En la entrada anterior introdujimos el concepto de neutrino de un modo sencillo, pero dado que parecía no tener masa (o muy poca) ni carga detectarlo se antojaba un proyecto no sólo ambicioso sino imposible. En esta entrada analizaremos en detalle del modo menos técnico posible (sin omitir información) el detector de neutrinos Súper Kamiokande (Súper-K), referente mundial en lo referente al estudio de estas partículas en las últimas dos décadas.

Esta entrada se inspira en un trabajo que realicé para la asignatura de Cosmología, con lo cual me siento especialmente orgulloso de poder compartir en el blog (aunque no haya podido hasta un año después) todo lo que aprendí navegando por la web de este laboratorio durante días preparando un breve resumen para mis compañeros. Para más información (en inglés): http://www-sk.icrr.u-tokyo.ac.jp/sk/index-e.html

¿Qué es el Súper-Kamiokande?:

El Súper-K es un tanque de agua repleto de tubos fotomultiplicadores (photo-multiplier-tubes, o PMTs), cuya misión es detectar astropartículas basándose en la emisión de luz Cherenkov en el agua. Está ubicado en Japón, a 15 minutos en coche del Instituto de Investigación de Rayos Cósmicos (Isla de Honshuu).

Un PMT es una estructura que básicamente detecta luz (fotones) con una cierta eficiencia, y transmite la señal a la términal correspondiente.

La luz Cherenkov, como vimos en esta entrada, es un fenómeno electromagnético que se produce cuando una partícula cargada a gran velocidad entra en un medio donde el índice de refracción es tan elevado que la velocidad de propagación de la luz es inferior a la de la partícula. Consecuentemente, dado que la partícula cargada se moverá más rápido que la luz que emite en ese medio, se genera una onda de choque con forma de cono conocida como radiación Cherenkov. Dado que el tanque del Súper-K está repleto de agua, y en esta la velocidad de la luz es un 77% de la del vacío, todas las partículas cargadas que entren en él con más velocidad que esa producirán este efecto.

Para garantizar un cierto aislamiento de ruidos externos, toda la estructura se encuentra sumergida a 1 km de profundidad del monte Ikeno, en las minas de Kamioka a las que debe el nombre. Partiendo de estas condiciones, las astropartículas que consiguen llegar hasta el detector deben tener una masa muy pequeña para no chocar previamente por la montaña (se cuelan entre los átomos de ésta), y además necesitan llevar una gran velocidad, con lo que lo más probable es que vengan del espacio exterior o de la atmósfera.

Como la luz Cherenkov buscada puede ser muy débil, todo el tanque tiene que estar repleto de PMTs para garantizar la máxima eficiencia posible en la detección. Cada PMT busca radiación en intervalos del orden del nanosegundo, y cada cierto tiempo mandan todos los datos obtenidos a los ordenadores del laboratorio.

Depuración:

Como el objetivo principal del Súper-K es fundamentalmente el análisis de neutrinos, cuya señal es especialmente débil, el ruido debido a la presencia de otras fuentes de radiación en el tanque supone todo un problema. En general, este ruido es debido a:

• Muones superenergéticos que consiguen atravesar la montaña.
• Radiación del radón, gas que ocupa toda la mina.
• Radiación oscura, con un ruido constante de 3,1 kHz.

Además, el agua necesita ser lo más pura posible para actuar como un buen detector de iones (partículas con carga).

El muón cabe destacar brevemente que sería algo así como el hermano mayor del electrón, con más masa pero la misma carga. Por supuesto, también es un leptón y posee su propia antipartícula y su neutrinos muónico asociado (¡que tendrá especial relevancia aquí!).

El tanque de agua posee una forma cilíndrica, con unos 39 m de diámetro y 41 m de altura que permiten almacenar en su interior una cantidad de 50 kton de agua. Esta estructura, sobre la que se asientan los PMTs, divide el Súper-K en dos partes: la interior al tanque (ID: Inner Detector) y la exterior al tanque (OD: Outer Detector). Como nunca dejan de tomarse datos en el Súper-K el tanque siempre permanece cerrado, y las fotos tomadas de su interior son de hace pocos años durante su reconstrucción. Es recomendable echarle un vistazo a las imágenes disponibles en google del mismo.

Dado que el Súper-K precisa agua de gran pureza procedente de las profundidades, es necesario eliminar de ella constantemente pequeños residuos con el fin de evitar la dispersión de la luz Cherenkov y el ruido de fondo. Así pues, el sistema de purificación de agua del Súper-K ha sido puntero en el planeta:

• Un filtro de 1 micrometro deja fuera gran parte de los residuos.
• Un sistema de ventilación reduce la temperatura del agua hasta los 14 ºC, (aumentada dentro del tanque por los PMTs) evitando la multiplicación de las bacterias en su interior.
• Un filtro de iones retira del agua los metales que se hayan podido colar.
• Un esterilizador UV elimina las bacterias en el agua, reduciéndolas a entre 10 y 100 por cada mililitro.
• Un desgasificador de vacío elimina el 99% del oxígeno y el 96% del radón disueltos en el agua.
• Un cartucho lustrador elimina con más eficiencia los iones que superasen las fases anteriores.
• Para terminar, el ultra filtro suprime partículas del orden del nanometro, que es prácticamente el nivel del átomo.

Después de que el ultra filtro devuelva al tanque un 90% del agua que recogió, puede observarse que su resistencia toma el valor esperado de 18 Mohmios, superior al que posee antes de entrar al sistema de purificación:

Podemos observar también que la densidad de partículas disminuye con el tamaño de las mismas, y que con el tiempo se está logrando que permanezca más o menos constante. Al mirar las gráficas, nótese que el eje “y” no toma los mismos valores para cada tamaño de partículas, si bien las gráficas parecen similares:

La parte superior del Súper-K  tiene forma de cúpula para dispersar todo el peso de la montaña, y tanto el techo como las paredes están sellados con polietileno con el fin de reducir la contaminación del radón en las rocas. Aún así, gran parte se cuela y es necesario filtrarlo a parte del agua a través del sistema de “liberación de aire”. El radón no sería un problema tan grave de no ser porque en la parte superior del tanque hay aproximadamente 60 cm sin agua por los que se filtra el aire con riesgo de disolver este gas radiactivo en el agua.  Ya que su desintegración  es de un millar de becquerelios por metro cúbico, es necesario un complejo sistema que pueda reducir su efecto a centésimas de becquerelio en el mismo volumen:

• El proceso comienza con el compresor, que deja el gas a un intervalo entre 7 y 8 atmósferas de presión.
• Un filtro de aire deja fuera las moléculas de tamaño superior a los 0,3 nanometros una vez que están comprimidas.
• Después de pasar por un tanque de almacenamiento intermedio, el aire pasa por un deshumificador que facilitará la eliminación del radón y que, además, puede suprimir también el CO2.
• Cuatro columnas de carbono con un sistema de adaptación de temperatura en el medio filtran gran parte de todo el radón que queríamos desechar.
• Para concluir, dos nuevos filtros de aire de 0,1 nm y 0,01 nm hacen un último barrido a las partículas no deseadas

Experimentalmente, salta a la vista que el resultado es muy satisfactorio en todo momento. Apréciese también que la cantidad de radón en la mina varía con la época del año, mientras que no por ello se aprecia alguna diferencia al final del proceso:

Hasta aquí los detalles de la depuración del detector.

PMTs:

Los PMT del ID (Inner Detector) son una población de más de 11000 unidades con un diámetro efectivo de unos 50 cm, haciéndolos los más grandes del planeta. En 2001 uno de estos PMT implosionó provocando una reacción en cadena, por lo que desde la reforma de 2005 todos ellos están cubiertos con fibra de vidrio (antes de esta reforma el detector se llamaba Kamiokande a secas). En total ocupan un 40% del ID. La estructura de cada PMT está preparada para poseer la mayor superficie efectiva posible y evitar los riesgos que pudiera ocasionar el agua del tanque.

Los PMTs del OD (Outer Detector), en cambio, son tan sólo unos 1900, y su diámetro abarca 20 cm. Para compensar, se encuentran sobre una superficie que aumenta la longitud de onda del campo para discriminar su detección. Al ser la longitud de onda mayor que la recibida en el ID, la energía transmitida será menor y será más fácil que deje huella solamente la luz Cherenkov emitida por las partículas de mayor energía,  los muones. Este modo de diferenciar los eventos de muones de los eventos de neutrinos resulta suficientemente efectivo, como veremos posteriormente al analizar rastros en los PMTs, y da sentido a la existencia del OD.

Todo el sistema electrónico del laboratorio se encuentra bajo la cúpula que, como antes se mencionó, está ubicada encima del tanque. Desde los equipos disponibles se suministra una diferencia de potencial de 2000 V a cada PMT y se recoge la información de las 13000 unidades a través de cables de 70 m. Cada PMT transmite aproximadamente 4500 datos por segundo, con los que llenan aproximadamente 500 GB al día.

La sala de control se encuentra próxima a la parte superior del tanque, y allí es donde los investigadores analizan los datos del Súper-K en 3 turnos de 8 horas cada día, durante los 365 días del año.

Cada vez que un neutrino colisiona en el agua con una partícula, ambos salen dispersados en la misma dirección, formando un cono Cherenkov  cuyo ángulo respecto al eje de simetría sólo depende de la velocidad del neutrino incidente y del índice de refracción del medio, que en este caso siempre es el del agua.  Ya que generalmente la velocidad del neutrino será siempre aproximadamente igual  a la de la luz (no necesitamos considerarla variable) no es ninguna locura suponer que todos los conos Cherenkov del Súper-K son de aproximadamente 42º de pendiente.

Gracias a la conservación de este ángulo del cono y al hecho de que las paredes del tanque lo corten trasversalmente (más o menos) es posible ajustar la huella de la partícula a una elipse y, a partir de sus semiejes y su excentrididad reconstruir todo el cono al que pertenece. Dicha reconstrucción, además, nos proporciona la dirección de incidencia del neutrino (por su eje de simetría). Podemos también, a partir del tiempo que se mantenga la señal de los PMTs, deducir el espectro de energías de los electrones dispersados tras la colisión y, aplicando relatividad especial, tantear el instante en el que tuvo lugar el impacto.

Debido a los axiomas de la teoría de la fuerza electrodébil (que ahora mismo desconozco), los únicos neutrinos que pueden realizar una interacción de carga no nula son los electrónicos (esto excluye a sus semejantes muónicos).  Como consecuencia directa, su sección eficaz para la colisión es unas 6 veces superior y por tanto son los que más se detectan en el Súper-K.

Resulta interesante comprobar que, con todo pronóstico, los electrones dispersados superenergéticos son los menos frecuentes, y que además son los que más cerca de la frontera del cono Cherenkov se encuentran (tienen menos dispersión angular):

Apréciese que la energía típica de estos electrones es del orden del MeV, mientras que su masa relativista es de 0,51 MeV, con lo que todos se tienen que estar moviendo a velocidades próximas a la de la luz en el vacío para poder alcanzar tales niveles.

Por su parte, la eficiencia cuántica de los detectores (probabilidad de que detecten cada fotón que les llega) no es que sea muy elevada, rozando el 22% en las mejores longitudes de onda. Es por esto que se requieren tantas y tantas tomas de datos en el orden del nanosegundo para garantizar que esta pega no altere mucho el experimento. Para que un PMT emita una señal es necesario que esta supere un umbral, el cual es cada vez más pequeño conforme avanza la calidad de los equipos electrónicos. Actualmente, el umbral es de 320 mV, lo que supone la detección de 29 impactos en el PMT en un tiempo de aproximadamente 20 nanosegundos. Sólo en este caso, todos los PMTs emitirán su señal a la vez.

El problema de los neutrinos solares:

Cada vez que los protones del Sol se funden para formar núcleos de Helio algunos neutrinos son emitidos en forma de radiación, dichos neutrinos se conocen como neutrinos solares (lo cual no significa que sean diferentes, sino que especifica de dónde vienen). Como bien, sabemos, estos neutrinos no interaccionan casi nada con la materia solar (un neutrino puede atravesar una placa de un año luz de plomo con una probabilidad del 50% de no chocar en todo el trayecto), por lo que llegan a La Tierra en unos 8 minutos, dando información sobre el núcleo del Sol en tiempo real. No así sucede con la luz, que tarda años en llegar desde el núcleo al exterior, chocando constantemente con los átomos de nuestra estrella y por tanto sólo nos puede dar información actualizada de la superficie del Sol.

El problema de los neutrinos solares comienz en 1968, cuando detectándolos en el experimento Homestake (a partir de la reacción con el cloro) advirtieron que sólo aparecían el 30% de los neutrinos esperados según el modelo teórico para el Sol. 30 años después, en 1998, Kamiokande (antes de su reforma) confirmó con una confianza del 99% que había un déficit del 45% en el número de neutrinos solares que llegaban hasta La Tierra.

Estas tablas de datos, que podrían parecer muy técnicas, en realidad son horribles para tratarse de un experimento serio. Los puntos representan el porcentaje de neutrinos esperados que detectaban frente al tiempo, y las barritas que salen desde cada uno de ellos hacia los lados representan la “incertidumbre” del dato, esto es, el rango en el que creen que debería estar el dato real (no el medido) con un 99% de probabilidad.

En la primera gráfica vemos que representaron el porcentaje de neutrinos frente a intervalos de 10 días, obteniendo una gráfica bastante extraña que decidieron adaptar a una curva sinusoidal muy a la fuerza, dado que bien podría ser una recta. No obstante, muchos de los puntos quedan fuera de su hipótesis sinusoidal, aún considerando las barras de error.

Como esa gráfica era poco seria, decidieron cambiar el intervalo temporal a intervalos de 45 días, donde tenía un poco más de sentido, y finalmente a meses, con lo que quedaron satisfechos. No obstante, insisto, es importante criticar la fiabilidad que nos da la hipótesis con estos datos.

La conclusión que se extrajo fue que los neutrinos no sólo llegaban hasta nosotros en una cantidad inferior a la esperada, sino que además esta ausencia oscilaba en un intervalo de confianza indicativo entre un máximo y un mínimo, dependiendo de la actividad solar. Los neutrinos parecían transformarse en otras partículas de modo periódico en las ahora conocidas oscilaciones de neutrinos.

Más concretamente, se asumió que los neutrinos solares (electrónicos) se transformaban durante su viaje en sus familiares neutrinos muónicos y tauónicos (más grandes aún que los muónicos). Este efecto supuso un importante cambio en su estudio, ya que los neutrinos dejaron de tener personalidad propia para estar en constante cambio. Los resultados de Kamiokande implicaban la hasta entonces desconocida existencia de la masa de los neutrinos como única forma lógica de que pudieran oscilar de tal modo, ya que si los neutrinos se intercambiaban entre ellos alguna propiedad tendrían que poder modificar de sí mismos.

En conclusión, el problema de los neutrinos solares se resolvió con el descubrimiento de que los neutrinos que faltaban se habían transformado durante su viaje, y no debido a un mal planteamiento inicial del problema.

Los neutrinos atmosféricos y la confirmación de la oscilación:

Cuando la radiación solar de partículas (básicamente protones) llegan a la atmósfera puede suceder que al colisionar con las moléculas emitan neutrinos electrónicos y muónicos. Dichos neutrinos se generan uniformemente en toda la atmósfera y pueden atravesar todo el planeta para llegar hasta el Súper-K, de nuevo, sin interaccionar con nada.

Si asumimos que Súper-K está en la parte de “arriba” de La Tierra, podemos clasificar los neutrinos atmosféricos que llegan hasta él como los que “suben” desde debajo de su posición y los que “bajan” hasta él, para simplificar el enfoque del problema. En base a esta idea consideraremos un sistema de coordenadas esféricas con el polo norte en Súper-K, según el cual tendremos un ángulo σ cuyo coseno valdrá 1 en el polo norte y -1 en el polo sur.

Lógicamente, lo que se hizo fue comparar la cantidad de neutrinos que llegaban para cada valor de este ángulo (más bien su coseno), y analizarlos teóricamente. La dirección de las partículas que entran en el tanque, recordemos, se puede reconstruir a partir de la traza que dejan con su cono de luz Cherenkov. Un neutrino que no entre en el tanque siguiendo una trayectoria que proceda desde el Sol evidentemente no será un neutrino solar.

Si se asumiese que los neutrinos preservan su identidad durante su viaje el resultado experimental nos indica una gran pérdida de ellos con respecto al resultado teórico (línea roja de la gráfica). En cambio, las predicciones en base a la oscilación de neutrinos parecen estar perfectamente de acuerdo con los datos tomados (línea verde), en esta ocasión con mucha más evidencia que en el caso de los neutrinos solares.

Un ajuste mucho más técnico permite comprobar que la fase de la oscilación depende de la longitud de la línea de universo relativista de los neutrinos por cada GeV de energía que lleven. Dicho ajuste explica además un mínimo en torno a los 500 km/GeV en el que otras teorías fracasaban anteriormente.

Todo esto sugirió que el Modelo Estandar de partículas que considera a los neutrinos sin masa debía de ser cambiado (y sin embargo ahí sigue).

K2K (KEK to Kamiokande):

En el 2004 se confirmó que enviando 158 neutrinos desde el laboratorio KEK hasta Kamiokande llegaron sólo 112 de los esperados por el modelo sin oscilación. La probabilidad de que esto sucediese según el Modelo Estandar era de 0,0015%, por lo que definitivamente el estudio sobre la veracidad este nuevo efecto en Kamiokande concluyó con éxito. Los neutrinos se generaron artificialmente con un acelerador de protones.

T2K (Tokai to Kamiokande):

Actualmente el laboratorio se encuentra en un proyecto superior al K2K junto con el acelerador de protones de alta energía J-PARC de Tokai, ubicado a 295 km del Súper-K (aunque J-PARC actualmente está ligeramente afectado por el gran terremoto que padeció Japón el año pasado).

De nuevo, el experimento consiste en arrojar neutrinos generados artificialmente sobre Súper-K para analizar en extremo detalle sus oscilaciones con 50 veces más sucesos disponibles, y el análisis de estos neutrinos podría revelar datos sobre la era de la fuerza electrodébil del universo (antes del primer segundo después del Big Bang), por estar relacionados con la asimetría entre materia y antimateria.

La búsqueda de la desintegración del protón:

Según el Modelo Estandar el protón es una partícula estable que no debería decaer nunca. Sin embargo, varias GUT (Teorías de Gran Unificación) modernas apuestan por una vida limitada con una desintegración en positrones, piones y similares. No obstante, nunca ningún protón se ha desintegrado en Súper-K, pese a que aparentemente sería el lugar idóneo para el proceso. Ello ha descartado muchas teorías GUT existentes, acotando inferiormente la esperanza de vida del protón hasta 8 x 10^33 años.

Neutrinos de Supernovas:

Cuando una Supernova explota, parte de la radiación que emite surge en forma de neutrinos que viajan por el espacio hasta que se disipan formando el fondo difuso de neutrinos de Supernova (Diffuse Supernova Neutrino Background, o DSNB).  ”Lamentablemente”, la mayoría de las Supernovas que explotan en el universo están muy lejos del sistema solar, y por tanto sus neutrinos no son detectados en Súper-K, o al menos no de un modo efectivo. Concretamente, tan sólo 11 de estos neutrinos han sido detectados en el laboratorio en 1987 (la Supernova 1987A), siendo todavía Kamiokande, y desde entonces no se ha vuelto a saber de ellos.

Esperar hasta que una Supernova explote cerca de nosotros no es un método rápido de llevar a acabo el estudio de este fondo de neutrinos tan importantes para entender mejor la nucleosíntesis, la evolución estelar y el origen de estrellas, por lo que en Súper-K ya han decidido dar un paso más allá y diseñar un sistema innovador (de utilidad aún por comprobar) para detectar neutrinos de Supernovas lejanas. Según los modelos teóricos, unos 5 neutrinos de estas características podrían interaccionar en Súper-K cada año llevando energías superiores a los 10 MeV.

Cuando un neutrino positrónico (u antineutrino electrónico) interacciona con un protón, son emitidos un positrón que emite luz Cherenkov y un neutrón. El positrón es fácilmente detectable en Súper-K, pero no es suficiente para garantizar que un neutrino de Supernova haya pasado por el lugar. También es necesario detectar el neutrón, y para ello el único método que se baraja hasta el momento es introducir una disolución del 0,2% de gadolinio en el agua del Súper-K, ya que cuando interacciona con un neutrón es sabido que emite luz Cherenkov.

Sin embargo, antes de introducir el gadolinio en el Súper-K es necesario asegurarse de   que no tendrá consecuencias negativas sobre los otros neutrinos que deban ser detectados (solares, atmosféricos y procedentes del experimento T2K). Así pues, antes de arriesgarse a estropear el tanque principal y los 13000 PMTs, han optado por construír un pequeño Súper-K junto al original todavía en proceso. Este nuevo tanque tendrá una capacidad de 200 toneladas de agua que cobijarán a 240 PMTs de 50 cm de diámetro (idénticos a los del ID), y es importante destacar que su sistema de depuración de agua tendrá que adaptarse al gadolinio.

Monitores:

Llegamos así a la parte sin duda más impresionante de toda la entrada.

Cada poco tiempo los PMTs del Súper-K envían sus datos al equipo electrónico, que los representa en una pantalla en la que aparecen tanto el ID (cilindro grande) como el OD (cilindro pequeño). Los colores de la pantalla representan, incrementando con el espectro lumínico, el tiempo que durante el cual cada PMT ha estado recibiendo señal, con lo que los puntos rojos (más energéticos) representan partículas de gran velocidad en el centro de la señal y los puntos azules (menos energéticos) representan la frontera de los conos Cherenkov.

No puedo poner las imágenes oficiales por motivos de copyright, pero os dejo el link a su galería por si os llama la atención: http://www-sk.icrr.u-tokyo.ac.jp/sk/detector/display-e.html, y os dejo también el enlace al monitor en directo por si queréis intentar observar algún neutrino: http://www-sk.icrr.u-tokyo.ac.jp/realtimemonitor/

Como despedida, os adjunto algunas de las capturas de pantalla que hice yo, y los comentarios sobre lo que creo que son y por qué:

Electrón. Su señal es registrada débilmente en el OD, y no emite radiación de mucha energía. Además, la elipse que representa su cono es muy pequeña.

Dos muones. Tienen una traza mucho más gruesa que la del electrón, llegando a haber puntos rojos.

Muón. Reestructurar la elipse que ha formado a partir de la proyección en las paredes del cilindro se me antojó en su momento todo un pasatiempo geométrico (tampoco es muy difícil). Esta captura me hace gracia especialmente porque la zona roja parece el ojo de Sauron.

¿Neutrino? Es extremadamente pequeño, y lleva la suficiente energía como para producir un pequeño punto rojo. Sin embargo, es detectado en el OD, por lo que a lo mejor es un electrón.

Aquí tengo la misma duda que en el caso anterior, y en esta ocasión la traza es mucho más larga y fina.

Muón en cascada. Este efecto es debido al frenado.

¿?

Siguiendo con las entradas con las que pretendo introducir totalmente el concepto de neutrino en el blog, vamos a ver al fin cómo se tuvo que introducir por “lógica” en el mundo de la física unas décadas antes de que se pudiese comprobar su existencia. Por el camino, introduciré algunos conceptos posteriores al propio neutrino, con lo que advierto que la información expuesta no va en ningún caso por orden cronológico.

Átomos:

Espero no sorprender a ningún lector si le informo de que toda la materia está compuesta de pequeñas estructuras físicas del orden del nanometro (8 ceros tras la coma), y que según las propiedades de cada una de estas estructuras y cómo esté unida a las de su entorno se pueden deducir las propiedades eléctricas, térmicas y de agregación (sólido, líquido, gaseoso) del material que componen.

La nomenclatura de átomo fue propuesta por los griegos, asumiendo que estas estructuras no se podrían fragmentar en otras más pequeñas, pero hoy en día sabemos que no sólo se pueden fragmentar sino que incluso algunas de las partículas que los componen aún se pueden fragmentar en otras más pequeñas.

Nucleones y electrones:

.-Nucleones:

El núcleo atómico, de un tamaño aproximado de un femtometro (14 ceros tras la coma), está compuesto por las partículas conocidas como nucleones. Según el caso, estos nucleones pueden ser protones (p+, carga positiva) o neutrones (n0, carga neutra). La carga del protón es:

Por otra parte, las masas de cada una de estas partículas son, respectivamente:

, donde se han considerado el eV como unidad de energía (asociada a la carga del protón) y c como la velocidad de la luz en el vacío:

Es muy importante darse cuenta de que con 3 cifras de precisión en sistema internacional los dos nucleones tienen la misma masa, mientras que en MeV se aprecia una pequeña diferencia: el neutrón es un poco más energético. Este desequilibrio entre ambos tendrá sus consecuentas que comentaremos más adelante en esta entrada. Asimismo, las causas por las que los protones (de misma carga) no se repelen se podrán vislumbrar un poco más adelante.

.-Electrones:

Los electrones (e-, de carga negativa), por su parte, orbitan en torno a los nucleones formando orbitales (de los que no hablaremos aquí) a una distancia del orden del nanometro de los mismos (el radio orbital es un millón de veces superior al radio nuclear). Su carga es exactamente la opuesta a la del protón, por lo que se atraen, y su masa es:

No trataremos aquí por qué el electrón no se precipita sobre el núcleo pese a tener carga opuesta, pero ya el hecho de que su masa sea unas 1877 veces inferior a la de los nucleones da una idea de que no tiene mucho en común con ellos.

Número Atómico, Número Másico y Carga:

Vistos todos sus componentes, es posible clasificar un átomo según la cantidad que posee de cada uno de ellos. Para ello basta con definir 3 magnitudes representativas:

.-Número Atómico Z:

Se define como el número de protones que hay en el núcleo, y determina por completo el nombre X del átomo. Así, decimos que un átomo Z=8 siempre es oxígeno, uno con Z=1 siempre es hidrógeno, y uno con Z=92 siempre es uranio.

.-Número Másico A:

Se define como el número de nucleones presentes en el átomo. Si le restamos Z, obtenemos por descarte el número de neutrones en el núcleo. Dado que para un átomo con Z determinado puede haber una gran cantidad de valores de A, decimos que todos esas combinaciones son isótopas entre sí.

Cabe destacar que dado que la masa de los electrones es ridícula comparada con la de los nucleones, sólo estos últimos determinan la masa del átomo, y de ahí el nombre de número másico.

.-Carga Q:

Se define como carga del átomo (en múltiplos de q) a la diferencia entre el número de protones y el de electrones. Si hay más protones será positiva, y si hay más electrones negativa. No obstante, la mayoría de los átomos libres tienen a ser eléctricamente neutros y tener la misma cantidad de unos y de otros.

Es importante darse cuenta de que Z, A y Q se determinan con la cantidad de cada una de las 3 partículas del átomo, pero que también dichas cantidades se pueden determinar solo con estas magnitudes. Consecuentemente, como Z, A y Q dan información mucho más útil sobre el átomo, son los datos que se facilitarán generalmente sobre el mismo, según el modelo que sigue:

Para asegurar que esto esta claro, veamos cómo escribiríamos un átomo con 8 protones, neutrones y electrones. Z, el número de protones, es 8, así que tratamos con oxígeno (O). A, el número másico, es el número de nucleones, en este caso 16. Por último, Q es 0 porque hay tantos protones como electrones:

Quarks y Leptones:

La abismal diferencia entre la masa de los nucleones y el electrón es debida esencialmente a que el electrón es una partícula fundamental (sin componentes más pequeñas, por lo que se sabe hasta ahora), mientras que los nucleones no. Los nucleones están compuestos, cada uno de ellos, por 3 quarks, que son partículas fundalmentales también. Como parece no haber ninguna conexión entre los quarks y los electrones, tenemos que asumir que las partículas básicas se dividen en dos categorías.

.-Quarks:

No los trataremos en detalle en esta entrada. Baste decir que los 2 que nos interesan se denominan up (u+) y down (d-). La carga del up es de 2/3, mientras que la del down es de -1/3. Dos quarks up y uno down forman un protón de carga neta 1, mientras que dos quarks down y uno up forman un neutrón de carga neta 0.

El núcleo es un conjunto de quarks que aparentemente actúan como si fuesen varios protones y neutrones. Debido a que visto así en el núcleo hay un montón de cargas positivas y negativas en movimiento dentro de los nucleones en la que ganan las positivas, parece menos ilógico que los protones no se repelan entre sí.

.-Leptones:

Si bien el único que ha sido presentado hasta ahora de esta familia es el electrón, los leptones serían las partículas fundamentales que, a diferencia de los quarks, no experimentan la fuerza nuclear fuerte (que nunca ha sido comentada en este blog), aunque sí la débil (cuyo efecto principal veremos al final de la entrada).

Nucleosíntesis:

Conocidos todos los ingredientes del átomo, la siguiente pregunta que cabe hacerse es cómo hemos llegado a tener tanta variedad de ellos en el universo. Conocemos 112 átomos distintos según su Z, y para cada uno de ellos existen isótopos con distinto A. Pero, ¿son todos ellos igual de estables y de primitivos? La respuesta evidentemente es que no.

Cuantos más nucleones hay en un átomo, a mayores fuerzas están sometidos, y por tanto es más fácil que su núcleo se fragmente en pedazos más pequeños. Asimismo, cuantos más electrones tiene un átomo, más se repelen entre ellos y escapan.

Por el contrario, cuantos menos nucleones hay, menos agarrados están los electrones y el núcleo se encuentra más expuesto, con lo que tampoco es muy recomendable.

El punto de equilibrio entre estas dos consideraciones parece encontrarse en el átomo Z=26, que corresponde al hierro. Los átomos de Z más pequeño parecen querer aspirar a aumentar sus protones, y los de Z más grande al revés. Un átomo es más estable cuanta más energía de enlace corresponde a cada uno de sus nucleones.

Denominamos Nucleosíntesis, así pues, al momento posterior al Big Bang (entre 1 segundo y 3 minutos) durante el cual los primeros protones y neutrones se juntaron para formar núcleos de hidrógeno (Z=1) y helio (Z=2). La formación de un núcleo de hidrógeno es tan elemental como un protón, y en el deuterio (Z=1, A=2) además se une un neutrón a formar enlace (el deuterio es un isótopo de hidrógeno).

Teniendo estos dos núcleos primitivos de hidrógeno y deuterio, la creación del helio se lleva a cabo mediante la fusión nuclear, es decir, la suma de los nucleones de cada uno de ellos:

Apréciese que Z, A y Q se conservan en la reacción (suman lo mismo al principio que al final). Por otra parte, hay que comentar que cuando pongo energía me refiero a fotones (radiación electromagnética).

El lector podría pensar que esta reacción también es posible con dos átomos de hidrógeno simple, sin necesidad de incorporar el neutrón, pero lo cierto es que la física de los nucleones lo prohibe, si bien no comentaremos eso aquí.

Cadenas p-p:

Una vez que tenemos estos átomos básicos, podemos empezar a ascender en Z con las cadenas p-p, que tienen todas como objetivo crear átomos de helio con A=4. Dado que el helio es un átomo muy estable (ver gráfica), conseguir que se funda requiere una gran cantidad de energía, y la creación de átomos mayores (es decir, la fusión nuclear), sólo se lleva a cabo en el núcleo de estrellas, donde el hidrógeno hace de combustible base para generar átomos mucho más pesados hasta el hierro.

Para superar el Z del hierro, es necesario que la estrella sea muy grande y explote en forma de supernova, creando elementos más pesados. Esto implica que todo el mercurio, el oro, el uranio, y demás átomos de Z mayor que 26 disponibles en nuestro planeta fueron creados en una explosión enorme, y por lo tanto la Tierra nunca va a generar más cantidad de ninguno de ellos. Llevan acompañándonos desde el principio.

Expondré ahora las 2 primeras cadenas:

.-Cadena p-p I:

.-Cadena p-p II:

Y aquí tenemos una cosa verdaderamente notable en la segunda y la tercera reacción:

Fisión Nuclear:

Cuando el núcleo de un átomo es bombardeado con partículas (en este caso el del berilio por un electrón y el del litio por un protón) este se puede fragmentar en otros átomos (en realidad sin ser bombardeado también), o simplemente reestructurar su núcleo y disminuir Z. En cualquiera de los dos casos, hablamos de fisión nuclear (estamos rompiendo el núcleo).

Además, la fisión del berilio es especialmente representativa porque vemos que no se conserva el número Z. ¡Un protón y un electrón se han transformado en un neutrón! Restando 3 a Z y 6 a A en cada miembro, obtenemos la reacción:

Como un núcleo de hidrógeno es equivalente a un protón, resulta que hemos descubierto que un protón y un electrón se juntan para dar lugar a un neutrón naturalmente.

Desintegraciones Beta:

De la “ecuación” anterior, podemos despejar dos reacciones de desintegración, que son la del neutrón y la del protón:

La primera se conoce como desintegración beta menos, y es bastante frecuente en grandes átomos como el radio o el uranio. La segunda, conocida como desintegración beta más, no se da en protones libres nunca, lo que ha acotado su tiempo de vida en 10^33 años. Si la beta más se produjese libremente, generaríamos más energía que la producida.

Antipartículas:

En la desintegración beta más aparece un electrón de carga positiva, también conocido como positrón. Cuando tenemos una partícula que es equivalente a otra conocida en todo menos en la carga, hablamos de antipartículas. Así pues, igual que la antipartícula del electrón es el positrón, los quarks up y down también poseen sus propias antipartículas de cargas -2/3 y 1/3. Y, consecuentemente, también existen las antidesintegraciones beta, en las que un antiprotón da lugar a un antineutrón y un electrón.

Las antipartículas (salvo el positrón) se denotan con una barra horizontal sobre su partícula asociada.

Neutrinos:

Llegamos así al punto clave de la entrada. Dado que en la desintegración beta el protón y el neutrón están prácticamente quietos, y la diferencia de energía entre ambos es constante, el electrón emitido debería poseer siempre la misma energía de 1 MeV. Sin embargo, los electrones emitidos abarcan todo un rango de energías, por lo que a priori parecen violar el principio de conservación de esta magnitud.

Para no tener que sacrificar el principio de conservación de la energía, Pauli propuso el concepto de neutrino, que sería otra partícula teórica que se llevaría toda la energía echada de menos en el electrón. Esta partícula tendría una masa tan pequeña como para no interactuar gravitatoriamente y una carga nula para conservar Q en la desintegración, con lo que no se podría detectar de ningún modo. Si denotamos al neutrino electrónico (asociado al electrón) con la letra griega ν y un subíndice, esto dejaría las desintegraciones beta como sigue:

, donde cabe destacar que en la desintegración beta menos el resultante debe ser un antineutrino y no un neutrino corriente. Con esto, la energía vuelve a conservarse, pero existe el problema de tener que asumir la existencia de una partícula “indetectable” (en otra entrada veremos que quizás no tanto).

El neutrino, queda por indicar, tendría que ser otro leptón fundamental, en paralelo al electrón, ya que tampoco es partícipe de interacciones nucleares fuertes. Sin embargo, tanto uno como el otro participan en la interacción débil, cuyo mayor efecto ¡es la desintegración beta!, y por tanto ambos son cruciales en ella.

Número Leptónico:

Para concluir esta entrada, sólo queda introducir otro número interesante L, que se define como la diferencia entre leptones y antileptones, y se debe conservar en todas las reacciones, igual que A y Q. Confirmémoslo en la desintegración beta menos:

• A en la primera parte vale 1, dado que tenemos un neutrón.
• Q en la primera parte vale 0, dado que tenemos un neutrón.
• L en la primera parte vale 0, dado que no hay leptones.

Y para compensar:

• A en la segunda parte vale 1, dado que tenemos un protón.
• Q en la segunda parte vale 0, dado que tenemos un protón y un electrón.
• L en la segunda parte vale 0, dado que tenemos un electrón y un antineutrino.

En la siguiente entrada trataremos la masa del neutrino y las familias de partículas con más detalle, mientras comentamos el detector de neutrinos Súper-Kamiokande.

Reflexionando sobre la ley de Coulomb que implica que las cargas opuestas se atraen y las idénticas se repelen, me he puesto a pensar en varios ejemplos y he dado con dos que son cruciales y que durante todo este tiempo me han estado colocando en mi mente como un virus y que no tienen ningún sentido:

.-¿Cómo puede ser que los protones, si tienen la misma carga, estén pegados en el núcleo atómico?

.-¿Cómo puede ser que los electrones, si tienen carga opuesta a los protones, no desciendan por debajo del orbital 1s?

Esto es un completo sinsentido, y es evidente que tratamos con fenómenos de índole metafísico. Todas las ideas que tenemos del mundo parecen fraudulentas vistas desde este punto de vista del átomo.

Cuando vuelva a la facultad en Enero, pienso pedir explicaciones, y tanto si me satisfacen como si no, espero poder compartirlas con vosotros para ver cómo salimos de esta.

Yo, por mi parte, entiendo que ahora es necesaria la existencia de un ente divino que hiciese todos los átomos y, en escalas muy superiores de tamaño, de las que debió suponer que nosotros nunca nos saldríamos, nos entregó la “evidencia” gloriosa de las ecuaciones de Maxwell para conformarnos como bobos y hacernos pensar que el mundo es analítico…

¡Feliz día de los Santos Inocentes!

En la entrada anterior vimos cómo se podía introducir el campo electromagnético en su formulación tensorial y concluimos introduciendo las ecuaciones de ondas de campo eléctrico E y magnético B y vimos que ambas se propagaban con la misma velocidad c. Sin embargo, todo lo que desarrollamos fue exclusivamente para el vacío o, dicho de otro modo, para el espacio sin materia. Debido a esa simplificación, en esta entrada tendremos que reintroducir las mismas ecuaciones y ver cómo se transforman en presencia de materia.

Ecuaciones de Maxwell Generales:

Las 2 ecuaciones de Maxwell homogéneas (la Ley de Faraday y la de Divergencia Nula), al no depender de las fuentes del campo, se mantienen idénticas:

, sin embargo en las otras dos tenemos cambios importantes.

.-Ley de Gauss General y Polarización:

En el vacío podíamos definir esta ley de la siguiente forma:

, donde μ0 era la permeabilidad magnética en el vacío y ρ la densidad de carga, pero no fue así como se definió en un principio para el vacío sino del siguiente modo (recordemos que en la entrada anterior partimos de la meta para desarrollar lo básico):

, donde ε0 es lo que se conoce como permitividad dieléctrica del medio, que hasta ahora no habíamos visto necesario introducir. Esto tiene mucho más sentido, por otra parte, que que la divergencia de E dependa de la permeabilidad magnética, pero además nos aporta una relación que después justificaremos teóricamente:

La velocidad de la luz en el vacío está determinada por las características eléctricas y magnéticas del medio en el que se propaga (en este caso el vacío).

Cuando el medio no es el vacío, la permitividad dieléctrica puede tomar valores mayores que ε0 y entonces aparece un campo de polarización P que nos da a entender que las cargas del medio están orientándose con el campo E. Este campo cumple la ecuación:

, de donde se deduce evidentemente que si ε es idéntica a ε0 no hay polarización (estamos en el vacío). Surge junto al campo P también una densidad de carga polarizada ρp que debemos sumar a la carga libre ρf (la ‘f’ es de free/libre en inglés):

, donde hemos tenido en cuenta que la densidad de carga polarizada sería sumidero del campo P, y por tanto ha de ser equivalente al opuesto de su divergencia (más polarización debe implicar menos densidad de carga al crear dipolos que la cancelan). Esto nos permite expresar de otra forma la ley de Gauss:

Llegados a este punto es muy natural introducir el campo D de desplazamiento eléctrico:

, y finalmente la ley de Gauss en su versión más general se expresa como:

La divergencia de D es idéntica a la densidad de carga libre. Podemos, además, expresarla según E:

.-Ley de Ampere General y Magnetización:

Por su parte, la ley de Ampere en el vacío la habíamos introducido como:

, si bien originalmente debería haberse escrito:

En esta ocasión, hay que considerar que si el medio no es el vacío la permeabilidad magnética también puede superar μ0 dando lugar a un campo de magnetización M que cumple:

Así, si el medio es magnético, la densidad superficial de corriente se descompone en la libre y la de magnetización:

Y esto nos permite, igual que sucedía con la ley de Gauss, transformar un poco la ley de Ampere:

, donde ya hemos considerado que ε no tiene por qué ser constante. Ahora introducimos intuitivamente el campo H de excitación magnética:

, que nos deja la ley de Ampere de la forma:

El rotacional de H es generado por la corriente libre y la variación de la corriente de desplazamiento. Si queremos verla según los campos típicos:

En resumen, las ecuaciones inhomogéneas de Maxwell generalizadas surgen de considerar las distintas propiedades electromagnéticas de los medios y podemos expresarlas de 2 modos: según los campos E y B, o según los campos D y H.

Índice de Refracción:

Obtengamos ahora la ecuación de ondas a partir de las ecuaciones generalizadas sin densidades de carga o corriente libres:

Esto tiene por solución:

, y para el campo magnético sabemos de la entrada anterior que el resultado sería análogo. Si nos fijamos, la velocidad v de esta onda se tendría que definir por consistencia como:

Ahora bien, como experimentalmente μ y ε siempre son mayores que μ0 y ε0 respectivamente se cumple que la velocidad de la onda electromagnética en cualquier medio material es siempre mayor que la velocidad de la luz c en el vacío:

Y si la onda electromagnética, que no tiene masa, tiene una velocidad límite c, lo más lógico sería pensar que los cuerpos que sí tienen masa no deberían superar en ningún caso dicha velocidad. De esta idea partió la teoría de la relatividad.

Visto esto, definimos el índice de refracción del medio como la relación entre ambas velocidades (y siempre será mayor que 1):

Toda la entrada anterior se podría reescribir íntegramente intercambiando c por v y μ0 por μ.

Principio de Fermat:

En virtud del razonamiento que acabamos de hacer, el principio de Fermat nos dice que la luz, al ir desde un punto A hasta otro punto B siempre toma las rutas que le llevan el menor tiempo posible.

Por otra parte, sabemos de la lagrangiana relativista que los cuerpos tienden a minimizar la longitud de su línea de universo. Es decir, el principio de Fermat se deduce de la relatividad: la luz minimiza su camino óptico al ir desde A hasta B.

¿Pero qué es el camino óptico de la luz? El producto de la velocidad de la luz en el vacío c y el tiempo que está propagándose según un observador externo:

, donde l representaría la distancia recorrida según dicho observador.

Ley de Snell:

Una consecuencia directa del principio de Fermat es una de los fenómenos más elementales de la óptica geométrica: la refracción.

Supongamos el plano xy. Supongamos que para valores positivos de y el índice de refracción es n1 y que para valores negativos es n2. Consideremos ahora el punto A (x1, y1) y el punto B (x2, y2), siendo y1 positivo (medio 1) e y2 negativo (medio 2).

Ahora, como se muestra en el dibujo, desde A se lanza una onda luminosa que tiene que llegar a B minimizando su camino óptico. Dicha onda se moverá en línea recta en ambos medios, pero en el punto de contacto indeterminado C (0, x3) cambiará su inclinación:

Para determinar x3 tendremos que obtener el camino óptico en función de este aplicando el teorema de Pitágoras para obtener las distancias entre los puntos:

, y ahora la derivada de s con respecto a x3 debe ser nula para garantizar un mínimo en el camino óptico:

, que por trigonometría expresamos como la conocida ley de Snell:

El ángulo de desviación con respecto a la dirección perpendicular a la superficie disminuye al aumentar el índice de refracción y viceversa, de forma que si la onda electromagnética va a moverse de un medio con índice de refracción n1 elevado va a pasar a otro con índice n2 más bajo, existirá un ángulo de incidencia para el que se refleje por completo (desviación de 90º):

No hago mucho hincapié en estos conceptos porque procederán más cuando escriba sobre óptica, pero está bien comentarlos por encima.

Radiación Cherenkov (Ondas de Choque):

En la física de las ondas hay un efecto muy interesante como es el de las ondas de choque. En general, todo el mundo conoce las dos ondas básicas, que son la electromagnética y la del sonido, y sabemos que la velocidad de propagación de ambas depende del medio.

Si estas ondas son emitidas por un cuerpo en reposo, se propagan esféricamente de modo que la intensidad de un frente de onda no se superpone con el emitido “inmediatamente después” (va por delante). Si el cuerpo se moviese a pequeñas velocidades (en comparación con la de la onda que emite), esto seguiría siendo completamente cierto (que un frente de onda va por delante del que se emite después).

Sin embargo, cuando el emisor iguala o supera la velocidad de la onda, se produce una superposición entre los distintos frentes conocida como onda de choque. Bien conocido es el caso de los aviones que superan la barrera del sonido:

Ahora bien, del mismo modo que tenemos este efecto cuando un cuerpo se mueve más rápido que el sonido, deberíamos tener uno análogo cuando un cuerpo se mueve más rápido que la luz que emite. ¡Y esto no es ciencia ficción, recordad que para algo hemos escrito todo lo anterior en esta entrada! La velocidad de la luz se reduce considerablemente en medios como el agua, lo que permite que dentro de esta las partículas se puedan mover más rápido que ella y mientras emiten radiación produzcan una onda de choque luminosa. Esta onda de choque se conoce como Radiación Cherenkov, y es vital para detectar las partículas más elementales moviéndose dentro de un medio dieléctrico.  Concretamente, veremos próximamente cómo en Súper-Kamiokande se benefician de ella.

El campo electromagnético es quizás la primera pesadilla de cualquier estudiante de física ya en el instituto. Personalmente en aquélla etapa siempre lo encontré horripilante. El motivo, muy en contra de lo que pudiera parecer, no es que sea esencialmente difícil de comprender, sino que su naturaleza tiene una complejidad matemática tal que cualquier forma de simplificar su explicación para alumnos de instituto lo convierte en un ente bastante feo y formalmente amorfo. Por ese motivo, he retrasado todo lo que he podido su aparición en este blog hasta poder plantearlo de un modo que no se antoje tan poco atractivo.

Introducción:

En esta entrada comentaré las ideas esenciales de este campo, responsable de la mayor parte de las cosas que vivimos en el día a día como empujar una mesa, encender un televisor o incluso ver, y para darle mayor interés lo haré partiendo de donde nunca he visto ni leído a nadie hacerlo, desde la teoría de la relatividad especial.

La teoría electromagnética, de la cual se dedujo el valor absoluto de la velocidad de la luz c, fue clave para que a Einstein se le ocurriese suponerla, además, la velocidad máxima del universo. Gracias a la teoría de la relatividad, además, se empezó a considerar el tiempo como una coordenada más a tener en cuenta junto a las espaciales, convirtiendo los vectores de posición en cuadrivectores de cuadriposición (el tiempo y 3 coordenadas espaciales). Asimismo, esto nos permitía redefinir el concepto de distancia con la métrica de Minkowski, según la cual el tiempo sumaría con un signo al calcular la distancia entre dos eventos espaciotemporales, y el espacio con el signo opuesto:

Definida toda esta nueva teoría, que rompía fundamentalmente en la física clásica con el límite máximo de velocidad y considerando 4 dimensiones, fue posible reformular el campo electromagnético que le había dado origen de un modo mucho más elegante que como lo dejaron escrito Maxwell y demás gente en el siglo XIX. Así pues, como voy a explicar el campo desde este nuevo enfoque en el que ya conocemos la relatividad anteriormente, es importante aclarar que no fue así ni de lejos como se planteó todo originalmente. Nosotros partiremos de la meta, y aunque os perdáis algo por el camino, de este modo el lector entenderá más electromagnetismo que los estudiantes de primeros años de carrera que no conocen este modo de enfocarlo.

Cuadripotencial:

El principal motivo por el que este campo es mucho más extraño que el gravitatorio de Newton es porque mientras que el potencial gravitatorio (y el elástico) eran funciones del espacio de las cuales se derivaba el campo como un gradiente según la teoría de campos, en este caso el potencial tiene una forma funcional V de mostrarse que muchos conoceréis como el responsable de la ley de Coulomb de atracción entre dos cargas, mientras que también se puede mostrar con otra forma vectorial a complicando las cosas. ¿Y cómo puede ser que un potencial sea un vector cuando desde siempre la energía y el potencial eran escalares? Pues parece ser que no eran tan escalares, y de hecho la existencia del potencial vector a es la responsable de la dificultad matemática del campo.

Así pues, comenzaremos definiendo el cuadripotencial electromagnético A con ayuda de las herramientas relativistas en su versión contravariante:

, donde dividimos v entre la velocidad de la luz en el vacío c por una correspondencia de unidades, del mismo modo que en relatividad dividimos en el tensor energía-momento la energía. Si queremos este cuadrivector en su versión contravariante, simplemente tenemos que considerar la métrica de Minkowski que cambia de signo las componentes de a:

Llegados a este punto, es importante recalcar que cuando escriba el índice 0 me referiré a la primera componente del cuadrivector, y cuando escriba 1,2,3 me referiré a las coordenadas espaciales rectangulares x,y,z.

Tensor de Faraday:

Definido ya el cuadripotencial, podemos definir el campo. El campo electromagnético, a diferencia del gravitatorio, tiene una forma tensorial en la que únicamente hay 6 componentes independientes, que son las 3 componentes de los campos eléctrico E y magnético B. Aunque Faraday, en su ignorancia matemática, nunca llegó a conocer la forma tensorial del campo, quienes lo formularon así décadas después decidieron ponerle su nombre, por ser él el primero en considerar que la electricidad debía de poderse describir con ayuda de dos “entes” que en cada punto del espacio tuviesen 3 componentes. Veamos pues, cómo se define el tensor F:

, donde. Es importante indicar que la primera componente μ determina las filas del tensor y ν las columnas. Por otra banda, es crucial el hecho de que F sea antisimétrico en tanto que al intercambiar sus índices el resultado cambia de signo. Esto es evidente si tenemos en cuenta que la forma de obtenerlo ha sido ya propiamente antisimétrica: la derivada μ de la componente ν menos la derivada ν de la componente μ del cuadripotencial.

Gracias a esta definición, además, podemos definir ya los vectores de campo E y B considerando cómo han aparecido:

El campo eléctrico E surge como oposición al gradiente del potencial V y a la variación temporal del potencial vector a. Debido a ello es un campo que puede ser a la vez radial por derivar de un gradiente (existen manantiales y sumideros de E) y también solenoide por derivar de un potencial vector (las líneas de E no son rectas sino que se pueden curvar). Técnicamente, estas conclusiones a las que he llegado exigen que la divergencia de a se anule para ser ciertas. Por último, hay que comentar que si a fuese nulo (como sucede en varios casos), el campo eléctrico sería conservativo y se podría definir mucho más fácilmente en su versión electrostática (no solenoide).

Por otra parte, el campo magnético B surge como el rotacional del potencial vector a, sin guardar ningún tipo de relación con V, ¡por lo que cuando el campo es electrostático no existe parte magnética! Por el mismo argumento que sucedía con E, este campo será solenoide siempre que exista (las líneas de B se curvan y se cierran sobre sí mismas, es decir, son cerradas).

Las conclusiones más importantes que debemos extraer de aquí son, en resumen, que B es un campo residual debido a la existencia de a, y que puede desaparecer perfectamente aún existiendo E. E es el campo predilecto del electromagnetismo, y de hecho lo es hasta un extremo que veremos posteriormente. Intuitivamente, uno ya puede observar en F que las unidades de E (Voltios/metro) se relacionan con las de B (Teslas) al dividirlas entre la velocidad de la luz en el vacío, lo que nos da una idea de la relación entre ambos campos y la velocidad, y nos recuerda que estamos construyendo todo esto así a partir de la relatividad.

Para concluir este apartado, obtendremos las formas co/contravariante y contravariante de F, empleando para ello una vez más la métrica de Minkowski:

Ecuaciones de Maxwell:

Pese a que ya tenemos 3 ecuaciones con las que describir nuestro campo: la nulidad de la divergencia de a, y las definiciones de E y B, ninguna de ellas fueron la base experimental sobre la que se construyó todo, sino que fueron las ecuaciones de Maxwell, que vienen a representar para el electromagnetismo lo que las leyes de Newton representaron para la mecánica clásica. Estas 4 ecuaciones, que se dedujeron una a una a partir de experimentos, en su versión tensorial tan sólo ocupan 2 líneas.

La primera ecuación tensorial de índole experimental (no se puede deducir) nos dice que el gradiente de F es igual al cuadrivector J de fuentes de campo:

, donde μ0 es la que se conoce como permeabilidad magnética del vacío y las componentes del cuadrivector J se definen acorde con el experimento:

, donde ρ es la densidad de carga en el punto del espacio a considerar y el vector j la densidad superficial de corriente eléctrica. En resumen:

Asimismo, con la definición de este cuadrivector de fuentes obtenemos las que se conocen como las 2 ecuaciones inhomogéneas (por la presencia de J) de Maxwell:

.-La Ley de Gauss nos dice que la divergencia de E es proporcional a la densidad de carga en el punto, y que por tanto las cargas son las fuentes escalares de E. Si la densidad de carga es positiva tendremos un campo que emerge de ella (un manantial), mientras que si la densidad de carga es negativa tendremos un campo dirigido hacia ella (un sumidero):

.-La Ley de Ampere nos dice que el rotacional de B es la suma de una parte proporcional a la densidad superficial de corriente más otra proporcional a la variación temporal de E. Las cargas en movimiento generan magnetismo como veníamos dejando entrever y la variación de campo eléctrico, que no deja de ser otro efecto de movimiento de cargas, también contribuye a la creación del mismo. Precisamente debido a esto decimos que en ausencia de magnetismo (sin movimiento de cargas) estamos en el dominio de la electrostática (cargas quietas):

Visto esto, para llegar a la otra ecuación tensorial tenemos que definir primero el tensor dual de F. El dual de un tensor, aunque todavía no les he dedicado ninguna entrada, es otro tensor “ortogonal” al mismo que completa el espacio, y el ejemplo más claro lo tenemos con el producto vectorial en 3 dimensiones, donde el resultado es un vector perpendicular a los 2 originales, que junto a ellos crea una base para el espacio. Concretamente, el dual *F lo definiremos como:

, y en primer lugar uno ya puede observar que los campos eléctrico y magnético cambian de posición en el tensor. De hecho, es posible encontrar un sistema de referencia desde el que el tensor F se vea como su dual a través de una transformación de Lorentz como las que describimos en la relatividad especial.

Y con esto tenemos una de las conclusiones más relevantes del electromagnetismo: ¡el qué es E y qué es B depende del movimiento relativo entre el observador y el campo! ¡El campo magnético que ve un observador es un efecto relativista del campo eléctrico sobre otro observador con movimiento relativo! ¡Ambos campos son las dos caras del mismo ente, el campo electromagnético, que cuando no se propaga se muestra sólo en su versión eléctrostática!

Sin más rollo, la segunda ecuación tensorial, análoga a la primera, nos dice que el gradiente de *F es nulo:

, de donde se deducen las 2 ecuaciones homogéneas de Maxwell al hacer las operaciones pertinentes:

.-La Ley de la Divergencia Nula nos dice, en base a que experimentalmente no se ha visto lo contrario, que la divergencia de B es nula, y por tanto sus líneas de campo siempre van a ser curvas y cerradas. No existen fuentes escalares de B:

.-La Ley de Faraday nos dice que el rotacional de E es una oposición a la variación de B con el tiempo. Cuando yo tengo un campo B y lo desplazo por el espacio, creo líneas cerradas y curvas de campo E que se le oponen. Faraday descubrió este efecto sobre bovinas conductoras, y dedujo la ley de inducción que hoy en día se usa en todos los circuitos, a saber, que al cambiar B creo corriente:

Y finalmente, la combinación de estas 2 leyes (no demostrables) con las 2 anteriores nos dan las conocidas como las 4 ecuaciones de Maxwell que nos dicen todo lo que necesitamos saber sobre el campo electromagnético sin necesidad de nada más. En su versión tensorial, además, vemos que se reducen a 2 ecuaciones.

Por supuesto, de aquí no podemos deducir en ningún caso las fuerzas electromagnéticas de Coulomb y Lorentz, pero eso ya es dominio de la mecánica y no nos preocupan. Aquí simplemente nos interesa la naturaleza del campo, y no cómo actúa sobre las masas. En otra entrada será.

Lagrangiana y Ecuación de la Onda Electromagnética:

Para concluir esta entrada definiremos lo que se conoce como onda electromagnética, habitualmente conocida como luz cuando es visible. Podemos definirla empezando por presentar su lagrangiana asociada, y para ello necesitamos conocer algún escalar invariante del campo electromagnético. El principal candidato, evidentemente, es la contracción total de F consigo mismo:

, que es independiente del sistema de referencia y tiene unidades de Tesla cuadrado. Para que nos quede con unidades de energía, definimos la lagrangiana:

Y, si recordamos las ecuaciones de Euler-Lagrange:

, donde q era una coordenada espacial cualquiera y el punto indicaba derivada temporal, podemos convencernos fácilmente de que su análoga en el espacio-tiempo de Minkowski es:

, y aplicando esto a nuestra lagrangiana de onda electromagnética tenemos:

El primer miembro de la ecuación es evidente teniendo en cuenta la definición, y el segundo se ha anulado debido a que la lagrangina no depende de ninguna componente de A, sino de sus derivadas. Esta ecuación debería recordarnos a la primera ecuación tensorial de Maxwell, que habíamos relacionado con el cuadrivector de fuentes J, que sin embargo aquí ha desaparecido. La onda electromagnética se propaga sin fuentes, únicamente debido a la inducción mútua entre los campos E y B. Con esta condición extra, las 2 ecuaciones de Maxwell inhomogéneas pasan a ser también homogéneas:

Si a partir de aquí, calculamos el rotacional del rotacional de E teniendo en cuenta las propiedades del doble producto vectorial:

Tenemos esta ecuación diferencial, que por medio de la teoría de ondas sabemos que tiene como solución:

, es decir, una onda eléctrica propagándose según la dirección k a una velocidad c. Por supuesto, la onda electromagnética no siempre tiene que propagarse a esta velocidad, pero en eso profundizaremos en la siguiente entrada. Antes comprobemos para concluir que el campo B cumple la misma ecuación, y que por tanto ambos oscilan en fase:

Con esto termina la primera parte de estas dos entradas sobre el campo y las ondas electromagnéticas. En la siguiente veremos de qué factores depende la velocidad de propagación y qué es la radiación Cherenkov.

He decidido que antes de retomar otros temas voy a acercaros más a estas fantasiosas partículas, y para ello escribiré una serie de entradas técnicas (que requieran cosas que haya comentado en otras entradas anteriores a las que enlazaré) para que mis lectores futuros puedan aprender más sobre el tema.

En estas entradas hablaré sobre:

• El campo electromagnético (ideas esenciales, sin salir por la tangente) para poder definir la onda electromagnética y su velocidad.
• Cómo esta velocidad depende de los medios y apunta a que en el vacío tiene sentido que sea la máxima.
• Qué es una onda de choque Cerenkov.
• Cómo se introdujo el concepto de neutrino.
• La labor que ha realizado el laboratorio japonés Súper Kamiokande para estudiar estas partículas.*

*Con esta última entrada tendré un problema que he de ver cómo voy a resolver. El año pasado hice una exposición para la facultad idónea para colgar aquí sobre el asunto, pero cuando mandé un correo a Súper Kamiokande preguntándoles si podía usar las mismas imágenes que utilicé para el trabajo en el blog me advirtieron de que no lo hiciese, así que tengo que mirar cómo me lo montaré para acompañar la entrada.

Sin más, saludos y espero que os interese!

La física de fluidos es conocida por la gente metida en el mundillo por ser una de las ramas menos productivas a nivel teórico de toda la física. Ello es debido a que la ecuación tensorial más general con la que podemos describir su movimiento, la de Navier-Stokes, es irresoluble hasta la fecha salvo para circunstancias muy sencillas. De hecho, ni siquiera los métodos numéricos para resolver ecuaciones aproximadamente llegan a ninguna conclusión enfrentándose a ella.

En esta entrada construiremos matemáticamente y a partir de la lógica experimental dicha ecuación pasando por entretenidos conceptos tensoriales como la contracción de matrices y la isotropía tensorial, ¡que serán de suma relevancia para la electrodinámica y la relatividad general! Para los más curiosos, la ecuación de Navier-Stokes está mucho más vinculada a la relatividad general conceptualmente de lo que pueda parecer en un principio. Una vez obtenida nuestra ecuación, la someteremos a las condiciones más sencillas para recuperar la archiconocida ecuación de Bernoulli que ya vimos en una entrada anterior hace un par de años.

Por exceder lo que me interesa, no consideraré rotaciones dentro del fluido en ningún momento.

Ecuación de continuidad:

Nos interesamos inicialmente por un volumen V que contiene una masa m de fluido en su interior. Dicha masa se moverá según su ubicación espacial según un campo vectorial de velocidades v definido en cada punto del fluido (y en principio dependiente del tiempo). Si queremos conocer la variación de masa en el interior de nuestro volumen con el tiempo, tendremos que considerar cómo se mueve el fluido en su interior. Es fácil analizarlo con la regla de la cadena:

Aquí hemos considerado la densidad ρ del fluido y el flujo o caudal Q del mismo, definidos con las derivadas parciales que los preceden. El signo ‘-’ aparece porque el flujo en realidad se define como el opuesto de la derivada del volumen de agua con el tiempo. Es importante indicar de Q no representa la variación del volumen en el que está contenido el fluido, sino la variación volumen de fluido dentro del volumen que consideramos al principio. Si Q es positivo, de la ecuación se deduce automáticamente que la masa de agua encerrada disminuye (está saliendo), y si es negativo aumenta (está entrando). Como las unidades coinciden perfectamente y la idea física es evidente, podemos definir el caudal como el flujo del campo de velocidades sobre la superficie que rodea al volumen que contiene al fluido. Esto, según la teoría de campos, nos permite emplear el teorema de la divergencia para llegar a una expresión para la divergencia del producto de la densidad por el campo de velocidades:

, donde he empleado el convenio de sumación de Einstein para representar los productos escalares y A es el vector superficie. Podemos definir el producto de la densidad por el campo de velocidades como densidad de momento lineal o, por abreviar, momento lineal. En realidad, en física de fluidos siempre nos va a interesar más trabajar con “densidades de” que con las propias magnitudes. Así, la idea a la que hemos llegado con esta ecuación es sencilla: la divergencia del momento lineal integrada sobre un volumen V nos da la variación de masa sobre dicho volumen con un error de signo. Ahora podemos derivar parcialmente ambos miembros con respecto al volumen:

, y finalmente obtenemos la ecuación de continuidad:

, que representa la misma idea de la ecuación inicial de un modo mucho más elegante: la variación temporal de la masa (o densidad de masa) siempre se compensa con la divergencia del momento lineal. Si la divergencia del momento lineal es positivo tenemos un manantial de fluido, y si es negativo tenemos un sumidero. Por si a alguien le resulta difícil adaptarse a la notación, expondré las primeras ecuaciones importantes también en su forma vectorial:

Derivada Sustancial:

Si consideramos una función genérica F que pueda depender tanto del tiempo como de las coordenadas espaciales podemos redefinir su derivada total con respecto al tiempo según sus derivadas parciales:

, donde x representa la posición espacial y su derivada temporal la velocidad del fluido que se encuentra en ella, es decir, el campo de velocidades v:

Si consideramos ahora que no hay fuentes ni sumideros (divergencia nula) podemos obtener una relación entre las derivadas interesante:

, que nos permite reescribir la derivada total como:

, o vectorialmente:

A esta forma de obtener la derivada temporal total de una función se la denomina derivada sustancial. Y, recordemos, tiene la limitación de que requiere que la divergencia de v sea nula en el tramo que se utilice.

Fuerzas sobre el fluido:

.-Fuerza gravitatoria:

Podemos definir la (densidad de) energía potencial gravitatoria actuando sobre el fluido con la ecuación:

, donde g representa la aceleración gravitatoria supuesta constante, y la tercera componente de x está asociada a la altura. (Recordemos que en notación de Einstein el número encima del vector indica índice contravariante y no “elevado al cubo”). A partir de aquí por definición podemos sacar la (densidad de) fuerza gravitatoria sobre el fluido:

, donde de paso hemos introducido el vector g con el que reescribir vectorialmente la ecuación:

.-Tensor de tensiones:

Cuando tenemos un diferencial de volumen de fluido, por ejemplo, con forma de cubo, sobre cada una de sus caras podemos tener una fuerza perpendicular y dos contenidas sobre ellas. Así pues, sobre cada cara podemos considerar un vector de fuerza neto, cuyo producto escalar con cada dirección indique la fuerza resultante.

Además, para que el sistema no se deforme, es evidente que las caras opuestas deberán poseer vectores de fuerza opuestos, lo que nos garantiza una cierta simetría. Al tener un cubo 6 caras, si las fuerzas sobre las opuestas se relacionan antisimétricamente, tenemos 3 caras por ahora independientes, cada una con su propio vector de fuerza, que generaremos a través de la expresión:

, donde * indica que la fuerza está expresada en Newtons (nosotros queríamos densidades de fuerza, no fuerzas). T aquí representaría el tensor de tensiones del fluido (de rango 2), que al contraerse con el vector superficie A nos daría la fuerza que queríamos obtener. En el último paso de la ecuación hemos empleado el teorema de la divergencia de nuevo. De aquí podemos despejar el tensor de tensiones:

Como al cambiar de signo x hemos comentado que *FT también cambia de signo llegamos a la conclusión de que el tensor debe ser simétrico, y por tanto diagonalizable. Existe una base de autofuerzas que actúan sobre el diferencial de volumen, evitando las tensiones transversales. Este resultado de simetría es de vital importancia para simplificar cuentas posteriormente.

.-Fuerza debida a la tensión:

A partir de lo obtenido, si queremos la densidad de fuerza debida a la tensión sobre el fluido simplemente tenemos que derivarla respecto al volumen:

Finalmente concluimos que la fuerza interna del fluido tendrá su origen en el gradiente del tensor de tensiones.

Momento lineal y balance de fuerzas:

A partir de la definición de momento lineal que ya llevamos considerando un rato, y en virtud de la segunda ley de Newton, podemos decir sin problema que la derivada temporal de este debe ser idéntica a la suma de las fuerzas que actúan sobre el fluido:

, donde evidentemente a es el campo vectorial de aceleraciones en el fluido. Como tenemos definidas ya las fuerzas que van a actuar sobre nuestro fluido, además, podemos sustituirlas para obtener la ecuación del balance de  las mismas sobre el fluido:

Sin embargo, tenemos el problema de que con lo que llevamos no tenemos ni idea de la forma del tensor T, por lo que debemos buscar alguna forma de definirlo. Efectivamente, se puede pensar que ya está definido en virtud de la ecuación con la que apareció anteriormente, pero definir las tensiones según las fuerzas, teniendo en cuenta que las fuerzas son lo que queremos calcular no tiene sentido. Necesitamos recurrir a algo más elemental.

Tensiones en reposo e isotropía de tensores:

Salta a la vista que si el fluido está en reposo, no debería haber ninguna dirección preferente para sus tensiones internas: las fuerzas de tensión deberían ser idénticas en todas direcciones. Cuando una magnitud tensorial es invariante frente a rotaciones (la gires hacia donde la gires vale lo mismo) decimos que es isotrópica (ya comentamos por encima la isotropía del universo).

Pensemos por ejemplo en un tensor de rango 2 (matriz de filas y columnas). Si yo quiero girarlo según la matriz de rotación ROT tendré que realizar la siguiente operación:

Para expresar esto tensorialmente asumimos que si el índice contraído es el covariante la matriz empleada es la inversa. Además, añadiremos ya la condición de que queremos que T’ sea idéntica a T para cualquier matriz de rotación:

, donde δ representa la delta de Kronecker (en este caso matriz identidad). Ahora tenemos que hacer una reflexión que nos ahorrará demostraciones matemáticas. Si yo tengo una matriz que tiene la propiedad de que rotarla es exactamente igual que multiplicarla por la identidad, evidentemente no estoy ante un tipo de matriz cualquiera. Tenemos una matriz multiplicada a la derecha por ROT y a la izquierda por su inversa. Esto por nuestra condición debe ser idéntico a multiplicarla por δ, lo que quiere decir que es como si T conmutara con ROT y cambiasen sus posiciones en la ecuación. Una vez intercambiadas estas matrices, el producto de ROT con su inversa es automáticamente δ por definición. Recapitulando: para que T sea isotrópico debe conmutar con TODAS las posibles matrices de rotación. ¿Y cuáles son las únicas matrices que conmutan con todas las demás? ¡Las diagonales!  Un tensor T isótropo de rango 2 debe cumplir por definición estar diagonalizado siempre:

Ya sabemos que nuestro tensor de tensiones en reposo es diagonal. Ahora bien, ¿cuál debe ser el valor de λ que le asignemos a su valor? Dado que sobre un fluido en reposo lo único que actúa es su presión interna p, ese es el valor que necesitamos. Además, le cambiaremos el signo según el criterio termodinámico de transferencia de energía:

Conseguimos así nuestra primera aproximación al tensor de tensiones.

Tensiones dinámicas:

Si el fluido no está en reposo, que será lo más habitual, debemos sumar a T un tensor de tensiones de viscosidad σ que por la definición de T será también simétrico y, por tanto, diagonalizable. Esto nos deja la ecuación de la siguiente forma:

.-Gradiente de velocidades:

Dado que el nuevo tensor σ surge del movimiento de fluido, es asumible que tendrá su origen en el desnivel en v. Si no existiese este tensor v sería constante en todo el espacio en el que se mueve el fluido, pero por desgracia para el cálculo sabemos que no es así. Consideremos entonces el producto tensorial del gradiente con v, y descompongámoslo en sus partes simétrica α y antisimétrica β:

El motivo por el cual hemos tomado la parte simétrica y la antisimétrica es que por definición σ era simétrico, y por tanto no debe estar relacionado de ningún modo con β. El hecho de que la contracción total de α sea la divergencia de v, asimismo, también es importante, por lo que conviene recordarlo para venideras cuentas.

.-Tensor de viscosidad:

Visto el tensor α, podemos definir σ como:

, donde K sería el tensor de viscosidad (parecido al tensor de curvatura de Riemann en relatividad general). Este tensor es de rango cuatro (una matriz de matrices), y contraido con α da el tensor de fuerzas de viscosidad σ. Una contracción total de dos matrices es la suma de los elementos de la diagonal (la traza) del producto entre ambas. Una contracción de un tensor de rango 4 con uno de 2 es contraer totalmente cada una de las matrices internas de K con α dejándolas en la misma posición ahora como escalares.

Por consistencia, K debe ser simétrico en sus índices i,j y, además, experimentalmente se asume que es isótropo. ¿Y qué es exactamente un tensor isótropo de rango 4? Pues si un tensor isótropo de rango 2 era una matriz diagonal, uno de rango 4 será una combinación lineal de productos tensoriales de matrices diagonales de la forma:

Además, como los índices i,j deben ser intercambiables por simetría, es necesario que μ sea idéntico a γ. Gracias a esto reducimos un poco el tamaño de la ecuación:

, donde hemos respetado los índices que acompañaban a γ porque podemos y por conveniencia. Ahora que ya tenemos K podemos redefinir σ:

Si llevamos esto a la ecuación del tensor de tensiones que era la que queríamos obtener:

.-Hipótesis de Stokes:

Como la ecuación a la que hemos llegado resultaba poco intuitiva fue un reto intentar mejorarla, y Stokes tuvo claro qué se debía hacer. Empecemos contrayendo totalmente T:

Según la visión de Stokes, no tenía ningún sentido que la traza de T dependiese de los coeficientes de viscosidad, porque eso supondría una extraña torsión interna. Lo correcto sería que dependiese sólo de la presión, de forma que al obtener la traza la viscosidad fuese irrelevante. Haciendo esto, la traza de T se convierte en un invariante de gran importancia en la física de fluidos. Decimos pues que la hipótesis de Stokes es:

, y esto nos deja T de la forma:

, y μ pasa a ser el único coeficiente legítimo de viscosidad, que despejando se medirá en Pa*s.

.-Tensiones de cizalla:

Supongamos por ejemplo que tenemos media tubería cilíndrica a lo largo del eje 2, y que en su interior se mueve un fluido únicamente con velocidad en dicho sentido, y que dicha velocidad varía con la altura 3 a medida que ascendemos. Gracias al tensor de tensiones, podemos conocer la tensión que existe sobre el fluido debido a este gradiente:

En la ecuación, δ se anula por no coincidir los índices, la divergencia también por no haber fuentes ni sumideros. Finalmente, nos quedamos con la única derivada que existe, que es la de la componente 2 de v a lo largo del 3er eje. La tensión de cizalla resulta ser el producto de la viscosidad por la variación de la velocidad con la altura.

Navier-Stokes:

Y con todo lo visto ya estamos preparados para obtener LA ECUACIÓN de la física de fluidos, que no es otra cosa que sustituir nuestro tensor T en la ecuación del balance de fuerzas:

Ahora, si consideramos que la divergencia de v es nula:

La ecuación de Navier-Stokes nos dice que la fuerza sobre el fluido es igual a la fuerza gravitatoria, menos el gradiente de presión en el fluido, más el producto de la viscosidad con el laplaciano de v. Si alguno de los lectores es capaz de demostrar que para unas condiciones iniciales dadas tan sólo hay un campo de velocidades v que resulte solución de la ecuación le espera una generosa recompensa.

Energía:

En relatividad especial vimos que había una cierta relación entre el momento lineal y la energía a través de la velocidad de la luz. Esta relación era equivalente a la que podíamos encontrar entre posición y tiempo. Si derivamos ambas magnitudes totalmente sobre el tiempo, obtenemos respectivamente la fuerza y la potencia. Ahora bien, tenemos una ecuación para hacer un balance de fuerzas:

y por tanto, si multiplicamos dicha ecuación escalarmente por la velocidad, obtendremos la ecuación del balance de potencias del sistema:

, donde en el último paso se ha tenido en cuenta la derivada del producto al sustituir.

.-Potencia de deformación:

El último término del balance de potencias se conoce como potencia de deformación por tener su origen en el gradiente de velocidades (deformación de v), y con lo que sabemos de T podemos darle una forma más precisa:

, donde φ representa por simplificar la potencia disipada por la viscosidad.

.-Potencia cinética y gravitatoria:

Si consideramos ahora la (densidad de) energía cinética en el sistema como e, podemos reescribir el balance de potencias como:

, y además podemos definir rápidamente la potencia gravitatoria como:

, debido a que la derivada parcial temporal de G es nula por no depender del tiempo. Afortunadamente, este término lo tenemos en la ecuación del balance de potencias, lo que nos permite escribirla definitivamente como:

La potencia cinética y la gravitatoria se invierten en términos que dependen del tensor T, de la presión y de la viscosidad. Esta ecuación no es exactamente análoga a la de Navier-Stokes porque en ella habíamos considerado divergencia nula, y en esta es evidente que no porque nos ha quedado en la expresión final.

Bernoulli:

Retomemos ahora para concluir una de las ecuaciones más elementales de la física de fluidos, y mientras lo hacemos veremos todas las aproximaciones que es necesario hacer.

.-1ª aproximación:

Comencemos partiendo de la ecuación de Navier-Stokes, en la que la divergencia es nula:

.-2ª aproximación:

Asumamos que en el sistema no hay viscosidad para obtener la ecuación de Euler:

Esta ecuación es interesante porque nos dice que idílicamente si en el fluido no hay aceleraciones toda la fuerza de presión es puramente gravitatoria. De aquí obtendríamos el principio de Arquímedes y semejantes.

.-3ª aproximación:

Si consideramos que la densidad es constante a lo largo del fluido (no compresible), podemos reescribir la ecuación de Euler de la forma:

, en la que hemos expresado a como la derivada temporal de v.

.-4ª aproximación:

Si el sistema no dependiese explícitamente del tiempo (sistema estacionario, siempre igual), podemos escribir la derivada total de v como una derivada sustancial para eliminar la parte que depende del tiempo:

, y este término que nos ha resultado lo podemos modificar sumando y restando por conveniencia de forma que aparezca el tensor antisimétrico β visto un poco antes:

.-5ª aproximación:

Ahora tenemos que considerar que si el fluido gira, v tiene rotacional no nulo, y de hecho el rotacional de v es la velocidad angular ω. Esto quiere decir que la velocidad angular es el producto vectorial del gradiente con v, y para expresar productos vectoriales con notación tensorial recurríamos al símbolo de Levi-Civita:

Hemos concluido que la velocidad angular es generada exclusivamente por la no nulidad del tensor β en el fluido. Podría centrarme más en esta idea pero mejor será dejar la ortogonalidad de tensores para posteriores entradas. Lo importante es que si asumimos que nuestro fluido no está girando, la aceleración nos resulta de la forma:

Llegados a este punto no hace falta considerar más aproximaciones.

.-Conservación de la energía:

Cambiemos en la ecuación de Euler la aceleración por la expresión que hemos obtenido:

Después de esto nos fijamos en la siguiente igualdad:

Y si llevamos esta última relación a la ecuación de Euler, es evidente la relación:

El gradiente de B, comúnmente llamado el término Bernoulli es nulo, lo que implica que permanece constante en toda la línea de corriente que queramos considerar bajo todas las aproximaciones consideradas. Si nos fijamos, el término Bernoulli representa (dividido entre la masa) la suma de la energía cinética, la potencial gravitatoria y la debida a la presión, por lo que equivale directamente al teorema de conservación de la energía de la física de fluidos.

Mucho se ha escrito a lo largo de la historia sobre la felicidad. A lo largo de los siglos ha sido uno de los temas cruciales de la filosofía universal, y posiblemente seguirá siéndolo mientras intentemos comprenderla de un modo que nos permita controlarla, pero, ¿llegará ese día? ¿Podemos acaso definirla? ¿Tiene esto algo que ver con la ciencia?

Son muchas las frases que se han escuchado sobre ella con mayor o menor éxito, y no parece que todas sean consistentes: “la felicidad es ayudar a quiénes lo necesitan”; “la felicidad es tener dinero, salud y amor”; “la felicidad es creer que uno está haciendo lo correcto”; “la felicidad es no tener problemas”… ¿De cuáles de estas frases podemos fiarnos? ¿Podemos descartar alguna de ellas, estando seguros de que no se adaptan a ninguna persona?

En esta entrada intentaré acercarme un poco a estas cuestiones.

La felicidad como función de estado. Felicidad Ideal:

Yo nunca me había planteado pensar en las cosas que escribiré aquí hasta que leí por ahí una pregunta de broma que echó mi imaginación a volar: ¿es la felicidad una función de estado o de proceso? Esta cuestión, que comento que fue realizada por un alumno aburrido preparando su examen de termodinámica, es bastante profunda.

Si la felicidad fuese una función de estado, eso implicaría que dependería exclusivamente de un conjunto de variables. Por ejemplo, si alguien dice que la felicidad es salud, dinero y amor, podemos decir que la felicidad es para esa persona una función de estado, ya que si estos tres parámetros permanecen constantes supone que la felicidad también lo hará. Consideraré a este enfoque felicidad ideal (F.I.):

, siendo d el dinero, s la salud, y a el amor.

Por supuesto, esto supondría que pudiésemos medir la felicidad con algún sistema de unidades, lo cual parece absurdo. Nadie se imagina en un futuro diciendo “tengo una felicidad de 3,58 f” (unidades inventadas de felicidad). Mucho menos nos imaginamos a alguien contestándole “¡qué suerte, yo estoy en una mala racha y sólo tengo 49 mf!”. Pudiera ser que alguien consiguiese medir la felicidad en algún momento, pero aunque nunca se diera el caso el planteamiento de esta entrada seguiría siendo correcto, ya que para medir algo no son necesarias las unidades. Aunque no tenga ningún número asociado a mi felicidad, en muchas ocasiones puedo saber si es mayor o menor que en otro momento anterior, o si es mayor o menor que la de otra persona.

Por supuesto, conocer la función que relaciona la felicidad con sus variables sería demasiado utópico. A lo sumo, con suerte, podemos atrevernos a decir más o menos cómo varía con ellas. En el caso de la F.I., por ejemplo, podríamos asegurar que la variación de felicidad aumenta con cualquiera de sus 3 variables.

• Si una persona tiene más dinero, puede suponerse que será más feliz, aunque a medida que su capital aumenta necesitará ganar mucho más dinero para que el incremento de felicidad sea apreciable.
• Si una persona tiene más salud, también será más feliz, pero esta diferencia tan sólo será relevante cuando se pase de un caso de extrema enfermedad.
• Si una persona tiene más amor, en general es más felíz, y además de una forma independiente de lo que suceda con las otras 2 variables.

Todo esto nos permite dar la la F.I. una forma matemática parecida a esta que se me ocurrió a mi:

Si se eligiese un sistema de unidades adecuado, se podrá dar a la felicidad un valor negativo cuando la salud o el amor fuesen muy bajos, neutro cuando no hubiese dinero, especial salud o el amor fuese indiferente, y alto cuando cualquiera de las 3 se disparase. Además, esta ecuación nos garantiza que la variación de felicidad crece con las 3 variables, aunque la variación con cada una de ellas es distinta:

Cabe destacar también que estas 3 variables serían mucho más fáciles de medir que la felicidad en sí misma, empezando por el dinero que hoy por hoy ya es medible.

Sin embargo, pese a que las cosas parezcan encajar, el modelo de la F.I. no debería de convencer ni satisfacer a nadie. Aún asumiendo que la felicidad fuese una función de estado, estas 3 variables simplemente serían representativas, pero no las únicas necesarias. ¿No debería nuestra felicidad depender también de nuestras acciones, del amor que podemos dar a parte del que recibimos, de las perspectivas de futuro…?

Variables de la felicidad:

Si asumimos la F.I., 2 personas con la misma salud, dinero y amor tendrían la misma felicidad, y sin embargo sabemos que no es así. Podemos tener 2 personas ricas y queridas con buena salud, una de ellas de vaciones en alguno de sus lugares favoritos y la otra a punto de ser disparada tras caer presa de una banda terrorista. ¿Tienen la misma felicidad? Es evidente que no. Una función de estado para la felicidad debería depender de muchas más de 3 variables. De hecho, para generalizar, diremos que la felicidad es una función de N variables, que cada uno puede intentar buscar por su cuenta. Es importante tener en cuenta a la hora de buscarlas que si una la podemos obtener a partir de las otras es “linealmente dependiente” y no debemos incluirla. Por ejemplo, si yo tuviese el modelo de la F.I. y estuviese seguro de que el amor recibido depende exclusivamente del dinero, en realidad la F.I. dependería sólo de 2 variables, ya que la 3ª se puede calcular con una de ellas. En resumen, una función de estado de la felidad dependerá de N variables que denotaremos por x:

Personalmente, no creo que sea posible obtener ningún modelo razonable para una función de estado de la felicidad con menos de 100 variables, que representarían los grados de libertad de la misma. Dicho de otra forma, considero que la felicidad tiene tantos grados de libertad que aunque fuese posible expresarla como una función de estado no creo que nunca nadie sea capaz a dar con una absequible. De hecho, yo mismo desistí de intentar numerar un conjunto razonable de variables con las que describirla aunque fuera un poco.

No obstante, hay una cosa muy relevante que estoy asumiendo aquí y lo hago a consciencia: las variables de las que depende la felicidad deberían ser las mismas para todas las personas. El hecho de que haya variables que afecten más a unas personas que a otras no debería, según este modelo, deberse a que sus funciones de estado sean distintas, sino a que las otras variables que toman parte les resten o den más importancia a través de su relación en la ecuación.

Descartando la función de estado:

Vista la dificultad de obtener una función de estado para la felicidad, nos topamos con un problema mucho mayor que encontrar las variables de las que depende: ¡todo apunta a que en realidad no es una función de estado!

Como ya hemos dicho, si la felicidad es una función de estado, al mantener sus variables constantes, la felicidad debería ser constante también. En cambio, todos sabemos por experiencia que si en un momento dado hacemos/tenemos/vemos… algo que nos hace felices, esa felicidad con el paso del tiempo decae sola, aunque estemos haciendo lo mismo. No existe algo parecido a un equilibrio para la felicidad, lo que inhabilita el uso de una función para describirla.

Podría considerarse introducir la variable novedad en la función, de modo que cuando algo fuese novedoso la felicidad aportada por ese algo se intensificase, y que a medida que nos acostumbramos a ese algo, es decir, a medida que la novedad decae, también lo haría la felicidad. Lamentablemente, tal y como yo lo veo, aquí la novedad no estaría afectando a la felicidad en sí, sino a su variación  con el tiempo. Es la derivada temporal de la felicidad, y no esta, lo que podría considerarse con más sentido una función de estado a partir de aquí. Ilustrativamente:

Y con esto podemos volver a hacernos la misma pregunta: si mantenemos todas estas variables constantes, ¿la velocidad con la que varía la felicidad es constante y alcanza un equilibrio? No parece tan arriesgado como en el paso anterior pensar que sí. Y si aceptamos esto como un principio de algo parecido a una teoría, la novedad de un suceso actuaría como catalizador de la felicidad que produce el mismo. Por ejemplo, la variación de felicidad es mucho más brusca si de repente te dicen que ya te puedes jubilar que si lo sabes desde que comienzas a trabajar. Análogamente, la variación de felicidad (en este caso negativa) es mucho más brusca si de repente pierdes un brazo que si lo vas perdiendo poco a poco.

En caso de que las variables de estado cambien poco a poco, de una forma continuada en el tiempo, podemos calcular la variación de felicidad en el tiempo a través de la ecuación integral:

Aunque pueda parecer una obviedad de ecuación, hay que recordar que lo que estamos analizando aquí es qué sucede si la variación temporal de la felicidad es una función de estado, con el fin de darle una forma matemática sencilla al asunto.

En caso de que las variables de estado no varíen continuamente y lo hagan a saltos en general habrá cambios bruscos en la variación de la felicidad que sólo son integrables durante intervalos de tiempo muy pequeños. Un claro ejemplo de esto sería cuando paseando por la calle veo a la gente en un bar mirando el partido de fútbol, e instantáneamente todos se levantan y se ponen a celebrar un gol. Aquí ha habido un cambio brusco de una de sus variables de estado, pongamos por caso la tensión, y eso les ha disparado positivamente la variación de felicidad. Asimismo, a medida que la novedad del gol decae, su felicidad deja de crecer tan rápidamente. Suponiendo que no interfieran representativamente más variables en el suceso, la felicidad total habrá crecido para todos ellos sin duda. En caso de que el gol que vieron fuese una falsa alarma, tendríamos también un cambio brusco negativo en la variación de felicidad, que combinado con el anterior, podría dejarles finalmente con más, menos o la misma felicidad que al principio, según las variables de estado de cada espectador.

En resumen, la variación de felicidad en un proceso depende de cómo haya sido este: es una función del proceso. Si paso de tener 0 € a tener 1000 € mi variación de felicidad no será la misma si me los encontré tirados en el monte que si he robado una tienda para conseguirlos (espero que para la mayoría haya una mayor variación en el primer caso). La teoría de la F.I. cae por su propio peso. Creer en ella supondría creer que el fin justifica los medios.

Felicidad para una persona:

Supongamos ahora que tenemos una persona que quiere ser lo más feliz posible. En general todos nos sentiremos tentados a buscar las variables de estado que maximicen la variación de felicidad de esa persona. Sin embargo, debido a que la novedad decae, un conjunto de variables que de una gran felicidad en un momento dado lo hará cada vez menos si ninguna de ellas cambia. A la gente, por lo general, la rutina le aburre. Incluso, por muy buenas variables de estado de las que se disponga, la falta de novedad puede hacer que la variación de felicidad sea negativa.

Esto tiene una clara implicación: la máxima felicidad no se obtiene a través de un estado estacionario, sino con una serie de transformaciones de sus variables optimizada. A veces necesitamos estar enfermos para disfrutar la salud, a veces necesitamos quedarnos dormidos y perder un tren importante para disfrutar de ratos sin nada que hacer que normalmente están ocupados…

La máxima felicidad se obtiene, pues, analizando cómo deberían variar en el tiempo todas las variables de estado, fundamentalmente la novedad por ser la que más intensifica el efecto.

Felicidad para varias personas:

Por último, la cosa se complica mucho si en lugar de una persona tenemos un conjunto de ellas que tienen que convivir.

Si nos proponemos como objetivo maximizar la felicidad de toda la humanidad, no de forma que la suma de sus felicidades sean lo más grandes posibles, sino de forma que cada uno sea lo más feliz posible, vemos que en la mayoría de los casos el hecho de que alguien aumente su felicidad (porque haya conseguido un trabajo) implica una disminución en la felicidad de otras personas (que se han quedado sin ese puesto de trabajo).  Estos fenómenos de inducción de felicidad entre personas son tan complejos que sólo una gran mente (desde luego no la mía) podría dar con un sistema que los compense todos. Por mencionar algunos de los problemas más importantes de los fenómenos inductivos y que se deben tener en cuenta:

• Cuando alguien es más feliz, la envidia hace que muchas otras personas de su alrededor lo sean menos y se esfuercen en reducir la felicidad de dicha persona. Ser más feliz que el entorno, según el grado de envidia del mismo, puede ser contraproducente.
• La felicidad parece crecer más rápido viendo la infelicidad del vecino que mejorando las variables de estado propias.
• Existen personas, de hecho, cuya única fuente de felicidad es la infelicidad ajena.

Hace tiempo, discutiendo sobre la frase “eres más malo que robarle un caramelo a un niño”, alguien argumentaba que eso no tiene por qué ser esencialmente malo. La persona que se lo roba, según su grado de crueldad, obtiene una gran dosis de felicidad, y el niño en cambio, aunque pierde algo de felicidad en el momento concreto, no tarda en pasársele la tristeza por el caramelo. Así pues, no es muy arriesgado decir que la felicidad total de la humanidad (la de uno más la del otro) ha aumentado. De un suceso esencialmente malo obtenemos más felicidad de la que había al principio. ¿Podemos definir entonces malo como aquéllo que crea infelicidad en al menos un individuo? ¿Acaso no serían entonces todos los sucesos malos, ya que en general todas nuestras acciones repercuten negativamente sobre alguien? ¿Dónde se establece la frontera entre lo que es malo y no lo es?

Todo lo mencionado hace de la posible existencia de una teoría de optimización de felicidades un proyecto súper ambicioso, quizás lógicamente abandonado por la sociedad, pero que no por ello deja de ser interesante. Ahora bien, para concluir esta entrada, lanzo unas preguntas al aire: ¿existirá tan sólo una forma de maximizar la felicidad de cada persona a la vez?; ¿se llegarán a diferenciar unas formas mucho de las otras?; y la más interesante, ¿maximiza ya la sociedad actual la felicidad, dado que parece haber algo parecido a un equilibrio entre todos los fenómenos inductivos? Si asumimos que los cambios en la sociedad se deben a una optimización de felicidad (cosa que da lugar a un intenso debate en el que no tengo claro dónde posicionarme), quizás nunca sea necesario plantear con más detalle algo como lo comentado en esta entrada.

Según lo que suceda con esta entrada, igual comento algunas ideas más concretas sobre el tema.

¡Saludos a todos!

Todos creemos en cosas. Eso es un hecho. No hay ninguna persona que viva con una absoluta postura de incertidumbre. Sin embargo, los motivos que llevan a una persona a creer en algo pueden ser muy distintos de los que llevan a otra persona, incluso si ambas creen en lo mismo.

Asimismo, podemos clasificar las creencias en dos grandes grupos: las creencias locales y las generales. Por ejemplo, si yo voy a lanzar una moneda y digo “creo que ahora va a salir cara” estoy manifestando una creencia local, mientras que si yo digo “creo que siempre va a salir cara” mi creencia es general. La diferencia es que las generales abarcan una infinidad de sucesos, y las locales uno concreto. Esta distinción es importante porque afecta de un modo muy drástico al concepto de verdad.

Podemos decir que algo es cierto sobre un suceso local: “ahora mismo yo estoy escribiendo”. Sin embargo, con una creencia general es imposible asegurar si es completamente verdadera o no. Una creencia general es una hipótesis cuando comienzas a planteártela, y una ley cuando la has comprobado una cantidad suficiente de veces como para estar convencido de ella. Pero una ley nunca será completamente cierta, sino a lo sumo extremadamente fiable.

Ya que la única forma de reducir la fiabilidad de una creencia general es dar con un contraejemplo, una persona limitada en conocimientos tendrá menos contraejemplos con los que refutar ciertas teorías, y por tanto la ignorancia va muy de la mano con las creencias absurdas, donde defino creencia absurda como aquélla a la que es muy fácil aportar un contraejemplo. Un ejemplo de creencia absurda sería decir “el Sol siempre sale por mi izquierda”, ya que si al día siguiente la persona que lo dice gira sobre sí misma 180º verá al Sol salir por la derecha. De hecho, esta creencia violaría el principio físico de covarianza en caso de ser cierta, que nos dice que las leyes físicas no deben depender del observador. A medida que es más difícil dar con un contraejemplo para una creencia ésta es, en vista de lo anterior, más firme.

Ahora bien, ¿debemos asumir que el contraejemplo será reconocido como tal idénticamente por toda la población? La experiencia me dice que no. Por ejemplo, yo siempre tuve la “creencia general” de que a cualquier persona a la que se le plantease un proyecto en el que un cuerpo debiese tener masa negativa la rechazaría (salvo quizá en teorías físicas avanzadas, pero no es el caso). Sin embargo, me he topado con gente haciendo problemas de matemáticas en los que se preguntaba si un problema era posible con ciertos datos y en los que dando el resultado una masa negativa no encontraban ningún problema. Así pues, mi creencia general resultó ser falsa, ya que un contraejemplo que a mí me parecía evidente para algunas personas no lo era. De nuevo, la carencia de conocimientos, en este caso matemáticos, supone creencias absurdas. Y más preocupante aún, la carencia de conocimientos dificulta también dar con contraejemplos que entienda esa persona.

Resumiendo, los contraejemplos son más difíciles de encontrar cuanto menos sabe el creyente y cuanto más fiable es la teoría. Por poner el ejemplo que espero que todos los lectores estén esperando, es muy difícil dar con un contraejemplo decente para un analfabeto que crea en un dios. Recordemos que la existencia de un dios no es fiable en el sentido de que tenga sentido sino en el expuesto aquí, de que es muy difícil dar con un contraejemplo para ella.

De modo que cuando dos personas tienen dos creencias generales distintas con las que explicar algo pueden suceder, a priori, dos cosas: o que ambas creencias sean compatibles, o que una creencia deba suplantar a la otra para no entrar en incompatibilidades. Incluso esta apreciación será subjetiva, pues puede ser que uno de los dos sujetos vea muy clara la discrepancia entre sus creencias y otro las vea bien las dos a la vez. Trataremos también este último caso.

.-Si los dos están de acuerdo en que ambas creencias son compatibles, lo normal sería que cada uno pasase a aceptar ambas como creencias propias. Por ejemplo, una persona que cree que “una casa es bonita por tener el tejado rojo” puede encontrarse con otra que crea que “esa misma casa es bonita por tener la puerta azul”. Si ambos están de acuerdo con la creencia, entonces probablemente ambos asuman que “la casa es bonita porque tiene el tejado rojo, y además porque tiene la puerta azul”.

.-Si los dos están de acuerdo en que ambas creencias son incompatibles, lo normal sería que cada uno expusiese sus argumentos y entre los dos discutiesen para decidir cuál es más fiable, exponiendo contraargumentos con los que desmontar las creencia del otro. Sin embargo, es importante resaltar que los argumentos que se consideren válidos en una discusión sólo necesitan ser validos para los dos que discuten, y no para el resto. Por ejemplo, supongamos que una persona cree que “el delfín es un mamífero porque lo aprendió en clase”, y la otra le dice que “el delfín es un pez porque vive en el agua”, a lo que la otra le contesta “tienes razón, me habré equivocado”. En este caso la mayoría (espero) estaremos en desacuerdo con la conclusión, pero como discusión ha sido perfectamente válida.

.-Si uno cree que que son compatibles y el otro no, normalmente uno tendrá que discutir con el otro para hacerle recapacitar y posteriormente volver a uno de los dos casos anteriores.

Ahora bien, el caso que nos interesa en esta entrada es cuando los dos ven clara la incompatibilidad y tienen que discutir. Ante todo, lo que deberían tener claro es que la finalidad de una discusión o debate constructivo es convencer al otro de nuestra creencia, y no conseguir que nos de la razón porque sí o humillar al “oponente dialéctico”. Desgraciadamente, en muchas ocasiones la frase anterior es completamente ignorada.

La estructura de la discusión constructiva, además, tiene una estructura determinada de la que la gente suele pasar como le viene en gana. En una discusión debemos contestar siempre a nuestro oponente contestando a sus argumentos uno a uno, y aportando después lo que creamos conveniente.

Cuando en una discusión alguien contesta a su oponente sin rebatir los argumentos que éste le ha dado queda automáticamente como un cobarde, y además es muy fácil interpretar que no tiene nada que decir al respecto y que por tanto son puntos flacos de su creencia. En cambio, si contesta a su oponente rebatiendo argumentos que no son exactamente los que éste ha dicho, pero que en cambio son más fáciles de atacar, se está recurriendo a la falacia del hombre de paja que consiste precisamente en intentar convencer a los espectadores, incluido el oponente, de que éste ha dicho algo que no ha dicho y que es erróneo o, al menos, más criticable. Cualquiera de las dos actitudes es reprobable, y también frecuente.

Otra cosa que también queda bastante fea en una discusión es repetir una y otra vez los mismos argumentos, como si por decir algo más veces se entendiese mejor. Decir lo mismo con otras palabras también es poco estético, además de cansino e insultante para la persona a la que se intenta hacer creer que estás diciendo algo nuevo. Estos errores y los del párrafo anterior, por su parte, son especialmente corrientes en política, donde como ya dije aquí la discusión constructiva es más bien escasa.

Un ejemplo de discusión catastrófica para los oyentes sería: “Hace falta solventar el tráfico de drogas en los institutos, así que habrá que tomar medidas firmes”, “Sí, pero no puedes pretender encerrar a los adolescentes en casa sin ir a clase”, “No hablo de encerrarlos, pero sí de arreglar este problema”.

Ahora bien, hay otro tipo de acción en una discusión que para mí es muchas veces peor que las anteriores, y es el recurrir como fuente argumental a falacias de autoridad, es decir, discutir citando constantemente a otras personas que han argumentado en discusiones análogas como si fuesen un argumento indiscutible. Técnicamente, una falacia de autoridad es cualquier intento de convencer al oponente de que su opinión vale menos que la de otra persona. ¡Grave error! Si crees que su opinión vale menos, tienes que convencerle de ello, y convencer de algo no es simplemente decirlo. Recordemos lo primero que dije: “no conseguir que nos de la razón porque sí o humillar”. Si no eres capaz de convencer a tu oponente con tus argumentos, o explicando bien tus referencias, lo correcto es que asumas tu derrota en la discusión, y no que le trates de desacreditar por la cara. Pongamos por ejemplo la discusión en la que una persona dice “una vida sin filosofar merece ser vivida”, la otra persona le contesta “no estoy de acuerdo con eso porque puedes disfrutar sin romperte la cabeza” y la primera le contesta “¿acaso sabes tú más que los griegos?”. Aquí evidentemente la primera persona está pecando de intentar desacreditar a la segunda y obligarle a aceptar su creencia en base a que le sale de las narices, porque la argumentación es horrible.

Intentando evadir los recursos anteriores, una discusión puede acabar obviamente de dos formas: o una persona convence a la otra o ninguna persona convence a la otra. En el primer caso, no tienen por qué haber acordado la creencia que sea más fiable para todo el mundo, sino la que era más fiable para ellos dos (recordemos que estamos definiendo fiable como difícil de desmontar con contraejemplos). En el segundo caso, que se puede dar aunque una persona consiga que la otra le de la razón, ambos tendrán que reforzar sus argumentos para venideras discusiones o de lo contrario deberían desistir de volver a intentarlo.

La cuestión aquí es: ¿por qué es importante la discusión? La discusión es, ha sido y será, desde los comienzos de nuestra civilización la única fuente de intercambio de ideas que tenemos los seres humanos. A través de la discusión, enfrentándonos a la necesidad de convencer al resto de la gente de nuestras opiniones, nos damos cuenta de lo fiables que son nuestros argumentos o, por el contrario, de lo frágiles que resultan ante cualquier contraargumento.

Una persona que nunca discute es “probablemente” una persona que tiene miedo de tener que defender sus creencias, que seguramente serán pasionales más que racionales. Las creencias pasionales están bien en muchos casos, pero corren el riesgo de pretender ser indiscutibles, mientras que en muchos casos no es así. Tenemos un claro ejemplo de ello en las personas que defienden a un familiar conflictivo con la creencia pasional de que no está haciendo nada malo.

Otra opción de una persona que nunca discute es alguien que tiene tan claro que no va a poder argumentar sin ponerse de los nervios que prefiere pasar. Hablamos aquí de gente a la que le da igual que las otras personas no tengan una creencia que él considera más fiable porque simplemente no cree que tenga muchas opciones de conseguir nada discutiendo con ellos. No es muy criticable, pero es lamentable en la sociedad del conocimiento que se supone que aspiramos a ser.

En resumen, cuando crees en algo debes defenderlo a capa y espada e intentar siempre convencer a los demás con tus argumentos para poner a prueba tu fiabilidad. Todo ello en virtud de mejorar como ser racional que eres y en tu viaje hacia el conocimiento. Una derrota dialéctica que consigue hacerte cambiar a otra opinión más adecuada es una victoria cultural, ya que de ahí en adelante podrás expandir tu nueva creencia a más gente. Por otra banda, una victoria dialéctica supone la responsabilidad social de intentar aportar tu creencia fiable a quienes te rodean hasta que alguien sea capaz de desmontar tus argumentos.

Sólo con esta filosofía de vida, y no otra, es posible progresar en la mayoría de los aspectos como persona: tener la humildad de reconocer la derrota y agradecer a nuestro oponente su aportación; saber tragarse el orgullo y saber reconocer cuándo nuestras creencias han sido ridiculizadas; y tener la preocupación de intentar convencer al colectivo del que formas parte con tus creencias. Pues la felicidad, más que en el reconocimiento personal, está en saber que has ayudado a quienes te rodean.

Próximamente escribiré sobre la felicidad, como ya está anunciado en “entradas pendientes”.

Después de haber publicado hace un par de años tres entradas con la primera idea que se nos dio de la termodinámica en la facultad, voy a escribir una entrada con todos los fundamentos matemáticos de la misma, poniendo sólo los ejemplos necesarios, con el fin de cubrir una de las muchas carencias de contenido que todavía padece el blog.

Y es que la termodinámica, aunque resulte poco atractiva porque en general no solemos considerar la temperatura en los problemas estereotipados de la física, es una herramienta clave mismamente en el entendimiento de la cosmología.

Temperatura experimental:

En general, cuando trabajamos con materiales, es fácil apreciar que según las condiciones climatológicas presentan unas características físicas u otras. En ocasiones la madera se dilata o las sustancias cambian su estado de agregación entre sólido, líquido y gas. Asumiendo que estos efectos se deben al movimiento de las moléculas que las componen (por ejemplo, en un gas éstas vibran mucho más rápido y les permite dispersarse con mayor rapidez), resulta evidente que la energía de vibración interna de las moléculas que componen la sustancia es un parámetro que debemos considerar. Dicho parámetro es definido como temperatura, y hablaremos de temperatura experimental mientras que para nosotros sea un supuesto teórico sin definir. Las escalas de temperatural, que no nos ocupan, fueron analizadas aquí. Ejemplos de la evidencia experimental de la temperatura es el ascenso de la barra de mercurio en el interior de un termómetro con ésta.

Termodinámica:

La termodinámica, considerada la parte de la física que estudia las propiedades macroscópicas de los sistemas en equilibrio, es decir, sin cambios a lo largo del tiempo, tiene un nombre bastante poco adecuado, ya que da a entender que vamos a hablar exclusivamente de temperatura y que vamos a tener movimiento, cuando en realidad nos centraremos exclusivamente en sistemas estáticos y las relaciones entre ellos.

A mí me gusta decir que la termodinámica es la parte de la física que analiza las leyes que rigen los flujos de energía en el universo, permitiendo intuir cómo se transforma ésta en cada situación. Si omitimos las entradas anteriores sobre este tema, lo único que sabemos sobre la propagación de la energía es el principio de Hamilton, que nos dice que todo sistema físico evoluciona minimizando la acción. Esta condición suponía una fuerte restricción que determinaba el movimiento de los cuerpos y, por tanto, el uso que le darían a la energía a lo largo de su trayectoria. Por ejemplo, el principio de Hamilton en general se puede interpretar como que la energía potencial tiende a transformarse en cinética (los cuerpos escapan de la energía potencial) en la mayoría de los casos.

Gracias a la termodinámica, aportaremos 4 principios más con los que desentrañar mejor la naturaleza de la energía.

Principio Cero:

Dados dos sistemas termodinámicos con temperaturas respectivas “T1″ y “T2″, si entran en contacto ambos adquirirán la misma temperatura “T”.

Dicho de otra forma, los sistemas en contacto acostumbran a poseer la misma temperatura. Poco más se puede decir sobre este principio, salvo evidenciar que si tenemos un conjunto de sistemas A, B, C, D… y están en contacto unos con los otros, todos ellos compartirán temperatura también al cabo de un tiempo.

Variables intensivas y extensivas:

En general, un sistema termodinámico se puede determinar con “N” variables que representarían sus grados de libertad. Si estas variables tienen un único valor macroscópico (volumen, longitud, carga) las denominaremos variables extensivas (se extienden a todo el volumen), mientras que si actúan sobre las anteriores (presión, fuerza, potencial eléctrico) serán variables intensivas (actúan intensivamente sobre las anteriores). Si denominamos por “xi” las variables extensivas y por “Xi” las intensivas asociadas, se cumple que las unidades de su productos son de energía:

, donde la “J” significa julio. Debido a que este producto va a representar de algún modo la energía que la pareja de variables está aportando al sistema, es importante considerar que cuando la energía del sistema aumenta tendrá signo positivo y cuando la pierde tendrá signo negativo. Así pues, como al dilatarse una sustancia está perdiendo la energía que la apretaba, para que el signo sea negativo consideramos que la presión del sistema, actuando como intensiva del volumen, lleva un signo negativo.

Trabajo adiabático:

Erróneamente, durante algún tiempo se pensó en base a lo anterior que la energía “U” de un sistema termodinámico variaría según la regla de la cadena de estos productos:

, aunque como el sistema termodinámico se puede describir sólo con las variables extensivas, que representan sus grados de libertad, se cumpliría también:

, si bien este paso es un poco bruto por ahora. Más adelante veremos que esto no implica exactamente que el segundo sumatorio valga cero, sino que en este caso sí lo hace. Cuando estas ecuaciones son ciertas, decimos que el sistema está pasando por un proceso adiabático, libre de calor. Concretamente, a la integral de este sumatorio se la denomina trabajo adiabático “W”. En caso de que el sistema tenga como “única” (con lo que sabemos) variable extensiva el volumen, su variación de energía será:

Y si la presión fuese constante:

Primer principio:

Sin embargo, en muchas ocasiones era evidente que la variación de energía era mayor que el trabajo adiabático realizado. A esta discrepancia entre ambos valores se la denominó calor “Q” del proceso:

Dado que la energía es una función de estado de las variables extensivas (mismo valor de las variables, mismo valor de la energía), era posible ir de un estado termodinámico (valor concreto de las variables extensivas) a otro de distintas formas, siempre que la suma del trabajo adiabático y el calor igualasen a la variación de energía, que sería el primer principio:

Como el calor representa pérdidas energéticas, en general lo más deseable es que sea prácticamente nulo. Sin embargo, lamentablemente esto nunca es posible, como determinará nuestro siguiente principio.

Rendimiento:

Definimos como el rendimiento “η” de un proceso termodinámico como la energía útil obtenida (invertida en lo que deseamos) dividida entre la que hemos tenido que suministrar. Si el rendimiento vale 1 (que nunca es el caso) quiere decir que toda la energía suministrada ha sido útil, si es 0 toda ha sido inútil y lo demás son casos intermedios. Evidentemente, la energía útil nunca va a ser mayor que la suministrada por lo que el rendimiento va a ser siempre estrictamente menor que 1. Veamos algunos ejemplos.

Kelvin-Plank. Supongamos que tenemos dos sistemas A y B a temperaturas constantes “T1″ y “T2″, siendo “T1″ mayor que “T2″. En el medio, introducimos un sistema neutro C (un motor) que puede liberar energía en forma de trabajo (para mover la máquina en la que esté, por ejemplo). El funcionamiento que debemos esperar entonces será el siguiente:  A le cederá calor “Q1″ a C para aumentar su temperatura, en virtud del principio cero; C le cederá calor “Q2″ a B por el mismo motivo; C intentará exportar trabajo “W” a la máquina para que funcione. Ahora bien, “W” será la energía útil y “Q1″ la suministrada, por lo que el rendimiento será:

, donde hemos aplicado el teorema de conservación de la energía al decir que “W” es la diferencia entre el calor suministrado y el calor disipado. Finalmente, vemos que cuanto menor sea el calor perdido “Q2″ más próximo a 1 será el rendimiento. Sin embargo, el enunciado de Kelvin-Plank nos asegurá que eso es imposible, siempre tendrá que haber “Q2″.

Clausius. Supongamos ahora que tenemos los tres sistemas A, B y C de antes, pero en esta ocasión queremos enfriar B con los siguientes procesos: B le cederá calor “Q2″ a C para calentarlo; nosotros suministraremos trabajo “W” a C para darle todavía más energía; C le cederá calor “Q1″ a A por su exceso de energía. La energía útil será la que enfríe a B, es decir, el calor “Q2″ desprendido por este, y la suministrada el trabajo “W”. En este caso el rendimiento será:

, que el enunciado de Clausius nos garantiza que también será siempre menor que 1. Para que esto se incumpliese, el calor “Q2″ extraído de B tendría que ser igual al trabajo “W” aportado, cosa que nunca sucede.

Tanto el enunciado de Kelvin-Plank como el de Clausius son equivalentes, ya que realmente lo único que se está haciendo al pasar de uno al otro es cambiar la dirección de cada uno de los intercambios de energía.

Ciclo y Teorema de Carnot:

Ahora bien, ¿cuál es el modo de obtener el mayor rendimiento en un proceso termodinámico? El Teorema de Carnot nos dice que de todos los procesos posibles el que conlleva un mayor rendimiento es el reversible. Ahora bien, ¿qué es un proceso termodinámico reversible?

Definimos como proceso reversible o ciclo de Carnot (porque es el único que lo garantiza) aquel que permite recuperar el estado termodinámico inicial.

Este ciclo entre dos estados A y B es bastante sencillo. En primer lugar se va del estado A a un estado A’ favorable a través de un proceso adiabático (sin calor), y después se va del estado A’ al estado B a través de un proceso isotérmico (a temperatura constante). Después, una nueva adiabática va a de B a B’ y una nueva isoterma va de B’ a A, cerrando el ciclo. En este caso, experimentalmente se comprueba que:

En cualquiera de los problemas planteados, vemos entonces que el rendimiento máximo depende de la relación que haya entre las temperaturas de los sistemas A y B, siendo éste mayor cuanto más diferencia haya entre ellas.

Entropía:

Dado que en el ciclo de Carnot se cumple la relación:

, es evidente que dicho cociente es constante y que relaciona el calor con la temperatura. Introducimos así el concepto de entropía “S” con la ecuación integral:

, que en caso de que la temperatura sea constante, como en la adiabática del ciclo de Carnot, nos dice que el calor es el producto de “T” y “S”. La entropía es entonces una función de estado, y además una variable extensiva, cuya intensiva asociada es la temperatura. Redefinimos ahora el diferencial de la energía como:

, donde consideramos la entropía como una variable extensiva distinta de las demás. Esta ecuación es más completa que la vista anteriormente, puesto que va más allá del caso adiabático. Es más, con esto vemos que para que en un proceso haya calor debe variar la entropía, y que en un proceso reversible la entropía no varía.

Segundo principio:

“Todo proceso termodinámico no reversible conlleva un calor, y por tanto un aumento de la entropía”. “La entropía en el universo aumenta o se mantiene constante”.

Las interpretaciones de este principio son varias, desde que la entropía define la flecha del tiempo hasta que el universo tiende al caos y al desorden puesto que el calor es una forma inútil de energía que no se recupera. La entropía del universo aumenta constantemente, y por tanto la energía útil no hace más que disminuir.

De ahora en adelante, en todos los ejemplos supondré que la única variable extensiva diferente de la entropía es el volumen y el número de moles “n”, con su potencial químico asociado como variable intensiva “μ”.

Energía interna:

Partamos de la ecuación diferencial:

De aquí podemos obtener las relaciones, denotando junto a las derivadas las variables que permanecen constantes:

Ahora, aplicando derivadas cruzadas y teniendo en cuenta que “U” es una función de estado, obtenemos las relaciones de Maxwell de la energía interna:

Veremos ahora otros potenciales termodinámicos a partir de la energía que nos interesará considerar según las variables que sean constantes para nosotros, y que tendrán sus propias relaciones de Maxwell también.

Entalpía:

Definimos la entalpía “H” con la ecuación diferencial:

De donde obtenemos las derivadas:

Y las relaciones de Maxwell son:

Energía libre de Helmholtz:

Definimos la energía libre de Helmholtz “F” como:

Las derivadas en esta ocasión son (omitiendo ya el potencial químico):

Y las nuevas relaciones de Maxwell resultan:

Energía libre de Gibbs:

Para terminar, la energía libre de Gibbs “G” se define como:

, cuyas derivadas importantes son:

y sus relaciones de Maxwell son:

Potenciales termodinámicos:

U, H, F y G se consideran los potenciales de la termodinámica y la forma de relacionarse que hay entre ellos se conoce como transformada de Legendre. Según el problema con el que estemos tratando cada uno de ellos nos vendrá mejor. Por ejemplo, si el volumen y la temperatura son constantes, sabemos que el potencial de Helmholtz es constante y esto nos facilita tratar con los potenciales próximos a él en el sentido de que se relacionan a través de una simple suma o resta (que son la energía interna y el de Gibbs).

Tercer principio:

Para terminar, el último principio de la termodinámica nos dice que es imposible alcanzar la temperatura 0, y que por tanto todos los sistemas van a tener siempre algo de energía térmica. Veamos algunos ejemplos de lo que esto implicaría.

Gas ideal comprimiéndose a presión constante:

Supongamos un gas ideal:

, siendo “R” la constante de los gases ideales, al que mantenemos a presión constante mientras lo enfriamos hasta los 0 K desde un estado (T0, p0). Tendremos que llegar a alguna conclusión absurda. Hagamos la ecuación diferencial de “p”, igualémosla a 0 (es constante), integremos y veamos:

El volumen tendría que ser 0, cosa imposible porque está por debajo del nivel atómico y nuclear.

Gas ideal aumentando entropía a presión constante:

Supongamos ahora este mismo gas en el mismo proceso. Veamos qué sucede con la entropía, y para ello tendremos que; introducir el concepto de calor específico “cp”, que será una constante; usar una relación de Maxwell; y después anular el diferencial de presión, por ser ésta constante:

Como vemos, la entropía a temperatura y volumen nulos sería infinitamente negativa. Ahora bien, en virtud del segundo principio sabemos que la entropía crece con el tiempo. Llegamos así a la interesante conclusión de que con el modelo de gas ideal la temperatura 0 estaría en el origen del universo (entropía mínima), y después comenzaría a expandirse indefinidamente a favor de la entropía. De hecho, ni siquiera hemos usado en ninguna parte importante que el sistema tenga que ser un gas ideal. *(sigue abajo)

La gran expansión:

Curiosamente, este último ejemplo coincide casi perfectamente con el modelo del Big Bang salvo por un pequeño detalle como es el de que la temperatura realmente decae con la expansión. De hecho, realmente a la temperatura 0 nos encontramos con la entropía infinita, que sería a lo que nos enfrentaríamos en caso de que el universo se expandiese eternamente. ¿Cómo sabemos esto? Si tomamos la ecuación de la energía:

, y consideramos sólo la parte dependiente del diferencial de entropía vemos que sólo se anula si la temperatura es 0. Una derivada a mayores nos garantiza que la derivada segunda de la energía es la temperatura, por lo que al ser positiva estamos ante un mínimo de energía. Asimismo, sabemos que la entropía sólo crece, y que por tanto sólo encontrará el equilibrio cuando valga infinito, por lo que este equilibrio debe corresponderse con el estado que acabamos de ver de temperatura 0 y energía mínima.

*Si este modelo discrepa del que acabamos de ver para el gas ideal con lo que sucede a temperatura 0 es porque en el del gas ideal hemos hecho trampa. ¡La presión del universo cuando la temperatura decae hasta el 0 no es constante!