

• x^2 + t^2 – y^2 = – z.

Tenemos un punto de silla descendiente en:

• z = – t^2.

Métodos Matemáticos II (6): Cambios de Base y Diagonalización de Matrices.

A partir de la teoría de aplicaciones lineales ya vista, es posible, siempre que la aplicación vaya de un espacio R^n a otro R^n, enfocar la aplicación como un cambio de base, es decir, si yo defino una base de vectores, por ejemplo en R^3:

• ¬v1 = (v1x, v1y, v1z).
• ¬v2 = (v2x, v2y, v2z).
• ¬v3 = (v3x, v3y, v3z).

en función de la base canónica de vectores:

• ¬i = (1, 0, o).
• ¬j = (0, 1, 0).
• ¬k = (0, 0, 1).

, estoy diciendo que:

• ¬v1 = v11 ¬i + v12 ¬j + v13 ¬k.
• ¬v2 = v21 ¬i + v22 ¬j + v23 ¬k.
• ¬v3 = v31 ¬i + v32 ¬j + v33 ¬k.

Pero no siempre tenemos que representar las coordenadas de nuestro vector en la base canónica, y si elegimos otra base cambiarán sustancialmente.

Consideremos los vectores {¬v1, ¬v2, ¬v3} respecto a su propia base. Obtendríamos:

• ¬v1 = (1, o, o).
• ¬v2 = (0, 1, 0).
• ¬v3 = (0, 0, 1).

Y la base canónica se expresaría de otro modo:

• ¬i = ξ11 ¬v1 + ξ12 ¬v2 + ξ13 ¬v3.
• ¬j = ξ21 ¬v1 + ξ22 ¬v2 +ξ23 ¬v3.
• ¬k = ξ31 ¬v1 + ξ32 ¬v2 + ξ33 ¬v3.

Los coeficientes “vij” y “ξij” definen un par de matrices inversas, “V” y “Ξ”, que representan, respectivamente, el cambio de la base {¬v1, ¬v2, ¬v3} a la base {¬i, ¬j, ¬k}, y viceversa.

Visto esto, una aplicación lineal poseerá una matriz asociada distinta según la base respecto a la cual se haga, y denominaremos Diagonalización de de la Matriz de una Aplicación Lineal al cambio de base que simplifica la transformación, de tal modo que la imagen de cualquier vector ¬v={vx, vy, vz}, sea simplemente f(¬v)={λ1 vx, λ2 vy, λ3 vz}. Es decir, la transformación depende solo de “n” coeficientes {λ1, λ2, λ3}, y no de “n^2″ como en el caso general. (Si ahora tenemos tres coeficientes es porque estamos viendo el caso particular de R^3 sin perdida de generalidad).

Denominaremos Autovector a cualquier vector perteneciente al espacio de partida que, tras tomar imagen en la aplicación lineal es linealmente dependiente consigo mismo, es decir, “¬v” es un autovector si:

• f(¬v) = λ ¬v.

, y por tanto todos los autovectores toman valores en sus propios subespacios. El coeficiente “λ” asociado al autovector se define como Autovalor de la aplicación lineal, y existirán tantos como autovectores linealmente independientes se puedan encontrar. Resulta obvio, entonces, que una aplicación lineal de un espacio de “n” dimensiones poseerá “n” autovalores como mucho.

Veamos ahora cómo calcular dichos autovalores. En R^3 supondremos una aplicación lineal tal que:

• ¬vx’ = a11 ¬vx + a12 ¬vy + a13 ¬vz.
• ¬vy’ = a21 ¬vx + a22 ¬vy + a23 ¬vz.
• ¬vz’ = a31 ¬vx + a32 ¬vy + a33 ¬vz.

Matricialmente:

• ¬v’ = M ¬v.

, donde “M” es la matriz de la aplicación lineal.

Si suponemos “¬v” un autovector, cumplirá:

• M ¬v = λ I ¬v,

, donde “I” es la matriz identidad, necesaria para la expresión.

Agrupando:

• (M – λ I) ¬v = ¬0.

Y esto es lo mismo que exigir que:

• |M – λ I| = ¬0.

Así pues, si queremos calcular los posibles valores de “λ”, no tenemos más que despejarlos de esta simple operación (pueden resultar complejos). Resuelto esto, se pueden despejar los autovectores del sistma para cada valor de “λ”.

Hechos los cálculos, siempre se cumple que nuestra nueva aplicación lineal, enfocada desde la base de los autovectores, tomará la forma:

• ¬vx’ = λ1 ¬vx.
• ¬vy’ = λ2 ¬vy.
• ¬vz’ = λ3 ¬vz.

, la cual simplifica bastante las cosas.

Código en Lenguaje de Programación C de un Programa que calcule tu Edad en Otros Planetas con las Ecuaciones.

Dados los diferentes periodos de rotación y traslación de los distintos planetas la duración de los años y los días en cada uno de ellos son dispares. Calcula con este programa compilable con programas como “Dev c++” tu edad en cada uno de ellos. Las ecuaciones van incluidas en el código, siendo “a” los años de vida, y siendo “b” los días.

int main(int argc, char *argv[]){
int opcion;
float a,b;
do{
printf(“\n1.Calcular tu edad en los otros planetas\n2.Salir\n”);
scanf(“%d”,&opcion);
if(opcion==1){
printf(“\nIntroduce tus dias terrestres de vida\n”);
scanf(“%f”,&b);
a=b/365.75;
printf(“\nEn Mercurio tienes %f años”,4.16*a);
printf(“\nEn Mercurio tienes %f dias”,0.017*b);
printf(“\nEn Venus tienes %f años”,1.62*a);
printf(“\nEn Venus tienes %f dias”,0.0041*b);
printf(“\nEn Marte tienes %f años”,0.53*a);
printf(“\nEn Marte tienes %f dias”,0.97*b);
printf(“\nEn Jupiter tienes %f años”,0.084*a);
printf(“\nEn Jupiter tienes %f dias”,2.44*b);
printf(“\nEn Saturno tienes %f años”,0.034*a);
printf(“\nEn Saturno tienes %f dias”,2.22*b);
printf(“\nEn Urano tienes %f años”,0.012*a);
printf(“\nEn Urano tienes %f dias”,1.39*b);
printf(“\nEn Neptuno tienes %f años”,0.0059*a);
printf(“\nEn Neptuno tienes %f dias”,1.49*b);
}
}
while(opcion!=2);
system(“PAUSE”);
return 0;
}

Código en lenguaje de programación c de un programa que trabaje con transformaciones matemáticas de Lorentz para Relatividad Especial.

La estructuración del programa es un simple menu.

Para introducir dilataciones o compresiones se hace como cocientes. Es decir, si quieres una dilatacion en la que el tiempo dure el triple solo tendras que poner un 3. Si quieres una contracion en la que el espacio se comprima a una cuarta parte deberas introducir 1/4, o sea se, 0,25.

Cuando el programa devuelva 1.#INF00 el resultado valdrá infinito.

Se puede compilar con cualquier programa que use “c” como lenguaje de programación. Por ejemplo Dev_c++.

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define c 300000000

int main(){
int eleccion1,eleccion2,velocidadA,dilatacionmedida,eleccion3,velocidadB;
float cocienteA,gammaA,dilatacion,cocienteB,gammaB,velocidadAA,cocienteC,gammaC,compresionmedida,gammaD,velocidadBB;
do{
printf(“Sobre que desea trabajar?:\n1.Dilatacion del tiempo\n2.Compresion del espacio\n3.Salir\n\n”);
scanf(“%d”,&eleccion1);
if(eleccion1==1){
do{
printf(“1.Medir una dilatacion temporal\n2.Calcular la velocidad de una dilatacion temporal\n3.Volver atras\n\n”);
scanf(“%d”,&eleccion2);
if(eleccion2==1){
printf(“Introduzca la velocidad relativa en m/s\n\n”);
scanf(“%d”,&velocidadA);
if(velocidadA>=0 && velocidadA<=c){
cocienteA=pow(velocidadA,2)/pow(c,2);
gammaA=sqrt(1-cocienteA);
dilatacion=1/gammaA;
printf(“La dilatacion es de %f\n\n”,dilatacion);
}
else{
printf(“La velocidad indicada es imposible\n\n”);
}
}
if(eleccion2==2){
printf(“Indicar la dilatacion medida\n\n”);
scanf(“%d”,&dilatacionmedida);
if(dilatacionmedida>=1){
cocienteB=1/pow(dilatacionmedida,2);
gammaB=sqrt(1-cocienteB);
velocidadAA=c*gammaB;
printf(“La velocidad relativa es de %f m/s\n\n”,velocidadAA);
}
else{
printf(“La dilatacion indicada es imposible\n\n”);
}
}
}
while(eleccion2!=3);
}
if(eleccion1==2){
do{
printf(“1.Medir una compresion espacial\n2.Calcular la velocidad de una compresion espacial\n3.Volver atras\n\n”);
scanf(“%d”,&eleccion3);
if(eleccion3==1){
printf(“Introduzca la velocidad relativa en m/s\n\n”);
scanf(“%d”,&velocidadB);
if(velocidadB>=0 && velocidadB<=c){
cocienteC=pow(velocidadB,2)/pow(c,2);
gammaC=sqrt(1-cocienteC);
printf(“La compresion es de %f\n\n”,gammaC);
}
else{
printf(“La velocidad indicada es imposible\n\n”);
}
}
if(eleccion3==2){
printf(“Indicar la compresion medida\n\n”);
scanf(“%f”,&compresionmedida);
if(compresionmedida<=1 && compresionmedida>=0){
gammaD=sqrt(1-pow(compresionmedida,2));
velocidadBB=c*gammaD;
printf(“La velocidad relativa es de %f m/s\n\n”,velocidadBB);
}
else{
printf(“La compresion indicada es imposible\n\n”);
}
}
}
while(eleccion3!=3);
}
}
while(eleccion1!=3);
system(“PAUSE”);
return 0;
}

Principales ecuaciones de la Fusión de las Unidades.

Hace algunos días escribí una entrada en la que trataba la posibilidad de expresar todas las magnitudes escalares en una única unidad que las definiese perfectamente, para ello había recurrido a un Espacio Euclidiano vacío donde ubicaba un cuanto de masa “dm” (unidad irreducible, no confundir por la nomenclatura con diferencial de masa), y a partir del estudio de su naturaleza en el vacío (prácticamente imposible de realizar) se demostraba que quedaba perfectamente definido el valor de su masa dando cualquier otra magnitud como su radio, su velocidad de rotación, su energía y su tiempo relativo.

Asimismo, poco tiempo después, publiqué otra entrada diciendo que tal vez en un espacio vacío una partícula no tendría personalidad propia, y que siempre necesitaría de otra que le dijese lo que tenía que hacer, siendo la otra también dirigida por la anterior.

Hoy, tras haber desmentido la posibilidad de llevar a cabo la mencionada Fusión de las Unidades, voy a escribir una posible estructuración de las mismas (digo posible porque hay infinidad de formas de hacerlo según lo que se tenga en cuanta).

Lo primero que deberíamos tener en cuenta es que, por lógica, todos los cuantos de masa “dm” tendrían el mismo volumen “dV” (supuestos esféricos), la misma superficie “dS” y el mismo radio “dl”, siendo todas ellas magnitudes cuánticas, es decir, no existiría ni un volumen, ni una superficie, ni un radio más pequeño para una partícula.

Las relaciones entre todos ellos vendrían dadas por las ecuaciones geométricas de toda la vida, haciendo, por ejemplo, la equivalencia entre “dm” y “dV”. Nos queda así:

• dm = dV = 4 π dl^3 /3.

, y:

• dS = 4 π dl^2.

A la subrayada la podríamos denominar 1ª Ley de la Unificación, por ser la primera operación “extraña”.

Asimismo, podemos suponer el cuanto de energía “dE” a partir de la ecuación de Einstein:

• dE = dm c^2.

, y la longitud de onda “dλ” a partir de la ecuación de Max Planck:

• dE = h c / dλ.

, siendo “h” la constante cuántica o de Planck y “c” la velocidad de la luz.

A través de la Ley de la Gravitación de Isaac Newton podemos suponer, además, que en torno a la partícula se genera un campo gravitatorio, donde la velocidad de traslación “dv” en la superficie de la misma resulta ser:

• dv = [G dm / dl]^1/2.

, siendo “G” la constante de gravitación universal. Este resultado se obtiene igualando la fuerza gravitatoria a la fuerza centrífuga que tiene que compensar para que la frontera de la partícula tenga un movimiento circular de rotación en torno a su núcleo.

Pero, como ya hemos visto en la 1ª Ley:

• dm = 4 π dl^3 / 3.

, nos resulta definitivamente que:

• dv = [4 G π dl^2 / 3]^1/2.

Dado que la frontera de esta partícula tendrá su propia velocidad que servirá para definirla, hemos de asumir también que poseerá su propio tiempo relativo, aplicando las leyes de la Relatividad Especial.

Si suponemos nuestra unidad de tiempo como igual a 1, por transformaciones relativistas obtenemos que el tiempo “dt” de dicha partícula será:

• dt = 1 / [1 - dv^2 / c^2]^1/2.

Si sustituimos “dv” en esta ecuación obtenemos por fin la esperada equivalencia entre el cuanto de longitud y de el del tiempo:

• dt = 1 / [1 - 4 G π dl^2 / 3 c^2]^1/2.

, pudiendo ser denominada ésta la 2ª Ley de la Unificación.

Si en la 2ª Ley despejamos el cuanto de longitud llegamos a la siguiente expresión:

• dl = [3 c^2 (1 - 1 / dt^2) / 4 G π]^1/2.

Y si en esta última ecuación aplicamos la 1ª Ley, obtenemos una última equivalencia entre el cuanto de masa y el del tiempo, algo más complejo que el anterior:

• dm = 4 π [3 c^2 (1 - 1 / dt^2) / 4 G π]^3/2 / 3.

Si de aquí despejamos “dt”:

• dt = 1 / [1 - 4 G π [9 dm^2 / 16 π^2]^1/3 /3 c^2]^1/2.

Se podría seguir calculando la equivalencia entre todas las demás magnitudes, pero las más importantes eran estas 3.

Velocidad de la luz. ¿Máxima alcanzable o medible?

Desde la publicación de los postulados de la Teoría de la Relatividad el hecho de que la velocidad de la luz es la máxima alcanzable es un hecho que se ha asumido de mejor o peor modo, pero que se ha asumido.

Además, acompañando a esta teoría surgió la fórmula que explicaba por qué en el experimento Michelson-Morley no eran capaces de apreciar diferencias en la misma según el sistema de referencia.

La fórmula en cuestión explica que la velocidad de un cuerpo “vc” medida por otro observador en movimiento “vo” siempre sería igual a la de la luz, si al menos uno de ellos se medía a la velocidad de la misma, siendo la velocidad medida “vm” y la de la luz “c”. La fórmula en cuestión se expresa del siguiente modo:

• vm = (vc + vo) / (1 + vc vo / c^2).

Se puede apreciar que en caso de que “vc” o “vo” sean iguales a “c”, “vm” = “c” automáticamente.

La duda que me surge es evidente: si tenemos una fórmula que limita lo que podemos medir, ¿como sabemos si algo va más rápido que la velocidad de la luz? O dicho de otro modo, la luz podría ir más rápido que 300000000 m/s y nosotros seríamos incapaces de detectarlo.

El párrafo anterior me gusta enunciarlo como “tal vez ni la propia luz viaje a la velocidad de la luz”.

Este cambio de perspectiva, a lo mejor muy arriesgado, traería un montón de consecuencias interesantes:

• Al ser “c” un límite de medición, la luz se podría propagar a velocidades mucho mayores, cambiando las distancias estimadas de las estrellas que nos iluminan por la noche.
• En cuanto a la Relatividad Especial, fenómenos como la dilatación del tiempo, la compresión del espacio o el aumento de masa estarían más lejos de nuestro alcance.

Y poco más tengo que decir sobre este tema, ya que ni siquiera sé si tiene validez. No obstante, para variar, voy a acabar esta entrada diciendo que un modelo matemático extra que a mi me parecería más convincente sería definir “c” como el límite de nuestras mediciones cuando una de las velocidades tiende a infinito, lo que supondría cargarse de golpe todo lo anterior. Pero es que, en serio, si se deja todo como está, hay cosas que no encajan como el por qué si la luz no se mueve en el tiempo al moverse a “c” m/s nos llega desde el pasado.

Sé que hay respuestas a esa última cuestión, pero no me acaban de convencer.

¿Cómo vivir más tiempo que el resto de la gente según la Relatividad Especial?

Creo poder asegurar que cualquier persona, desde el primer momento en que da credibilidad a la Relatividad Especial, y consecuentemente a la dilatación del tiempo, mientras tarda en aceptar que nunca llegará a hacérsele notorio, empieza a reflexionar sobre cómo hacer para dilatar su propio tiempo para vivir más que el resto de las personas.

Asimismo, esa idea lleva intrínseco el hecho de que nunca, en ningún caso, se puede alargar el tiempo biológico (de un modo no genético). Lo que es posible es conseguir que el tiempo de los demás se te pase más rápido, sin que te des cuenta. Sin embargo, al no notar que se te ha pasado, en realidad no es vivir más, sino con una unidad de tiempo dilatada.

Si hacemos un análisis de la dilatación del tiempo, podemos estudiar que la dilatación tiene lugar en las zonas sometidas a mayor velocidad que las de su entorno, y dado que todo en el universo se mueve, es improbable encontrar dos áreas pegadas con la misma unidad temporal. Asimismo, a nivel subatómico, es mucho menos probable que todas las micropartículas compaginen sus velocidades.

Visto esto, tal vez sería posible modelar el universo como un campo escalar de tiempos, con sus gradientes variales en función del espacio-tiempo, dichos gradientes, que son la parte interesante, estarían dirigidos hacia las zonas donde el tiempo está más dilatado.

Estas zonas, según la propia fórmula de la dilatación, serían aquéllas cuya velocidad inercial fuese muy superior, por ejemplo en la frontera de nuestro Universo curvo.

Asimismo, si considerásemos como sistema de referencia fijo en el espacio, todas las zonas espacio-temporales próximas entre si estarían equilibradas en cuanto al escalar tiempo.

Sin embargo, cuando el sistema de referencia es un observador en la superficie terrestre a nivel del mar, la cosa cambia. Desde su punto de vista, alguien que viva más lejos del núcleo (a más altura) tendrá el tiempo más dilatado, porque su velocidad de rotación será superior al aumentar el radio de giro:

• v = ω r.

No obstante, según “La Historia del Tiempo” de Stephen Hawking, alguien que viviese en la montaña envejeceria mas rapido que alguien que viviese en la ciudad, tal vez debido a que la vida en la ciudad es más ajetreada.

Pero aún cabe otra explicación (no sé si es la que tenía en mente o no), que es la que se produce a nivel cuántico.

Dado que nosotros estamos formados por partículas, y ellas son las que rigen nuestra vida, sus velocidades serán las que más nos influencien. Y las partículas, por lógica y definición, están más “excitadas” en zonas de mayor actividad de fuerzas.

Así pues, las regiones espacio-temporales sometidas a fuerzas de gran magnitud “envejecerán” antes, haya vida en ellas o no. Este enfoque corrobora, por ejemplo, que las partículas que orbitan en el interior de un agujero negro puedan alcanzar velocidades iguales o incluso superiores a la de la luz.

Entonces, en resumen, obtenemos que se envejece menos en zonas afectadas por fuerzas de gran intensidad y en las que se desplazan rototraslatoriamente a grandes velocidades, siendo el mejor ejemplo de estas características una singularidad espacio-temporal como un aguejro negro.

Asimismo, hay otro tipo de fuerzas, como son las explosivas interiores a un sistema de partículas, que tal vez serían incluso más eficaces que las anteriores.

Ejemplos de estas fuerzas son la detonación de una granada o el retroceso de una pistola. Cuando se dan, son tan fuertes que las demás carecen de importancia. Es decir, si constantemente te estuvieses detonando tus partículas no se preocuparían mucho de avanzar en el tiempo, y disparando constantemente con un bazooka tu tiempo de vida también se ampliaría considerablemente.

Quizá el ejemplo más “visible” de esto es el del huevo en la sartén, del libro “Breviario del Señor Topkins”, de George Gamow. Este experimento consiste en tener una sartén con aceite, echar un huevo a freír, y agitarlo constantemente cambiándole la velocidad y la dirección. Se pude apreciar que está tan “concentrado” en encontrar un movimiento estable que sus partículas se despreocuban de las demás fuerzas que actúan sobre ellas y el huevo tarda más en freirse. (Si a cada instante se le hiciese variar su movimiento nunca se freiría).

Por último en esta entrada, he puesto aquí una tabla con las distintas velocidades que serían necesarias para multiplciar nuestro tiempo.

Conferencia de Gerardus ‘t Hooft en Santiago de Compostela. 16 de Diciembre de 2008.

Hoy he asistido de nuevo a una conferencia sobre divulgación científica. En esta ocasión de Gerardus ‘t Hooft, galardonado con el Premio Nobel en 1999 por proponer una estructura detallada de cómo se comportan los bosones de la interacción electronuclear débil.

No obstante, la charla ha sido de divulgación científica sobre el futuro de la ciencia.

En primer lugar, como no podía ser de otra forma, trató el tema del CERN y el LHC, centrándose en “La Unificación”. Según nos mostró en la más o menos conocida tabla energética de la física, para poder estudiar el mundo en dimensiones más pequeñas hacen falta mayores cantidades de energía.

Hasta ahora, la energía que alcanzábamos nos ha permitido descubrir un montón de partículas interesantes: el fotón (γ), el protón (p+), el electrón (e¯), el neutrino (ν), el positrón (e+), el muón (μ‾), el taón (τ‾), el pión (π), el kaón (k), las partículas W de la interacción débil…

En teoría, las nuevas energías que se obtengan en el LHC deberían permitir avanzar en este estudio y dar lugar a nuevos descubrimientos tales como el bosón de Higgs, también conocido como la partícula divina.

Sin embargo, no pretenden conformarse con eso. Dado que en LHC se encuentran con el inconveniente de tener que apañar algunos tramos para que las partículas colisionen en línea recta (es curvo), las perspectivas de futuro en la aceleración de partículas están en diseñar nuevos aceleradores de tramos completamente rectos. Solo así, aparentemente, se puede avanzar en niveles energéticos.

¿Y para qué avanzar en niveles energéticos? Pues bien, según la teoría de La Unificación en un momento inicial, justo en el instante en que tras una compresión espacial toda la materia queda concentrada en la singularidad de un punto, las distintas magnitudes, así como las fuerzas, se reducen a una única cosa, que al disiparse en la expansión se descompone en lo que conocemos hoy en día.

La importancia de esto radica en que si se consiguiese la suficiente energía como para engendrar una pequeña singularidad se podría apreciar el Universo de un modo extremadamente detallado. Es estando en ese estado o en uno muy próximo a él cuando los físicos teóricos suponen que deberían encontrar los primeros indicios de la existencia del gravitón.

Un buen ejemplo típico de esta teoría es que el agua, según la observas, es un elemento puro, pero si la enfrías y separas sus componentes te encuentras con dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno. Lo mismo pasaría con la singularidad espacio-temporal: al estar expandida se divide en cuatro fuerzas fundamentales y en un montón de materia.

Hablando ya de cosmología, se quiso meter también en el tema de los agujeros negros y la controversia con la radiación de materia de los mismos propuesta por Stephen Hawking, a la que tachó de imposible y de novela de ciencia ficción.

Sin embargo, tuvo el detalle de mostrarnos una representacion digital del estudio del movimiento de las estrellas próximas al núcleo de nuestra galaxia y la evidencia de que allí habitaba un agujero negro por la curvatura que sufría la trayectoria de los astros que pasaban junto a él: curvaban más su trayectoria y se movían más rápido (2ª Ley de Kepler).

No obstante, hay que tener en cuenta que la ley de Kepler pronto deberá ser sustituida, porque se han encontrado trayectorias esféricas en torno a agujeros negros, que evidentemente no conservan el momento angular.

Habló de la nanotecnología, que parece ser que dentro de poco aspira a fabricar nanotubos atómicos donde se cogerían duras redes iónicas y se enroscarían para formar complejas estructuras. Estas estructuras, según nos mostró en sus imágenes, serían semejantes a las que tenemos en nuestro mundo macroscópico (cuerdas enredadas, nudos…).

En lo referente a la robótica y a la mecánica fantaseó con la posibilidad de enviar robots a explorar el espacio, e incluso con la inteligencia suficiente como para aprender a llevar y plantar vida a los otros planetas, si bien nosotros nunca deberíamos ser capaces de ir más allá de Marte.

Asimismo, comentó los avances en inteligencia robótica y la posibilidad futura de trasladar inteligencia directamente de un cerebro a un robot, hasta hacerlo incluso más inteligente que una persona, pero siendo siempre perfectamente controlable.

En cuanto a la genética, según juzgo un asistente, fue tal vez demasiado optimista en cuanto a nuestras posibilidades, ya que hablaba de diseñar qué tipo de seres necesitaríamos (máquinas que fabricasen huevos o carne de vaca sin tener que matar una) como si crearlos fuese la acción mas trivial del mundo.

Es por eso que reflexionó sobre las cuestiones éticas que conllevaba jugar a ser divinidades fabricando especies nuevas íntegramente artificiales, dado que podríamos cargarnos la línea evolutiva de la naturaleza.

En resumen, ha sido una conferencia muy interesante y multitemática, en la que Hooft destacó algo importante que la gente tiene muy mal entendido: “La ciencia no cambia con el tiempo. Se perfecciona”, o dicho en otras palabras, estamos hartos de la gente que mete la Relatividad o la Teoría Cuántica en todas partes sin venir a cuento, e insinuando que desmontan todo lo anterior.

¿Tiene la materia un spin predeterminado o dependiente del entorno?: Rototraslaciones Cuánticas y Cosmológicas.

Como ya se ha hablado varias veces en este blog, la materia, por el simple hecho de existir, lleva asociado un movimiento de giro o spin, gracias al cual, según la Teoría General de la Relatividad y la Teoría de Cuerdas, aparecen las distintas fuerzas tales como la gravitatoria.

Además, en una entrada expliqué que gracias a eso sería posible plantear una fusión de las unidades en un espacio vacío si conociésemos el denominado cuanto de masa (o la cantidad de masa más pequeña).

Sin embargo, hay unos cuantos problemas (no sé si solucionados o no) que me hacen replantearme este tema.

Tal y como hizo Hawking para estructurar su modelo escalar del universo, supongamos éste como un modelo cuántico de grandes dimensiones, donde los astros y demás formaciones se comportarían como micropartículas.

La Tierra, por el simple hecho de existir, llevaría asociado un giro que conocemos como movimiento de rotación. Sin embargo, tenemos la certeza de que este movimiento se debe a la interacción gravitatoria con el Sol.

Aplicando Relatividad General, La Tierra tomaría una trayectoria elíptica alrededor del Sol adaptándose a la distorsión espacio-temporal que éste genera, creyendo ésta que se mueve en línea recta. Así pues, podríamos describir su movimiento de traslación como todos los demás: cada punto de La Tierra lleva asociado un vector de velocidad tangente a la elipse de igual móculo que todos los demás puntos de la misma.

Sin embargo, a este movimiento también hay que añadirle la aceleración centrípeta hacia el Sol, que en los puntos más acercados y más alejados al mismo no producirá movimiento por ser perpendicular a la trayectoria.

De este modo, todo el resto de puntos de La Tierra tendrían un giro determinado por:

• ∑M0 = I α.

, siendo “∑M0″ elmódulo del  sumatorio de momentos de fuerzas respecto al centro del planeta, “I” el momento de inercia, y “α” el módulo de la aceleración angular de la misma. Asimismo, los momentos de las fuerzas estarán más potenciados en el sentido del movimiento, por lo que la aceleración centrípeta hacia el Sol será más determinante al frente de la marcha que por detrás, y será por esa parte por la que La Tierra gire hacia el Sol. Sin embargo, aún hace falta saber si es la traslación la que favorece el giro en ese sentido o si es el giro en ese sentido lo que engendró la traslación.

Independientemente de eso, el caso es que sin no hubiese Sol ni nada más atrayendo a La Tierra, tal vez ésta no rotaría, al no verse afectada por momentos de fuerzas. Consecuentemente, al no girar, no generaría gravedad, y obtendríamos una estructura caótica del universo que no se sostendría. Solo la gravedad genera gravedad, por tanto tiene que existir siempre.

Si llevamos esto a nivel cuántico, podríamos suponer que un electrón tal vez no giraría con ningún spin si no hubiese ninguna partícula interaccionando con él de alguno de los cuatro modos conocidos.

La conclusión es evidente, una sola patícula no podría existir nunca, porque necesita de las demás para desarrollarse como tal. Por traslación, para que una partícula gire necesita de otra que le induzca a ello, y, finalmente, la materia no lleva un spin asociado por el simple hecho de existir: éste depende del entorno.

Si esto se cumple, la fusión de las unidades dejaría de tener sentido (no obstante publicaré una entrada con la estructuración matemática de la misma).

Próximamente trataré el problema que supone la carencia de “personalidad propia” de las partículas a la hora de trabajar con la cinemática rototraslatoria relativista de la partícula aislada.