Axiomas del Cuerpo de los Números Reales y Recta Real.

Los números reales (R) se definen por varios axiomas, clasificados entre cuerpo y orden:

Axiomas de cuerpo:

Asumimos la existencia de dos operaciones internas denominadas suma (+) y producto. Ser operación interna implica que si “x” e “y” ς R, entonces (x + y) ς R, y (x y) ς R también. Se verifica que:

  • Existe conmutatividad en la suma y en el producto: x + y = y + x; x y = y x.
  • Existe asociatividad en la suma y la multiplicación: (x + y) + z = x + (y + z); (x y) z = x (y z).
  • Existe distributividad del producto respecto a la suma: x (y + z) = x y + x z.
  • Dos números reales x e y poseen un número z ς R // y = z + x. A “z” se le designa por “y – x”. El número real x – x = 0 se puede demostrar que es independiente de “x”, y al número real 0 – x = – x se le denomina opuesto de “x”.
  • Existe un número real distinto de 0. Dados “x” e “y” ς R, siendo x ≠ 0, existe un único z ς R // y = z x. A “z” se le designa como “y / x”. El número real x / x = 1 se puede demostrar que es independiente de “x” si x ≠ 0. El númeo 1 / x se designa por “x^-1″, y se denomina inverso o recíproco de “x”. Si “x” ≠ 0: x x^-1 = 1.

Axiomas de orden:

Admitimos la existencia de una relación “<” entre ls números reales, que establece un ordenamiento de los mismos. Se verifica:

  • Dados dos números reales “x” e “y” se cumple una y solo una de las siguientes relaciones: x < y, x > y ó x = y.
  • Sean “x” e “y” dos números reales // x < y, se deduce que: para todo z ς R: x + z < y + z.
  • Considerados dos números reales tales x” e “y” // x > 0 e y > 0, entonces x y > 0.
  • Considerados tres números reales “x”, “y” y “z” // x < y ∩ y < z, se cumple que: x < z. Propiedad transitiva de los números reales.

Teorema: Sean “a”  y “b” ς R, si Ε > 0 y si a + E ≤ b, entonces “a ≤ b”.

Recta real y concepto de intervalo:

Los números reales son a menudo representados geométricamente como puntos de una recta denominada recta real. Se elige un punto a la izquierda y otro a la derecha para que represente el 1. A cada punto de la recta real le corresponde un único número real, por lo que es habitual referirse al punto “x” como el número real “x”.La relación < admite una interpretación geométrica simple: si x < y, entonces “x” estará a la izquierda de “y”. Así, los números positivos están a la derecha del 0 y los negativos a la izquierda. El conjunto de todos los puntos comprendidos entre “a” y “b” se denomina intervalo. Es impotante distinguir los intervalos que incluyen a los extremos de los que no.

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Comments
11 Responses to “Axiomas del Cuerpo de los Números Reales y Recta Real.”
  1. Maximiliano dice:

    Tal vez esté equivocado yo y hay algo que no estoy viendo pero creo que hay dos errores en este artículo,a detallar:

    ” Si “x” ≠ 0: x x^-1 = 1. ”

    creo que aquí lo que quisieron poner es ”
    si ‘x’ distinto de 0 : x^0 = 1″

    segundo error:

    Teorema: Sean “a” y “b” ς R, si Ε > 0 y si a ≤ b + E, entonces “a ≤ b”.

    coloquemos arbitrariamente a=6 , b = 4 y E = 5 , entonces lo enunciado arriba no se verifica, ya que 6 ≤ 4+5 es distinto de 6 ≤ 5

    • alex dice:

      Maximiliano
      el primero “error” que señalas no es tal, ya que x*x^-1=1 para x distinto de cero,
      con respecto a tu contraejemplo en el segundo, te equivocas al darte dos valores para a y b ya que con los valores que te das no se cumple a<=b, por tanto la implicancia de algo falso puede se tanto falso como verdadero

  2. Maximiliano dice:

    por otro lado me gustaria saber si es posible que me digas donde puedo conseguir los 13 axiomas de los num reales toodos juntos gracias!

  3. Adrián dice:

    el primer error que enuncias se debe mas bien, supongo, a un problema de claridad
    lo que escribi fue “x x^-1 = 1″, es decir, que cualquier numero por su inverso es igual a 1
    el segundo, efectivamente, estaba mal, me equivoque al poner el simbolo
    muchas gracias

    respecto a los 13 axiomas no se decirte
    yo aqui enuncie los que aprendemos en la licenciatura de fisica

    gracias por la intervencion

  4. Miller dice:

    Se nota que trabajaste en este material, esta muy bien explicado pero no es extenso, es decir es claro y conciso.

  5. Gonzalo Urbieta dice:

    Aquí se encuentran los 13 axiomas de los números reales con su explicación, http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_los_n%C3%BAmeros_reales

  6. Gonzalo Urbieta dice:

    Un resumen de los 13 axiomas serían

    Axiomas de la suma
    ==================
    x + y = z (z es único)
    x + y = y + x (conmutatividad en la suma)
    (x + y) + z = x + (y + z) (asociatividad en la suma)
    x + 0 = x (neutro aditivo)
    x + y = 0 (inverso aditivo)

    Axiomas del producto
    ====================
    x * y = z (z es único)
    x * y = y * x (el orden de los factores no altera el producto)
    (x * y) * z = x * (y * z) (asociatividad en la multiplicación)
    1 * x = 1 * x = x (neutro multiplicativo)
    x * y = 1 (inverso multiplicativo, “y” sería “1/x”)

    Axiomas de orden
    ================
    x < y, y < z entonces x < z (transitividad)
    x < y entonces x + z < y + z
    x 0 entonces x * z < y * z

  7. marcela fontalvo dice:

    esta muy bien el articulo aunque no loentienda cuales es la propiedad de orden de adicioin y la de orden de un producto respondame gracias

  8. Monik Godoy dice:

    Donde puedo encontrar la demostracion de los trece axiomas!! :D

    • Adrián dice:

      Los axiomas no se demuestran, se asumen ciertos.

      • Elsa Andrea Guzman Lizarraga dice:

        SI TIENES RAZÓN EN PSICOLOGÍA LOS AXIOMAS DE LA COMUNICACIÓN TAMBIEN SE ASUMEN, ENTONCES LA COMUNICACIÓN SIEMPRE SE DA AUNQUE NO HABLEMOS Y ESTO ES ALGO QUE NO NESECITA DEMOSTRACIÓN PORQUE SE DA EN CADA RELACIÓN QUE TENEMOS CON EL OTRO

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